Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

Случай потребительских наборов (xi,..., х„) из я благ прин-

ципиально аналогичен ситуации с двумя благами, но технически

реализуем несколько сложнее.

Общая модель потребительского выбора. Рассмотрим свойства

задачи потребительского выбора с произвольным числом благ и

целевой функцией общего вида с последующим переходом к не-

которым задачам, включая анализ компенсированного измене-

ния цен.

Пусть заданы целевая функция предпочтения потребителя

M(XI,

Х2,..., Х„), где х,- — количество /-го блага, вектор цен

{рЦ

(Рь

й. -,

Рп)

и доход /. Сформулируем следующую задачу:

(х)

-> max (4.23)

при условиях

рх^ I,

О,

где X

= (х,,...,

х„),

р =

(р,,...,

р„),

рх

(р,Х|

+... + р^„).

Считаем, что неотрицательность переменных обеспечивается

свойствами целевой функции и бюджетного офаничения.

В этом случае можно записать функцию Лафанжа и исследовать

ее на безусловный экстремум.

Функция Лафанжа L (х, X) = и (х) + X

(рх —

I).

Необходимое условие экстремума состоит в равенстве нулю

частных производных:

—

и/+

Xpi

для всех / (/ = 1, я )

L'=px-

1=0.

Отсюда следует, что для всех /, J в точке лР локального ры-

ночного равновесия выполняется равенство:

и-!/

и] =pj pj,

получаемое после перенесения вторых слагаемых необходимых

условий в правую часть и делением /-го равенства нау-е.

точке

оптимума отношение предельных полезностей любых двух благ

равно отношению их рыночных цен, поэтому ы//

/>,-

= uj/

pj.

Таким образом, получаем, что дополнительная полезность,

приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат, в

точке оптимума одинакова по всем видам благ (если это все бы-

ло не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно

121

было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние,

или значение функции полезности, потребителя. Если для неко-

торых /,

благ достигнуто, что «///>,• > uj/pj, то можно попьггать-

ся перераспределить деньги от

у,

увеличив уровень благосос-

тояния потребителя.

Модель Стоуна. Выведем функцию спроса для конкретной

функции потребительского предпочтения, называемой функцией

Стоуна и имеющей следующий вид:

llixi-ai)" -^ max,

1=1 ^

Здесь а,

—

минимальное необходимое количество /-го блага,

которое приобретается в любом случае и не является предметом

выбора. Для того чтобы набор

{о,}

мог быть полностью приобре-

тен,

необходимо, чтобы доход

был больше общего количества

денег, необходимого для покупки этого набора, т.

е. /

> 2j>/a,.

Коэффициенты степени а, >

характеризуют относительную

«ценность» блага для потребителя.

При|>авняв нулю частные прои^одные функции Лахранжа по пле-

менным

Xj,

получаем для всех

/ (/ =

c,v

(x)/(Xi —

а^)

Яд-=

О,

откуда следует, что

Х/

= а, —c/v (х)/

Xpi.

Если к этим условиям добавляется равенство

Y,PiXi

- /

= О,

выполнение которого эквивалентно равенству нулю частной

производной функции Лагранжа по переменной /я, то, умножив

каждое /-е условие на

Хр/

и просуммировав их по /, получим:

с,

v(x),

Х-Х

XY Pi

Так как в точке оптимума бюджетное офаничение выполняется

как равенство, то, заменив ^PiXi на /, получим функцию спроса:

i\f-i:Pjaj\/PiI.c,

(4.24)

у / у

Xi =

Эту функцию легко проинтерпретировать

запомнить сле-

дующим образом: сначала приобретается минимально необходи-

мое количество каждого блага а,-; затем рассчитывается сумма

оставшихся денег, которая распределяется пропорционально

«весам» важности с,-. Разделив количество денег на цену

/>,-,

полу-

чаем дополнительно приобретаемое сверх обязательного мини-

мума количество /-го блага и добавляем его к а,.

122

Модель Стоуна имеет различные частные случаи:

1) если все о, = О, а все

с,-

равны между собой, то получаем

Xj = I/npi

(т. е. доход делится на п равных частей и спрос на /-й товар рас-

считывается как частное от деления полученной суммы денег на

его цену; в данной ситуации спрос растет при росте дохода с

эластичностью Ех= \ vi уменьшается с ростом цены с Ех= —\.

