Сапожников А.А. Решение самостоятельных и контрольных работ по алгебре и началам анализа за 11 класс
Подождите немного. Документ загружается.
131
2. а) б)
3. y =
2
1
x
Ce
−
.
Вариант 8
ПС-1
1.
48
35(35)(10 2)
35(10 2)
⋅
−+ −= =
−+
32
(3 5)(12 2 20)
=
−+
=
32
8
22
=
⋅
.
2. В первой стопке 150
⋅ 0,32 тетрадей в клетку, во второй 210 ⋅ 0,2, то-
гда процент от общей массы равен:
150 0,32 210 0,2
360
⋅+⋅
⋅
100% = 25%.
ПС-2
1. Пусть первая сторона 3x, вторая 4x, третья 5x, тогда 7x–5x=2x=
=3,4 см; x = 1,2 см, тогда P = 12x = 14,4 см;
S =
(3)(4)(5)
22 2 2
PP P P
x
xx−−−= 8,64 см
2
.
2.
{
3, 4 0, 6 0, 6
16,5 2,5(2 2,4) 1,5
xx x
x
x
−− <
+−≥
;
{
1, 8 0, 6
6,5 19,5
x
x
<
≥−
; x ∈
1
3;
3
⎡
⎞
−
⎟
⎢
⎣
⎠
.
ПС-3
1.
11
3
22
33
3
2
3
2
3
44 22(2)2
2:
2
4
ab abaab
ba
ab
ba
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
−−++−
⎜⎟
−+ =
⎜⎟
⎜⎟
+
⎜⎟
⎝⎠
−
⎝⎠
=
221
1
22
333
3
3
2
3
2
3
444 3
:(2)
2
4
baab b
bb a
ab
ba
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−+− −
=−
⎜⎟⎜⎟
+
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
.
2.
2
221
0
21
1
yy
y
−−=
−+
−
;
2
2
2( 1) 2(2 ) (2 )( 1)
0
(2 )( 1)
yyyy
yy
−− − − − −
=
−−
;
132
4
(1)( )
3
0
(2 )( 1)( 1)
yy
yy y
+−
=
−+−
. Ответ:
4
3
y =
.
ПС-4
1. y = 6x
2
+ 37x + 6 ≥ 0; 6(x + 6)
(
)
1
6
x +
≥ 0; x ∈ (–∞; –6] ∪
)
1
;
6
⎡
−
+∞
⎣
;
y ≤ 0; x ∈
1
6;
6
⎡⎤
−−
⎣⎦
.
2. D = 16 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 40; x
1,2
=
440
6
±
, тогда
2
342xx
−
−=
=
440 440
3
66
xx
⎛⎞⎛⎞
+−
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
.
3.
(
)
(
)
2
62 62 26 20xx xx−+ −−=− +=.
ПС-5
1.S
n
=
1
1
2(1)
22
n
aa
and
nn
+
+−
⋅= ⋅
; d=a
2
–a
1
=–4, тогда n
2
d+(2a
1
–d)n–2S
n
=0.
4n
2
– 100n + 600 = 0; (n – 10)(n – 15) = 0. Ответ: n = 10 или 15.
2. b
1
= –9; b
5
=
1
9
−
; b
5
=b
1
q
4
; q
4
=
1
81
; q =
1
3
±
; S
1
=
93
2
−
⋅
= –4,5 ⋅ 3 = –13,5;
S
2
=
93 3
6
44
−⋅
=−
.
3. 0,2(153846) = 0,2 + S
n
; S
n
— сумма геометрической прогрессии;
b
1
= 0,0153846; q = 1000000
–1
; S =
1
1
165
b
q
=
−
, тогда 0,2(153846) =
14
65
.
ПС-6
1. а)
22
sin (cos sin ) cos sin
1ctg
αα−α+ α+α
=
+α
cos (cos sin ) 1
sin 2
cos sin
2
sin
αα+α
=
α
α+ α
α
;
б) –cosx
2
α – sin
4
α – cos
2
α sin
2
α = –cos
2
α – sin
4
α – (1 – sin
2
α)sin
2
α = –1.
