Сапожников А.А. Решение самостоятельных и контрольных работ по алгебре и началам анализа за 11 класс
Подождите немного. Документ загружается.
171
Вариант 7
1. 6 – 10cos
2
x + 4(2cos
2
x – 1) = 2sinxcosx; 2 – 2cos
2
x = 2sinxcosx;
1 – cos
2
x = sinxcosx; sin
2
x – sinxcosx = sinx(sinx – cosx) = 0; x = πn;
x =
4
π
+πn, n ∈ Z; x = πn;
4
π
+πn, n ∈ Z.
2.
2
2
3
1
3( 1) 3
2
3
2
333
y
y
y
x
+
+
−
⎧
+
=
⎪
⎪
⎨
⎪
⋅=
⎪
⎩
;
2
2
3
2
23 6 66
y
x
yy
⎧
+
⎪
=
⎨
⎪
+
++−=
⎩
;
2
2
3
2
670
y
x
yy
⎧
+
⎪
=
⎨
⎪
+
−=
⎩
;
(y – 1)(y + 7) = 0; y
1
= 1; x
1
= 2; y
2
= –7; x
2
= 26.
3.
(1)
2
3
xx−
≤
; x(x – 1) ≤ 6; x
2
– x – 6 ≤ 0; x ∈ [–2; 3], т.к. x – 1 > 0, то
x
∈ (1; 3].
4.
11
0
3
y
x
′
=− =
; 3x
=
; x = 9; убывает; x ∈ (0; 9].
5. x
2
+ 3 = 2x
2
– x + 1; x
2
– x – 2 = 0; (x + 1)(x – 2) = 0; S =
2
2
1
(3)
x
dx
−
+
−
∫
–
12
22
11
(2 1) ( 2)
x
xdx xx dx
−−
−+ = − ++ =
∫∫
2
32
1
2
32
xx
x
−
⎛⎞
−
++ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
8
24
3
+
−−
–
(
)
85
11
26 2
32 3 6
+
−=− +− =
48 5 16 27 9
1
4
66 6 62 2
−− = ==
.
6. l
2
(x) = x
2
+ (1 – x
2
)
2
= x
2
+ 1 – 2x
2
+ x
4
= x
4
– x
2
+ 1; (l
2
)′ = 4x
3
– 2x =
= 4
11
0
42
xxx
⎛⎞⎛⎞
−+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
; l
2
(0) = 1;
2
1113
244
2
l
⎛⎞
=
+=
⎜⎟
⎝⎠
, т.е. точки с
абсциссой
1
2
x =±
и ординатой
1
2
y =±
.
Вариант 8
1. В ответе ошибка.
2,5x + x
2
> 0; x(2,5 + x) >0; x ∈ (–∞; –2,5) ∪ (0; +∞).
2.
2
4cos sin 2 cos 3sin
cos 2 cos sin
x
xx x
x
xx
−−
+
=
−+
=
22
4cos 4cos sin sin 2 cos sin sin 2 cos cos 2 3sin cos 2
cos 2 (cos sin )
x
xx xx xx xx xx
xx x
+−−−+
−+
=
=
32 22 3
4cos 4cos sin 2sin cos 2sin cos cos
cos 2 (cos sin )
x
xx x x x x x
xx x
+−−−+
−+
22 2
+cos sin 3cos sin +3cos sin
cos 2 (cos sin )
x
xxxxx
xx x
−
−+
=
32 2
3cos cos sin +2sin cos
=
cos 2 (cos +sin )
x
xx x x
xx x
−
−
172
=
22
cos (3(1 sin )+cos sin +2sin )
=
cos 2 (cos + sin )
x
xxx x
xx x
−
−
2
cos (3 sin +cos sin ) 3
=
cos2 (cos +sin ) cos2
xxxx
x
xx x
−
−
−
при
6
x
π
=−
ответ: –6.
