Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

этим методам, сколько формальным конструкциям теории мно-

жеств, теории меры, функционального анализа и теории вероят-

ностей, которые не способствовали практическому освоению

этих методов. В средней школе и массе вузов, включая педаго-

гические, методы статистического анализа данных не упомина-

ются вовсе. В результате для большинства российских руководи-

телей и менеджеров самые простейшие методы статистического

анализа данных неизвестны.

Сегодня с широким распространением ПЭВМ появилась

возможность использовать в практической деятельности универ-

сальные и специализированные статистические пакеты типа

«Stadia», «Эвриста», «Spss», «Stangraphics», «Systat». Множество

новых пакетов разработано для среды Windows—Statistica, Стати-

стик-Консультант и др. В качестве перспективных отечествен-

ных разработок можно назвать профаммные системы «Олимп:

ФинЭксперт», «Олимп: СтатЭксперт», «Олимп: ТриКита», рабо-

тающие в среде Windows 3.11 и Windows 95 [37, 38] и исполь-'

зующие интерфейс Microsoft Excel.

Программная система «ФинЭксперт» позволяет провести ис-

следования структуры баланса, платежеспособности и ликвидно-

сти,

финансовой устойчивости, оборачиваемости активов, эф-

фективности использования капитала и рентабельности продаж.

Программа использует следующие основные методы финансо-

вого менеджмента: расчет и использование эффектов финансо-

вых и операционных рычагов, учет инфляционных процессов и

финансовой политики предприятий. Входной информацией при

этом являются данные внешней бухгалтерской отчетности

(баланс, формы №2; 4; 5).

Программная система «Олимп: СтатЭксперт» позволяет про-

водить полный цикл исследований по статистическому анализу

и прогнозированию данных, начиная с их ввода, проверки ви-

зуализации и кончая проведением и анализом результатов на

основе широкого набора современных методов прикладной ста-

тистики. Она включает в себя: средства описательной

(дескриптивной) статистики количественных данных; методы

анализа и прогнозирования одномерных временных рядов; кор-

реляционный и регрессионный анализ; ряд адаптивных моделей

и методов прогнозирования — методы адаптивной фильтрации,

эволюции (для двух- и трехпараметрических моделей), гармони-

ческих весов, модель Хольта—Уинтерса, модифицированные мо-

дели для применения к процессам с сильной сезонностью; авто-

141

регрессионные модели; факторный, кластерный, частотный,

гармонический и структурный (структурных сдвигов и различий)

анализ; обработку нечисловой информации; принятие решений

[37,

38].

Дескриптивная статистика

является простым и наиболее

распространенным средством характеристики исходных данных,

позволяя оценить особенности любого из исследуемых показате-

лей в аналитическом или фафическом видах и перспективы их

использования для дальнейшего более глубокого анализа. Этой

профаммой обеспечивается построение семи таблиц статистиче-

ских данных (базисные и цепные характеристики динамики,

средние характеристики, гипотеза об отсутствии тренда, провер-

ка однородности данных, построение частных автокорреляцион-

ных функций и интервальных рядов, формирование фафиков,

гистофамм и др.)

Прогнозирование временных рядов

предназначено х(ля форми-

рования на основе математической модели точечного и интер-

вального прогнозов исследуемого показателя и вьщачи пользова-

телю степени доверия к полученным результатам. В качестве

классов моделей используются: кривые роста, адаптивные моде-

ли Брауна и Хэльта, Бокса—Дженкинса (модели авторефессии

АР{р)

порядка р) и ОЛИМПа (модели АРСС (р, д, d)) порядка р

и скользящего среднего порядка д, порядка разностного опера-

тора d). Тип прогноза

—

прогноз вперед и рефопрогноз. Полно-

та выдачи результатов вычислений определяется перечнем таб-

лиц, заказанных в блоке «Сфуктура отчета». Офажение резуль-

татов прогноза дается на фафиках аппроксимации и ретропрог-

нозов с указанием верхней и нижней фаниц, относительной и

абсолютной ошибок и др.

