Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями

Подождите немного. Документ загружается.

À. Ñ. ØÀÏÊÈÍ, Â. À. ØÀÏÊÈÍ

ÇÀÄÀ×È

ÏÎ ÂÛÑØÅÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ,

ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ,

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÅ,

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈÞ

Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

7-å èçäàíèå

Ðåêîìåíäîâàíî

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì

ïî îáðàçîâàíèþ â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ

ìåòîäîâ â ýêîíîìèêå â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ

äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,

îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè 061800

«Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå»

è äðóãèì ýêîíîìè÷åñêèì ñïåöèàëüíîñòÿì

Ìîñêâà, 2010

Èçäàòåëüñêî-òîðãîâàÿ êîðïîðàöèÿ «Äàøêîâ è Ê

ÓÄÊ 517(075.8)

ÁÁÊ 22.11

Ø23

ÐÅÖÅÍÇÅÍÒÛ:

Êàôåäðà âûñøåé ìàòåìàòèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî

îòêðûòîãî óíèâåðñèòåòà (çàâ. êàôåäðîé äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìà-

òè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Â. Ä. Êóëèåâ);

Á. À. Ëàãîøà — äîêòîð ýêîíîìè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð.

Øàïêèí À. Ñ.

Çàäà÷è ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, òåîðèè âåðîÿòíîñ-

òåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå, ìàòåìàòè÷åñêîìó

ïðîãðàììèðîâàíèþ ñ ðåøåíèÿìè: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /

À. Ñ. Øàïêèí, Â. À. Øàïêèí. — 7-å èçä. — Ì.: Èçäà-

òåëüñêî-òîðãîâàÿ êîðïîðàöèÿ «Äàøêîâ è Ê°», 2010. —

432 ñ.

ISBN 978-5-394-00885-6

Ìàòåðèàë îõâàòûâàåò âîïðîñû ïðîãðàììû êóðñà âûñøåé ìà-

òåìàòèêè: îáùèé êóðñ, òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòà-

òèñòèêà, ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå.

Ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ ðóêîâîäñòâîì ê ðåøåíèþ çàäà÷ ïî îñíîâàì

âûñøåé ìàòåìàòèêè è ñîäåðæèò çàäà÷è äëÿ êîíòðîëüíûõ ðàáîò.

Ïåðåä êàæäûì ïàðàãðàôîì äàí íåîáõîäèìûé ñïðàâî÷íûé ìà-

òåðèàë. Âñå çàäà÷è ïðèâîäÿòñÿ ñ ïîäðîáíûìè ðåøåíèÿìè. Â êîíöå

ðàçäåëîâ äàíû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷ êîíòðîëüíûõ ðàáîò. Îòäåëü-

íûå çàäà÷è èëëþñòðèðîâàíû ñîîòâåòñòâóþùèìè ðèñóíêàìè.

Äëÿ ñòóäåíòîâ èíæåíåðíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé

âóçîâ.

ISBN 978-5-394-00885-6 © À. Ñ. Øàïêèí, Â. À. Øàïêèí, 2005

Ø23

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Ïðåïîäàâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí äëÿ èíæåíåðíî-ýêî-

íîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ èìååò öåëü: îçíàêîìèòü ñòóäåí-

òîâ ñ îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, íåîáõîäèìîãî äëÿ ðå-

øåíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ èíæåíåðíî-ýêîíîìè÷åñêèõ

çàäà÷; ïðèâèòü óìåíèå ñàìîñòîÿòåëüíî èçó÷àòü ó÷åáíóþ ëèòåðà-

òóðó ïî ìàòåìàòèêå è åå ïðèëîæåíèÿì; ðàçâèòü ëîãè÷åñêîå ìûø-

ëåíèå è ïîâûñèòü îáùèé óðîâåíü ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû; âû-

ðàáîòàòü íàâûêè ìàòåìàòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ïðèêëàäíûõ

âîïðîñîâ è óìåíèå ïåðåâåñòè èíæåíåðíî-ýêîíîìè÷åñêóþ çàäà÷ó

íà ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê.

Âñå ýòî èìååò î÷åíü âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîñëåäóþùåé ïðàêòè-

÷åñêîé ðàáîòû èíæåíåðà-ýêîíîìèñòà è íåîáõîäèìî òàêæå äëÿ óñ-

ïåøíîãî èçó÷åíèÿ îáùåòåîðåòè÷åñêèõ è ñïåöèàëüíûõ äèñöèïëèí.