3. x(3x– 8) = 28; 3x
2
– 8x – 28 = 0;
14
(2) 0
3
xx
⎛⎞
+
−=
⎜⎟
⎝⎠
;
14
3
x =
, т.к. x > 0.
4.
512
2
12 2 23
2
x
x
x
⎧
−≤
⎪
⎨
−⋅>−
⎪
⎩
;
05 14
22
x
x
≤
−≤
⎧
⎨
<
⎩
;
1
1
5
1
x
x
x
≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪
<
⎩
;
1
;1
5
x
⎡
⎞
∈
⎟
⎢
⎣
⎠
.
5. y
′ = 2x – 4; y′(3) = 2; y = 2(x – x
0
) + y(2); y = 2x – 6 + 5 = 2x – 1; S = S
1
,
где S
1
также площадь, только y=2x, y= x
2
– 4x + 10. S =
3
2
0
(49)
x
xdx
−
+−
∫
–
33
2
00
(2 ) ( 6 9)
x
dx x x dx=−+=
∫∫
3
32
0
1
39
3
xxx
⎛⎞
−
+=
⎜⎟
⎝⎠
9 – 27 + 27 = 9.
6. y
′ = 1 + 2sinx; y′ = 0’ sinx =
1
2
−
; x = (–1)
n+1
6
π
+
n
π
, n ∈ Z;
23
==+3
662 6
y
ππ π
⎛⎞ ⎛ ⎞
−−− −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
;
55
=+3
66
y
ππ
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
; y(π)=π+2; y(–π)
=–
π+2; наша точка это та, у которой | y | наибольший. Ответ: (π; π + 2).
Вариант 9
1. 4 – x
2
≥ 0; 2x + 3 ≠ 0; x ∈ [–2; 2]; x ≠
3
2
−
; x ∈
33
2; ; 2
22
⎡
⎞⎛ ⎤
−− ∪−
⎟⎜
⎢
⎥
⎣
⎠⎝ ⎦
.
2.
ln(6 2 )
ln 0,3
x
y
−
=
;
21
(6 2 ) ln 0,3 ( 3)ln 0,3
y
xx
−
′
==
−−
; функция монотонна
на
x ∈ (–∞; 3) и (3; +∞), но x < 3, тогда x ∈ (–∞; 3).
3.
()
()
2
2
12 1 12
23
23 23
23
−
++ = + =
−−
+
()
2
231223
23
−+ +
=
+
=
(
)
23234433)
23
−+ + +
=
+
26 13 3
13
23
+
=
+
.
4. Найдем точки пересечения:
x
4
+ 3x
2
– 4=0; (x
2
+ 4)(x
2
– 1) = 0; x = ±1.
S =
111
24 42
111
(4 3 ) ( 3 4)
x
dx x dx x x dx
−−−
−−=−−+=
∫∫∫
=
1
3
1
511283
414145
25555
xx
−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−− + =−−+ − +− = =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
173
5.
f′(x)= –sin2x + 2 cosx; f′(x)=0; 2 cosx – sin2x=0; cosx( 2 – 2sinx)=0;
cos
x=0; sinx=
2
2
; x=
2
π
+ πn; x = (–1)
n
4
π
+ πn. Ответ:
4
π
;
2
π
;
3
4
π
.
6.
v = v
0
+ at м/с; 20 м/с – gt = 0 м/с; t = 2 сек; x = x
0
+ v
0
t +
2
2
gt
;
x = 25 м + 20 м/с –
222
10 м/c (2) с
2
⋅
= 45 м.
Вариант 10
1. 2cosx + 4 3 sinx + 9 = 4cos
3
x
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
=
cos 3
4sin
2
x
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
;
2cos
x + 4 3 sinx + 9 = 2cosx – 2 3 sinx; 6 3 sinx = –9; sinx =
3
2
−
;
x = (–1)
n+1
3
π
+ πn, n ∈ Z.
2.
