Рыков В.В., Иткин В.Ю. Математическая статистика и планирование эксперимента
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 70
Лабораторная работа №8.
1. По индивидуальным статистическим данным, предложенным
преподавателем из приложения B, построить, используя средс тва од-
ного из статистических программных средств (по выбору):
а) добавить лаб
б)
в)
2. а)
б)
§ 9 Интервальная оценка дисперсии нормаль-
ного распределения
9.1 Постановка задачи
Рассмотрим задачу оценки неизвестной дисперсии σ
2
нормально
распределенной с.в. с известным м.о. µ. Известно (см. разд. 6.4), что
достаточной для σ
2
является статистика
S
2
n
=
1
n
X
1≤i≤n
(X
i
− µ)
2
.
Очевидно, распределение величины S
2
зависит от неизвестного пара-
метра σ
2
. Чтобы построить доверительный интервал для него необ-
ходимо найти такую функцию от статистики S
2
и параметра σ
2
,
распределение которой не зависело бы от параметра σ
2
. Рассмотрим
с этой ц елью велич ину
g(S
2
n
, σ
2
) =
nS
2
n
σ
2
=
X
1≤i≤n
X
i
− µ
σ
2
.
Каждое из слагаемых в правой части является квадратом стандарт-
но нормально распределенн ой с.в.,
X
i
−µ
σ
∈ N (0, 1). Поэтому рас-
пределение статистики
nS
2
n
σ
2
совпадает с распределением суммы n
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 71
квадратов независимых стандартных нормал ьных величин. Распре-
деление этой величины зависит лишь от числа слагаемых n и не
зависит от исходного неизвестного параметра σ; оно называется χ
2
n
-
распределением с n степенями свободы.
9.2 χ
2
- распределение
Определение 1. χ
2
n
-распределением с n степенями свободы на-
зывается распределение суммы квадратов n независимых стандарт-
но н орм ально распр еде лен ных с.в.,
χ
2
n
=
X
1≤i≤n
Z
2
i
, (9.1)
где Z
i
∈ N(0, 1) (i = 1, . . . , n) - н.о.р. с.в.
Характеристическая функция квадрата стандартно нормально
распределенной с.в. равна
f(t) = Me
itX
=
1
√
2π
Z
∞
−∞
e
itx
2
e
−
x
2
2
dx = (1 − 2it)
−
1
2
.
Откуда для х.ф. f
χ
2
n
(t) най дем
f
χ
2
n
(t) = (1 − 2it)
−
n
2
. (9.2)
Можно показать (пользуясь, например, формулой свертки для
плотностей), что п.р. χ
2
n
-распределения имеет вид
p
χ
2
n
(x) =
(
0 x ≤ 0,
1
2
n/2
Γ(n/2)
x
n
2
−1
e
−
x
2
x > 0.
(9.3)
Это распределение является частным случаем (при α =
n
2
) Γ-
распределения, определяемого для любого α > 0 плотностью
p
Γ
(x) =
(
0 x ≤ 0,
1
Γ(α)
x
α−1
e
−x
x>0.
(9.4)
с х.ф.
f
Γ
(t) = (1 − 2it)
−α
. (9.5)
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 72
Сравнение (9.2) с (9.5) показывает, что
χ
2
2
имеет Γ-распределение
с параметром α =
n
2
.
Дифференцируя (9.2) при t = 0 найдем моменты χ
2
n
-
рапределения
Mχ
2
n
= −if
0
χ
2
n
(0) = n,
Dχ
2
n
= −if
00
χ
2
n
(0) + (f
0
χ
2
n
(0))
2
= 2n.
Из (9.4) видно, что при α > 1 мода Γ-распределен ия равна m =
α − 1.
Максимум плотности χ
2
n
-рапределения достигается
• при x = n − 2 и конечен для n > 2;
• при x = 0 и конечен для n = 2;
• при x = 0 и бесконечен для n = 1.
Отметим некоторые свойства χ
2
n
-распределения:
1. Согласно УЗБЧ
χ
2
n
n
→ 1 по вероятности и с вероятностью 1.
2. При n → ∞ согласно ЦПТ справедливо соотношение
Y
n
=
χ
2
n
− n
√
2n
→ N(0, 1).
