Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование эксперимента
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 1 Основы выборочног о метода 30
Таблица 2.5. Выборка с.в. X
-1,05 -0,47 -2,43 -0,36 -0,42 -0,74 -1,54 -1,37
-0,280 -0,751 -0,872 1,335 0,029 -1,022 -1,330 0,551
-0,469 0,979 0,014 -1,582 1,267 0,085 -0,418 -0,730
4. Построить э.ф.р. для давления на забое P (таблица 2.6 и вычис-
лить выборочные вероятности:
P
∗
{P < −1}; P
∗
{P > 20}; P
∗
{12 < P < 25}.
Таблица 2.6. Выборка значений забойного давления P
18,8 14,9 21,0 25,1 24,8 26,9 11,3 19,1 24,4 15,7
17,2 13,2 12,6 16,1 16,9 11,5 17,7 18,4 20,5 18,5
18,7 18,5 25,4 19,7 19,3 17,9 27,9 23,5 29,5 17,4
Лабораторная работа №2.
1. По индивидуальным статистическим данным, предложенным
преподавателем из приложения B, построить, используя средс тва од-
ного из статистических программных средств (по выбору):
а) вариационный ряд,
б) эмпирическую функцию распределения,
в) гистограмму,
2. Используя двумерные статистические данные из индивидуаль-
ного задания, построить с помощью одного из статистических про-
граммных средств (по выбору):
а) поле наблюдений,
б) трехмерную гистограмму.
Глава 1 Основы выборочног о метода 31
§ 3 Выборочные моменты и другие числовые
характеристики выборки
3.1 Определения
В теории вероятностей при изучении одно- и многомерных с.в.
мы часто пользуемся числовыми характеристиками этих с.в. и их
распределений — моментами (математическим ожиданием, диспер-
сией, коэффициентами ковариации и корреляции и др.). При изуче-
нии выборок и их свойств в статистике пользуются аналогичными
понятиями выборочных моментов.
Определение 3.1. Выборочными, или эмпирическими моментами
называются моменты, вычисленные с помощью э.ф.р.
В дальнейшем будет видно, какую важную роль играют выбороч-
ные моменты в статистике. В статистике принято обозначать теоре-
тические момен ты греческими буквами, а выборочные - соответству-
ющими латинскими. Таким образом, для с.в. x с ф.р. F (x), X ∈ F (x)
и п.р. p(x) через µ
0
k
и µ
k
k = 1, 2 . . . обозначаются теоретические
начальные и центральные моменты, т.е.
µ
0
k
= MX =
Z
x
k
p(x)dx,
µ
k
= M[X − µ
0
1
] =
Z
(x − µ
0
1
)
k
p(x)dx,
(всюду в дальнейшем, если пределы интегрирования не указаны, то
подразумевается, что они изменяются от −∞ до +∞)
а че ре з m
0
k
и m
k
- с оответствующие выборочные моме нты,
m
0
k
=
Z
x
k
dF
n
(x) =
1
n
X
1≤i≤n
x
k
i
, k = 1, 2 . . .
m
k
=
Z
(x − m
0
1
)
k
dF
n
(x) =
1
n
X
1≤i≤n
(x
i
− m
0
1
)
k
, k = 1, 2 . . . .
Первые два момента как теоретические, так и выборочные имеют
Глава 1 Основы выборочног о метода 32
специальные обозначения,
µ
0
1
= MX = µ, µ
2
= DX = σ
2
;
m
0
1
= m = ¯x =
1
n
X
1≤i≤n
x
i
,
m
2
= S
2
=
1
n
X
1≤i≤n
(x
i
− ¯x)
2
,
при этом ¯x аналогично µ характеризует центр выборки, а S
2
и σ
2
-
ее разброс. Здесь символы M и D обозначают математическое ожи-
дание и дисперсию соответственно.
В случае многомерных выборок, т.е. наблюдений по нескольким
признакам, одномерные выборочные характеристики, как и одномер-
ные теоретические характеристики вычисляются по соответствую-
щим маргинальным
2
распределениям и совпадают с соответствую-
щими характеристиками, вычисленными по наблюдениям за одним
признаком.
