Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

01*°ц

Ап Ък

-Ei

( 2 М

4к/

V /J

dt =

(л г2\

1 +

-JS/

4кГ

V /

4Kt

V yJ

- е

AKt

Допустим, что источник пущен с дебитом, пропорциональным

квадрату времени или пропорциональным t ", где п = 0, 1, . .

Qc = Q2t2,

Qc = Qntn-

Тогда изображения дебита будут соответственно таковы:

2Q\ n\Q:

(9.69)

(9.70)

s з ’ s n + 1

Поэтому вместо (9.62) получатся соответственно следующие

формулы для изображения понижения давления:

ДP{r,s) =

nbk

(9.71)

ДP(r,s) =

n'.Q'nliKo

2кbk

Ф ]

-Г-), п = 0,1 ,2,3,..,

(9.72)

Учитывая пояснение, которое было дано при переходе от

равенства (9.63) к равенству (9.66) (в связи с делением изображения

на параметр s), можно записать следующие равенства:

Числа 2 и п над символами интегралов означают необходи

мость повторить операцию интегрирования соответственно 2 раза

или п раз.

Используя два последние равенства, перейдем в формулах (9.71)

и (9.72) от изображений к оригиналам. Именно на основании

формул (9.71) и (9.72а) получим такой результат для случая дебита,

которому соответствует закон (9.69):

Ар (г, t) =

2 nbk

j j

о о

-Ei

( 2 М

4кt

\ Р

dt\ dt -

QU24

4nbk

( 2 4 \

Г Г4

3 r L

+ 2к7+ 32к2 f 2

-Ei

4Kt

J-

2 + 8itf

- т е

(9.73)

Для случая дебита, которому соответствует закон (9.70),

понижение давления на основании формул (9.72) и (9.726) будет

выражено так:

Др (г, t) =

nlQtn

4nbk

-Ei

4kJ

V /-

dt, n- 0, 1,2,3 ...

• (9.74)

Если воспользоваться символикой кратных интегральных пока

зательных функций, введенных автором [755], [762] и описанных в

§ 11 П (см. равенство (П.401), то формула (9.74) может быть

переписана в таком виде:

Ар (г, t) =

n\Q*nil

4nbk

Jntn

- Ei

( г Ц

4кt

\ №

, л = 1,2, 3,.

(9.75)

Уместно использовать СКИП-функцию I рода (р„ (см. § 11

Приложения); тогда, учитывая соотношение (П.405), вместо формул

(9.74) и (9.75) получим:

Ар (г, t) =

n'.Q'ntn\i

4nbk

Фл

( 2 '

Г1

4к*

л = 1,2,3,.

(9.76)

Последние две формулы совпадают с формулами (4.154) и

(4.157), выведенными другим способом.

Формула (9.76) очень важна для решения многих задач

подземной гидродинамики, связанных с плоско-радиальным дви

жением жидкости к скважине с переменным дебитом. Простота

записи этой формулы связана с использованием СКИП-фун

кций фЛ. Как уже упоминалось, табулирование этих функций

было выполнено Ш. А. Гаджиевым [151]; таблицы Ш. А. Гад-

жиева воспроизведены в Приложении к этой книге. Т.к. эти

таблицы пока не получили широкого распространения, то можно

преобразовать формулу (9.76) так, чтобы в нее входили более

широко известные высшие трансцендентные функции. Например,

используя равенство (П.398), формулу (9.76) перепишем в таком

виде:

Ap ^ =qf £ r i (- i)v c « £ v+,

v = 0

4к*

(9.76а)

где Cvn —биномиальные коэффициенты, Е v+ \ — символ интеграль

ной показательной функции (см. § 4 Приложения).

Придавая п различные значения, из формулы (9.76а) получим:

Ар (г, 0:

QoH

4 nbk

(2о и

4 кЬк

- Ei

при я = 0 ; (9.766)

Ар (r,t) =

4nbk

4 Kt

-E,

i \

при /1 = 1;

(9.76b)

Ap (r, f) =

QS*2H

4nbk

4Kt

-2E7

2 N

4 Kt

+ £a

4Kt

при n-2.

(9.76r)

Интегральные показательные функции весьма полно табулиро

ваны (см., например, [495]). Поэтому формулы (9.76а)—(9.76г) очень

удобны для подсчетов.

Если в формулу (9.76г) подставить значения функций Eh Еъ,

Е3, определяемые соотношениями (П.69), (П.91), (П.92), то получим

совпадение с равенством (9.73).

Можно указать еще несколько иной способ вывода формул

(9.74) и (9.75), также основанный на использовании операционного

исчисления. Применительно к точечному стоку на плоскости

положим а = 1 в формуле (4.4):

“ 4к (г - Г)

(9.77)

В § 1 главы 4 указывалось, что интеграл такого типа, какой

входит в последнюю формулу, называют интегралом Дюамеля.

Чтобы выполнить преобразование Лапласа в равенстве (9.77),

воспользуемся известной из операционного исчисления теоремой

об умножении изображений (теоремой Бореля о свертке оригина

лов).