2. а)
()
22
2
2
2
2
cos 2 sin 2
2sin4
2sin 4 1 tg 2
cos 2
1tg2
1ctg 2
2
⎛⎞
α− α
α
⎜⎟
⎜⎟
α− α
α
⎝⎠
=
=
π
⎛⎞
+α
++α
⎜⎟
⎝⎠
=
2
22 2
1cos2
sin8
cos 2 sin cos
α
α⋅
α
α+ α
= sin8α.
б)
2cos3 cos 5cos3
2sin3 cos 5sin3
αα+ α
αα+ α
= ctg3α
133
ПС-7
1. а)
cos 2 sin 4
0
sin 2 1
xx
x
−
=
−
;
cos 2 (1 2sin 2 )
0
sin 2 1
xx
x
−
=
−
; sin2x – 1 ≠ 0; cos2x = 0;
sin2x =
1
2
; sin2x ≠ 1; x =
42
k
π
π
+
; 2x =
6
π
(–1)
m
+ πm; x ≠
4
−
π
+ πn;
x =
12
π
(–1)
m
+
2
m
π
, n, r, m ∈ Z, тогда x =
12
π
(–1)
m
+
2
m
π
; x =
3
4
π
+ πr;
б)
3sin2x–6cos
2
x= –3; 3sin2x–3(cos2x+1)= –3; 3sin2x – 3cos2x = 0,
т.к. cos2
x = 0 не подходит, то можно разделить выражение на него;
tg2
x = 3; x =
62
n
ππ
+
, n ∈ ∧.
2. а) cos
2
x –
1
2
< sin
2
(x + π); cos
2
x – sin
2
x <
1
2
; cos2x <
1
2
;
2
x ∈
5
2; 2
33
nn
ππ
⎛⎞
+π +π
⎜⎟
⎝⎠
; x ∈
5
;
66
nn
ππ
⎛⎞
+
π+π
⎜⎟
⎝⎠
;
б)
13
3
ctg
4
x
<
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
; 3ctg
4
x
π
⎛⎞
<+
⎜⎟
⎝⎠
; ;
46
x
nn
ππ
⎛⎞
+
∈+ππ
⎜⎟
⎝⎠
;
;
12 4
x
nn
ππ
⎛⎞
∈ − +π +π
⎜⎟
⎝⎠
.
ПС-8
1. а)
2
3210
log(2 ) 1 0
20
xx
x
x
⎧
+−≥
⎪
−−≠
⎨
−>
⎪
⎩
;
(
)
1
(1) 0
3
8
2
xx
x
x
⎧
+
−≥
⎪
≠−
⎨
<
⎪
⎩
;
)
1
(;1] ;
3
(;2)
8
x
x
x
⎧
⎡
∈
−∞ − ∪ +∞
⎣
⎪
∈−∞
⎨
≠−
⎪
⎩
;
x ∈ (–∞; –8) ∪ (–8; –1] ∪
1
;2
3
⎡
⎞
⎟
⎢
⎣
⎠
;
б) sin
2
x –
1
2
≥ 0; sin
2
x ≥
1
2
;
sin
x
≥
2
2
, x ∈
3
;
44
nn
ππ
⎡
⎤
+
π+π
⎢
⎥
⎣
⎦
, n ∈ Z;
в)
y = log
x
cosx;
1
0
cos 0
x
x
x
≠
⎧
⎪
>
⎨
>
⎪
⎩
;
()
0
1
2; 2
22
x
x
x
nn
⎧
>
⎪
≠
⎨
ππ
⎪
∈
−+π +π
⎩
; x ∈ (0; 1) ∪
1;
2
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∪ 2; 2
22
nn
ππ
⎛⎞
∪− +π +π
⎜⎟
⎝⎠
, n ∈ N;
2. а)
f(–x) = (–x
3
– x)(x
4
– x
2
) = –(x
3
+ x)(x
4
– x
2
) = –f(x) — нечетная;
б)
f(–x)=
2
tg sin | |
cos
x
x
x
−
=–f(x) — нечетная; в) f(–x)=|–ctgx|=|ctgx| — четная.
134
3. а)
T =
22
5
π
=π
ω
; б) пусть x > 0, тогда T = 2π, тогда везде T = 2π;
в)
f(x) = |ctgx|; T = π.
ПС-9
1. см. график.