Дополнительного пояснения требуют только смешанные момен-
ты. Напомни м, что для k-мерной с.в. X = (X
1
, . . . , X
k
) с ф.р.
F (x) = F (x
1
, . . . x
k
) = P{X
1
≤ x
1
, . . . X
k
≤ x
k
}
и п.р.
p(x) = p(x
1
, . . . x
k
) =
∂
k
F
∂x
1
···∂x
k
смешанным начальным моментом порядка s = (s
1
, . . . , s
k
), (s = s
1
+
··· + s
k
) наз ывается величина
µ
0
s
1
,...,s
k
=
Z
. . .
Z
x
s
1
1
···x
s
k
k
p(x
1
, . . . , x
k
)dx
1
···dx
k
.
Аналогичный начальный смешанный выборочный момент по k-
мерной выборке x
1
, . . . , x
n
объема n, где x
i
= (x
i1
, ··· , x
ik
) опреде-
ляется соотношением
m
0
s
1
,...,s
k
=
1
n
X
1≤i≤n
x
s
1
i1
···x
s
k
ik
.
2
Напомним, что маргинальным называется распределение одной или несколь-
ких компонент многомерного распределения.
Глава 1 Основы выборочног о метода 33
По аналоги и с централ ьными см ешан ным и момен тами
µ
s
1
,...,s
k
=
Z
. . .
Z
(x
1
− µ
1
)
s
1
···(x
k
− µ
k
)
s
k
p(x
1
, . . . , x
k
)dx
1
···dx
k
,
где µ
i
= µ
e
i
, e
i
- единичный вектор i-го направления, определяются
смешанные центральные выборочные моменты,
m
s
1
,...,s
k
=
1
n
X
1≤i≤n
(x
i1
− ¯x
1
)
s
1
···(x
ik
− ¯x
k
)
s
k
.
В дальнейшем нас будут интересовать только вторые смешанные
моменты - коэффициенты ковариации
κ
ij
= cov(X
i
, X
j
) =
Z
···
Z
(x
i
− µ
i
)(x
j
− µ
j
)p(x
1
, . . . , x
k
)dx
1
···dx
k
,
и их нор мир ованные аналоги - коэффициенты корреляции,
ρ
ij
=
cov(X
i
, X
j
)
√
DX
i
p
DX
j
=
κ
ij
σ
i
σ
j
.
Выборочные коэффициенты ковариации и корреляции имеют соот-
ветственно вид
k
ij
=
1
n
X
1≤l≤n
(x
li
− ¯x
i
)(x
lj
− ¯x
j
),
r
ij
=
k
ij
S
i
S
j
.
Из сходимости э.ф.р. к теоретической (см. теоремы 2.2 - 2.4 из
§2) следует сходимость эмпирических моментов к теоретическим в
случае существования последних.
3.2 Вычисление выборочных моментов
по сгруппированным данным
Вычисление выборочных моментов остается в силе и в том слу-
чае, когда они вычисляются с помощью э.ф.р., построенной по сгруп-
пированным данным. Нужно, однако, помнить, что при группиров-
ке данных истинные значения вариант смещаются (в центр или
Глава 1 Основы выборочног о метода 34
один из концов интервалов группировки) относительно своих ча-
стот. При этом значения м омен тов, вычисленные по сгруппирован-
ным данным, отличаются от соответствующих величин, полученным
без группировки. Так им образом, выборочные моменты, вычислен-
ные по сгруппированным данным, обладают некоторыми системати-
ческими ошибками по сравнению с теоретическими моментами, зави-
сящими от интервала группировки. При некоторых условиях можно
ввести поправки на группировку данных, называемые поправками
Шеппарда, позволяющие устранить это смещение (см. [12]).
3.3 Дополнения
Вопросы для контроля
1. Дайте опр еде лен ия:
а) выборочного среднего,
б) выборочных д исп ерс ии и стандартного отклонения,
в) выборочных центральных и начальных моментов любого по-
рядка,
г) выборочных ковариации и корреляции.
