Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии

91

3.3. Примеры решения задач

Задача 3.1

(Закон сохранения импульса)

Ствол игрушечной пушки направлен под углом

α

= 45° к го-

ризонту. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если она не

закреплена и может скользить по абсолютно гладкой поверхности.

Модуль скорости снаряда относительно пушки сразу после выстре-

ла равен

υ

0

= 2,2 м/с, а его масса в k = 10 раз меньше массы пушки.

Решение

Для решения задачи воспользуемся общей схемой решения

задач механики с помощью законов сохранения.

I. Выберем систему отсчета, связанную с горизонтальной по-

верхностью. Ось X декартовой системы координат направим гори-

зонтально, а ось Y – вертикально вверх. Определимся с моделями

материальных объектов и явлений. Система тел «пушка + снаряд»

является замкнутой вдоль оси X в течение интервала

времени от

момента, предшествующего выстрелу пушки, до момента времени

сразу после выстрела, поскольку в соответствии с условиями зада-

чи сил трения, действующих на тела системы, нет.

II. Запишем закон сохранения проекции импульса (3.13) на

ось X для выбранной системы тел и рассматриваемого интервала

времени:

0

сспп

=+

x

mm

υ

. (3.41)

Здесь

п

υ

и

xс

υ

– проекции скоростей пушки и снаряда после вы-

стрела на ось X.

Проекция на ось X неизвестной скорости снаряда относи-

тельно лабораторной системы отсчета

xс

υ

связана с проекциями

скорости пушки

п

υ

и относительной скорости снаряда

0

υ следую-

щим образом:

α

x

cos

0пс

υ

+

=

. (3.42)

Используем также заданное в условии задачи соотношение

между массами снаряда и пушки:

k

m

=

с

п

. (3.43)

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

92

III. Решая систему уравнений (3.41) – (3.43), находим иско-

мое выражение для проекции скорости пушки на ось X после вы-

стрела:

k

α

mm

m

α

+

−=

+

−=

1

coscos

0

пс

с

0п

υυυ

. (3.44)

Подставляя в (3.44) значения физических величин, заданных

в условии задачи, получаем

м/сек14,0

п

−

≅

υ

. (3.45)

Задача 3.2

(Закон сохранения импульса)

Две одинаковые тележки, на каждой из которых находится по

человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по

параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из

них на другую перепрыгнул человек в направлении, перпендику-

лярном к движению тележек. В результате первая тележка остано-

вилась, а скорость

второй стала равна V. Найти модули первона-

чальных скоростей тележек

1

V и

2

V , если масса каждой тележки

равна М, а масса каждого человека –

m

.

Решение

I. В соответствии с общей схемой решения задач на законы

сохранения определимся с моделями материальных объектов и яв-

лений. Пренебрегая сопротивлением воздуха, будем считать, что

скорость каждого человека сразу после прыжка равна его скорости

непосредственно перед приземлением на другую тележку.

На рис. 3.4 показано состояние системы тел для трех момен-

тов времени:

1

t – непосредственно перед прыжком,

2

t – момент,

когда оба человека находятся в полете,

3

t – сразу после приземле-

ния.

На рис. 3.4 также изображена выбранная система координат

XY, жестко связанная с рельсами, и обозначены скорости всех тел

в указанные моменты времени.

На временном интервале (t

1

, t

2

) будем рассматривать две сис-

темы тел: «первый человек + первая тележка» и «второй чело-

век + вторая тележка». Поскольку человек прыгнул в направлении,

перпендикулярном движению тележки, то после отрыва от тележки

проекция его скорости на ось X (совпадающую с направлением

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии

93

движения первой тележки; см. рис. 3.4) равна скорости тележки

после его прыжка.

На временном интервале (t

2

, t

3

) также рассмотрим две систе-

мы тел: «первый человек + вторая тележка», «второй чело-

век + первая тележка».

Поскольку все внешние по отношению к рассматриваемым

системам тел силы (силы тяжести и силы реакции рельсов) направ-

лены перпендикулярно направлению оси X, то эти системы тел

замкнуты в направлении данной оси, и для них выполняется закон

сохранения проекции импульса на соответствующих им временных

интервалах.