Ó÷åáíûìè ïëàíàìè èíæåíåðíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñ-

òåé âóçîâ ïðåäóñìîòðåíû ìàòåìàòè÷åñêèå äèñöèïëèíû:

1. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà.

2. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.

3. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå.

Îáúåì è ñîäåðæàíèå ýòèõ äèñöèïëèí îïðåäåëÿþòñÿ â ñîîòâåò-

ñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè Ãîñóäàðñòâåííûõ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ

ñòàíäàðòîâ íà îñíîâå ïðèìåðíîé ïðîãðàììû äèñöèïëèíû «Ìà-

òåìàòèêà», óòâåðæäåííîé â 2000 ã. Ãëàâíûì óïðàâëåíèåì îáðàçî-

âàòåëüíûõ ïðîãðàìì è ñòàíäàðòîâ âûñøåãî è ñðåäíåãî ïðîôåññè-

îíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé

Ôåäåðàöèè.

Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ î÷-

íîé è çàî÷íîé ôîðì îáó÷åíèÿ. Îíî ñîäåðæèò îáùèå ìåòîäè÷åñ-

êèå ðåêîìåíäàöèè ïî èçó÷åíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí, à òàê-

æå ïðîãðàììó, ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ è êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ ïî

ìàòåìàòèêå.

Â ó÷åáíûõ ïëàíàõ íåêîòîðûõ èç èíæåíåðíî-ýêîíîìè÷åñêèõ

ñïåöèàëüíîñòåé âñå ìàòåìàòè÷åñêèå äèñöèïëèíû îáúåäèíåíû ïîä

îáùèì íàçâàíèåì «Ìàòåìàòèêà» ñ ïîñëåäóþùèì óêàçàíèåì íà-

çâàíèé êîíêðåòíûõ äèñöèïëèí: à) îáùèé êóðñ, á) òåîðèÿ âåðîÿò-

íîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è ò.ï. Â ýòîì ñëó÷àå íàçâà-

íèå äèñöèïëèíû «Ìàòåìàòèêà (îáùèé êóðñ)» ñëåäóåò ñ÷èòàòü ðàâ-

íîñèëüíûì íàçâàíèþ «Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà», è ïðè èçó÷åíèè ýòîé

äèñöèïëèíû ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî íàñòîÿùåå ïîñîáèå.

ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÈÇÓ×ÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Â ÂÛÑØÅÌ Ó×ÅÁÍÎÌ ÇÀÂÅÄÅÍÈÈ

ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ-ÇÀÎ×ÍÈÊÀÌÈ

Îñíîâíîé ôîðìîé îáó÷åíèÿ ñòóäåíòà-çàî÷íèêà ÿâëÿåòñÿ ñàìî-

ñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà íàä ó÷åáíûì ìàòåðèàëîì; îíà ñêëàäûâàåòñÿ èç

÷òåíèÿ ó÷åáíèêîâ, ðåøåíèÿ çàäà÷, âûïîëíåíèÿ êîíòðîëüíûõ çàäà-

íèé. Â ïîìîùü çàî÷íèêàì èíñòèòóòû îðãàíèçóþò ÷òåíèå ëåêöèé è

ïðàêòè÷åñêèå çàíÿòèÿ. Êðîìå òîãî, ñòóäåíò ìîæåò îáðàùàòüñÿ ê

ïðåïîäàâàòåëþ ñ âîïðîñàìè â ïèñüìåííîì âèäå èëè óñòíî. Óêàçà-

íèÿ ñòóäåíòó ïî òåêóùåé ðàáîòå äàþòñÿ òàêæå â ïðîöåññå ðåöåíçè-

ðîâàíèÿ êîíòðîëüíûõ ðàáîò. Îäíàêî ñòóäåíò äîëæåí ïîìíèòü, ÷òî

òîëüêî ïðè ñèñòåìàòè÷åñêîé è óïîðíîé ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòå

ïîìîùü èíñòèòóòà áóäåò äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíîé.