2. Сформулируйте теоремы о сходимости эмпирических моментов
к теоретическим.
3. Что такое поправки Шеппарда и когда они используется?
Упражнения
1. Вычислить выборочные среднее, дисперсию и стандартное от-
клонение для выборки, заданной таблицей 2.5.
2. Вычислить выборочные среднее, дисперсию и стандартное от-
клонение для давления на забое P , заданного таблицей 2.6.
Лабораторная работа № 3
1. По индивидуальным статистическим д анным из предыдущей
лабораторной работы вычислить, используя одно из статистических
программных средств:
Глава 1 Основы выборочног о метода 35
а) выборочные средние,
б) выборочные дисперсии и стандартные отклонения,
в) выборочные ковариацию и корреляцию,
г) выборочные медиану, нижний и верхний квартили, построить
прямоугольную диаграмму.
Глава 2.
ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ
§ 4 Постановка задачи. Требования к оценкам
4.1 Пример: оценка неизвестной вероятности в схеме
Бернулли
Прежде чем перейти к общей формулировке задачи точечного
оценивания рассмотрим простой пример схемы Бернулли. Статисти-
ческая модель в этом сл учае была сформулирована в примере 1 п.
1.2 и имее т вид
X = {A,
¯
A}, P = (0, 1)
где p ∈ (0, 1)—набор возможных значений вероятности “успеха” в
рассматриваемом эксперименте.
Задача состоит в том, чтобы по выборке x
1
, . . . , x
n
объема n (раз-
мер выборки определяется заранее), где x
i
= 1
A
i
- индикатор собы-
тия A
i
, оценить значение неизвестного параметра p (высказать суж-
дение о параметре p), т.е. поставить в соответствие наблюдениям
x
1
, . . . , x
n
число ˆp, которое будем называть оценко й параметр а p.
Таким образом, задача состоит в постр оени и функции T
n
=
T
n
(x
1
, . . . , x
n
), которую следует рассматривать в качестве оценки
(estimation) параметра p. Интуитивно и из опыта ясно, что в качестве
оценки неизвестной вероятности P(A) = p события A целесообразно
рассмотреть частоту h
n
наблюдений события A в серии n испытаний,
h
n
=
ν
n
n
, ν
n
=
X
1≤i≤n
x
i
.
Таким образом,
ˆp = h
n
=
1
n
X
1≤i≤n
x
i
. (4.1)
Из курса теории вероятностей известно, что согласно закону
больших чисел при n → ∞ частота h
n
появления события A сходит-
ся по вероятности (и с вероятностью 1) к его вероятности, h
n
→ p.
Глава 2 Точечное оценивание параметров 37
Более того, следуя ЦПТ
1
можно оценить вероятности отклонений
частоты h
n
от ис тинн ой вероятности p,
P
|h
n
− p| ≤ x
r
pq
n
= P
ν − np
√
npq
≤ x
→ Φ(x) − Φ(−x) =
= 2Φ(x) − 1, (4.2)
где Φ(x) - ф.р. стандартной нормальной с.в.
Из этих рассуждений следует, что величину h
n
действительно
можно рассматривать как оценку параметра p; более того, соотноше-
ние (4.2) п озволяет оценить, в некотором смысле, точность и надеж-
ность этой оценки. Мы вернемся к этому примеру позже, а теперь
рассмотрим естественные требования к оценкам.
4.2 Постановка задачи. Требования к оценкам
Пусть имеется возможность многократно наблюдать с.в. X с ф.р.
F (x; θ), зависящей от н еиз вестног о параметра θ ∈ Θ. Тогда мы име-
ем дело с параметрической статистической моделью (X, P), которая
имеет вид (R
1
, P
θ
). Требуется по наблюдениям x
1
, x
2
, . . . , x
n
постро-
ить функцию
ˆ
θ = T (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) такую, чтобы ее значения
ˆ
θ были
близки в некотором смысле к θ при любых θ и x
1
, x
2
, . . . , x
n
, т.е.
чтобы с.в.
ˆ
θ = T(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)была близка к истинному значению
параметра θ при любых его значениях и набдюдениях x
1
, x
2
, . . . , x
n
.