Тем самым каждый товар в данной модели является нормаль-

ным и ценным, спрос растет до бесконечности при бесконечном

росте дохода (в этом смысле каждый товар является как бы

«предметом роскоши»);

2) для описания более разнообразных форм поведения спроса

на различные товары в модель должны входить более сложные

виды целевой функции предпочтения. Например, при функции

предпочтения, имеюшей вид и(х\, хг) =

х\''Х2'^"

ix\ + b

—о)~*,

где

а, b

—

параметры, функция спроса является типичной:

а) для предметов первой необходимости

х, =«//(/+*/»,);

б) для предметов роскоши

X2=I-{I

Pi{b-a))/{I+bpO.

Взаимозаменяемость благ и эффекты компенсации. Если

функция спроса имеет вид х,- = I/np/ (при с,-, не равных между

собой,

= Icj/piYc

то спрос на /-й товар не зависит от цены

на любой у-й товар. Вообще говоря, перекрестные функции',

спроса от цен характеризуют такие свойства товаров, как взаи-

мозаменяемость и взаимодополняемость. Если при росте цены

на товар /, при снижении спроса на /-й товар растет спрос на

товар

то эти товары взаимозаменяемы. Наоборот, если спрос

на

у-й

товар также падает, они взаимодополняемы. Заметим, что

реальная взаимозаменяемость может искажаться общим сниже-

нием благосостояния при росте цены /-го

блага:

у-е благо может

заменять /-е в потреблении, но спрос на него может не расти,

так как снизилось общее благосостояние потребителя. Для ис-

ключения этого искажения используют понятие

компенсирован-

ного изменения цены

(такого, которое сопровождается увеличени-

ем дохода потребителя для поддержания прежнего уровня благо-

состояния). Практически компенсированное изменение цены

изображается фафиком (рис.4.4, ж).

123

Пусть цена первого блага повысилась с р\ до pf, тогда

бюджетная прямая из положения / перейдет в положение 2.

Точка А на линии безразличия /^^, касающейся первоначального

бюджетного ограничения, будет заменена новой точкой оптиму-

ма В, где новая линия безразличия /^^ касается новой бюджет-

ной прямой. Если мы хотим компенсировать потребителю поте-

рю благосостояния, то увеличим его доход так, чтобы новая

бюджетная прямая 3 (параллельная линии 2) коснулась в неко-

торой точке С прежней линии безразличия /^^. Направленный

отрезок АС показывает «эффект замены» при росте цены, т. е.

изменения структуры спроса при условии поддержания преж-

него уровня благосостояния. Направленный отрезок ВС отража-

ет «эффект дохода», т. е. изменение потребительского спроса

при сохранении соотношения цен благ и изменении уровня до-

хода. Общий результат роста цены (при отсутствии компенса-

ции) выражается направленным отрезком АВ.

Для формального анализа компенсационных эффектов рас-

смотрим ряд примеров.

Пример 4.7. Пусть целевая функция потребителя зависит от двух

благ (xi, хг) следующим образом: и(хх, xjt ~

XjjC2

-> max. Пусть цены

благ равны соответственно 10 и 2, а доход потребителя

—

60. Тогда по

полученной выше формуле функций спроса имеем:

X, = 60/(2

•

10) =

Х2

= 60/(2

• 2)

15;

и*

= 45.

Пусть теперь pi изменяется с 2 до 7. Необходимо определить

необходимый размер компенсации.

Решение. Чтобы приобрести оптимальный набор, потребите-

лю необходимо дополнительно (7 -2)-15 = 75 денежных единиц. Од-

нако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых

ценах, и минимально необходимая компенсация будет меньше чем 75.

Пусть потребитель получает дополнительно количество денег М Тогда

при новых ценах его спрос на первое и второе благо равняется:

xi = (60 + А/)/10

•

Х2

= (60 + ЩР

•

Целевая функция

XiX2

будет равна (60 +

М)^

/10

• 7 •

и это выра-

жение должно равняться и = 45.

Отсюда имеем, что М = 52,25 < 75, т. е. этого недостаточно.

Пример

4.8. Пусть по-прежнему и(х\, хг) = Х|Х2, цены благ равны

/>1

/?2,

а доход /. Тогда имеем

Xi=

I/2pi,

dXj/dpi

-Illp};

dxjdl =

1/2/?,;

dxjdpj

- 0.

124

Пусть теперь цена />i выросла в г раз (г > 1), и при этом потреби-

тель получает необходимую компенсацию. Новый размер дохода обо-

значим через

1",

спрос

—

через х" их".