Действительно,
f
Y
n
(t) = exp
−
int
√
2n
1 −
2it
√
2n
−
n
2
и
ln f
Y
n
(t) = −
int
√
2n
−
n
2
−
2it
√
2n
−
1
2
2it
√
2n
2
+ o(
1
n
)
!
=
= −
t
2
2
+ o(
1
n
) → −
t
2
2
.
Существуют подробные таблицы χ
2
-распределения. Сокращен-
ная таблица приведен а в приложении.
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 73
9.3 Интервальная оценка дисперсии нормального рас-
пределения при известном математическом ожидании
В случае известного математического ожидания нормальной вы-
борки в качестве статистики для построения доверительного интер-
вала д ля диспе рси и можно использовать функцию
χ
2
n
=
nS
2
n
σ
2
=
X
1≤i≤n
X
i
− µ
σ
2
.
Эта величина имеет согласно определени ю χ
2
n
-распределения с n сте-
пенями свободы. Поэтому задаваясь доверительным коэффициентом
1 − α найдем из таблиц
α
2
- и 1 −
α
2
-квантили χ
2
n
-распределения, т.е.
числа c
1
и c
2
такие, что
P{χ
2
n
≤ c
1
} = F
χ
2
n
(c
1
) =
α
2
и P{χ
2
n
≤ c
1
} = F
χ
2
n
(c
2
) = 1 −
α
2
.
Тогда
P{c
1
≤
nS
2
n
σ
2
< c
2
} = F
χ
2
n
(c
2
) − F
χ
2
n
(c
1
) = 1 −
α
2
−
α
2
= 1 − α,
т.е. с вероятностью 1 − α выполняется неравенство
c
1
≤
nS
2
n
σ
2
< c
2
,
а вме сте с ним и неравен ство
nS
2
n
c
2
≤ σ
2
<
nS
2
n
c
1
,
определяющее искомый доверительный интервал.
9.4 Интервальная оценка дисперсии нормального рас-
пределения при неизвестном математическом ожида-
нии
Рассмотрим теперь случай, когда м.о. µ неизвестно. В этом случае
статистика
S
2
n
=
1
n
X
1≤i≤n
(X
i
−
¯
X)
2
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 74
согласно примеру 2 разд. 4.2 (см. стр. 39) дает смещенную оценку,
MS
2
n
=
1
n
M
X
1≤i≤n
(X
i
−
¯
X)
2
=
n − 1
n
σ
2
.
Поэтому устраняя смещение рассмотри м статистику
S
2
n
=
1
n − 1
X
1≤i≤n
(X
i
−
¯
X)
2
, (9.6)
которая является несмещенной оценкой и достаточной статистикой
для дисперсии σ
2
. Если теперь, как и раньше, рассмотреть статисти-
ку
g(S
2
n
, σ
2
) =
(n − 1)S
2
n
σ
2
=
X
1≤i≤n
X
i
−
¯
X
σ
2
, (9.7)
то она уже не будет иметь желаемого χ
2
-распределения, так как со-
ставляющие сумму справа слагаемые зависимы. Для того, чтобы из-
бавиться от этой зависмости, преобразуем сумму справа следующим
образом
X
1≤i≤n
X
i
−
¯
X
σ
2
=
X
1≤i≤n
X
i
− µ
σ
−
¯
X − µ
σ
2
=
=
X
1≤i≤n
X
i
− µ
σ
2
− n
¯
X − µ
σ
2
=
=
X
1≤i≤n
Y
2
i
−
1
n
X
1≤i≤n
Y
i
2
, (9.8)
где величины Y
i
=
X
i
−µ
σ
∈ N(0, 1) стандартно нормально распреде-
лены и независимы. Подберем теперь ортогональное преобразование
U, Z = U Y, Z = (Z
1
, . . . , Z
n
)
0
, Y = (Y
1
, . . . , Y
n
) такое, чтобы Z
n
=
1
√
n
(Y
i
+···+Y
n
). В силу ортогональности преобразования U совмест-
ное распределение величин Z
i
будет нормальным и величины оста-
ются независимыми (см. упр. 9.4), прич ем
P
1≤i≤n
Y
2
i
=
P
1≤i≤n
Z
2
i
.