Çàâåðøàþùèì ýòàïîì èçó÷åíèÿ êàæäîãî èç ìàòåìàòè÷åñêèõ

êóðñîâ (èëè îòäåëüíûõ ÷àñòåé êóðñà âûñøåé ìàòåìàòèêè) ÿâëÿåò-

ñÿ ñäà÷à çà÷åòîâ è ýêçàìåíîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ ó÷åáíûì ïëàíîì.

1. ×òåíèå ó÷åáíèêà

1. Èçó÷àÿ ìàòåðèàë ïî ó÷åáíèêó, ñëåäóåò ïåðåõîäèòü ê ñëåäó-

þùåìó âîïðîñó òîëüêî ïîñëå ïðàâèëüíîãî ïîíèìàíèÿ ïðåäûäó-

ùåãî, ïðîäåëûâàÿ íà áóìàãå âñå âû÷èñëåíèÿ (â òîì ÷èñëå è òå, êî-

òîðûå ïî èõ ïðîñòîòå îïóùåíû â ó÷åáíèêå), âîñïðîèçâîäÿ èìåþ-

ùèåñÿ â ó÷åáíèêå ÷åðòåæè.

2. Îñîáîå âíèìàíèå ñëåäóåò îáðàòèòü íà îïðåäåëåíèå îñíîâ-

íûõ ïîíÿòèé. Ñòóäåíò äîëæåí ïîäðîáíî ðàçîáðàòü ïðèìåðû, êî-

òîðûå ïîÿñíÿþò òàêèå îïðåäåëåíèÿ, è óìåòü ïðèâåñòè àíàëîãè÷-

íûå ïðèìåðû ñàìîñòîÿòåëüíî.

3. Íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî êàæäàÿ òåîðåìà ñîñòîèò èç ïðåä-

ïîëîæåíèé è óòâåðæäåíèÿ. Âñå ïðåäïîëîæåíèÿ äîëæíû îáÿçàòåëü-

íî èñïîëüçîâàòüñÿ â äîêàçàòåëüñòâå. Íóæíî äîáèâàòüñÿ òî÷íîãî

ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, â êàêîì ìåñòå äîêàçàòåëüñòâà èñïîëüçîâàíî

êàæäîå ïðåäïîëîæåíèå òåîðåìû. Ïîëåçíî ñîñòàâëÿòü ñõåìû äîêà-

çàòåëüñòâà ñëîæíûõ òåîðåì. Ïðàâèëüíîìó ïîíèìàíèþ ìíîãèõ

òåîðåì ïîìîãàåò ðàçáîð ïðèìåðîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ, îá-

ëàäàþùèõ è íå îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè, óêàçàííûìè â ïðåäïî-

ëîæåíèÿõ è óòâåðæäåíèÿõ òåîðåì.

4. Ïðè èçó÷åíèè ìàòåðèàëà ïî ó÷åáíèêó ïîëåçíî âåñòè êîíñ-

ïåêò, â êîòîðûé ðåêîìåíäóåòñÿ âûïèñûâàòü îïðåäåëåíèÿ, ôîðìó-

ëèðîâêè òåîðåì, ôîðìóëû, óðàâíåíèÿ è ò.ï. Íà ïîëÿõ êîíñïåêòà

ñëåäóåò îòìå÷àòü âîïðîñû, âûäåëåííûå äëÿ ïèñüìåííîé èëè óñò-

íîé êîíñóëüòàöèè ñ ïðåïîäàâàòåëåì.

5. Ïèñüìåííîå îôîðìëåíèå ðàáîòû ñòóäåíòà èìååò èñêëþ÷èòåëü-

íî âàæíîå çíà÷åíèå. Çàïèñè â êîíñïåêòå äîëæíû áûòü ñäåëàíû àê-

êóðàòíî. Õîðîøåå âíåøíåå îôîðìëåíèå êîíñïåêòà ïî èçó÷åííîìó

ìàòåðèàëó íå òîëüêî ïðèó÷èò ñòóäåíòà ê íåîáõîäèìîìó â ðàáîòå

ïîðÿäêó, íî è ïîçâîëèò åìó èçáåæàòü ìíîãî÷èñëåííûõ îøèáîê,

êîòîðûå ïðîèñõîäÿò èç-çà íåáðåæíûõ, áåñïîðÿäî÷íûõ çàïèñåé.