Корреляционный анализ

позволяет измерить степени связи двух

или более переменных, отобрать факторы, оказывающие наиболее

существенное влияние на результативный признак и обнаружение

ранее неизвестных причинных связей. Результаты обработки от-

ражаются в пяти таблицах (оптимальные лаги корреляции и пар-

ные корреляции на них, парные, частные и множественные ко-

эффициенты корреляции) и соответствующих фафиках.

Регрессионный анализ

предназначен для исследования зависи-

мости конкретной переменной от различных факторов и ото-

бражения их взаимосвязи в форме рефессионной модели и со-

ответствующих фафиков. В качестве моделей могут быть ис-

пользованы рефессии: линейная множественная, пошаговая,

фебневая, парная.

142

Компонентный

анализ является методом определения струк-

турной зависимости между случайными переменными, в резуль-

тате использования которого получается сжатое описание ма-

лого объема, несущее почти всю информацию, содержащуюся в

исходных данных.

Факторный анализ —

более общий метод пре-

образования исходных переменных по сравнению с компонент-

ным анализом. Структура отчета может включать пять таблиц

(собственные значения, прямая и повернутая матрицы факторов,

оценки общности, значения главных факторов).

Кластерный

анализ обеспечивает разбиение наблюдений на

однородные группы (кластеры). Результаты статистической

классификации существенно зависят от правильного выбора ко-

личества и состава переменных, а также алгоритма и метрики

классификации. Структура отчета включает таблицу результатов

кластеризации и фафик кластеров.

Частотный

анализ предназначен для исследования времен-

ных рядов со строго периодическими или более или менее регу-

лярными колебаниями. Видом анализа может быть анализ гар-

моник, спектральный анализ, частотная фильтрация, взаимный

спектр (кросс-спектр). Для всех видов анализа, исключая час-

тотную фильтрацию, профамма автоматически диагностирует

наличие тенденции в исследуемом показателе и при ее обнару-

жении вьщает соответствующее сообщение.

При

гармоническом анализе

на выходе профаммы появляется

соответствующий протокол с расчетными параметрами, по ре-

зультатам которого можно судить о значимости гармоник. При

моделях частотной фильтрации производится выделение тренда

исходных данных (при высокочастотном фильтре) или его уст-

ранение (при низкочастотном фильтре). Протокол частотной

фильтрации содержит две таблицы «Выход фильтра»,

«Передаточная функция» с отражением содержащихся в этих

таблицах показателей на фафиках.

При

спектральном

или

кросс-спектральном анализе

профам-

мой выбирается одно из фех окон (прямоугольное, Тьюки, Пар-

зена) и посфоение соответствующих фафиков спекфа.

Программная система «Олимп:ТриКита» обеспечивает реще-

ние внуфенних задач управления предприятием, связанных с

планированием, учетом и конфолем, всесторонне офажает ре-

альное положение дел в финансовой сфере и динамику развития

предприятия. Она позволяет: а) планировать сметы расходов и

отслеживать их исполнение; б) вести полноценный учет кадров,

143

планировать полезную нафузку сотрудников и ресурсные воз-

можности предприятия; в) упорядочить назначение сотрудников

на проекты и учитывать их фактически отработанное время по

различным проектам; г) оценивать эффективность работы сотруд-

ников, отделов, департаментов и филиалов; д) вести учет по заклю-

ченным договорам; е) знать текущее положение дел по закрытию

договоров, выявлять должников и суммы задолженностей.

Таким образом, эти профаммные системы позволяют решать

очень широкий круг задач современных предприятий, помогая

их руководству и менеджерам принимать эффективные решения.

Рассмотрим подробнее описание математических моделей этих

профаммных систем.

5.2. Основные экономико-статистические модели

Методика статистического анализа и прогнозирования данных.

При статистическом исследовании финансово-экономических

показателей в ходе анализа, осуществляемого вручную или по-

средством ПЭВМ, вычисляют простейшие характеристики ди-

намики их развития, выявляют закономерности прошлого разви-

тия и оценивают возможность их перенесения ца будущее. Для

успешного решения этого необходимо:

1) иметь достаточный для проявления статистических зако-

номерностей объем данных (для годовых наблюдений

—

не ме-

нее пяти уровней, для сезонных процессов

—

не менее трех пе-

риодов сезонности);

2) обеспечить методологическую сопоставимость данных;

3) на основе содержательного анализа исследуемого показа-

теля обосновать возможность переноса закономерностей про-

шлого на выбранный период прогнозирования;

4) получить адекватную математическую модель и на ее ос-

нове построить точечные и интервальные прогнозы.