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 75
Тогда выражение (9.8) преобразуется к виду
g(S
2
n
, σ
2
) =
(n − 1)S
2
n
σ
2
=
X
1≤i≤n
Z
2
i
− Z
2
n
=
X
1≤i≤n−1
Z
2
i
= χ
2
n−1
,
из которого следует, что величина
(n−1)S
2
n
σ
2
имеет χ
2
n−1
-распределение
с n − 1 степен ями свободы.
Отсюда легко получим правило построения доверительных ин-
тервалов для неи звестн ой дисперсии σ
2
нормального распределения
при неизвестном м.о. Задаваясь коэффициентом доверия 1 − α най-
дем
α
2
- и 1 −
α
2
-квантили χ
2
n−1
-распределения с n −1 степенями сво-
боды, т.е. числа c
1
и c
2
, удовлетворяющие условиям
P{χ
2
n−1
≤ c
2
} = F
χ
2
n−1
(c
2
) = 1 −
α
2
и
P{χ
2
n−1
> c
1
} = 1 − F
χ
2
n−1
(c
2
) =
α
2
.
Тогда эквивалентные неравенства
c
1
≤
(n − 1)S
2
n
σ
2
< c
2
,
(n − 1)S
2
n
c
2
≤ σ
2
<
(n − 1)S
2
n
c
1
,
выполняются с вер оятностью 1 − α. Последнее из этих неравенств
задает доверительный интервал для неизвестной дисперс ии с задан-
ным коэффициентом доверия 1 − α.
Замечание. При построении доверительных интервалов здесь ис-
пользовались для простоты симметричные интервалы, хотя для χ
2
-
распределения этот интервал, возможно, не является оптимальным
по д ли не инте рвалом.
9.5 Дополнения
Вопросы для контроля
1. Дайте опр еде лен ие χ
2
n
-распределения с n степенями свободы.
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 76
2. Перечислите свойства χ
2
-распределения.
3. Как построить доверительный интервал д ля неизвестной дис-
персии нормального распределени я при известном математическом
ожидании?
4. Как построить доверительный интервал д ля неизвестной дис-
персии нормального распределения при неизвестном математиче -
ском ожидании?
Упражнения
1. Вывести формулу (9.3) для п.р. χ
2
-распределения.
2. Вывести формулу (9.2) для х.ф. χ
2
-распределения.
3. Вычислить 4 момента χ
2
-распределения.
4. Доказать что при ортогональном преобразовании U стандарт-
но нормально распределенный вектор Y ∈ N(0, I) преобразуется в
стандартно нормально расапределенный вектор Z = UY ∈ N(0, I).
§ 10 Интервальная оценка м.о. нормального
распределения
10.1 Постановка задачи
В примере на стр.66 была рассмотрена интервальная оценка м.о.
нормального распределения при известной дисперсии. В этом слу-
чае с.в.
¯
X−µ
σ
√
n имеет стандартное нормальное распределение, т.е.
не зависит от параметра, что позволяет строить для м.о. µ дове-
рительный интервал. Когда дисперсия σ
2
неизвестна (что является
обычной с итуацией), естественно заменить ее оценкой S
2
n
. Однако по-
лучающаяся при этом статистика T
n
=
¯
X−µ
√
S
2
n
√
n уже не будет иметь
нормального распределения. Распределение с.в. T
n
возникает во мно-
гих задачах математической статистики. Впервые это распределение
ввел и рассмотре л лорд Госсет (W.S. Gosset), работавший под псевдо-
нимом Стьюдент, откуда и произошло название этого распределе ния
- распределение Стьюдента.
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 77
10.2 t - распределение Стьюдента
Определение 10.1. t
n
-расп ределением Стьюдента с n степенями
свободы называется распределение с.в.
T
n
=
Y
p
χ
2
n
√
n (10.1)
где Y ∈ N(0, 1) и с.в Y и χ
2
n
независимы.
П.р. t
n
-распределения имеет вид
p
T
n
(x) =
1
√
nB(
1
2
,
n
2
)(1 +
x
2
n
)
n+1
2
, −∞ < x < ∞, (10.2)
где B(p, q) =
R
1
0
x
p−1
(1 − x)
q−1
dx (p > 0, q > 0) − β-функция.