6. Âûâîäû, ïîëó÷åííûå â âèäå ôîðìóë, ðåêîìåíäóåòñÿ â êîíñ-

ïåêòå ïîä÷åðêèâàòü èëè îáâîäèòü ðàìêîé, ÷òîáû ïðè ïåðå÷èòûâà-

íèè êîíñïåêòà îíè âûäåëÿëèñü è ëó÷øå çàïîìèíàëèñü. Îïûò ïîêà-

çûâàåò, ÷òî ìíîãèì ñòóäåíòàì ïîìîãàåò â ðàáîòå ñîñòàâëåíèå ëèñ-

òà, ñîäåðæàùåãî âàæíåéøèå è íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûå

ôîðìóëû êóðñà. Òàêîé ëèñò íå òîëüêî ïîìîãàåò çàïîìíèòü ôîðìó-

ëû, íî è ìîæåò ñëóæèòü ïîñòîÿííûì ñïðàâî÷íèêîì äëÿ ñòóäåíòà.

2. Ðåøåíèå çàäà÷

1. ×òåíèå ó÷åáíèêà äîëæíî ñîïðîâîæäàòüñÿ ðåøåíèåì çàäà÷,

äëÿ ÷åãî ðåêîìåíäóåòñÿ çàâåñòè ñïåöèàëüíóþ òåòðàäü.

2. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íóæíî îáîñíîâûâàòü êàæäûé ýòàï ðå-

øåíèÿ, èñõîäÿ èç òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé êóðñà. Åñëè ñòóäåíò

âèäèò íåñêîëüêî ïóòåé ðåøåíèÿ çàäà÷è, òî îí äîëæåí ñðàâíèòü èõ

è âûáðàòü èç íèõ ñàìûé óäîáíûé. Ïîëåçíî äî íà÷àëà âû÷èñëåíèé

ñîñòàâèòü êðàòêèé ïëàí ðåøåíèÿ.

3. Ðåøåíèÿ çàäà÷ è ïðèìåðîâ ñëåäóåò çàïèñûâàòü ïîäðîáíî,

âû÷èñëåíèÿ äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ â ñòðîãîì ïîðÿäêå, ïðè ýòîì

ðåêîìåíäóåòñÿ îòäåëÿòü âñïîìîãàòåëüíûå âû÷èñëåíèÿ îò îñíîâ-

íûõ. Îøèáî÷íûå çàïèñè ñëåäóåò íå ñòèðàòü è çàìàçûâàòü, à çà-

÷åðêèâàòü. ×åðòåæè ìîæíî âûïîëíÿòü îò ðóêè, íî àêêóðàòíî è â

ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûìè óñëîâèÿìè. Åñëè ÷åðòåæ òðåáóåò îñîáî

òùàòåëüíîãî âûïîëíåíèÿ, íàïðèìåð ïðè ãðàôè÷åñêîé ïðîâåðêå

ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî ïóòåì âû÷èñëåíèé, òî ñëåäóåò ïîëüçîâàòü-

ñÿ ëèíåéêîé, òðàíñïîðòèðîì, ëåêàëîì è óêàçûâàòü ìàñøòàá.

4. Ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è äîëæíî äîâîäèòüñÿ äî îêîí÷àòåëü-

íîãî îòâåòà, êîòîðîãî òðåáóåò óñëîâèå, è ïî âîçìîæíîñòè â îá-

ùåì âèäå ñ âûâîäîì ôîðìóëû. Çàòåì â ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó ïîä-

ñòàâëÿþò ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ (åñëè òàêîâûå äàíû) âõîäÿùèõ â íåå

âåëè÷èí. Â ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ íå ñëåäóåò ââîäèòü ïðè-

áëèæåííûå çíà÷åíèÿ êîðíåé, ÷èñëà π è ò.ä.

5. Ïîëó÷åííûé îòâåò ñëåäóåò ïðîâåðÿòü ñïîñîáàìè, âûòåêàþ-

ùèìè èç ñóùåñòâà äàííîé çàäà÷è. Åñëè, íàïðèìåð, ðåøàëàñü çà-

äà÷à ñ êîíêðåòíûì ôèçè÷åñêèì èëè ãåîìåòðè÷åñêèì ñîäåðæàíè-

åì, òî ïîëåçíî ïðåæäå âñåãî ïðîâåðèòü ðàçìåðíîñòü ïîëó÷åííîãî

îòâåòà. Ïîëåçíî òàêæå, åñëè âîçìîæíî, ðåøèòü çàäà÷ó íåñêîëüêè-

ìè ñïîñîáàìè è ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû.