Тогда после преобразования равенство .(9.77) примет вид:

4P(r's,=i I [a(,)] £

г2 '

(9.78)

Если примем, что дебит стока определяется равенством (9.70),

и учтем соотношение (9.54), то получим:

АР (г, s) =

Д!В;И

Anbk

, п + 1

(9.79)

п- 0, 1,2, 3 ,....

Так как последнее равенство совпадает с равенством (9.72),

то, выполняя обратное преобразование Лапласа, вновь приходим

к формуле (9.74), что и требовалось доказать.

Подсчитаем расход жидкости Qr через боковую поверхность

цилиндра радиуса г и высоты «Z?», считая, что ось цилиндра

совпадает с прямолинейным стоком. Воспользуемся законом

фильтрации Дарси и равенством (9.76):

Фл

4к/

\ /-*

(9.80)

Учитывая соотношения (П.376), (П.380), (П.381), имеем:

fr2T_2

( 1 \

Г1 Гг2]

(

Г1

дг

Фл

4lCf

п ф„

4к*

V J

-<Ги 1

4к*

-1 1

4iй

\ У

(9.81)

где i|/л —СКИП-функция II рода (см. § 11 Приложения).

На основании двух последних равенств получаем такую формулу

для подсчета расхода жидкости:

Q Г (гу t) - п ! Qc

Гг2>

Г 2 V

Г*

/ о \

Фл-1

4к7

V J

-п ф„

4к*

V У-

= п ! <2сУп

4кt

\ У

(9.82)

Заметим (см. первое соотношение (П.385), что уп (0) =

Поэтому, принимая г = 0 в формуле (9.82), получим:

( Qr )г=О = Qc >

п Г

как и должно быть соответственно постановке задачи.

( г2 ^

Так как при г > 0 всегда \\f

4кt

< у (0), то Qr (г, 0 < Qc .

Подставляя в формулу (9.82; значения п = 0, п = 1 и учитывая

соотношения (П.361)—(П.367), определим расходы жидкости соот

ветственно в тех случаях, когда дебит Qc стока постоянен или

прямо пропорционален времени:

(Qr) п=0 - Q 0 Ф -1

(г2\

4 Kt

V У

= <2о¥(

/r 2N

= <2оС

г2

-?Kf

(Qr) n=\-Q\ty\

4kt

\ У

-ш

( 2 М

4к*

\ yJ

Определим тот объем V г жидкости, который за время t перетечет

через боковую поверхность цилиндра радиуса г, коаксиального

скважине, причем учтем формулу (9.82):

• I

Vr(r,t) = J Qr(r,t)dt = n\Q'n\tyn

4кt

V У

dt.

(9.84а)

На основании соотношения (П.390) послсдпчя формула примет

вид:

V r{r,t)=n \ Q*n tn+l \|/rt+1

f 2 ^

Г1

4kt

V У

Гг2Л

4Kt

V У

(9.846)

Учитывая первое соотношение (П. 385), из формулы (9.846),

полагая г = 0, легко определить объем жидкости V (0, t\

поглощенный скважиной за время t:

V(0,t) =

п !

(л + 1)!

Q c t = - 1- r Q c t = - r r 7 Q n t

П + 1 /1+1

(9.84в)

Конечно, последнюю формулу можно было бы получить,

интегрируя по времени обе части равенства (9.70).

Примечание. Во многие предшествующие формулы данного

параграфа входили функции Бесселя. Заметим, что функции

Бесселя называют цилиндрическими как раз потому, что с их

помощью получаются решения задач о притоке жидкости или тепла

к цилиндру. Томсон [966] отметил, что впервые Фурье получил

решение уравнения теплопроводности в цилиндрических коорди

натах. Это решение было получено Фурье в его записке (в главе,

посвященной движению тепла в твердом цилиндре), составленной

в 1811 году, которая, как выражается Томсон, "«была погребена»

(buried alive) на 14 лет в архивах Французской Академии Наук.

Этот же факт подтверждает и Дарбу в предисловии к переизданию

классического сочинения Фурье [836]. Полученное в цилиндри

ческих координатах решение Фурье было выражено с помощью

ряда. Но когда Бессель обнаружил в архивах Французской Академии

Наук решение Фурье, то он признал, что трудно было бы найти

лучшее применение введенных самим же Бесселем функций, чем

с их помощью выразить уже ранее найденное Фурье решение. По

этому поводу Томсон, во-первых, приводит известное латинское

изречение «qui ante nos nostra dixerunt» (т.е. «кто до нас говорил

то же, что и мы») и, во-вторых, характеризует полученное Фурье

решение «поистине как шедевр» («truly a masterpiece of art»).

§ 4. Точечный сток в пространстве

Рассмотрим сферическое радиальное движение к точечному

стоку в пространстве. Описание такого потока применительно к

задачам подземной гидродинамики было дано в § 1 главы 3; рисунок

2.2 а можно рассматривать как одно из плоских сечений сфери

ческого радиального потока; см. еще рис. 3.5 б.