2
2
212(21)12442+212
== =
1+ 2 2 1 2 1
(2 1)
−−− − −−
−
−−
−
552
=5
21
−
−
−
3. 2log
2
(3 – 2x) < 0;
{
32 1
32 0
x
x
−
<
−
>
;
{
1
1, 5
x
x
>
<
; x ∈ (1; 1,5).
4. Найдем точки пересечения линий
2
1
20
2
x
−
= , x = ±2.
S =
222
22 2
222
1
(0,5 +2) = 2 =
2
x
dx x dx x dx
−−−
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
2
3
2
18
242
66
xx
−
⎛⎞⎛⎞
−
+=−+⋅=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=
21
225
53
⎛⎞
⋅⋅=
⎜⎟
⎝⎠
.
5.
y =
2
28 4
2
(3)(2)
6
xx
xx
xx
−−
=
+
−
+−
;
4
0
(3)(3)
x
xx
−
≥
+−
; x∈(–3;2)∪[4; +∞).
6.
V = h ⋅ m
2
; h — высота, m — сторона квадрата основания.
S = 4 м
3
⋅ h ≠ m + m
2
= m
2
+ 4 м
3
hm; h =
3
22
4 мV
mm
=
; S = m
2
+
3
16 м
m
;
S′ = 2m –
3
2
16 м
m
; S′ = 0 при m = 2 м — это точка минимума S, тогда
m = 2 м, h = 1 м— ответ.
Вариант 11
1. cos
2
x–cos2x=sinx; 1–sin
2
x – (1 – 2sin
2
x) = sinx; sin
2
x – sinx = 0; sinx = 0;
x = πk; sinx = 1; x = 2
2
n
π
+
π , n, k ∈ Z; тогда ответ: 0, –π, π, 2π,
2
π
.
–
3
4
–
–
+
2
+
x
174
2. log
0,4
(3,5 – 5x) > 2(log
0,4
0,2) – 1; log
0,4
(3,5 – 5x) > log
0,4
0,1;
0,4
3,5 5
log 0
0,1
x−
>
;
3, 5 5
1
0,1
x−
<
; 3,5–5x <0,1; 5x > 3,4; x > 0,68; 3,5–5x > 0;
x < 0,7; x ∈ (0,68; 0,7).
3.
F(x) =
2
1
() 4 sin2 2
2
dx
fxdx xdx
x
=+=
∫∫∫
–2cos2x –
1
x
+ C;
3
0
C
−
+=
π
;
31
() 2cos2Fx x
x
=−−
π
.
4.
(3)(27)(3)0xx x−++−=;
(
)
(3)27 30xxx
−
+− − =; x = 3;
2
x + 7 = x – 3; x = –10, т.к. при x = –10 x – 3 < 0. Ответ: x = 3.
5.
S =
3
23
0
0
1
9
33
a
a
a
xdx x
===
∫
; a
3
= 27; a = 3 из соображений симметрии;
при
a = –3 S = 9. Ответ: a = ±3.
6. 3
V = h ⋅ πr
2
; h — высота, r — радиус основания; h
2
+ r
2
= l
2
(l — об-
разующая);
h
2
+ r
2
= 12; r
2
= 12 – h
2
; 3V =
2
3
h ⋅ π(12 – h
2
) = 12πh –πh
3
;
3
V′ = 12π – 2πh
2
= 0; h = 6 , т.е. наше значение лежит среди V(0),
V
(
)
6
, V
()
23
. Ответ:
1
5
3
π
дм
3
.
Вариант 12
1. 1 + 2log
2
0,3 > log
2
(1,5x – 3); 1 + log
2
0,09 > log
2
(1,5x – 3);
log
2
0,18 > log
2
(1,5x – 3);
{
1, 5 3 0
0,18 1,5 3
x
x
−>
>−
;
2
3,18
1, 5
x
x
>
⎧
⎪
⎨
<
⎪
⎩
; x ∈ (2; 2,12).
2.