II. Запишем законы сохранения проекции импульса для вы-

бранных систем тел и выбранных временных интервалов.

Система тел «первый человек + первая тележка, временной

интервал ),(

21

tt :

xx

mVMVVmM

12121

)(

+

=+ . (3.46)

Из уравнения (3.46) следует, что скорость тележки после прыжка

человека не изменится:

112

VV

x

= . (3.47)

Аналогичный вывод можно сделать и для второй тележки,

рассматривая тот же временной интервал и систему тел «второй

человек + вторая тележка»:

Рис. 3.4

t = t

3

t = t

2

t = t

1

V

22y

V

22x

V

22x

V

12y

V

12x

V

12x

V

2

V

1

X

Y

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

94

222

VV

x

= . (3.48)

Система тел «второй человек + первая тележка, временной

интервал

),(

32

tt

:

0

21

=− mVMV . (3.49)

В (3.49) учтено, что первая тележка остановилась после приземле-

ния второго человека.

Для системы тел «первый человек + вторая тележка» и того

же временного интервала имеем:

VMmMVmV )(

21

+

−=− . (3.50)

III. Решая систему уравнений (3.49) – (3.50), находим иско-

мые модули скоростей тележек в начальный момент времени:

mM

m

VV

−

=

1

,

mM

M

VV

−

=

2

. (3.51)

Проанализируем полученное решение. Если массы тележек

разные, то (3.51) дает однозначный ответ на вопрос задачи. В слу-

чае, когда M = m обе тележки останавливаются (V = 0). При этом

начальные скорости тележек могут быть любыми по величине, но

равными друг другу:

21

VV

=

.

Задача 3.3

(Движение тел с переменной массой)

По двум горизонтальным рельсам движутся с постоянной

скоростью

υ

0

= 1 м/с без трения (по инерции) две одинаковые те-

лежки массой M

0

= 100 кг каждая. В некоторый момент времени

t

0

= 0 на обе тележки сверху непрерывной струйкой начинает сы-

паться песок так, что масса сыплющегося песка растет линейно по

закону m = kt, где k = 10 кг/с. В первой тележке есть устройство для

непрерывного выброса всего ссыпанного на нее песка в направле-

нии, перпендикулярном скорости тележки. Из второй тележки пе-

сок не

выбрасывается. Как будут зависеть от времени скорость и

перемещение каждой тележки? За какое время каждая тележка

пройдет расстояние L = 9 м?

Решение

I. В соответствии с общей схемой решения задач на законы

сохранения рассмотрим особенности процессов для обеих тележек.

В обоих случаях система тел «тележка + ссыпающийся на нее за

время dt песок» является замкнутой в направлении движения те-

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии

95

лежки, следовательно, можно использовать закон сохранения про-

екции импульса. Выберем системы координат так, как показано на

рис. 3.5.

II. Закон сохранения проекции импульса на ось X для систе-

мы тел «тележка + ссыпающийся на нее за время dt песок» и интер-

вала времени [t, t + dt] в обоих случаях имеет вид:

(

)

(

)

υ

d)(d)(0d)()(

+

=⋅+ tmtMmttM . (3.52)

Здесь M(t) и )(t

υ

– мгновенные значения массы и скорости тележ-

ки в момент времени t; dm – приращение массы тележки за малый

промежуток времени dt, d

υ

– приращение скорости тележки.

Из условия задачи следует, что

tkm dd

=

. (3.53)

Аналогично тому, как это было сделано в теоретическом вве-

дении при рассмотрении движения тел с переменной массой, пре-

небрежем в (3.52) членами второго порядка малости:

mtttM d)()(d)(0

υ

+

=

. (3.54)

Следовательно:

)(

d

)(

d

tM

tk

t

−=

υ

. (3.55)

Далее рассмотрим движение каждой тележки в отдельности.

Тележка №1.