6. Ðåøåíèå çàäà÷ îïðåäåëåííîãî òèïà íóæíî ïðîäîëæàòü äî

ïðèîáðåòåíèÿ òâåðäûõ íàâûêîâ â èõ ðåøåíèè.

3. Ñàìîïðîâåðêà

1. Ïîñëå èçó÷åíèÿ îïðåäåëåííîé òåìû ïî ó÷åáíèêó è ðåøåíèÿ

äîñòàòî÷íîãî êîëè÷åñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ ñòóäåíòó ðåêî-

ìåíäóåòñÿ âîñïðîèçâåñòè ïî ïàìÿòè îïðåäåëåíèÿ, âûâîäû ôîðìóë,

ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì, ïðîâåðÿÿ ñåáÿ êàæäûé ðàç

ïî ó÷åáíèêó. Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè, ïðèâåäåííûå â íàñòîÿ-

ùåì ïîñîáèè, äîëæíû ïîìî÷ü ñòóäåíòó â òàêîì ïîâòîðåíèè, çàê-

ðåïëåíèè è ïðîâåðêå ïðî÷íîñòè óñâîåíèÿ èçó÷åííîãî ìàòåðèàëà.

Â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè íàäî åùå ðàç âíèìàòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ â

ìàòåðèàëå ó÷åáíèêà, ïîðåøàòü çàäà÷è.

2. Èíîãäà íåäîñòàòî÷íîñòü óñâîåíèÿ òîãî èëè èíîãî âîïðîñà

âûÿñíÿåòñÿ òîëüêî ïðè èçó÷åíèè äàëüíåéøåãî ìàòåðèàëà. Â ýòîì

ñëó÷àå íàäî âåðíóòüñÿ íàçàä è ïîâòîðèòü ïëîõî óñâîåííûé ðàçäåë.

3. Âàæíûì êðèòåðèåì óñâîåíèÿ òåîðèè ÿâëÿåòñÿ óìåíèå ðåøàòü

çàäà÷è íà ïðîéäåííûé ìàòåðèàë. Îäíàêî çäåñü ñëåäóåò ïðåäîñòå-

ðå÷ü ñòóäåíòà îò âåñüìà ðàñïðîñòðàíåííîé îøèáêè, çàêëþ÷àþùåé-

ñÿ â òîì, ÷òî áëàãîïîëó÷íîå ðåøåíèå çàäà÷ âîñïðèíèìàåòñÿ èì

êàê ïðèçíàê óñâîåíèÿ òåîðèè. ×àñòî ïðàâèëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è

ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêè çàó÷åííûõ ôîðì,

áåç ïîíèìàíèÿ ñóùåñòâà äåëà. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî óìåíèå ðåøàòü

çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, íî íåäîñòàòî÷íûì óñëîâèåì õîðî-

øåãî çíàíèÿ òåîðèè.

4. Êîíñóëüòàöèè

1. Åñëè â ïðîöåññå ðàáîòû íàä èçó÷åíèåì òåîðåòè÷åñêîãî ìà-

òåðèàëà èëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ó ñòóäåíòà âîçíèêàþò âîïðîñû,

ðàçðåøèòü êîòîðûå ñàìîñòîÿòåëüíî íå óäàåòñÿ (íåÿñíîñòü òåðìè-

íîâ, ôîðìóëèðîâîê òåîðåì, îòäåëüíûõ çàäà÷ è äð.), îí ìîæåò îá-

ðàòèòüñÿ ê ïðåïîäàâàòåëþ äëÿ ïîëó÷åíèÿ îò íåãî óêàçàíèé â âèäå

ïèñüìåííîé èëè óñòíîé êîíñóëüòàöèé.