()
2
sin sin 2
2
xy
yy
π
⎧
=−
⎪
⎨
π
−+ =−
⎪
⎩
;
2
cos sin 2
xy
yy
π
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
+=−
⎩
;
()
2
sin 1
4
xy
y
π
⎧
=−
⎪
⎨
π
+
=−
⎪
⎩
;
2
3
2
42
xy
yn
π
⎧
=−
⎪
⎨
ππ
⎪
+= +π
⎩
;
5
2
4
3
2
2
yn
x
n
π
⎧
=
+π
⎪
⎨
π
⎪
=
−−π
⎩
; n ∈ Z.
3. Найдем точки пересечения: –
x
2
– 2x + 3 = 0; x
2
+ 2x – 3 = 0;
(
x + 3)(x – 1) = 0; S = –20 +
1
3
1
22
3
3
(– 2 8) 20 8
3
x
xxdx xx
−
−
⎛⎞
−
+=−+−−+ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫
=
142
20 1 8 (9 9 24) 20 32 10
333
⎛⎞
−+−−+−−− =−+ −=
⎜⎟
⎝⎠
.
175
4.
(2)(25)(2)0xx x−+−−=;
(
)
(2)25 20xxx
−
+− − =; x = 2;
2
x + 5 = x – 2; x = –7; т.к. x – 2 < 0 при x = –1. Ответ: x = 2.
5.
y′ = 3e
3x
= 3 при x = 0. Ответ: в точке с абсциссой x = 0.
6.
d
2
+h
2
=l
2
, где d — диаметр основания, h
2
— высота, l — диагональ
осевого сечения.
V=
2
4
d
h
π
⋅ ; d
2
=l
2
–h
2
=75–h
2
; V=
2
75
4
h
h
−
π
=
3
(75 )
4
hh
π
=−
; V′=
4
π
(75–3h
2
)=
3
4
π
(25–h
2
); при h = 5 V′ = 0, тогда
V
max
= π ⋅
50
4
⋅5=
125
2
π
.
Вариант 13
1. 2tgx+3=tg(1,5π + x) = –ctgx; 2tgx + 3 +
1
tg
x
= 0; tgx = t; 2t
2
+ 3t + 1 = 0;
(
t + 1)
1
2
t
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
= 0; t = tgx;
4
x
n
π
=
−+π
;
1
arctg
2
x
k
=
−+π
, n, k ∈ Z; 0,75π
является корнем этого уравнения.
2.
(
)
44
log 59 10 1 log 2( 4)xx−−= −; 59 10 1 2( 4)xx
−
−= − ;
4
x
2
–18x–10=0; (x – 5)
8
4
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
= 0, т.к.
3
4
x
=
не лежит в ОДЗ (4 – 4) < 0.
Ответ:
x = 5.
3. Найдем точки пересечения линий: 5 –
x
2
= x + 3; x
2
+ x – 2 = 0;
(
x – 1)(x + 2) = 0; x = 1 и x = –2. S =
11
2
22
(5 ) ( 3)
x
dx x dx
−−
−
−+ =
∫∫
=
1
2
2
(2 )
x
xdx
−
−− =
∫
1
23
2
11 11 8
22424,5
23 23 3
xx x
−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−− =−−−−−+=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
4.
f′(x) =
42
4
x
−
; f′(4) = –1; y = f′(x
0
)(x – x
0
) + f(x
0
) = –1(x – 4) = 4 – x —
уравнение касательной tg
α = –1.
5.
См.график.
6.
S = 2r
2
+ 4rh = 6 дм
2
, r — сторона ос-
нования,
h — высота.
V = r
2
h; V(r) =
3
3
2
rr−
; V′(r) =
2
33
2
r
−
;
V′(r) = 0 при r = 1, тогда наибольший
объем лежит среди
V(1), V(0,5), V
(
)
3,
из этого следует, что
V
max
= V(1) = 1 дм
3
.