Основной формой представления статистической информа-

ции являются временные ряды (ВР) наблюдений. Цель стати-

стического анализа ВР

—

изучение соотношения между законо-

мерностью и случайностью формирования значений уровней

ряда и оценка количественной меры их влияния.

Статистические методы исследования исходят из представле-

ния уровней ряда в виде суммы нескольких компонент, отра-

144

жающих закономерность и случайность развития, в частности, в

виде суммы нескольких компонент:

X{t) ^At) +

S(t)

+ Щ),

где ДО —

тренд, представляющий собой устойчивое изменение показа-

теля в течение длительного времени, являющийся детерминированной

компонентой, выражает аналитическую функцию, на которой форми-

руются прогнозные оценки; S(J) — сезонная компонента, характери-

зующая устойчивые внутригодичные колебания уровней, представляе-

мая квартальными или месячными данными (наличие устойчивых ко-

лебаний в суточных или недельных данных может рассматриваться как

циклическое явление и может отображаться сезонной компонентой);

£•(0 — остаточная компонента, представляющая собой расхождение

между фактическими и расчетными значениями (если построена адек-

ватная (хорошая) модель, то E{t) является близкой к О, случайной, не-

зависимой, подчиняющейся нормальному закону распределения ком-

понентой, в противном случае модель является плохой).

Формирование уровней ряда определяется закономерностями

трех основных типов: инерцией тенденции, инерцией взаимо-

связи между последовательными уровнями ряда и инерцией

взаимосвязи между исследуемым показателем и показателями-

факторами, оказывающими на него причинное воздействие. Со-

ответственно различают задачи анализа и моделирования тен-

денций, взаимосвязи между последовательными уровнями ряда;

причинных взаимодействий между исследуемым показателем и

показателями-факторами. Первая задача решается с помощью

методов компонентного анализа, вторая — адаптивных методов

и моделей, третья — эконометрического моделирования, бази-

рующегося на методах корреляционно-регрессионного анализа.

Алгоритм статистического компонентного анализа обычно

связан со следующими процедурами: постановкой задачи и под-

бором исходной информации; предварительным анализом ис-

ходных временных рядов и формированием набора моделей

прогнозирования; численным оцениванием параметров моделей;

определением качества моделей (адекватности и точности); вы-

бором одной лучшей или построением обобщенной модели; по-

лучением точечного и интервального прогнозов.

При формулировании цели исследования осуществляется со-

держательный (лог|1ческий и экономический) анализ исследуе-

мого процесса; решается вопрос о выборе показателя, характе-

ризующего его наиболее полно; определяются показатели, ока-

зывающие влияние на ход развития; определяются наиболее ра-

зумный период упреждения прогноза, оптимальный горизонт

145

прогнозирования,

определяемый индивидуально для каждого по-

казателя с учетом его стабильности и статистической колеблемо-

сти данных (обычно он не превышает 1/3 объема данных).

При предварительном анализе определяется соответствие

имеющихся данных требованиям, предьявляемым к ним матема-

тическими методами (объективности, сопоставимости, полноты,

однородности и устойчивости); строится график динамики и рас-

считываются основные динамические характеристики (приросты,

темпы роста, темпы прироста, коэффициенты автокорреляции).

Набор моделей (исходная база моделей) формируется на ос-

нове интуитивных приемов (таких, например, как анализ фафи-

ка динамики ряда), формализованных статистических процедур

(исследование приростов уровней). При этом предпочтение от-

дается наиболее простым, содержательно интерпретируемым

моделям, решаемым программным путем на ПЭВМ с проведе-

нием вычислений по всем доступным моделям и методам.