Определение 4.1. Измеримая функция T (x
1
, . . . , x
n
) от наблюде-
ний называется статистикой.
Однако не всякая статистика является разумной оценкой. Рас-
смотрим требования, которые следует предъявлять к статистикам,
чтобы и х можно было рассматривать в качестве “разумных” оценок
неизвестных параметров.
1
ЦПТ—Центральная предельная теорема.
Глава 2 Точечное оценивание параметров 38
Состоятельность
Для того, чтобы статистику
ˆ
θ = T (X
1
, . . . , X
n
) можно было рас-
сматривать в качестве оценки параметра θ необходимо, чтобы оценка
приближалась к оцениваемому параметру при увеличении размера
выборки. Такие оценки выделяются с помощью следующего опреде-
ления.
Определение 4.2. Оценка называется состоятельной, если она
сходится по вероятности к оцениваемому параметру, p lim
n→∞
ˆ
θ
n
= θ,
или
P{|
ˆ
θ
n
− θ| < } → 1 для любых > 0 и θ ∈ Θ при n → ∞.
Примеры
1. h
n
- с остоятельная оценка p (см. п. 4.1);
2.
¯
X - состоятельная оценка µ.
Действительно, согласно неравенству Чебышева,
P{|
¯
X − µ| ≥ } ≤
D
¯
X
2
.
Отсюда, учитывая то, что D
¯
X = σ
2
/n, имеем
lim
n→∞
P{|
¯
X − µ| < } = 1 − lim
n→∞
P{|
¯
X − µ| ≥ } ≤
≤ 1 − lim
n→∞
σ
2
n
2
→ 1.
Несмещенность
Понятие состоятельности - асимптотическое. Однако на практи-
ке всегда приходится иметь дело с выборками конечного размера.
Поэтому к оценкам необходимо предъявлять такие требования, что-
бы они давали хорошие результаты для выборок конечного размера.
Естественное требование для этого состоит в том, чтобы вычислен-
ные для различных выборок значения оценок
ˆ
θ группировались во-
круг истинного значения параметра θ.
Глава 2 Точечное оценивание параметров 39
Определение 4.3. Оценка
ˆ
θ называется несмещенной, если
M
θ
ˆ
θ(X
1
, . . . , X
n
) = θ для всех θ ∈ Θ.
Здесь M
θ
означает символ математического ожидания, вычисленно-
го п о распре дел ени ю P
θ
с параметром θ.
Примеры
1.
¯
X - несмещенная оценка µ в модели (X, P
µ
), где P
µ
- произволь-
ное семейство распределений с неизвестным математическим ожида-
нием µ. Действительно,
M
¯
X = M
1
n
X
1≤i≤n
X
i
=
1
n
X
1≤i≤n
MX
i
=
1
n
nµ = µ.
2. S
2
= n
−1
P
1≤i≤n
(X
i
−
¯
X)
2
—смещенная оценка σ
2
в модели
(X, P
(µ,σ
2
)
), где P
(µ,σ
2
)
- произвольное семейство распределений с
неизвестными математическим ожиданием µ и дисперсией σ
2
. Дей-
ствительно:
MS
2
= M
1
n
X
1≤i≤n
(X
i
−
¯
X)
2
=
1
n
M
X
1≤i≤n
((X
i
− µ) − (
¯
X − µ))
2
=
=
1
n
M
X
1≤i≤n
(X
i
− µ)
2
− 2n(
¯
X − µ)
2
+ n(
¯
X − µ)
2
=
=
1
n
M
X
1≤i≤n
(X
i
− µ)
2
− n(
¯
X − µ)
2
=
1
n
nσ
2
− M(
¯
X − µ)
2
=
= σ
2
− M
1
n
X
1≤i≤n
(X
i
− µ)
2
=
= σ
2
−
1
n
2
M
X
1≤i≤n
(X
i
− µ)
2
+
X
1≤i<j≤n
(X
i
− µ)(X
j
− µ)
=
= σ
2
−
1
n
2
nσ
2
=
n − 1
n
σ
2
.