176
Вариант 14
1. ln(2x – 3) < (ln(x + 1);
23 1
230
10
x
x
x
x
−<+
⎧
⎪
−>
⎨
+>
⎪
⎩
;
3
2
1
4
x
x
x
⎧
>
⎪
>−
⎨
<
⎪
⎩
; x ∈
3
;4
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
2. Найдем точки пересечения линий: –
x
2
+ 2x + 3 = 3 – x; x
2
– 3x = 0;
x = 0 и x = 3;
S =
333
22
000
(23)(3)(3)
x
x dx x dx x x dx−+ + − − = − =
∫∫∫
3
3
2
0
327
4,5
23 6
x
x
⎛⎞
−==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
3. (1 – sin(
x))(1 + sinx)=
3
2
−
sinx; 1 – sin
2
x=
3
2
−
sinx; 2sin
2
x – 3sinx – 2 = 0;
(sin
x – 2)
1
sin
2
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
= 0; |sinx| ≤ 1;
1
(1)
6
n
x
n
+
π
=
−+π
, n ∈ Z;
7
6
π
является
корнем этого уравнения.
4.
f′(x)=
63
2
3
x
x
+
=+
; f′(2)=4; y= f′(x
0
)(x – x
0
)+ f(x
0
)=4(x – 2) + 6 = 4x – 2
— уравнение касательной tg
α = 4.
5. 4
x
– 16 > 6 ⋅ 2
x
; 2
x
= t; t
2
– 6t – 16 > 0; (t – 8)(t + 12) > 0, т.к. 2
x
> 0 для
всех
x, то t + 2 > 0, тогда неравенство примет вид: 2
x
> 8; x > 3.
6.
V = r
2
h = 8 дм
3
; r — длина стороны основания, h — высота.
S = 4rh + 2r
2
; h =
3
2
8 дм
r
; S =
3
2
32 дм
2r
r
+
; S′ =
3
2
32 дм
4r
r
−
+ ; S′ = 0 при
r = 2, тогда наше значение лежит между S(1), S(4), S(2), из чего
S
min
= S(2) = 24 дм
2
.
Вариант 15
1.
1
31
22
2
33 3
x
x
⎛⎞
−+
⎜⎟
−
⎝⎠
⋅>;
1
231 4
2
x
x
⎛⎞
−
+>−
⎜⎟
⎝⎠
;
3
23 4
2
x
x
−
−>−;
5
1
2
x
> ; x >
2
5
.
2.
cos( 2 )
2sin( )
2
2
sin
sin( 2 )
sin( ) sin( )
2
2
cos
π
−α
π−α
+=
πα
−α
π
+α + −α
α
2
sin 2 2sin
2
cos 2
sin
cos
cos
αα
+
α
α
α−
α
=
sin 2
33tg2
cos 2
α
==α
α
; при α =
12
π
−
выражение равно
3
3
3
−
=− .
3.
0
33
2
a
a
x
dxdx
−
−=−
∫∫
;
44
0
2
44
а
а
x
x
−
−=−;
44
0
2
44
а
а
x
x
−
= ;
44
4
44
aa
−=−
;
4
4
2
a
=
;
a
4
= 8;
4
8a =± , т.к. –2 < a < 0, то
4
8a =− .
177
4.
f′(x)=
2
22
4(2)
(4)
x
xx
x
+−
+
; f′(x)= 0; –x
2
+ 4 = 0; x = ±2; убывает на (–∞; –2] ∪
∪ [2; +∞); возрастает на [–2; 2].
5.
2
44
213
log log 2
21
xy
x
y
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
−
⎩
;
2
13 2
2
21
x
y
x
y
=−
⎧
⎪
⎨
=
⎪
−
⎩
;
2
213
2
12
yx
x
x
=
−
⎧
⎪
⎨
=
⎪
−
⎩
;
13
2
(6)(4)0
x
y
xx
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
+
−=
⎪
⎪
⎩
; т.к.
x < 0 не лежит в ОДЗ, тогда ответ x = 4, y = 4,5.
