Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

опять сохранится лишь первый член ряда, соответствующий

значению v = 0:

n!Q*ntnn

( R2 '

n'.QcH Г R2 )

°~ ЛпЬк <Рп 4 Kt

\ )

Anbk Фп 4 к t

V у

(10.52)

Следовательно, понижение давления на оси окружной галереи

радиуса R оказывается таким же, как если бы на расстоянии R от

оси галереи действовал параллельный оси прямолинейный сток (в

условиях плоской задачи — точечный сток на плоскости) с таким

же переменным дебитом, как и дебит галереи. Аналогичный

результат был получен в главе 7 для случая постоянного дебита.

При достаточно больших значениях времени t (точнее говоря,

R2 г2

при малых значениях величин - —- и -—-) в формуле (10.50)

4 КГ 4КГ

можно ограничиться только одним первым членом, и тогда она

совпадет с формулой (10.52). Это означает, что при достаточно

больших значениях времени понижение давления во всех точках

внутренней области окружной галереи будет практически одина

ковым, т.е. понижение давления на оси галереи будет приблизи

тельно таким же, как и на стенке галереи. Следовательно,

пьезометрическую поверхность во всей внутренней области, огра

ниченной галереей, приближенно можно считать (начиная с

достаточно большого значения t) горизонтальной плоскостью, и

эта плоскость при дальнейшем течении времени будет снижаться,

оставаясь параллельной самой себе.

Рассмотрим частные случаи, соответствующие различным зна

чениям числа п в выведенных выше формулах.

I частный случай. Пусть п = 0, т.е. считаем дебит окружной

галереи постоянным: Qc-Q <$ = const — см. равенство (10.33). Тогда

по формулам (10.49)—(10.52) получим:

4 к t

^ R2

/ 2 \

Г г

+ 4к*ф-‘

4 к t

{ R2]

( 2 ^

4 Kt

\ J

ф -2

4 к t

V У

+...

А/М лО = Т^Тг1 Фо

АпЬк

+ 4

4 к t

Ф-2

>2\

4 к t

[ &Р E(r,t )]л=о = '

Л2' г2

' R2)

4к t

+ , Ф -1

4 Kf 1 4к

< )

к..},

(10.54)

бой

( 2 4

r L

4л:Ьк

4 Kt

(10.55)

, б ой

[АР/(г,0]^о = 7 ^ Ф о

4к*

(10^56)

Подставим в формулы (10.53)-( 10.56) значения СКИП-функций

Фо> Ф-i» Ф-2 из равенств (П. 361), (П. 364), (П. 365):

-Ei

/ о ^

Т1

4к/

v у

j?2 i (r 2^

4кt+ 4

4кt

\ У

ДPi(r,t) =

бей

4nftifc

-£i

4Kf

г 2 1

-— + -

4к£ 4 4к*

V У

2^ _ 1 Л

4к*

к..

е 4к4

[ Ар E(r,t ) 1Л = 0 —

[Api(r,t)]r=0 =

бей

4nbk

Qc й

4nbk

-Ei

4 Kt

4 к t

(10.57)

(10.58)

(10.59)

(10.60)

Как и следовало ожидать, две последние формулы совпали с

формулами (7.51) и (7.52). При достаточно большом значении t

. R2

(точнее говоря, при достаточно малых значениях величин - —-

4 к г

г 2

и - —-) в правой части формулы (10.57) можно ограничиться

к г

только первым слагаемым, и она тогда совпадет с формулой (10.59).

Т.е. при достаточно большом значении времени t понижение давления

снаружи окружной галереи оказывается приблизительно таким же,

как если бы вместо галереи был с тем же дебитом прямолинейный

сток на оси галереи.

II частный случай. Пусть п * 1, т.е. дебит окружной галереи

пропорционален времени: Qc-Q — см. равенство (10.33). Тогда

по формулам (10.49)—(10.52) получим:

QU4

4пЬк

( r2 ]

Г г2 ]

Гл2"

f 2 >

4>I

4 Kf

\ j

+ 4к*фо 4 к t

V У

+ 4 4 Kf

^ J

Ф-1

4 Kf

\ У

+ ...

(10.61)

АРМ) =

QV4

4кЬк

f * 2 ]

r 2

f^2l

f"2]

<pl

4 к /

v )

+ 4k^° 4 к/

v У

+ 4

4 Kt

\ J

Ф-1

4 к/

V У

+...