2. Â ñâîèõ çàïðîñàõ ñòóäåíò äîëæåí òî÷íî óêàçàòü, â ÷åì îí

èñïûòûâàåò çàòðóäíåíèå. Åñëè îí íå ðàçîáðàëñÿ â òåîðåòè÷åñêèõ

îáúÿñíåíèÿõ, èëè â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû, èëè â âûâîäå ôîðìó-

ëû ïî ó÷åáíèêó, òî íóæíî óêàçàòü, êàêîé ýòî ó÷åáíèê, ãîä åãî èç-

äàíèÿ è ñòðàíèöó, ãäå ðàññìîòðåí çàòðóäíÿþùèé åãî âîïðîñ, è

÷òî èìåííî åãî çàòðóäíÿåò. Åñëè ñòóäåíò èñïûòûâàåò çàòðóäíå-

íèå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è, òî ñëåäóåò óêàçàòü õàðàêòåð ýòîãî çàò-

ðóäíåíèÿ, ïðèâåñòè ïðåäïîëàãàåìûé ïëàí ðåøåíèÿ.

3. Çà êîíñóëüòàöèåé ñëåäóåò îáðàùàòüñÿ è â ñëó÷àå, åñëè âîç-

íèêíóò ñîìíåíèÿ â ïðàâèëüíîñòè îòâåòîâ íà âîïðîñû äëÿ ñàìî-

ïðîâåðêè.

5. Êîíòðîëüíûå ðàáîòû

1. Â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ êóðñîâ ñòóäåíò äîë-

æåí âûïîëíèòü ðÿä êîíòðîëüíûõ ðàáîò, ãëàâíàÿ öåëü êîòîðûõ 

îêàçàòü ñòóäåíòó ïîìîùü â åãî ðàáîòå. Ðåöåíçèè íà ýòè ðàáîòû

ïîçâîëÿþò ñòóäåíòó ñóäèòü î ñòåïåíè óñâîåíèÿ èì ñîîòâåòñòâóþ-

ùåãî ðàçäåëà êóðñà, óêàçûâàþò íà èìåþùèåñÿ ó íåãî ïðîáåëû, íà

æåëàòåëüíîå íàïðàâëåíèå äàëüíåéøåé ðàáîòû, ïîìîãàþò ñôîðìó-

ëèðîâàòü âîïðîñû äëÿ êîíñóëüòàöèè ñ ïðåïîäàâàòåëåì (ïèñüìåí-

íîé èëè óñòíîé).

2. Íå ñëåäóåò ïðèñòóïàòü ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîãî çàäà-

íèÿ äî ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íîãî êîëè÷åñòâà çàäà÷ ïî ìàòåðèàëó, ñî-

îòâåòñòâóþùåìó ýòîìó çàäàíèþ. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷àùå âñå-

ãî íåóìåíèå ðåøèòü òó èëè èíóþ çàäà÷ó êîíòðîëüíîãî çàäàíèÿ

âûçûâàåòñÿ òåì, ÷òî ñòóäåíò íå âûïîëíèë ýòî òðåáîâàíèå.

3. Êîíòðîëüíûå ðàáîòû äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñàìîñòîÿòåëü-

íî. Íå ñàìîñòîÿòåëüíî âûïîëíåííàÿ ðàáîòà íå äàåò âîçìîæíîñòè

ïðåïîäàâàòåëþ-ðåöåíçåíòó óêàçàòü ñòóäåíòó íà íåäîñòàòêè â åãî

ðàáîòå, â óñâîåíèè èì ó÷åáíîãî ìàòåðèàëà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñòó-

äåíò íå ïðèîáðåòàåò íåîáõîäèìûõ çíàíèé è ìîæåò îêàçàòüñÿ íå

ïîäãîòîâëåííûì ê óñòíîìó ýêçàìåíó è çà÷åòó.

4. Íå ðåêîìåíäóåòñÿ ïðèñûëàòü â èíñòèòóò îäíîâðåìåííî íå-

ñêîëüêî êîíòðîëüíûõ çàäàíèé, ýòî íå äàåò âîçìîæíîñòè ðåöåí-

çåíòó ñâîåâðåìåííî óêàçàòü ñòóäåíòó íà äîïóñêàåìûå èì îøèáêè

è óäëèíÿåò ñðîê ðåöåíçèðîâàíèÿ ðàáîòû.

5. Ïðîðåöåíçèðîâàííûå êîíòðîëüíûå ðàáîòû âìåñòå ñî âñåìè

èñïðàâëåíèÿìè è äîïîëíåíèÿìè, ñäåëàííûìè ïî òðåáîâàíèþ ðå-

öåíçåíòà, ñëåäóåò ñîõðàíÿòü. Áåç ïðåäúÿâëåíèÿ ïðåïîäàâàòåëþ

ïðîðåöåíçèðîâàííûõ êîíòðîëüíûõ ðàáîò ñòóäåíò íå äîïóñêàåòñÿ

ê ñäà÷å çà÷åòà èëè ýêçàìåíà.