6.
l — длина бокового ребра, r — длина стороны основания, h — вы-
сота,
d — половина диагонали основания; l
2
=h
2
+d
2
; r
2
=2d
2
l r
2
=2(L
2
–h
2
);
V =
222
12 2
()
33 3
rh l h h=−=
(108 см
2
h–h
3
); V′ =
2
3
(108 см
2
h–h
3
)=2(36–h
2
);
V′ = 0 при h = 6, тогда V
max
= 288 см
3
.
Вариант 16
1.
22
2cos 3 2cos
2cos 2sin
1sin 2 1sin
απ α
⎛⎞
+−α=−α=
⎜⎟
−α −α
⎝⎠
22
2cos 2sin 2sin
1sin
α
−α+ α
=
−α
=
2(1 sin )
2
1sin
−α
=
−α
. Выражение не имеет смысла при sinα = 1, тогда, на-
пример при
;2,5
2
a
π
=π
.
2. 3
2x
+ 3
x
– 6 > 0; 3
x
= t; t
2
+ t – 6 > 0; (t – 2)(t+3) > 0, т.к. t > 0, то 3
x
> 2,
x > log
3
2.
3.
2
3
log (2 ) 1x−=;
3
log (2 ) 1x
−
= ; 23x
−
= ; 1x
=
− ; 0 или
3
log (2 ) 1x−=−;
1
2
3
x−=
;
5
3
x
=
;
25
9
x =
. Ответ:
25
9
x =
.
4. Найдем точки пересечения: –0,5
x
2
+2 = 2 – x;
2
2
1
x – x = 0; x = 0; x = 2;
S =
()
2
222
2
000
1
22
22
x
dx x dx x x dx
⎛⎞
⎛⎞
−+ − − =− + =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∫∫∫
2
32
0
11
62
xx
⎛⎞
−
+=
⎜⎟
⎝⎠
=
8412842
62 6 663
−+ = −= =
.
5.
y′ = 2lnx + 2; y′ = 0 при
1
1
x
e
=
; при
1
0; 1
x
e
⎛⎤
∈
⎜
⎥
⎝⎦
y убывает, при
1
;
x
e
⎡⎞
∈+∞
⎟
⎢
⎣⎠
y возрастает, тогда
1
x
e
=
— точка минимума.
178
6.
V =
2
1
3
hr
; h
2
+ d
2
= 48 см
2
; d
2
= 2r
2
; V =
23
1
(48 см )
6
hh−
;
V′ =
22 2
11
(48 см 3) (16 )
62
hh−= −
; V′=0 при h=4 см; V
max
=V(4) =
1
21
3
см
3
.
Вариант 17
1. cos2α +
2sin2 2sin2
cos 2
cos sin
ctg tg
sin cos
αα
=
α+ =
α
α
α− α
−
α
α
2
sin 2
cos 2
cos 2
α
α
+=
α
=
22
cos 2 sin 2 1
cos 2 cos 2
α+ α
=
αα
, при α =
8
π
выражение равно 2.
2.
2
90x −=; x = ±3 или log
2
0,5x = 0; x = 2; т.к. при x = –3; 2 0,5x < 0.
Ответ:
x = 3 и x = 2.
3.
f′(x) = 4e
–x
– 4xe
–x
= 4e
–x
(1 – x); f′(x) = 0 при x = 1; возрастает при
x ∈ (–∞; 1], убывает x ∈ [1; +∞), x = 1 — максимум.
4. Найдем точки пересечения:
x
2
+ 2x + 5 = 5 – 2x; x(x + 4) = 0;
S =
44 4
22
00 0
(5 2 ) ( 2 5) ( 4 )
x
dx x x dx x x dx
−− −
−− + ++ =−−− =
∫∫ ∫
4
3
2
0
2
3
x
x
−
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
64 32
32
33
−=
;
5.