Очевидно, что х" =

Р*/27Р\;

х" = /"/2/ъ, и условие компенсации

имеет вид.

откуда получаем:

Таким офазом, спрос на первый товар в случае с компенсаци-

ей сокращается в

(г)''^

раз (а не в г раз, как без нее), а спрос на

второй товар в

{z)^f^

раз вырастет. В случае роста цены второго

товара ситуация будет полностью симметричной. В целом имеем:

при i=l,J=2

илиу=1,

/=2; индекс сотр означает, что перекрест-

ная частная производная спроса рассчитывается при необходи-

мой ;1ля поддержания прежнего уровня благосостояния компен-

сации дохода. Условие компенсации снимает «эффект дохода»,

оставляя лишь «эффект замены». Это позволяет более точно оп-

ределять понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости

благ и оценивать эти характеристики.

Блага / и j называются

взаимозаменяемыми,

если (оЬсУфу)сотр > О

или

(dxi/dpj)comp

> О, и взаимодополняемыми, если (оЬс,/фу)сотр< О

или

(dxi/dpj)comp

< 0.

Расчет частных производных для рассматриваемой задачи в

ситуации, когда

/>|

возрастет в z раз, показывает следующее:

ДХ1 =

XiZ~^^

—дс,; ДХ2 = z^^X2 —Х2, Ар\ - ZP\ —Pi-

Тогда вычисление частных производных дает следующий ре-

зультат:

(оЬс,/ф;)ео.„р = lim 1х,(1 - z'Ч/\P^z''\z -I)] =

= lim -х,/[/,,(г)'/2(1 + г'/2)] = -.х,/>,/2 = -1/Ар\ ;

(*^2/Ф1)сошр = lim [х2(г'/2-1)//,,г'/2{г-1)] =

= lim Х2/ \piz"4\ + z"^)] = xJ2p2 =

l/Ap^pj.

125

Так как

dxj/dpx

> О, это свидетельствует о взаимозаменяемо-

сти благ в рассмотренной нами задаче.

Уравнение Слуцкого. Российским математиком Е.Е. Слуцким

в 1915 г. открыта следующая зависимость, связывающая дейст-

вия эффектов замены или дохода с результирующим изменени-

ем спроса:

dxi/

dpj =

(dxi/

ф,)сотр

(dXi/

dl)

xj.

Уменьщаемое правой части описывает

действие эффекта

за-

мены,

вычитаемое

— действие эффекта

дохода,

выраженное в тех

же единицах дохода (множитель xj приводит их к одной размер-

ности). Слева записывается

результирующее воздействие

на

спрос,

складывающееся из изменения структуры спроса и общего его

изменения при изменении уровня реального дохода.

Для ценных товаров величина

dxj

/dl

О,

т. е. спрос растет

при росте дохода. В этом случае dx/ /dpj <

(dXj

/фу)сотр- если

спрос растет, то он растет больще при наличии компенсации,

если падает

—

то в меньщей степени. Может оказаться и так,

что

dxj

/dpj

О, но

(dXi

/фу)сотр > 0^ т. е. товары / и J взаимоза-

меняемы, но представляются взаимодополняемыми без учета

компенсации. Уравнение Слуцкого может рассматриваться как

при разных, так и при совпадающих /

Если оказывается, что

dxj/dpj >0 (спрос на товар растет при росте цены), то такие това-

ры называются товарами

Гиффина,

и отсюда следует, если

dx,/dl

О,

это обязательно малоценный (худший) товар. Напри-

мер,

картофель как товар Гиффина удовлетворяет этому усло-

вию,

а золото

—

нет (рост спроса на золото при росте его цены,

имевщий место в СССР, объясняется скрытой инфляцией и узо-

стью сферы вложения свободных средств населения в тот период).

Если проверить уравнение Слуцкого для рассмотренной вы-

ше задачи потребительского выбора с функцией полезности

и{х\,

Х2)

xiX2,

то получим следующую систему:

dXi/dpi

= -1/2/»? ; dx/dl=

1/2А-;

dxi/dpi = 0;

(йЬс|/ф,)соп,р = -//»?/4;

(йЬСз/фОсотр = /Р,/>2 /4.

Отсюда имеем, что

—1/2р,^

—

1/р,^

—\/2р,'

1/2р,

= —\/2р] и

= //4Р1/?2-(1/2А-1/2А) = 0.