6. Ðàñïðåäåëåíèå êîíòðîëüíûõ ðàáîò ïî ñåìåñòðàì óñòàíàâ-

ëèâàåòñÿ êàæäûì èíñòèòóòîì äëÿ ñâîèõ ñòóäåíòîâ â ñîîòâåòñòâèè

ñ ðàñïðåäåëåíèåì ïî ñåìåñòðàì ìàòåðèàëà è ñîîáùàåòñÿ ñòóäåí-

òàì äîïîëíèòåëüíî.

6. Ëåêöèè è ïðàêòè÷åñêèå çàíÿòèÿ

Âî âðåìÿ ýêçàìåíàöèîííî-ëàáîðàòîðíûõ ñåññèé äëÿ ñòóäåíòîâ-

çàî÷íèêîâ îðãàíèçóþòñÿ ëåêöèè è ïðàêòè÷åñêèå çàíÿòèÿ. Îíè íî-

ñÿò ïî ïðåèìóùåñòâó îáçîðíûé õàðàêòåð. Èõ öåëü  îáðàòèòü

âíèìàíèå íà îáùóþ ñõåìó ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçäåëà

êóðñà, ïîä÷åðêíóòü âàæíåéøèå ôàêòû, óêàçàòü ãëàâíûå ïðàêòè-

÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ, ôàêòû èç èñòîðèè íàóêè. Êðîìå òîãî, íà ýòèõ

çàíÿòèÿõ ìîãóò áûòü áîëåå ïîäðîáíî ðàçîáðàíû îòäåëüíûå âîï-

ðîñû êóðñà (íàïðèìåð, ìåòîäû ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé è äð.);

ìîãóò áûòü òàêæå ðàññìîòðåíû îòäåëüíûå âîïðîñû ïðîãðàììû,

îòñóòñòâóþùèå èëè íåäîñòàòî÷íî ïîëíî îñâåùåííûå â ðåêîìåí-

äóåìûõ ïîñîáèÿõ.

Äëÿ ñòóäåíòîâ, èìåþùèõ âîçìîæíîñòü çàíèìàòüñÿ â ãðóïïàõ

íà ó÷åáíî-êîíñóëüòàöèîííûõ ïóíêòàõ, ëåêöèè è ïðàêòè÷åñêèå

çàíÿòèÿ ïðîâîäÿòñÿ â òå÷åíèå âñåãî ó÷åáíîãî ãîäà. Ýòè ëåêöèè è

ïðàêòè÷åñêèå çàíÿòèÿ íîñÿò áîëåå ñèñòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð, îä-

íàêî è îíè ïðèçâàíû îêàçàòü òîëüêî ïîìîùü ñòóäåíòó â åãî ñàìî-

ñòîÿòåëüíîé ðàáîòå.

7. Çà÷åò è ýêçàìåí

Íà ýêçàìåíàõ è çà÷åòàõ âûÿñíÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî óñâîåíèå âñåõ

òåîðåòè÷åñêèõ è ïðèêëàäíûõ âîïðîñîâ ïðîãðàììû è óìåíèå ïðè-

ìåíÿòü ïîëó÷åííûå çíàíèÿ ê ðåøåíèþ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Îïðå-

äåëåíèÿ, òåîðåìû, ïðàâèëà äîëæíû ôîðìóëèðîâàòüñÿ òî÷íî è ñ

ïîíèìàíèåì ñóùåñòâà äåëà; çàäà÷è â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ äîëæ-

íû ðåøàòüñÿ áåç îøèáîê è óâåðåííî; âñÿêàÿ ïèñüìåííàÿ è ãðàôè-

÷åñêàÿ ðàáîòà äîëæíà áûòü àêêóðàòíîé è ÷åòêîé. Òîëüêî ïðè âû-

ïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé çíàíèÿ ìîãóò áûòü ïðèçíàíû óäîâëåòâî-

ðÿþùèìè òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ïðîãðàììîé.