Q\tM

[ Ар E(r,t)lR = o = 4 llb k <P \

Q\t\i

/ 2

r L

4 K t

(10.62)

(10.63)

(10.64)

Подставим в формулы (10.61) и (10.62) значения СКИП-функций

I рода из соотношений (П. 361), (П. 362), (П. 364), (П. 365):

Ap d r, t) =

Q c ti f

4nbk [

1 +

гЧ Л 2^

4 Kt

-Ei

4k t

4 к t

■ H

(10.65)

' r2 + R2)

l+^ r

4 k t

2 \2

4 4k t

e 4k*

III частный случай. Пусть п = 2, т.е. дебит окружной галереи

пропорционален квадрату времени: Qc = Qit2 — см- равенство

(10.33). Тогда по формулам (10.49) и (10.50) получим:

Qit2»

. 2

+ -

4 4 Kf

A pr(r,t)-

+ 4

4 к*

4к t

Ф1

4к t

(10.67)

2nbk

Ф 2

/ 2 >

f ^ 1

4 Kf

\ J

Ф 0

4 Kf

\ /

4к f

/ 2 ^

Ф1

Г R2]

4 Kf

V >

4k f

Ч У

(10.68)

Как известно, при использовании преобразования Лапласа малым

значениям времени f соответствуют большие значения параметра

преобразования s. Но в формулах (10.43), (10.44) большим значе

ниям параметра s соответствуют большие значения аргументов

функций /0 и Kq. Воспользуемся асимптотическими разложениями

функций /0 и Kq, которые определяются формулами (П. 145) и

(П. 147). Сохранив в этих разложениях только первые члены,

получим:

г (л ^ ( л е^** Vrc~e "г 1 л/— 1 -<r-R)4^

/0Y4kR *о VKr h-7

------

7 7 = - 7

------

Ts-----2 * rR17e

' ' '

V2rt V

V2ic VKr

(10.69)

Подставим (10.69) в (10.43):

лр » !6пЦ-/4~ 1 _

£ 4пЬк *rR s<n + 1^* ’

(10.70)

Учитывая (9.26), подвергаем (10.70) обратному преобразованию

Лапласа:

Ар F(r t) 22П ift* j2”*1 jrfc Г~^ г>Д

P£(r,f) Vr/?I ^ 2Vk7’ (10.71)

Чтобы получить понижение давления в любой точке внутри

окружной галереи (цилиндрического стока) при малых значениях

времени, достаточно в последней формуле поменять местами

величины г и R:

(10.72)

Заметим, что при выводе формулы (10.72) было использовано

асимптотическое разложение функции /0 f V R входящей в

равенство (10.44). Как уже подчеркивалось, это разложение

справедливо только при достаточно большом значении величины

аргумента Vic г 1 функции /0. Поэтому в формуле (10.72)

недопустима полагать г = 0; эта формула будет при заданном

значении t иметь тем меньшую погрешность, чем больше г, т.е.

чем меньше величина г отличается от R> Правильнее, конечно,

оценивать погрешность формулы (10.72), как и (10.71) и им

подобных, не по отдельно взятым величинам г и /, а по безразмерной

величине параметра Фурье в совокупности с величиной отношения

r/Л, что будет пояснено в последующих главах (особенно в § 4

главы 16).

Если в формулах (10.71), (10.72) положить г = R, т.е. рассмот

реть понижение давления на стенке самой окружной галереи

(цилиндрического стока), то, учитывая значение функции

i7n + x erfc, когда ее аргумент равен нулю — см. первое соотношение

(П. 36), получаем:

п f Ottn и /к*

ApE(R,t) = ApI(R,t)

-------------

----

2п + 1 л ^ '

4пЬкГ

1+:

(10.73)

Рассмотрим частный случай, когда п = 0, т.е. когда дебит

окружной галереи постоянен — см. соотношение (10.33); тогда из

формул (10.71)-(10.73) получим:

a t *\ б о й ч /icf . , R-r

Ар i(r,t)~ * 77J 1 erf° 2^к7 ’ r*R' (Ю.75)

Ар£(Л,0 = Ар/(Л,0~

Сой

4лЬА:Г

(10.76)

С?дЦ ЛсГ

27iJnblc •

\ У

Если при выводе асимптотических представлений (10.71) и

(10.72) сохранить члены более высокого порядка малости, то, как

это было показано в статье [748], итоговые формулы получаются

более точными, хотя и несколько более сложными. Для рассмат

риваемого частного случая, когда дебит окружной галереи посто

янен, вместо (10.74)—(10.76) получаются такие асимптотические

представления, справедливые при малых значениях времени и для

точек пласта, достаточно близких к галерее:

Формулы (10.74)-( 10.76) по внешнему виду очень лохожи на

равенство (9.21) и на выведенные в предыдущих главах формулы

для понижения давления в окрестности плоского стока, т.е. в

окрестности прямолинейной галереи. Действительно, положим, что

(10.74а)

(10.75а)

Ар E(R,t) = Ap fiR j)-

10.76а)

где 2 о — суммарная площадь стенок окружной галереи с двух сто

рон. Тогда, например, формулу (10.76) можно будет переписать так:

= Ш . (10J8)

В таком виде формула (10.78) полностью совпадает с формулой

(4.13), если принять в ней ^ = 0 и учесть, что i erfc 0 -

Vtc

Поэтому можно утверждать, что при достаточно малых значе

ниях времени давление в ближайшей окрестности окружной галереи

распределяется и перераспределяется так же, как в окрестности

прямолинейной галереи.