126

Таким офазом, условия уравнения Слуцкого (при i = j и iff)

здесь вьшолнены. Уравнение Слуцкого можно использовать для на-

хождения и расчета эффекта замены и оценки взаимозаменяемости

или взаимодополняемости благ, т. е.

(dxj

/<фу)сотр> так как частные

производные без компенсации рассчитываются значительно легче.

Если проанализировать подробно эластичности функции

спроса, то получим следующее. Эластичность спроса по цене Еу

и доходу Ejj составляет: Еу = dxi/dp/.

х,/р/,

Ец = dxt/dl: х,//. Для

функции X/ =

ICi/piY,Ci

эластичности составляют: Ец = —

Еу =

(i^tjy, E,j=l.

Если в функции спроса jc, =

х,-

(pi, Р2,.;

Рп,

^ все цены и до-

ход увеличить в т раз, то спрос х, не изменится. Таким образом,

X, (тр, ml) = nfixj (р, I) = X, (р, J), т. е. функция спроса является

однородной нулевой степени. Отсюда, согласно уравнению Эй-

лера должно выполняться следующее равенство:

1[(йх,/ару)р,.] + [(ах,/дУ)/] =

о,

разделив которое на х„ получим равенство

"LEy

+ Ец = 0. Следо-

вательно, сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходам

должна равняться нулю.

Покажем, что при наличии двух товаров они обязательно яв-

ляются взаимозаменяемыми, для этого воспользуемся свойством

{dx/dpj)comp

< о и положительностью частных производных функции

полезности. Предположим, что выросла цена первого товара pi- Так

как

(дх]/др])а)тр

< О, то спрос на этот товар при условии компенса-

ции падает. Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы

получили бы точку, в которой обоих товаров было бы меньше, чем в

начальной. Следовательно, в этой точке значение функ1щи полезно-

сти

ы(х1,

хг) также уменьшится (в условиях компенсации оно равня-

ется начальному). Таким образом, спрос на второй товар при условии

компенсации должен вырасти (т. е. (сЬсг/фОсотр > 0). второй тов^

взаимозаменяем первьш товаром.

4.4. Задачи автоматизации проектирования объектов,

оптимизации ресурсов и принятия решений

До начала выпуска любой продукции, создания или внедре-

ния в производство инноваций требуется осуществить их проек-

127

тирование, разработать структуру, техническое, математическое,

программное и другое обеспечение. Процесс проектирования

любого объекта с позиций содержания включает принятие ре-

шений и оформление документов, а с позиций формы

—

результаты проектирования, отображаемые в виде чертежей,

расчетов, конструкторско-технической документации, служащих

основой превращения проекта в будущую продукцию. Исполь-

зование ЭВМ в составе

систем автоматизированного

проектиро-

вания

(САПР) и

автоматизированных рабочих мест

(АРМ) ускоря-

ет и повышает качество исполнения проектно-конструкторских

работ и технической документации, а при наличии гибких про-

изводственных и информационных технологий обеспечивает бы-

стрый переход от идеи к проектированию изделий, технологиче-

ских процессов, организации и оптимизации производства и да-

лее к созданию объекта, опытного образца системы или макета

изделия. Однако сама по себе автоматизация не улучшает каче-

ства объектов проектирования, и если идея, принципы или ме-

тоды создания изделия не соответствуют мировым стандартам,

то выпуск документации на ЭВМ на такого рода изделия не

ул)^шит его качества и эффективности.

Оптимальное проектирование объектов. Под

объектом

проек-

тирования

могут пониматься как технические, строительные,

организационные и прочие объекты, так и разнообразные процессы

функционирования, включая конструкторско-технологические и

производственно-хозяйственные процессы, а также процессы

принятия решений.

Улучшение свойств и характеристик любого объекта проек-

тирования обычно обусловливается его удорожанием и ростом

затрат. Основой создания средств новой техники являются рас-

четы: технические (инженерные), обеспечивающие правильное

функционирование, прочность, надежность, качество и многие

другие свойства; экономические, определяющие стоимость, по-

требность в ресурсах и затраты; технико-экономические, соци-

альные и др., которые выполняются специалистами различного

профиля и отраслей деятельности (инженерами, экономистами,

финансистами, психологами, менеджерами, маркетологами и

др.) в разном числе вариантов, а затем передаются ЛПР для от-

бора наилучшего из рассмотренных по определенному критерию

с учетом ограничений и фаничных условий с целью принятия

им окончательного решения.