2. а)
x–1 ≠ 0; x ∈ (–∞; 1) ∪ (1; +∞); область
значений (–
∞; 1) ∪ (1; +∞);
f(x) =1 +
2
1x −
, т.к. пусть f(x) = a;
x
= 1 +
2
1a −
; f′ =
2
2
(1)x
−
−
— функция убывает везде на области опре-
деления; экстремумов нет.
б) область определения (–
∞;+∞); (x
2
–4)
2
== f(x), тогда область значений
[0; +
∞); x=0 — максимум; x=±2 — минимумы, тогда на (–∞; –2) ∪ (0;
2) убывает, на (–2; 0)
∪ (2; +∞) — возрастает.
в)
f=
1
2
ctg
2
x; область определения (πn; π+πn), область значений [0;+∞),
минимумы в
4
3
+πn; на ;
2
nn
π
⎛⎞
π
+π
⎜⎟
⎝⎠
убывает; на ;
2
nn
π
⎛⎞
+
ππ+π
⎜⎟
⎝⎠
возрастает.
а) б) в)
ПС-10
1. а) y′=
53
431
35
(5 3 5 3 ) 1
21
xx
xxx
x
−
−
−−+=
−
431
53( ) 1xx x
−
−
−+
+
53
35
21
x
x
x
−
−
;
б)
y′ =
22
ln
ln 1 ln
x
x
xx
xxx
e
xe
exxe xx
x
exexe
−
−−
==
;
135
в)
y′ =
2
12 1
3cos3 sin ctg
3333
sin
3
xx
x
x
−+ =
2
2
ctg
3
1
3
3cos3 sin
33
sin
3
x
x
x
x
−
+=
=
2
ctg
12
3
3cos3 sin
333
sin
3
x
x
x
x
−+⋅ ;
2.
f′(x) = 119(3x
2
– 2x
3
)
118
(3x
2
– 2x
3
)′ = 119(3x
2
– 2x
3
)
118
(6x – 6x
2
) =
= 714
x(3x
2
– 2x
3
)
118
(1 – x).
3.
y′′=
1
9
y; y=C
1
cos
1
3
x
+C
2
sin
1
3
x
; y′=
12
11
sin cos
33 3 3
CC
x
x−+ ; y(0)=C
1
=3;
y′(0) =
2
3
C
= –1, C
2
= –3, y = 3cos
121
2(1)(1)1tt t t
=+
−
−+ +
– 3sin
1
3
x
.
ПС-11
1. а) x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; 0) ∪ (0; +∞) и
x=–2;
б)
x ∈ (–1; 0);
в)
21
0
134
xx
xx
−−>
−−
;
4(3 ) 2 4 (1 ) (1 )(3 )
0
4(3 )(1 )
xx x x x x
xx
−−⋅⋅−−− −
>
−−
(
)
1
(3)
3
0
(3)(1)
xx
xx
+−
>
−−
;
x ∈ (–∞; –3) ∪
(
)
1
;1
3
∪ (3; +∞).
2.
f′(x)=2(x–1)(x–3)
2
+2(x–3)(x–1)
2
=(x –
1)(
x – 3)(2(x – 3) + 2(x – 1)) = –24; (x –
2)(
x – 1)(x – 3) = –6; x(x
2
– 6x + 11) = 0, т.к. x
2
– 6x + 11 не имеет кор-
ней, то
x = 0, тогда f(0) = 9, тогда y = –24x + 9.
3.
F = ma; a = v′ = x′′ = 6t +
2
1
t
; F = (30t +
2
5
t
)H.
ПС-12
1.
–
3
–
2
+
–
–
–
10
+
+
–
10
–
+
13
+
+
–
3
1
+
–
+
3
1
3
–
+
136
2.
f′ = 60x
5
– 60x
4
– 60x
3
+ 60x
2
= 0;
x
2
(x
3
–x
2
–x+1) = 0; f′(x)=0 при x=0 и x = –1.
x
–
∞; –1
–1; 0
0; +∞
f′
– + +
на (–
∞; –1) убывает; на (–1; +∞) возрастает;
x = –1 — точка минимума.
ПС-13
1. f′(x) = 20x
4
– 60x
3
= 0 при x = 0; x =
1
3
, тогда f
min
и f
max
х=0,
1
1
3
±
, но
f
min
не существует. f
max
031
=
−
.
