Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование эксперимента

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 1 Основы выборочног о метода 20

Таким образом, величина F

(x) является с.в. при любом фиксиро-

ванном x, а функция F

(x) представляет собой пример случайной

функции.

Определение 2.1. Функция F

(x) называется эмпирической функ-

цией распределения (э.ф.р.) или выборочной функцией.

Пример 2.1. Ниже приведены значения пористости некоторой по-

роды:

0.204, 0.193, 0.211, 0.187, 0.188, 0.189, 0.184, 0.181, 0.163, 0.174, 0.191,

0.188, 0.191, 0.191, 0.191, 0.190, 0.139, 0.145, 0.126, 0.096, 0.047.

Построим вариационный ряд, упорядочив выборку:

0.047, 0.096, 0.126, 0.139, 0.145, 0.163, 0.174, 0.181, 0.184, 0.187, 0.188,

0.188, 0.189, 0.190, 0.191, 0.191, 0.191, 0.191, 0.193, 0.204, 0.211.

Построенная по эти м данным э.ф.р. предс тавлена на рис.2.1.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(x)

Рис. 2.1. Э.ф.р. пористости.

Глава 1 Основы выборочног о метода 21

Значение э.ф.р. для математической статистики и связь с реаль-

ной ф.р. раскрываются следующими фундаментальными теоремами.

Теорема 2.2. Для всех x имеет место предельное соотношение

при n → ∞

(x) → F (x) по вероятности и с вероятностью 1.

Доказательство. вытекает из обычного или усиленного ЗБЧ

, есл и

заметить, что с.в. F

(x) имеет биномиальное распределен ие с пара-

метром F (x).

Обозначим теперь D

= sup

x∈R

(x) − F (x)|.

Теорема 2.3 (Гливенко-Кантелли). Сходимость F

(x) к F (x) по-

чти наверное равномерная, т.е.

→ 0 п.н.

Теорема 2.4 (Колмогоров). Справедливо предельное соотношение

lim

n→∞

√

≤ x} = K(x) =

−∞<k<∞

(−1)

−2k

Доказательство этих теорем выходит за рамки настоящего курса. Их

также можно найти в специальной литературе.

Замечание. Теоремы 2.2-2.4 показывают, что э.ф.р. F

(x) сходится

к своему теоретическому аналогу F (x) и позволяют использовать ее

в качестве оценки последней, причем теорема 2.4 дает также воз-

можность вычислять как точность, так и надежность этой оценки.

В случае наблюдений за дискретной с.в. или при небольшой точ-

ности наблюдений, в выборке могут встретиться много совпадающих

данных, например, наблюдение x

встречается n

раз, наблюдение

— n

раз и т.д., наблюдение x

— n

раз; при этом, конечно,

+ n

+ ··· + n

= n. В этом случае удобно воспользоваться ста-

тистическим рядом, в котором указываются значения вариант x

частот и х наблюдения n

ЗБЧ – Закон больших чисел

Глава 1 Основы выборочног о метода 22

Таблица 2.1. Статистический ряд

варианта x

(1)

. . . x

(k)

число наблюдений n

. . . n

Э.ф.р. для таких наблюдений будет иметь скачки величиной

в точках x

(i)

Пример 2.2. В примере 2.1 значения x

= 0.188 и x

= 0.191 встре-

чались соответственно n

= 2 и n

= 4 раза. Поэтому э.ф.р. в этих

точках имеет скачки величиной

Помимо э.ф.р. наблюдения над дискретными с.в. можно изобра-

зить графически полигоном частот, в котором по оси абсцисс откла-

дывают варианты, а по оси ординат - ч астоты (или относительные

частоты). Т.е. полигон частот – это эмпирический (выборочный) ряд

распределения дискретной с.в.

Пример 2.3. На рис. 2.2 представлен полигон частот по n = 2000

наблюдениям с.в., имеющей биномиальное распределение с парамет-

рами m = 10, p = 0.5.