Однако нет гарантии, что принятое лучшее из предложенных

вариантов решение является оптимальным. В оптимизационных

128

задачах важным является не столько получение рещения, сколь-

ко проведение анализа решаемой задачи, включая параметриро-

вание, когда одна из заданных величин принимается перемен-

ной и задача решается для различных значений параметрируе-

мой величины с получением фафиков, таблиц, номофамм, ор-

ганично увязывающих технико-экономические параметры между

собой, что гарантирует успешный исход проектирования.

Известно, что любой объект проектирования характеризуется

структурой, определяющей его элементы, или звенья, и связи

между ними, призванной обеспечивать надежное функциониро-

вание и достижение целей, поставленных перед о&ьектом, и па-

раметрами, характеризующими эти элементы.

Структуру объекта проектирования можно отображать, напри-

мер,

фафовыми или сетевыми моделями; при этом: при непрерыв-

ных процессах функционирования объектов их элементы обьино

представляются вершинами фафа, а связи между звеньями

—

дугами фафа; при дискретных процессах функционирования объ-

ектов их элементы удобно представлять сетевыми моделями.

В целом методика оптимального проектирования объектов

включает этапы сбора исходных данных, составления математи-

ческой модели, решения задачи и ее анализа.

Сбор исходных данных

в задачах оптимального проектирова-

ния объектов связан с исходными данными, включающими:

а) назначение, структуру, парамефы объекта проектирования;

б) характеристики отдельных элементов или звеньев; в) зависи-

мость парамефов системы от парамефов звеньев.

Составление математической

модели, как известно, преду-

смафивает указание фех элементов —целевой функции; огра-

ничений; фаничных условий. Ограничения включают как зави-

симости парамефов объектов проектирования от парамефов

звеньев, так и зависимости между парамефами звеньев и пара-

мефами объекта. Граничные условия, так же как и целевая

функция, назначаются исходя из постановки задач оптимизации.

Так как в практических задачах фаничные условия всегда из-

вестны, а целевая функция назначается исходя из поставленной

задачи и тоже считается известной, то неизвестными обычно

выступают лишь офаничения, описывающие зависимости между

переменными в виде

g,{Xj)

и подразделяющиеся по своему

генезису на теоретические или статистические, устанавливае-

мые,

к примеру, путем эксперимента.

Обычно парамефы объекта проектирования исходя из физи-

ческого содержания и возможностей эксперимента подразделя-

129

ются на

факторы

отклики.

Так как в эксперименте каждому

фактору необходимо придавать различные значения, то при

планировании эксперимента определяют: я) число необходимых

экспериментов, обусловливаемое, как правило, необходимостью

нахождения функций отклика; б) значения, придаваемые тем

или иным факторам; в) степень сочетания и придания различ-

ным факторам различных значений.

Так как в задаче оптимизации для каждой переменной xj,

измеряемой в определенных натуральных единицах, должны

быть заданы граничные условия, то для универсальности описа-

ния в планировании эксперимента переходят к относительным

переменным у, в соответствии с выражением;

УJ

= {xJ-x}^)/{^XJ), (4.25)

где

X,"

{Oj

+ bj)/2 —центральное значение х, (т. е. значение х, в середи-

не интервала; Дху = (А,

—aj)/!

—половина интервала; й/а,) —верхнее

(нижнее) значение границы интервала.

Предположим, что параметр 100

200, при этом имеем:

jc/=(100 + 200)/2= 150;

Дху = (200-100)/2 = 50

и относительная переменная

уу

определяется так:

Уу

= (х,.-150)/50.

При условии, что

fly

(fly —значение на нижней фаНице),

у/

^ = [Ду

-(fly + Ау)/2]/(6у -fly)/2 = (fly -*y)/(fty -fly) =

-1.

При

= bj

уу^-

••

= I , a в центре интервала

уу"

= 0.

Таким образом, согласно (4.25) происходит переход от нату-

ральной переменной xj, принимающей значения в интервале

fly

<Xj

<bj,

к относительной переменной

уу,

принимающей значения

—1 < уу

< 1. Имеется и обратный переход:

Xj = xf + Axjfj.

С позиции значений, придаваемых каждому фактору, экспе-

рименты могут быть двух-, трех- и многоуровневыми. В двух-

уровневом эксперименте факторам последовательно придаются

два значения: уу = -1, уу = 1, и такой двухуровневый экспери-

мент можно проводить, если функция отклика представляет со-

бой линейную зависимость, трехуровневый эксперимент дает все

необходимые данные для получения функции отклика второго по-

130