В соответствии с условием задачи масса первой

тележки не меняется со временем (M(t) = M

0

), поэтому, интегрируя

(3.55), получим:

t

M

k

00

1

ln −=

υ

. (3.56)

Таким образом, зависимость скорости первой тележки от

времени имеет вид:

Рис. 3.5

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

96

t

M

k

et

0

01

)(

−

=

υυ

. (3.57)

Закон движения первой тележки получаем, интегрируя (3.57):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−===

−−

∫∫

t

M

k

t

M

k

t

e

k

M

tetttx

00

1dd)()(

00

0

11

υ

υυ

. (3.58)

Воспользовавшись законом движения (3.58), находим время,

за которое первая тележка пройдет расстояние

L = 9 м:

≅

−

=

00

0

1

ln

υ

M

Lk

k

M

t 23,0 с. (3.59)

Тележка 2

. В соответствии с условием задачи для массы вто-

рой тележки можно записать:

ktMtM +=

0

)(

, (3.60)

и уравнение (3.55) принимает вид:

ktM

tk

t +

−=

02

2

d

)(

d

υ

. (3.61)

После интегрирования (3.61) получаем:

ktM

M

+

=

0

2

lnln

υ

. (3.62)

Зависимость скорости второй тележки от времени имеет вид:

ktM

M

+

=

0

02

υυ

. (3.63)

Используя (3.63) находим закон движения второй тележки:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=

+

==

∫∫

0

00

0

00

0

22

1lndd)(

M

kt

k

M

t

ktM

M

ttx

tt

υυ

υ

. (3.64)

Воспользовавшись законом движения (3.64), находим время,

за которое вторая тележка пройдет расстояние L = 9 м:

≅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−= 1

00

0

2

υ

M

Lk

e

k

M

t 14,6 с. (3.65)

III. Проанализируем полученное решение. Масса второй те-

лежки увеличивается со временем, поэтому при падении на нее

очередной порции песка ее скорость уменьшается медленнее, чем

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии

97

скорость первой тележки. Графики зависимостей координат теле-

жек от времени показаны на рис. 3.6.

В соответствии с (3.58) координата первой тележки асимпто-

тически стремится к значению

k

M

x

00

max1

υ

= = 10 м. Скорость вто-

рой тележки также уменьшается со временем, однако ее координа-

та будет все время увеличиваться.

Задача 3.4

(Движение тел с переменной массой)

Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте с

помощью жидкостного ракетного двигателя. Начальная масса ра-

кеты (с топливом) равна M

0

= 10

5

кг, а скорость выбрасываемых

вертикально вниз газов равна u = 2600 м/с. Найти расход топлива

μ(t) и массу выброшенных ракетой газов в первую секунду полета.

Решение

I. Выберем систему координат, связанную с поверхностью

Земли, ось X которой направим вертикально вверх. Для анализа

условия равновесия будем использовать закон изменения импульса

для системы тел «ракета + вылетевшие из нее газы». На эту систе-

му тел действует внешняя сила – сила тяжести.

II. Закон изменения проекции импульса (см. (3.7)) ракеты за-

пишем в виде

t

gtMumtM d)(d0)(

−

=⋅−⋅ . (3.66)

Здесь M(t) – масса ракеты в момент времени t;

Рис. 3.6

0 100 200 300 400

0

50

100

150

x

, м

t

, с

1

2

L

x

1max

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

98

dttdm )(

μ

=

– (3.67)

изменение массы ракеты за малый промежуток времени dt.

Дополним это уравнение условием сохранения суммарной

массы ракеты и вылетающего газа:

0dd =+ mM

. (3.68)

III. Решим полученную систему уравнений (3.66) – (3.68) от-

носительно расхода топлива )(t

μ

.