2.
V = πr
2
h = πh(16 – h
2
); V′(h) = 0 при h =
4
3
, т.к. h =
4
3
точка ми-
нимума, то ответ:
h =
4
3
.
ПС-14
1. F′(x) = f(x); F′ =
2
3
13
13
x
x
x
x
+
+⋅ = = f.
2.
F(x) =
1
3
2
11(21)
() sin(21)(21)
22
(2 1)
dx
fx xdx x d x
x
+
=− + +− =
+
∫∫ ∫ ∫
31
11 1
cos(2 1)
22(21)
31
x
xC
x
+
=++++
+
+
;
3. а)
8
8
4
4
cos 4 1 sin 4 1 1 1
24 48 8484832
xxx
dx
π
π
π
π
π
ππ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+=+ =+−=−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
∫
;
б)
47
88
8
7
3
33
0
00
3 3 384 6
254
7777
xxdx xdx x===⋅==
∫∫
.
4.
S = S
1
– S
2
, найдем точки пересечения: –x
2
+ 4 = x
2
– 2x; 2x
2
– 2x–4=0;
x
2
–x–2=0; (x–2)(x+1)=0; x
1
=–1, x
2
=2; S
1
=
2
2
1
(+4)=
x
dx
−
−
∫
2
3
1
1
=( +4 )
3
xx
−
− =9;
S
2
=
2
2
232
1
1
1
(+2)=( +)=
3
xxdxxx
−
−
∫
8
1
+4+
33
–1=6; S=S
1
–S
2
=3.
ПС-15
1.
log 8
125
425
4
9
7
11
2( log )
log
42
(9 ) 7
+−
⋅
= 3
17
.
137
2. а)
2
2
2
log 2
10
log
log 3
x
x
+=; log
2
x = t;
110
3
t
t
+=
; 1 + t
2
=
10
3
t
; t
2
–
10
3
t
+1 = 0;
(
t – 3)
1
3
t
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
= 0; x
1
= 8, x
2
=
3
2
.
б)
2
4log
55
log
5
66
x x−
= ; log
5
x = t; t
2
– 4t – 5 = 0; t
1
= 5; t
2
= –1; x
1
= 5
5
, x
2
=
1
5
.
3. 4
–|x–5|
≤
8
1
; 2
–2|x–5|
≤ 2
–3
; 2|x–5| ≥ 3; |x – 5| ≥
3
2
; x ∈
(
]
[
)
;3,5 6,5;
−
∞∪+∞
.
ПС-16
1. а) 5
x
–
1
1
4
5
x−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
; 5
x
= t; t –
5
t
= 4; t
2
– 4t – 5 = 0; t
1
= 5, t
2
= –1; x = 1;
б)
1413312xx x++ + = + ; 1 2 1 4 13 4 13 3 12xxxxx
+
++ +++=+;
2141322xx x++=−−; 14 13 ( 1)xx x
+
+=−+;
1( 4 13 1) 0xx x++++=; x = –1.
2. log
0,3
(x
2
– 5x + 7) > 0; 0 < x
2
– 5x + 7 < 1; x
2
–5x+6 < 0; (x – 3)(x – 2) < 0;
x ∈ (2; 3).
3.
22
22
() 4
() 12
xyxy
xyxy
⎧
−=
⎨
+=
⎩
; x
3
y
2
= t; x
2
y
3
= m;
{
4
12
tm
tm
−
=
+
=
;
{
8
4
t
m
=
=
;
32
23
8
4
xy
xy
⎧
=
⎨
=
⎩
;
23
2
4
4
x
y
xy
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
;
{
2
1
x
y
y
=
=
;
2,
1.
x
y
=
=
ПС-17
1. f(x) = (cosx)
sinx
= e
sinx ln cosx
; f′(x) = (sinx ln cosx)′e
sinx ln cosx
=
2
sin
cos ln cos
cos
x
xx
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
e
sinx ln cosx
.
2.
F(x) =
33
23
(3 1) ( )
xx xx
x
edxedxx
++
+= +
∫∫
= e
x
3
+x
+ C.
3.
f′(x) = 2
x
ln2 – ln2 = (2
x
– 1)ln2; f′(x) = 0 при x = 0.
x < 0 x > 0
– +
x < 0 — убывает; x > 0 — возрастает, т.к. в x = 0 f(0) = 0 и f возрастает
на
x >0, то f(x) > 0; 2
x
> 1 + xln2.