Основная идея оценки параметров обычно заключается в

максимальном приближении

модели к исходным данным. Оцени-

вание параметров моделей кривых роста ведут методом наи-

меньших квадратов (МИК), параметров адаптивных методов —

специальными процедурами многомерной численной оптимиза-

ции. Экстраполяционные методы прогнозирования строят моде-

ли кривых роста и адаптивные модели, использующие лишь

временный фактор, являющийся условным представителем всей

совокупности причинных факторов, влияющих на интересую-

щий нас показатель. Кривые роста исходят из равноценности

всех данных, отражая общую тенденцию развития, а адаптивные

модели и методы — из большей значимости последних наблю-

дений, лучше отражая динамику изменения.

Мощным инструментом прогнозирования являются модели

Бокса—Дженкинса и «Олимп», составляющие основу рабочей

базы моделей. Каждая построенная модель из 20 возможных за-

носится в базу моделей. Если рабочая база моделей заполнена

(построено свыше 20 моделей), то вновь построенная модель

сравнивается с наихудшей моделью и вытесняет ее, если новая

модель имеет лучшие характеристики качества.

Информация, содержащаяся в рабочей базе моделей,

—

основа

для построения прогноза по лучшей модели или база формирова-

ния обобщенного прогноза. Измерение качества моделей в соче-

тании с высоким быстродействием ПЭВМ обеспечивает быстрый

просмотр множества моделей с выбором из них наилучшей по

14в

критериям адекватности и точности. При этом адекватность мо-

делей оценивается по свойствам остаточной компоненты

(расхождениям, рассчитанным по модели уровней и фактических

наблюдений), а точность модели — по степени близости расчет-

ных данных к фактическим. На основе характеристик точности и

адекватности рассчитывается обобщенный показатель качества

модели, используемый для определения лучшей модели.

На основе построенной модели рассчитываются точечный

(экстраполяционный) и интервальный прогнозы, причем точеч-

ный прогноз формируется подстановкой в модель (уравнение

тренда) соответствующего значения временного фактора, т. е.

t = N+\, N+2,..., N+k, a

1^нтервальные

прогнозы строятся на ос-

нове точечных.

Доверительная вероятность

прогноза (О—1(Ю%) характеризует

степень уверенности в попадании прогнозируемой величины в по-

строенный интервал прогнозирования (напомним, что при ее уве-

личении интервальный прогноз расширяется, поэтому полезность

прогноза обратно пропорциональна доверительной вероятности).

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться

в их разумности и непротиворечивости, для чего полученный

прогноз следует критически проанализировать с целью выявле-

ния возможных противоречий известным фактам и сложившим-

ся представлениям о характере развития на периоде упреждения

прогноза (при исследовании конкретных процессов часто при-

меняют ретропрогноз).

При наличии данных о динамике других показателей можно

построить модель их влияния на основной исследуемый показатель

и в случае ее высокого качества получить прогнозные оценки. Для

формирования набора факторов, кроме содержательных аспектов,

необходимо учитывать формально-статистические аспекты, осно-

вывающиеся на коэффициентах корреляции. Следовательно,

перед рефессионным анализом необходимо воспользоваться

корреляционным анализом, а при необходимости получения

прогнозов

—

еще и экстраполяционными моделями.

Дескриптивная статистика. В общем случае исходные данные

можно охарактеризовать простейшими средствами описательной

статистики, дающими представление об особенностях исследуе-

мого показателя и перспективности использования более глубоких

методов анализа. Вычисление основных характеристик данных, в

которых Xj — численные значения наблюдений переменной X

(/=1,2,...,я), проводится на базе ряда известных формул (табл. 5.1).

147

Таблица 5.1. Основные характеристики данных

Показатель

Расчетные формулы

Среднее значение

Сретмшааряппесхое олиюнеяие (СКО)

Дисперсия

Несмещенная оценка дисперсии

5. Среднеквадратическое отклонение для

несмещенной оценки дисперсии

6. Среднее линейное отклонение

7. Мометы начальные:

второго, третьего, четвертого поряюп

8. Мометы ц^нтральные-

трепъего, чепертого порядка

9. Коэффициент асимметрии:

несмещенная оценка

СКО

10.

Показатель эксцесса:

несмещенная оценка

СКО

11.