Полезными характеристиками выборки являются эмпирические,

или выборочные квантили, которые определяются аналогично тео-

ретическим по э.ф.р.

Определение 2.2. Выборочной α-квантилью называется такое зна-

чение вариационного ряда, левее которого ле жат [nα] членов вариа-

ционного ряда.

Аналогично определяются выборочные квартили и медиана. В

частности, нижней выборочной квартилью является наблюдение с

номером l =





+ 1, а верхней вы борочной квартилью—наблюдение

с номером l =





+ 1. Выборочной медианой называется значение

выборки, делящее ее на две равные части. Выборочную квантиль

будем обозначать cc

Глава 1 Основы выборочног о метода 23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

∆ F

(x)

Рис. 2.2. Полигон частот выборки из биномиальной генеральной со-

вокупности

Таким образом, для выборки нечетного объема n = 2k + 1 вы-

борочной медианой является k + 1-ый член вари ационн ого ряда,

0.5

= x

(k+1)

, а для выборки четного объема n = 2k за выборочную

медиану можно принять любое из чисел в интервале [x

(k)

, x

(k+1)

однако мы будем полагать в этом случае, что выборочная медиана

равна dc

0.5

(k)

(k+1)

Выборочные медиана и квартили позволяют дать простейшее на-

глядное представление выборки в виде “прямоугольной диаграммы”

(box plot). Прямоугольная диаграмма предс тавляет собой прямо-

угольник с центром в точке dc

0.5

и нижней и верхней стороной в

точках \c

[

]+1

и \c

[

]+1

соответственно.

Особенно полезно строить такие диаграммы для сравнения ана-

логичных наблюдений над различными объектами.

Пример 2.4. Проницаемость может измеряться двумя методами:

промысловым и по шлифам. Первый метод дал следующие резуль-

таты:

Глава 1 Основы выборочног о метода 24

0.55, 1, 7.7, 7.8, 5.6, 1.7, 0.9, 3.2, 0.74, 1.2, 4.5, 3.8, 0.4, 3.1, 4.2, 3.5,

а второй:

0.13, 0.46, 10.9, 6.6, 9.3, 1.3, 3.4, 3.7, 1.5, 2.7, 3.7, 1.5, 0.6, 7.7, 4.2,

4.8.

На рис. 2.3 приведена прямоугольная диаграмма (box-plot) для

этих выборок .

1 2

Рис. 2.3. Прямоугольная диаграмма проницаемости .

2.4 Группировка данных

При наблюдении за непрерывно распределенной с.в., если объем

выборки n велик, n >> 1, иногда оказывается неудобным хранить и

обрабатывать такой большой объем информации. Для сокращения

этого объема (хотя и с некоторой потерей информации) часто при-

бегают к группировке данных и построению рядов распределений и

э.ф.р. по сгруппированным данным. Группировка д анных состоит в

том, что весь интервал изменения наблюдаемой величины, т.е. ин-

тервал [x

(1)

, x

(n)

] разбивают на несколько k (обычно k = 10 − 20)

подынтервалов одинаковой (или разной, но чаще одинаковой) дли-

ны, вычисляют число вариант, попавших в каждый из подынтерва-

лов и составляют статистический ряд вида

Глава 1 Основы выборочног о метода 25

Таблица 2.2. Группировка данных

Интервалы (y

, y

] . . . (y

k−1

, y

]

Число наблюдений n

. . . n

Обозначим концы подынтервалов через y

(i = 0, k). При подсче-

те частот n

необходимо позаботиться, чтобы каждую варианту счи-

тать только один раз, т.е. границы подынтервалов ∆

присоединять

к одному из них.

По сгруппир ованным данным можно строить э.ф.р., приписывая

ее скачки каким-либо точкам (обычно центру) интервалов.

Для наглядного представления непрерывно распред еле нной с.в.