ПС-18
1. F(x) =
1330,5
() 2 (0,5) 2
dx
fx x dx x dx e xd x
x
+
=++ +=
∫∫ ∫ ∫ ∫
32 31
0,5
22ln
32 31
x
xx
exC
++
=++++
++
+ 2lnx + C.
138
2. а) б)
3. y′ =
4
3
; y =
3
1
x
Ce .
Вариант 9
ПС-1
1.
33
45 29 2 45 29 2 2 21+−−=.
Пусть это не так, например:
33
45 29 2 45 29 2 2 2+−−<, возведем
в куб и получим:
33
45 29 2 45 29 2 2 2+−−>, но это невозможно,
т.е.:
33
45 29 2 45 29 2 2 2+−−=.
2. Пусть всего жидкости за час вытекает, тогда
2
(1 ) 0, 81
100
x
−=, т.е.
x=10%.
3.
(3)(1)(1)(3)(3)
(3)(1)(1)(3)(3)
xx x xx
xx x xx
+−++ +−
=
−++− +−
(
)
()
33(1)(1)3
33(1)(1)3
xxx xx
xxx xx
++−++−
=
−−++−+
=
3
3
x
x
+
−
; при x = 5 выражение равно 2.
ПС-2
1. Рассмотрим теорему синусов:
sin sin sin
abc
==
α
βγ
, тогда a, b, c про-
порциональны числам 5, 12, 13. Пусть 1-я 5
x, 2-я 12x, 3-я 13x. S=
4
abc
R
=
=
2
51213 2
413
x⋅⋅⋅⋅
⋅
= 30x
2
; P=5x+12x+13x=30x, x=1 см; S=30 см; P = 30 см.
2.
2
250
1
||6
xx
x
⎧
+≥
⎨
<
⎩
;
5
0
2
||6
xx
x
⎧
⎛⎞
⎪
+
≥
⎜⎟
⎨
⎝⎠
⎪
<
⎩
;
(
]
5
;0 ;
2
||6
x
x
⎧
⎡
⎞
⎪
∈
−∞ ∪ − +∞
⎟
⎢
⎨
⎣
⎠
⎪
<
⎩
;
x ∈ (–6;
5
2
−
] ∪
[
)
0; 6 .
139
ПС-3
1.
13 13
42 42
31 31
24 24
44
(4 )( ) (4 )( )
abc ac b
ca b ca b
+−
+
=
+−−−
=
13 3 13 3
42 2 42 2
13
4
44 44
1
16
()
abc c ac b c
c
ab
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
+−+−+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
=
⎜⎟
−
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
1 3 13 13 1 3
33
4 2 42 42 4 2
13
4
1164 4 4 16 4
16
()
abcacbcac bacbc
c
ab
⎛⎞
⎜⎟
+− −+ −+−
=
⎜⎟
−
⎜⎟
−
⎝⎠
=
11
333
44
133
4
116 16 16
16 16
()
abc bac c
cc
ab
⎛⎞
⎜⎟
−
−+ +
=
⎜⎟
−
−
⎜⎟
−
⎝⎠
(с > 0).
2.
y
2
=t;
121
2(1)(1)1tt t t
=+
−−++
;
2
12(2 )(2 )( 1)
(2 )( 1)( 1)
tttt
tt t
−− − − − −
=
−−+
2
23
0
(2 )( 1)( 1)
tt
tt t
−−
==
−−+
;
3
(1)
2
0
(2 )( 1)( 1)
tt
tt t
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
−−+
;
3
2
t
=
;
3
2
y =±
.
ПС-4
1. 3(x
2
– 3)
()()
2
111
33 3
3
33
xxxxx
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
−= + − + −
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
.
2.
D=b
2
+8b
2
=9b
2
; x
1,2
=
2
311
;
2
4
bb
bb
b
±
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
;
11
2bb
< ;
1
1
b
<
при | b | > 1.