2
99
219
21 1
log log
3
xy
x
y
−=
⎧
⎪
−
⎨
=
⎪
⎩
;
2
2118
18 1
3
x
y
y
y
−
=+
⎧
⎪
+
⎨
=
⎪
⎩
;
2
3540
19
2
yy
y
x
⎧
−
−=
⎪
+
⎨
=
⎪
⎩
;
(9)(6)0,
19
,
2
yy
y
x
−
+=
⎧
⎪
+
⎨
=
⎪
⎩
т.к.
y = –6 не лежит в ОДЗ (y > 0), то y = 9, x = 14. Ответ: (14; 9).
6.
r — половина радиуса описанной окружности.
S =
2
33r ; V =
2
3rh; r
2
+ h
2
= 36 дм
2
; V(h) =
23
3(36 дм )hh−
;
V′ =
2
33(12 )h− ; V′ = 0 при h = 12 дм; h — точка максимума V(h);
V
() ()
3
12 дм 372 3 24 3дм 144=− =
дм
3
. Ответ: 144 дм
3
.
Вариант 18
1. 3cos
2
x–0,5sin2x=0; 3cos
2
x–
1
2
⋅2⋅cosx⋅sinx=0; cosx( 3cosx–sinx)=0;
1) cos
x = 0; x =
2
π
+ πk, k ∈ Z;
2)
3 cosx – sinx = 0; 3 cosx = sinx; tgx = 3 ; x =
3
π
+ πk, k ∈ Z.
Ответ:
2
π
+ πk,
3
π
+ πk, k ∈ Z; положительный корень:
2
π
;
отрицательный корень:
2
π
− .
179
2.
22
13 1
x
x−+=;
22
13 1xx
−
=−; 13 – x
2
≥ 0, т.е. x
2
≤ 13, т.е.
13 13x−≤≤
; x
2
– 1 ≥ 0, т.е. x
2
≥ 1, те. x ≥ 1 и x ≤ –1, тогда 13 – x
2
=
=
x
4
– 2x
2
+ 1; x
4
– x
2
– 12 = 0; D=b
2
–4ac=1–4 ⋅ 1 ⋅ (–12) = 1 + 48 = 49 = 7
2
;
x
2
=
17
22
bD
a
−± ±
=
;
1)
x
2
= 4; 2) x
2
= –3 — уравнение не имеет корней, т.к. 13− ≤ x ≤ –1 и
1
≤ x ≤ 13 , то x = ±2 является корнем уравнения. Ответ: x = 2; x = –2.
3.
y = –0,5x
2
+ 2x; y = 0,5x. Найдем точки пересечения двух линий:
0,5
x = –0,5x
2
+ 2x;
2
13
0
22
xx
−
=
;
1
(3)0
2
xx
−
=
;
1)
x = 0; y = 0; 2)x = 3; y =
2
3
; точки пересечения линий: (0; 0);
3
(3; )
2
.
S =
3
33
2322
00
0
11 1 11
(0,5 2) 0,5 2
23 2 22
xxdx xdx x x x
⎛⎞
−
+− =−⋅+−⋅ =
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
=
3
32
0
39279
1
()
64 244
xx−+ =−+=
.
4. ОДЗ:
x + 2y > 0.
3
2
1log( 2)
1
2
2
36
39
xy
x
xy
x
++
−
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
;
g(
3
2
lo 2 )
2
33 32
332
xy
xy x
x
+
−
⎧
⎪
⋅
=⋅
⎨
=⋅
⎪
⎩
;
2
22
2
x
yx
x
yx
+=
⎧
⎨
−
=
⎩
;
2
2
20
yx
xxy
=
⎧
⎨
−
−=
⎩
;
4
y
2
– 2y – 2y = 0, тогда 4y(y – 1) = 0, т.е. y = 0 и y = 1, а x = 0 и x = 2 со-
ответственно. Т.к.
x+2y > 0, то решением системы является: x=2; y = 1.
Ответ:
x = 2; y = 1.