часто пользуются гистограммой частот (или относительных ча-

стот), которая строится по сгруппированным данным следующим

образом: ось абсцисс разбивается на интервалы группировки и над

каждым интервалом строится прямоугольник высотой

или со-

ответственно

n∆

. Таким образом, площадь получившейся фигуры

равна соответственно x

(n)

− x

(1)

или 1.

Пример 2.5. Рассмотрим в качестве примера группировку данных

и построение э.ф.р. и г истогр амм ы для данных из пример а 2.1.

Размах выборки равен R = 0.211 − 0.047 = 0.164. Несколько рас-

ширяя интервал наблюдений примем за левый конец точку y

= 045,

а за правый - точку y

= 0.215 и разобьем этот интервал на 5 равных

частей величиной ∆ = 0.034. Тогда интервалы группировки рав-

ны ∆

= (0.045, 0.079], ∆

= (0.079, 0.113], ∆

= 0.113, 0.147], ∆

0.147, 0.181], ∆

= (0.181, 0.215], а таблица 2.4 примет вид

Таблица 2.3. Сгруппированные данные

Интервалы ∆

∆

Число наблюдений 1 1 3 3 13

На рис . 2.4 представлена гистограмма частот для этих данных.

Глава 1 Основы выборочног о метода 26

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Рис. 2.4. Гистограм ма порис тости.

2.5 Представление многомерных данных

Значительно сложнее обработка и представление многомерных

данных. Наглядное представление в виде поля распределения или

таблицы распределения (частот, относительных час тот) возможно

лишь в д вумерн ом случае.

Пусть имеется выборка x

, . . . , x

наблюдений по двум призна-

кам x

= (y

, z

). Наглядное представление о двумерном распределе-

нии можно получить в виде поля наблюдений, которое представля-

ет собой в системе координат y0z множество точек с координатами

, z

) i =

1, n. Рассмотрим пример построения двумерного поля.

Пример 2.6. Ниже приведен пример построения поля наблюдений,

Глава 1 Основы выборочног о метода 27

где первой компонентой является проницаемость, измеренная про-

мысловым методом, а второй – по шлифам (см. пример 2.4).

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 2.5. Поле наблюдений.

Другим способом наглядного представления двумерных данных

является составление таблиц двумерных статистик, в ячейках кото-

рых указывается количество наблюдений, попавших в соответству-

ющие интервалы значений признаков.

Глава 1 Основы выборочног о метода 28

Таблица 2.4. Сгруппированные двумерные данные прониц аемости

z/y [0.4, 2.25) [2.25, 4.1) [4.1, 5.95) [5.95, 7.8]

[0.13, 2.8) 6 1 0 0

[2.8, 5.5) 1 2 1 0

[5.5, 8.2) 0 2 0 1

[8.2, 10.9] 0 0 1 1

Рис. 2.6. Трехме рная гистограм ма

Глава 1 Основы выборочног о метода 29

2.6 Дополнения

Вопросы для контроля

1. Дайте опр еде лен ия:

а) генеральной совокупности,

б) выборки,

в) простого случайного выбора,

г) вариационного ряда,

д) размаха выборки,

е) эмпирической функции распределения,

ж) статистического ряда,

з) гистограммы.

2. Сформулируйте теорему о предельном поведении максимально-

го ч ле на вариационн ого ряда.

3. Сформулируйте теоремы о сходимости эмпир ич еской функции

распределения к теоретической.

4. В че м состоит группи ровка данных и когда она применяется?

5. Что такое поле наблюдений?

Упражнения

1. Рассмотрим случайную величину, связанную игрой в орлянку:

X =



0, если выпадает орел;

1, если выпадает решка.

Подкидывая монетку, выписать выборку случайной величины X

различных объемов: по n = 10, 30 и 40 наблюдений.

2. Построить теоретическую и выборочную функции распределе-

ния для сл учайн ой величи ны X.

3. Построить э .ф.р. для случайной величины X (таблица 2.5) и

вычислить выборочные вероятности:

∗

{X < −1}; P

∗

{X > 0, 1}; P

∗

{−1, 4 < X < −1}.