Коэффициент вариации:

по размаху

по среднему

линЫкному

отклонению

по СКО

медиана

мода

минимальное значение ряда

максимальное значение ряда

размах

1=1

а?,-ла- / (п-\)

•^н-

V^H

V<=1 J

k=\Y\xi-x\\/n

V=[((«-l)/:f/(«-2)]л

5^=[6л

(л-1)/

(/i-2)(n+l)(n+3)l'/i

£ =[(п-1)/(л-2)(п-3)]х[(л+1)£+ 6]

5£=[24/K/r-1 )2/(/г-3)(л-2)(/Н-3)(л+5)] '/^

k/x

n/x

XJl

X (наблюдаемое наиболее часто)

^^""'»

^ШШ.

148

Относительно ряда показателей данной таблицы отметим

следующее.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса позволяют сделать

предварительные заключения о близости изучаемого распреде-

ления к нормальному. Распределение принято считать нормаль-

ным, если выполняются условия:

AS<3S^;E<5SE.

Для медианы

—

исходный ряд считается отсортированным.

Мода

—

это значение X, наблюдаемое наиболее часто.

Для изучения пространственных данных используют техно-

логию их афегирования с построением интервального ряда.

Ширина интервала для фуппировки Н определяется так:

H=R/L,

I=H-3,3221g(«),

где L

—

количество интервалов (округляется в большую сторону); л

—

число членов ряда.

Если установлен соответствующий параметр, то изменяется

значение Я и пересчитывается L. Каждый >й интервал

(j=l,...,

характеризуется определенной частотой и частостью попадания

в него соответствующих наблюдений заданного ряда.

Таблица интервального ряда распределений содержит раз-

бивку данных на интервалы, числовую характеристику интервала

(начало, середину и конец), а также частоту и частость наблю-

дений.

Обычно характеристиками интервального ряда выступают:

среднее значение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение,

коэффициенты асимметрии и эксцесса, мода и медиана. Их

смысл и назначение совпадают с вариационными характеристи-

ками, а формулы вычисления содержат компоненту, учитываю-

щую частоту попадания наблюдений в интервалы.

Метод бутстреп-оценки

сводится к дополнению данных фак-

тических наблюдений данными численного моделирования. При

этом моделирование производится только в рамках фактических

данных, а входными параметрами метода выступают: {Х\,

Х2,..;Хп) — исходная выборка; к — количество моделируемых

выборок (/:>50); р

—

вероятностный уровень оценки математиче-

ского ожидания (рекомендуемые значения 0,7—0,9). Оценку ма-

тематического ожидания для малой выборки можно получить по

следующему алгоритму:

149

Осуществляется моделирование выборок с использованием

датчика натуральных чисел, равномерно распределенных в ин-

тервале от

до п:

Для каждой выборки

ищется оценка математического

ожидания:

^r[t^N,]/"'

; =

1.-д-

Для вариационного ряда математических ожиданий вы-

борки строится интервальный ряд.

С хвостов построенного интервального ряда отсекаются

интервалы таким образом, чтобы суммарная частость отброшен-

ных интервалов не превосходила

(l—p).

Оставшиеся интервалы

определяют интервальную оценку математического ожидания.

Анализ временных рядов. В этой операции оценивают: харак-

теристику динамики, наличие тренда, однородности данных и

автокорреляционных свойств.

Динамику изменения исследуемого показателя можно оха-

рактеризовать по отношению к какому-то базисному (обычно

первому) наблюдению величиной изменения соседних уровней.

В этой связи вычисляются

базисные

цепные

характеристики.

качестве статистических характеристик временного ряда У/,

=1,...,

используется ряд величин (табл. 5.2).

Оценка наличия тренда

в исследуемом временном ряду осу-

ществляется при помощи методов Форстера—Стюарта и средних

в соответствии с методикой, изложенной в [37]. При противоре-

чивости их выводов предпочтение отдается первому методу.

Таблица

5.2.

Основные статистические xt^aianepucmuKU временного ряда

Характеристики цепи Расчетные

формулы

Абсолиппый базисный прирост А

К,*

=Yj

У,

Абсолютный цепной прирост

A^i' =

У/

- l'/-i

Базисный коэффициент роста К

г,

= ^i / Л

Цепной коэффициент роста

^Ji, =

У,-

/ }',-i

5. Базисный коэффициент прироста

]('>^ =

(Y,-Y^)

У,

150