5. log
2
(x – 1) + log
2
(x – 3) < 3; ОДЗ: x – 1 > 0, т.е. x > 1; x – 3 > 0, т.е.
x > 3;
(1)log(
22
log 3)
3
22
x x−+ −
<
; (x–1)(x–3) < 8; x
2
–4x+3–8 < 0; x
2
– 4x – 5 < 0;
(
x+1)(x – 5) < 0, т.е. –1 < x < 5. Учитывая ОДЗ, получим ответ 3 < x< 5.
Ответ: 3 <
x < 5.
6. Объем правильной четырехугольной призмы:
V = a
2
⋅ H = 144 м
3
,
от-
сюда
2
144
H
a
= м. Площадь основания: S
осн
= a
2
м
2
. Площадь боковой
части призмы
S
бок
= 4a ⋅ H м
2
. Стоимость облицовки:
A=15 ⋅ 4 ⋅ a ⋅
2
144
a
+ 20 ⋅ a
2
, тогда a
3
=216 м
3
= 6
3
м
3
, т.е. a = 6 м, а H = 4 м.
Вариант 19
1. S =
2
2
3
3
0
0
13
sin cos 1
22
xdx x
π
π
=− = + =
∫
.
180
2.
22
2cos sin2 2cos (1 sin )
2cos
1sin
sin sin cos
α− α α − α
=
=α
−α
α− α+ α
. Выражение равно – 1
при
2
2
3
k
π
α= + π
, k ∈ Z.
3. ln
2
x – lnx
2
= 2; lnx = t; 4t
2
– 2t – 2 = 0; (t – 1)
1
2
t
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
= 0; x = e;
x =
1
2
1
e
e
−
= .
4.
f(x)=
32
1
3
x
x−+
; f′(x)= –x
2
+2x; f′(x) = 0 при x = 0, x = 2, тогда (–∞; 0] ∪
∪
[2; +∞) функция убывает, на [0; 2] возрастает, тогда x
min
= 0; x
max
= 2.
5. Пусть
x
1
абсцисса точки касания 0,5x
2
и искомой касательной, x
2
со-
ответственно –0,5
x
2
– 1. Тогда y = ax + b касательная и ax
1
+ b =
2
1
1
2
x
,
ax
2
+ b =
2
2
1
1
2
x
−−
, a = x
1
; a = –x
2
(т.к. (0,5x
2
)′ = (ax + b)
2
и (–0,5x
2
– 1)′ =
= (
ax + b)′), тогда составим систему уравнений и решим ее:
2
11
2
22
1
2
0,5
0,5 1
ax b x
ax b x
xa
xa
⎧
+=
⎪
⎪
+=− −
⎨
=
⎪
=−
⎪
⎩
;
22
22
12
1
2
1
1
2
,
ab a
ab a
xax a
⎧
+=
⎪
−
+=− −
⎨
⎪
==−
⎩
;
1
1
2
a
b
=
⎧
⎨
=−
⎩
, тогда y = x –
1
2
.
6.
V =
2
3
4
lh
, l — сторона основания, h — высота: h
2
+ l
2
= 48 дм
2
;
V =
23
3
(48 дм )
4
hh−
; V′ =
2
3
(48 дм )
4
h
−
; V′ = 0 при h = 4 дм, тогда
V = 32 3 дм
3
.
Вариант 20
1.
()
2
1
() ln 2 8
3
f
xxxx=−+−
;
2
1
20
3
xx
−
> , т.е.
1
(6)0
3
xx
−
>
, тогда
x ∈ (–∞; 0) ∪ (6; +∞); 8 – x ≥ 0, т.е. x ≤ 8,
тогда
x ∈ (–∞; 8].
Ответ:
x ∈ (–∞; 0) ∪ (6; 8].
2.
См. график.
3. 2sin
2
3
x
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
+ 1 ≥ 0; sin 2
3
x
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
≥
2
1
−
;
7
22 2
636
kx k
πππ
− +π≤ − ≤ +π
, k ∈ Z;