3.
x
2
+ x – 1 = 0 — корни существуют, т.к. D = 5 > 0; применим теорему
Виета.
x
1
+ x
2
= –1; x
1
x
2
= –1; x
1
2
+ 2x
1
x + x
2
2
= 1; x
1
2
+ x
2
2
= 3; x
1
4
+
+ 2
x
1
2
x
2
2
+ x
2
4
= 9; x
1
4
+ x
2
4
= 7. Ответ: 7.
ПС-5
1. S
n
=
115
8
15
2
aa
na
+
⋅= ⋅
.
39
39
6
135
16
aa
aa
+=
⎧
⎪
⎨
−=
⎪
⎩
;
3
9
2
99
135
16
16 96 135 0
a
a
aa
⎧
=
⎪
⎨
⎪
−
+=
⎩
;
3
9
;
4
a =
9
15
4
a =
;
3
15
;
4
a =
9
9
4
a =
;
140
a
9
– a
3
= 6d =
6
4
или
6
4
−
, тогда d =
1
4
±
; a
8
= a
9
– d =
14
4
или
10
4
, тогда
S
15
= 52,5 или 37,5.
2. 1+11+ ... +
1991
11 ... 1
14
2
43
= 1991 + 10 ⋅ 1990 + ... + 10
1990
=
1992
2
10 10 9 1991
9
−−⋅
.
3. 1 + 2
⋅ 2
1
+ 3 ⋅ 2
2
+ 4 ⋅ 2
3
+ ...+ p ⋅ 2
p–1
=
1
1
2
p
n
n
n
−
=
∑
= 1 + (p – 1) ⋅ 2
p
.
ПС-6
1.а) 2sin
8
α + 2sin
6
αcos
2
α + 2sin
4
αcos
4
α + 2sin
4
αcos
2
α + 2sin
6
αcos
4
α +
+ 2sin
2
αcos
6
α + 2sin
4
αcos
4
α + 2sin
2
αcos
6
α + 2cos
8
α – sin
8
α – cos
8
α =
=sin
8
α+4sin
6
αcos
2
α+6sin
4
αcos
4
α+4sin
2
αcos
6
α+cos
8
α=(sin
2
α+cos
2
α)
4
= 1.
б)
7
7
8101214
sin sin sin sin
1
15 15 15 15
357
2
2 sin sin sin sin
15 15 15 15
ππππ
=
ππππ
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
; т.к.
87
15 15
π
π
=π−
и т.д.
sin
α = sin(π – α).
2.
3 4cos 2 cos 4
3 4cos 2 cos 4
−α+α
+α+α
= tg
4
α;
224
4
8sin 2 2 8sin 4sin
4cos
α
−+− α+ α
α
= tg
4
α.
3.
γ = π – (α + β); tgα + tgβ + tg(π – (α + β)) = tgαtgβtg(π – (α + β));
tg
α + tgβ – tg (α + β) = –tgαtgβtg (α + β); tgα + tgβ –
tg tg
1tgtg
α
+β
−
αβ
=
= –tg
αtgβ
tg tg
1
1tgtg
⎛⎞
α+ β
⎜⎟
−αβ
⎝⎠
;
22
tg tg tg tg
1tgtg
−
αβ− βα
−αβ
=
22
(tg tg tg tg )
1tgtg
−
αβ+ βα
−αβ
.
ПС-7
1. а)
13
sin cos
22
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
sin4x = 1; sin
1
1
3
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
sin4x = 1, т.к. |sinx| ≤ 1, то
либо
sin 4 1
sin 1
3
x
x
=
⎧
⎪
π
⎛⎞
⎨
+=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
либо
.
sin 4 1,
1
sin 1
3
x
x
=−
⎧
⎪
π
⎛⎞
⎨
+
=−
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
82
2
6
x
n
x
n
ππ
⎧
=+
⎪
⎨
π
⎪
=+π
⎩
либо
3
62
7
2
6
x
n
x
n
π
π
⎧
=+
⎪
⎨
π
⎪
=
+π
⎩
– решений нет;
б)
24
8sin cos cos cos sin
55 5 5 5
x
xxx x
=
;
8
sin sin
55
x
x
=
;
8
sin sin 0
55
xx
−
=
;
79
2sin sin 0
10 10
xx
=
;
7
sin 0
10
x
=
;
9
sin 0
10
x
=
;
10
7
x
n
π
=
;
510
99
x
k
π
=
+π
, n, k∈Z;