Исключая из системы уравнений массу ракеты M и массу ис-

текающих их нее газов m, получаем дифференциальное уравнение

относительно )(t

μ

:

dtt

g

u

t )()(d

μμ

−= . (3.69)

Решаем (3.69) методом разделения переменных:

const)(ln +−= t

u

g

t

μ

, (3.70)

t

u

g

Aet

−

=)(

μ

. (3.71)

Константу интегрирования

A в (3.73) определяем из уравне-

ния (3.66), записанного для начального момента времени:

u

gM

A

0

)0( ==

μ

. (3.72)

В результате получаем искомое выражение для расхода топ-

лива:

t

u

g

e

u

gM

t

−

=

0

)(

μ

. (3.73)

Массу газов, выброшенных ракетой за время

t, находим в ре-

зультате интегрирования )(

t

μ

по времени:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

−

∫

t

u

g

t

eMtttm 1d)()(

0

μ

. (3.74)

При

g

u

t <<

масса выбрасываемых газов оказывается про-

порциональна времени их истечения:

t

u

g

Mtm

0

)( ≅ . (3.75)

Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии

99

Рис. 3.7

F

X

11

x

21

x

10

x

20

x

Поскольку по условию задачи c260c

8,9

2600

≅≅

g

u

, воспользу-

емся выражением (3.75) для нахождения искомой массы выбро-

шенных ракетой газов в первую секунду полета:

6.384)(

c1

0

c1

≅≅

=

t

u

g

Mtm

кг. (3.76)

Задача 3.5

(Закон изменения механической энергии)

Два шарика с одинаковой массой m, соединенные нерастяну-

той пружинкой длиной l

0

, лежат на гладкой горизонтальной по-

верхности. На один из шариков начинает действовать постоянная

сила

F, направленная вдоль оси пружинки. Через некоторое время

длина пружинки становится максимальной и равной l

max

. Опреде-

лить коэффициент упругости пружинки

k.

Решение

Приложим силу F к переднему по направлению действия си-

лы шарику (см. рис. 3.7), поскольку в соответствии с условием за-

дачи в результате действия силы происходит растяжение пружин-

ки.

Выберем систему координат, связанную с горизонтальной

поверхностью, направив ось X вдоль направления действия силы, и

обозначим координаты шариков

x

10

, x

20

в начальный момент време-

ни и x

11

, x

21

в момент максимального сжатия пружины (как показа-

но на рис. 3.7). В этом случае длина нерастянутой пружинки в ис-

ходном состоянии

10200

xxl

−

= , а ее длина в момент максимального

растяжения

1121max

xxl −= .

Движение тел системы, состоящей из двух связанных пру-

жинкой шариков, под действием внешней силы

F из-за изменяю-

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

100

щихся во времени внутренних упругих сил будет достаточно слож-

ным. Однако в момент времени, когда расстояние между шариками

максимально и равно

l

max

, скорости их будут равны, что сущест-

венно упрощает решение задачи. В соответствии с условием задачи

пренебрежем силами трения и сопротивления воздуха, массой

пружинки и размерами шариков. Воспользуемся законом измене-

ния механической энергии и теоремой о движении центра масс для

выбранной системы тел (см. п. 3.1).

II. Закон изменения механической энергии (3.39) для системы

«два шарика + пружинка» на интервале времени от начала дейст-

вия силы до момента максимального растяжения пружинки имеет

вид:

A

llkm

EE =

−

+=+

2

)(

2

2)(Δ

2

0max

2

pk

υ

, (3.77)

где

υ

– скорость шариков в момент максимального растяжения

пружины, а работа внешней силы равна

)(

2021

xxFA −

=

. (3.78)

Запишем уравнение движения центра масс (3.6) для рассмат-

риваемой системы «два шарика + пружинка»:

Fma =

цм

2 . (3.79)

Поскольку центр масс системы движется равноускоренно с

ускорением

цм

a , изменение координаты центра масс будет равно

цм

2

цм

20102111

222 a

xxxx

υ

=

+

−

+

, (3.80)

где

υυ

=

цм

– скорость центра масс в момент максимального растя-

жения пружины.

III. Подставляя (3.79) в (3.80), выражаем квадрат скорости

центра масс через координаты шариков:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

+

=

22

20102111

2

цм

xxxx

m

F

υ

. (3.81)

Решая систему уравнений (3.77), (3.78) и (3.81), получаем ис-

комый коэффициент упругости пружинки:

0max10201121

)()( ll

F

xxxx

F

k

−

=

−−−

= . (3.82)

Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.