Перейдем к вычислению расходов жидкости Q Е ( г, t) и

Q i(nt) соответственно через окружные сечения пласта снаружи

и внутри окружной галереи и ей концентричные. Учитывая

направления потоков жидкости, получаем:

„ , , ч_ к~ . dApE(r,t)

Qeint)- ^2пгЬ дг ■ (10.79)

п п ,х к~пгЬдАр/(г’г) (10'80)

Qi(r,t) = -2nrb г-------.

|Х О Г

Подвергнем эти равенства преобразованиям Лапласа:

L[QE(r,t)]SQE(r,s) = -^2nrb — РЭ7^’Д ), (1081)

L[Qi(r,t)]sQr(r,s ) = — 2пгЬ ^ , (ю.82)

где б £ и QI — изображения величин QE и Qi\ все остальные обоз

начения пояснялись ранее.

Продифференцируем по г равенства (10.43) и (10.44) и учтем

формулы (П. 165) и (П. 166); тогда предыдущие равенства примут

вид:

° е~ !Ч !г R )K ' [ ^ r\

(10.83)

(10.84)

Подставим в (10.83) выражение функции /0 из формулы (10.45):

В .- '- ф Ъ

VK v =0

Г*а> 1 1

.(v!)2

^4kJ $*-v+V4

A'l^Vl'r j.

(10.85)

Воспользуемся известной формулой обратного преобразования

Лапласа — см., например, № 33, стр. 485 [350], № 117, стр. 590

[427], № 9.115, стр. 224 [259], № 3.56, стр. 66 [26U:

(10.86)

Эту формулу можем переписать так:

1А .-h

(10.87)

Выполним в последнем равенстве умножение изображения на

s”2 и соответствующее m-кратное дифференцирование оригинала;

затем выполним деление изображения на ^ и соответствующее

m-кратное интегрирование оригинала:

1 dm + l -fj

a dt

т +1

m = 0,1,2,...

т- 1 ei

(10.88)

(10.89)

В формулу (10.85) будут входить при различных значениях v

произведения, которые удобнее записывать так:

n-v + lA^

= £ H + v-(n + 1) jjr

при V > n + 1 .

S„ 1 ^ViTrj=s1/4 (n + 1 v)a: 1 ^л/к”г J npHV<n + l.

(10.91)

Учитывая соотношения (10.88)-(10.91) и полагая д =

вергаем равенство (10.85) обратному преобразованию Лапласа:

В формулах (10.92) и (10.93) суммирование проводится от

v = 0 до v - оо. Поэтому в этих формулах при любом значении п

могут быть слагаемые, в которых v < п и слагаемые, в которых

v > п. Часть слагаемых, для которых v < л, надо подсчитывать по

формуле (10.92), а остальные слагаемые, для которых v>n,

подсчитывать по формуле (10.93).

Удобнее воспользоваться СКИП-функциями II рода у, опреде

ленными в § 11 Приложения и удовлетворяющими таким соотно

шениям:

QE(r,t)=n\Q;'Z

(v ! )\ 4к j dtv~n

при V > п ,

(10.92)

при V < п .

(10.93)

QE(r,t)=n\Q*ntnY.

v = 0

(R2 V

f Г2 11

.(v!)2

lAKt)\

(10.96)

Если в формуле (10.96) положить R = 0, то обращаются в

нули все члены ряда, кроме первого, соответствующего значению

v = 0. Поэтому в рассматриваемом частном случае формула (10.96)

упрощается и совпадает, как и следовало ожидать, с формулой

(9.82) для прямолинейного стока в пространстве.

Воспользуемся разложением в ряд функции 1Х — см. равенство

(П. 135а):

‘ Подставим (10.97) в (10.84):

оо

v = 0

fl r 1

2 v + 1 1

_(v !) (v + 1 )! 27k

\ J

sn~v

k 0( ^ r \

V (10.98)

Воспользуемся формулой (9,63) и соотношением (П. 411):

-1

= 1J'

7 J

-Ei

4 к t

т = 0,1,2,...

dt = - t mym

4 к t

(10.99)

где <рт — СКИП-функция I рода, определенная в § 11 Приложения.

Подвергнем равенство (10.98) обратному преобразованию Лап

ласа, учитывая формулу (10.99) и полагая в ней m-n-v -\: