Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование эксперимента
Подождите немного. Документ загружается.
Российский государственный университет
нефти и газа им. И.М. Губкина
Серия
Прикладная математика в инженерном деле
В.В. Рыков, В.Ю. Иткин
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Конспект лекций для студентов специальности 01.02 -
“Прикладная математика”
РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина
c
Рыков В.В., Иткин В.Ю. 2008
Москва, 2008
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ВВЕДЕНИЕ 11
1 Задачи математической статистики и планирования
эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Предмет математической статистики и плани-
рования эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Примеры задач математической статистики . . 12
1.3 Понятие о статистической модели . . . . . . . . 13
1.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 14
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Лабораторная работа №1 . . . . . . . . . . . . . . 15
1 ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА И ОБРАБОТ-
КИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ 16
2 Выборки и их представления . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Вариационный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Эмпирическая функция распределения . . . . . 19
2.4 Группировка данных . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Представление многомерных данных . . . . . . . 26
2.6 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 29
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Лабораторная работа №2. . . . . . . . . . . . . . 30
3 Выборочные моменты и другие числовые характери-
стики выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Вычисление выборочных моментов
по сгруппированным данным . . . . . . . . . . . 33
3.3 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 34
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Содержание 2
Лабораторная работа № 3 . . . . . . . . . . . . . 34
2 ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРА-
МЕТРОВ 36
4 Постановка задачи. Требования к оценкам . . . . . . . 36
4.1 Пример: оценка неизвестной вероятности в схе-
ме Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Постановка задачи. Требования к оценкам . . . 37
Состоятельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Несмещенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Эффективность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Информация
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Понятие и нформац ии . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Свойства и нформац ии . . . . . . . . . . . . . . . 43
Аддитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Точность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Убывание информации . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 44
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Неравенство Рао-Крамера и эффективные оценки . . . 46
5.1 НОМД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Неравенство Рао-Крамера . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Эффективные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 51
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Достаточные статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1 Определение. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Необходимое и достаточное условие достаточ-
ности статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Теорема Блекуэлла-Колмогорова . . . . . . . . . 54
6.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 55
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1
Раздел не входит в обязательный курс.
Содержание 3
7 Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . . 57
7.1 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Свойства ОМП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4 Состоятельность ОМП . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.5 Асимптотические эффективность и нормаль-
ность ОМП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.6 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 62
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 ТЕОРИЯ ИНТЕРВАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ И
НЕКОТОРЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕ-
СКОЙ СТАТИСТИКИ 64
8 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.1 Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3 Пример: X ∈ N (µ, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 Доверительный интервал для неизвестной веро-
ятности в схеме Бернулли . . . . . . . . . . . . . 67
8.5 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 69
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Лабораторная работа №8. . . . . . . . . . . . . . 70
9 Интервальная оценка дисперсии нормального распре-
деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.2 χ
2
- р аспр ед еле ние . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.3 Интервальная оценка дисперсии нормального
распределения при известном математическом
ожидании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.4 Интервальная оценка дисперсии нормального
распределения при неизвестном математиче-
ском ожидании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.5 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 75
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Содержание 4
10 Интервальная оценка м.о. нормального распределения 76
10.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.2 t - р аспр ед еле ние Стьюдента . . . . . . . . . . . 77
10.3 Интервальная оценка неизвестного м.о. нор-
мального распределения при неизвестной дис-
персии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 79
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11 Интервальные оценки параметров при больших выбор-
ках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.1 Асимптотическая нормальность
∂ ln L
∂θ
при n → ∞ 80
11.2 Интервальные оценки параметров при больших
выборках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.3 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 83
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 85
12 Основные понятия. Постановка задачи . . . . . . . . . . 85
12.1 Понятие о статистической гипотезе . . . . . . . . 85
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.2 Классификация гипотез . . . . . . . . . . . . . . 86
12.3 Критическая область. Размер и мощность кри-
терия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.4 Статистики критерия и требования к ним . . . . 89
12.5 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 90
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13 Проверка простых гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
13.1 Теорема Неймана-Пирсона . . . . . . . . . . . . . 91
13.2 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.3 НКО и достаточные статистики . . . . . . . . . . 93
Содержание 5
13.4 Проверка простой гипотезы против класса аль-
тернатив . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.5 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 94
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14 Проверка равенства математических ожиданий . . . . . 95
14.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.2 Дисперсии равны и известны, σ
2
1
= σ
2
2
= σ
2
. . . 96
14.3 Дисперсии равны, но неизвестны, σ
2
1
= σ
2
2
. . . . 97
14.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 98
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 98
15 Проверка равенства дисперсий. Критерий Фишера . . . 99
15.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.2 Статистика критерия . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.3 F -распределение Фишера и его свойства . . . . . 100
Моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Связь между F
n,m
и F
m,n
, а также с B-
распределением . . . . . . . . . . . . . . 101
Асимптотика F
n,m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4 Свойства к ри тери я Фишера . . . . . . . . . . . . 103
15.5 Применения критерия Фишера . . . . . . . . . . 104
Проверка однородности . . . . . . . . . . . . . . 104
Проверка адекватности регрессионной модели . 104
15.6 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 104
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 105
16 Проверка сложных параметрических гипотез при
больших выборках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
16.1 Асимптотическое свойство отношения правдо-
подобий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
16.2 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.3 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Содержание 6
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 110
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 110
17 Критерии согласия и независимости . . . . . . . . . . . 111
17.1 Критерий согласия Пирсона . . . . . . . . . . . . 111
17.2 Критерий Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . 114
17.3 Критерий проверки независимости . . . . . . . . 115
17.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 118
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА 120
18 Понятие о статистической зависимости . . . . . . . . . 120
18.1 Виды статистической зависимости. Модели . . . 120
18.2 Характеристики зависимости и связи . . . . . . 122
18.3 Многомерное нормальное распределение . . . . 125
18.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 129
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
19 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . 131
19.1 Линейная регрессионная модель . . . . . . . . . 131
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
19.2 МП оц енка коэффициентов линейной регрес сии 132
19.3 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . 134
19.4 Свойства м етода наименьших квадратов . . . . 135
Несмещенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Точность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Свойство оп тимал ьности НК-оценок . . . . . . . 136
19.5 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 137
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Лабораторная работа . . . . . . . . . . . . . . . . 139
20 Планирование многомерного эксперимента . . . . . . . 140
20.1 Постановка задачи. Основные понятия . . . . . . 140
Содержание 7
20.2 Цели планирования эксперимента и кр итер ии
оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
20.3 Ортогональные планы . . . . . . . . . . . . . . . 144
20.4 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 145
21 Полный и дробный факторные эксперименты . . . . . . 146
21.1 Полный факторный эксперимент типа 2
k
. . . . 146
21.2 Свойства п олног о факторного эксперимента . . 148
21.3 Дробный факторный эксперимент . . . . . . . . 153
21.4 Свойства д робного факторного эксперимента . . 156
21.5 Планирование эксперимента при поиске макси-
мума функции нескольких переменных . . . . . 157
21.6 Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Вопросы для контроля . . . . . . . . . . . . . . . 158
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Курсовая работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A Обработка данных на компьютере 160
22 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
23 Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
23.1 Встроенные распределения . . . . . . . . . . . . 161
23.2 Задание с.в. п о произвольн ому закону . . . . . . 163
23.3 Числовые значения параметров . . . . . . . . . . 165
24 Выборки и манипуляции с ними . . . . . . . . . . . . . . 169
24.1 Типы выборочных данных . . . . . . . . . . . . . 169
24.2 Манипуляции с данными . . . . . . . . . . . . . . 171
24.3 Вариационный и статистический ряды . . . . . . 173
24.4 Э.ф.р. и выборочные квантили . . . . . . . . . . 174
24.5 Группировка наблюдений и гистограмма . . . . 177
25 Выборочные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ189
C ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ПЛАНИРОВА-
НИЮ ЭКСПЕРИМЕНТА 201
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Предисловие
Настоящее издание представляет собой конспект одноименного
курса лекций, читавшегося в течение ряда лет студентам специаль-
ности 01.02 — “Прикладная математика” Российского государствен-
ного университета нефти и газа им. И.М.Губкина.
При подготовке курса использовались классические учебники,
монографии и руководства по статистике. Однако, специфика под-
готовки специалистов по прикладной математике в облас ти нефтега-
зовых отраслей промышленности, наложила свой отпечаток на курс.
Большинство примеров ориентировано на применение в нефтегазо-
вых отраслях промышленности. В приложении для самостоятель-
ных заданий использованы, с разрешения авторов, материалы для
лабораторных работ Э.П.Чен-Син и О.Н.Кочуевой [4], а также зада-
ния для курсового проектирования по планированию экспериментов
Я.А.Хургина, Э.В.Калининой и Т.М.Эсериной [3], за что автор вы-
ражает им искреннюю благодарность.
Список обозначений
В скобках приведены №№ страниц, где вводятся соответствующие
сокращения
ДФЭ — дробный факторный эксперимент (153);
ПФЭ — полн ый факторный эксперимент (146);
ЗБЧ — закон больших чисел (21);
ММП — м етод максимального правдоподобия (57);
МНК — метод наименьших квадратов (131);
МОП — метод отношения правдоподобий (91);
НКО — наилучшая критическая область (92);
МПЭ — матри ца плана эксперимента (142);
н.о.р. с.в.— независимые одинаково распределенные случайные ве-
личины (17);
ОМП — оценка максимального правдоподобия (58);
ОНК — оценка наименьших квадратов (135);
п.р. — пл отность распре дел ен ия (16);
ПСВ — простой сл учайный выбор (16);
с.в. — случайная величина (с.в. обозначаются заглавными латински-
ми буквами X, Y, Z а их значения — малыми x, y, z) (12) (??);
УЗБЧ — усиленный закон больших чисел (21);
ф.п. — функция правдоподобия (57);
ф.р.— Функц ия распре дел ен ия: F (x) = F
X
(x) = P{X ≤ x} (12);
х.ф. — характеристическая функция: f(t) = f
X
(t) = Ee
itX
(??);
ЦПТ — централ ьная предел ьная теорема(37);
э.ф.р. — эмпи ри чес кая функция распределения (20);
P, M, D — символы вероятности, математического ожидания, дис-
персии (11, 32);
κ(X, Y ) = cov(X, Y ) — ковариация (33);
ρ(X, Y ) — коэффициент корреляции (33);
N(µ, σ
2
) — нормально распределенная с.в. с параметрами µ и σ
2
(43);
N(~µ, C) — нормально распределенный случайный вектор с вектором
математических ожиданий ˜µ и ковариационной матри цей C (??);
Φ(x) — функция стандартного нормального распре дел ени я (37);
~a
0
— символы транспонирования вектора (матрицы) (??);
det C — определитель матрицы C (??);