Допустим, что из точечного стока в пространстве в начальный

момент t=0 был мгновенно отобран объем жидкости V ж. Сохраняя

все прочие условия, какие были оговорены при формулировке

математической постановки задачи для точечного стока на пло

скости, получим, что понижение давления Ар (г, t) должно будет

удовлетворять дГ*фференциальному уравнению пьезопроводности

Э2 Ар 2 Э Ар 1 Э Ар

дг2 + г дг ~к dt ’ (9.85)

г > 0, t > О,

еще условиям (9.42), (9.44) и следующему условию:

оо

= r2Apdr, f = 0. (9.86)

Применяя к равенствам (9.85), (9.86) и (9.44) преобразование

Лапласа, получим, учитывая начальное условие (9.42):

d2AP 2d АР 1 _ (9.87)

7 +

----

^— = s А Р,

dr2 г дг к

V 7 (9.88)

—* = 4тс Р * I г2 АР (r,s)dr,

s J

Известное общее решение обыкновенного дифференциального

уравнения (9.87) имеет вид:

APlr,s)=A^-y-+B^—r— . (9.90)

Из условия на бесконечности (9.89) должно быть А = 0.

Подставим величину ДР из (9.90) в (9.88)

v 7 -VT' v

— = 4jrP‘B jre </г = 4лр*В-,

(9.91)

откуда

„ У* (9.92)

4тс р* к ’

Подставляя найденное значение коэффициента В в равенство

(9.90) и совершая обратное преобразование Лапласа, получим,

учитывая табличные формулы (6) стр. 483 [350], (49) стр. 585 [427],

(3.77) сгр. 152 [259]:

, , v ж , -IГ “ '^ '1 v * <9-93>

* iir iF ic r Le •

Формула (9.93) совпадает с формулой (3.30) (т.е. с фундамен

тальным решением для случая мгновенного точечного стока),

полученной иным способом.

Допустим, что при тех же условиях, обеспечивающих сфери

ческий радиальный поток, в начальный момент был включен не

мгновенный, а непрерывно действующий точечный сток в про

странстве, причем с переменным дебитом, определяемым формулой

(9.70). Тогда должно удовлетворяться следующее условие:

_А4лг2дД^М| =Qc = Q*ntntn = о,1,2,3,...

^ J г —> О

(9.94)

Сохраняются дифференциальное уравнение пьезопроводности

(9.85), его преобразование по Лапласу (9.87) и общее решение

этого уравнения в форме (9.90), в котором опять следует считать

А • 0.

Применим преобразование по Лапласу к равенству (9.94):

Ц. dr2 [ „ Sn+I ’ (9-95)

Jr~+ 0

Подставив величину АР (г, s) из (9.90) в (9.95), определим

значение коэффициента В:

n ri'-QnV

~ 4rot s л+* (9-96)

Поэтому равенство (9.90) можно переписать в следующей форме:

= (9'97)

Применяя к последнему равенству обратное преобразование

Лапласа и используя формулу (9.26), получим:

22nn\Q*tn\i - г

ЛР(Г>0 =

------

------------

*' ЫСШ> « = ° .1-2-3- -- • (9.98)

Формула (9.98) совпадает с (4.164), выведенной другим способом.

Формулу (9.98) можно было бы вывести еще и по-другому: полагая

в равенстве (4.4) а = 2 и пользуясь теоремой об умножении

изображений, как это было показано в двух предыдущих параграфах.

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ

С ИССЛЕДОВАНИЕМ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ПРИТОКОВ ЖИДКОСТИ

К ПОВЕРХНОСТНЫМ СТОКАМ — ЦИЛИНДРИЧЕСКОМУ (ПРИТОК

К ОКРУЖНОЙ ГАЛЕРЕЕ НА ПЛОСКОСТИ) И СФЕРИЧЕСКОМУ

§ 1. Вводные замечания

В данной главе будем рассматривать в неограниченном про

странстве стоки, равномерно и непрерывно покрывающие или

боковую поверхность прямого круглого цилиндра, или поверхность

сферы. При работе поверхностного цилиндрического стока поток

жидкости к нему будет плоско-радиальным — см. рис. 10.1.

Поэтому, как уже пояснялось в предыдущих главах, решение задачи

о притоке жидкости к поверхностному цилиндрическому стоку

решает и плоскую задачу о притоке к окружной галерее.

В случае поверхностного сферического стока поток жидкости

к нему изнутри и снаружи будет сферическим радиальным. Рис. 10.1

можно также рассматривать как изображение плоского сечения

сферического радиального

потока.

Многие формулы, ха

рактеризующие работу мгно

венного и непрерывно дей

ствующего цилиндрическо

го стоков, были уже выведены

в главе 7 с помощью пре

дельного перехода от ок

ружной батареи стоков к

окружной галерее, а в гла

ве 8 аналогичные форму

лы были выведены при по

мощи метода интегрирова

ния стокообразных решений

по координатам. В данной

же главе все формулы для

поверхностного и цилинд

рического стоков выводят

ся (причем для значитель

но более общих условий) Рис. 10.1. Поток жидкости к окружной галерее