Ïðè ïîäãîòîâêå ê ýêçàìåíó ó÷åáíûé ìàòåðèàë ðåêîìåíäóåòñÿ

ïîâòîðÿòü ïî ó÷åáíèêó è êîíñïåêòó.

ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ ÊÓÐÑÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Ðàçäåë I. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß,

ÂÅÊÒÎÐÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ, ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ

Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè

1. Ïðÿìîóãîëüíûå è ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íà ïëîñêîñòè; îñ-

íîâíûå çàäà÷è. Ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò.

2. Óðàâíåíèå ëèíèè íà ïëîñêîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíå-

íèÿ ëèíèè; óðàâíåíèÿ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïðèìåðû.

3. Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, îñíîâíûå çàäà÷è.

4. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà; èõ îñ-

íîâíûå ñâîéñòâà.

Îïðåäåëèòåëè è ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

5. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ. Ðåøåíèå ñèñ-

òåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ è òðåìÿ íåèçâåñòíûìè.

Âåêòîðíàÿ àëãåáðà

6. Âåêòîðû íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ñëîæåíèå è âû÷è-

òàíèå âåêòîðîâ. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ñêàëÿð. Ïðîåêöèè âåêòî-

ðà íà îñü. Ñèñòåìà äåêàðòîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò â ïðî-

ñòðàíñòâå. Ïðîåêöèè âåêòîðà íà îñè êîîðäèíàò. Íàïðàâëÿþùèå

êîñèíóñû âåêòîðà. Äëèíà è êîîðäèíàòû âåêòîðà. Äåéñòâèÿ íàä

âåêòîðàìè, çàäàííûìè ñâîèìè êîîðäèíàòàìè.

7. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ è åãî ñâîéñòâà; âåê-

òîðíîå ïðîèçâåäåíèå; ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ.

Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ â ïðîñòðàíñòâå

8. Ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû; îñíîâíûå çàäà÷è.

9. Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.

Óðàâíåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ëèíèé.

10. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè è óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå;

îñíîâíûå çàäà÷è.

11. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.

Ýëåìåíòû ëèíåéíîé àëãåáðû

12. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì Ãàóññà.

13. Îïðåäåëèòåëè n-ãî ïîðÿäêà è èõ ñâîéñòâà. Ðåøåíèå ñèñòåì

ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà.

14. Ìàòðèöû. Ñëîæåíèå ìàòðèö; óìíîæåíèå ìàòðèöû íà

÷èñëî; ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö. Åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Îáðàòíàÿ ìàò-

ðèöà.

15. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû êâàäðàòíîé

ìàòðèöû.

16. Âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è íåçàâè-

ñèìîñòü ñèñòåì âåêòîðîâ. Áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.

17. Ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå. Ìàòðèöà ëèíåéíîãî ïðåîáðà-

çîâàíèÿ.

18. Òåîðåìà Êðîíåêêåðà  Êàïåëëè è åå ïðèëîæåíèå ê èññëå-

äîâàíèþ è ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

19. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû; ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå êâàä-

ðàòè÷íûå ôîðìû. Ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê äèàãîíàëü-

íîìó âèäó. Ïðèìåíåíèå ìàòðèö ê óïðîùåíèþ óðàâíåíèé êðèâûõ

âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè.

ÐÀÇÄÅË II. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ

Ôóíêöèè, ïðåäåë, íåïðåðûâíîñòü

20. Ïåðåìåííûå è ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. Ôóíêöèè; îáëàñòü

îïðåäåëåíèÿ; ñïîñîáû çàäàíèÿ. Ãðàôèê ôóíêöèè è åãî ïîñòðîå-

íèå; ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêîâ. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.

21. Ïðåäåë; îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåäåëîâ. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è

áåñêîíå÷íî áîëüøèå. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ïðå-

äåëà äëÿ ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ìîíîòîííîé ôóíêöèè.

22. Ïðåäåëû

xsin

)1(

ïðè x → 0. ×èñëî å; íàòóðàëüíûå

ëîãàðèôìû.

23. Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ; ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî

ìàëûå.

24. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå è íà èíòåðâàëå; äåéñòâèÿ

íàä íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè. Ôîðìóëèðîâêà îñíîâíûõ ñâîéñòâ

ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà çàìêíóòîì èíòåðâàëå. Òî÷êè ðàçðûâà

ôóíêöèè.