Моменты t
n
-распределения существуют только для k < n, при-
чем в силу симметрии плотности t
n
-распределения нечетные момен-
ты р авны 0, а для четных справедлива формула
µ
2k
= n
k
Γ(k +
1
2
) · Γ(
n
2
− k)
Γ(
1
2
) · Γ(
n
k
)
, 2k < n.
В ч астности , второй момент равен
µ
2
= n
Γ(
3
2
) · Γ(
n
2
− 1)
Γ(
1
2
) · Γ(
n
2
)
=
n
n − 2
.
Т.к.в силу УЗБЧ Y
n
=
χ
2
n
n
→ 1 с вероятностью 1, то
При n → ∞ справедливо соотношени е
T
n
→ N(0, 1). (10.3)
10.3 Интервальная оценка неизвестного м.о. нормаль-
ного распределения при неизвестной дисперсии
Следуя р азд. 10.2 для построения доверительного интервала в
этом случае будем пользоваться статистикой
T
n−1
=
¯
X − µ
p
S
2
n
√
n =
¯
X−µ
σ
√
n
S
n
σ
=
¯
X−µ
σ
√
n
r
P
1≤i≤n
X
i
−
¯
X
σ
2
√
n − 1.
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 78
Если воспользоваться ортогональным преобразованием разд. 9.4 ее
можно привести к виду
T
n−1
=
Z
n
q
P
1≤i≤n−1
Z
i
√
n − 1,
где Z
i
∈ N(0, 1) - н.о.р. с.в. Откуда видно, что статистика T
n−1
=
¯
X−µ
§
n
√
n имеет t
n−1
-распределение Стьюдента с n −1 степенями сво-
боды. Таким образом, для построения доверительного интервала с
коэффициентом доверия 1 − α можно искать нижнюю и верхнюю
доверительные границы соответственно из условий
P{T
n−1
≤ c
1
} = α
1
, и P{T
n−1
≤ c
2
} = 1 − α
2
.
При этом н ераве нство
c
1
≤
¯x − µ
S
n
√
n < c
2
(10.4)
а вме сте с ним и неравен ство
¯x −
c
2
S
n
√
n
< µ ≤ ¯x +
c
1
S
n
√
n
выполняются с вероятностью 1 − α
1
− α
2
= 1 − α.
Замечание. В силу симметрии t
n−1
-распределения Стьюдента (1 −
α)100% доверительный интервал, найденный из условия (3) будет
минимальным при выборе c
2
= −c
1
= t
n−1,1−
α
2
, где t
n−1,1−
α
2
— (1 −
α
2
)-квантиль распределения Стьюдента,
F
t
n−1
(t
n−1,1−
α
2
) = 1 −
α
2
.
При этом д овери тельный ин тервал пр ини мает вид
¯x −
t
n−1,1−
α
2
S
n
√
n
< µ ≤ ¯x +
t
n−1,1−
α
2
S
n
√
n
.
Глава 3 Интервальное оценивание параметров 79
10.4 Дополнения
Вопросы для контроля
1. Дайте определение t
n
-распределения Стьюдента с n степенями
свободы.
2. Перечислите основные свойства t
n
-распределения Стьюдента.
3. Как построить доверительный интервал для неизвестного мате-
матического ожидания нормального распределения при неизвестной
дисперсии?
Упражнения
1. Пусть с.в. T имеет распределение Стьюдента с n степенями сво-
боды. Докажите, что M(T
2k−1
) = 0, если 2k < n, и M(T
2k−1
) = ∞ в
противном случае.
2. Построить 90% доверительный интервал для м.о. нормального
распределения при известной дисперсии σ = 4.
3. Построить 90% доверительный интервал для м.о. нормального
распределения при неизвестной дисперсии.
4. Доказать соотношение (3) в пункте 10.2.
5. Доказать следующее утверждение
Y
n
=
χ
2
n
n
→ 1,
с вероятностью 1 и по вероятности при n → ∞.
Лабораторная работа
По заданным статистическим данным пользуясь средствами
EXCEL построить доверительные интервалы для параметров нор-
мального распределения