Руденко В.М. Математична статистика
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211
F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɏɿɲɟɪɚ: F
ɟɦɩ
= s
1
2
/ s
2
2
.
x
Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ F
ɟɦɩ
ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.32, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ
ɮɨɪɦɭɥɢ – ɧɚ ɪɢɫ. 5.33. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ s
1
2
§ 1,54 s
2
2
§ 0,70. Ɂɜɿɞɫɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɬɚɤɟ: F
ɟɦɩ
= 1,54/0,70 § 2,21.
x
ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ F. Ⱦɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɧɚ
ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɸɬɶɫɹ ɞɜɚ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ F
ɤɪ
ɞɥɹ ɬɨɱɨɤ (Į/2)
ɿ (1– Į/2) F-ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɬɨɛɬɨ: F
Į/2
ɿ F
1-Į/2
ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df
1
= n
1
–
1= 14–1=13 ɿ df
2
= n
2
– 1= 16–1=15,
Ɋɢɫ. 5.32. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ
F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
Ɋɢɫ. 5.33. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ
F-ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ)
Ⱦɥɹ ɩɪɢɣɧɹɬɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į ɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df
1
ɿ df
2
ɤɪɢɬɢɱɧɿ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ
=FɊȺɋɉɈȻɊ(). Ⱦɥɹ Į = 0,05 ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ F
0,025
§ 2,92 ɿ F
0,975
§ 0,33; ɞɥɹ Į = 0,01
212
ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ F
0,005
§ 4,18 ɿ F
0,995
§ 0,22.
x
ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ F
ɟɦɩ
§ 2,21 ɧɟ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɭ
ɠɨɞɧɿɣ ɤɪɢɬɢɱɧɿɣ ɡɨɧɿ (0,33 < 2,21 < 2,92), ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
.
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɧɟɦɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜ
ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ.
ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɿɫɬɨɬɧɿɫɬɶ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɧɟ-
ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɲɥɹɯɨɦ ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɪ
ɟɦɩ
ɡɚ
ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =FɊȺɋɉ(B23;B22–1;C22–1), ɹɤɭ ɜɧɟɫɟɧɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ28
(ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.32 ɿ 5.33). əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɪ
ɟɦɩ
§ 0,072 (7,2%). ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɭɦɨɜɢ ɪ
ɟɦɩ
Į. ɍ ɧɚɲɨɦɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɧɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ
Į =0,05(5%) ɰɹ ɭɦɨɜɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ: 7,2% > 5%. ɐɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨ-
ɬɟɡɚ H
0
ɩɨɜɢɧɧɚ ɛɭɬɢ ɩɪɢɣɧɹɬɚ, ɹɤ ɰɟ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɜɢɳɟ.
ȿɤɫɩɪɟɫ-ɨɰɿɧɸɜɚɧɧɹ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ MS Excel
=ɎɌȿɋɌ(B3:B18;C3:C18)/2, ɹɤɭ ɜɧɟɫɟɧɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ29 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.32 ɿ 5.33).
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɮɭɧɤɰɿɹ ɩɨɜɟɪɬɚɽ ɨɞɧɨɛɿɱɧɭ ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨ-
ɫɬɟɣ, ɞɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɫɥɿɞ ɛɪɚɬɢ ʀʀ ɩɨɥɨɜɢɧɭ. Ⱥɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɿʀ
ɜɢɫɬɭɩɚɸɬɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿ ɦɚɫɢɜɢ. Ⱦɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
ɩɪɢ-
ɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į, ɹɤɳɨ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɭɦɨɜɚ Į ɎɌȿɋɌ 1– Į.
ɍ ɧɚɲɨɦɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɧɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į=0,05 (5%) ɭɦɨɜɚ
5%7,2%95% ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ, ɚ ɰɟ ɡɧɚɱɢɬɶ, ɳɨ H
0
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ.
ɉɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɧɚɬɢ
ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ F-ɬɟɫɬ ɞɥɹ ɞɢɫ-
ɩɟɪɫɿɣ» (ɪɢɫ. 5.34).
Ɋɢɫ. 5.34. Ɇɟɧɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ»
213
Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɞɿɚɥɨɝɨɜɨɦɭ ɜɿɤɧɿ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ, ɹɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ
ɧɚ ɪɢɫ. 5.35, ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɤɨɦɚɧɞɭ «ɈɄ» ɿ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ (ɪɢɫ. 5.36).
Ɋɢɫ. 5.35. Ⱦɿɚɥɨɝɨɜɟ ɜɿɤɧɨ
«Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ F-ɬɟɫɬ ɞɥɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ»
Ɋɢɫ. 5.36. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɞɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ F-ɬɟɫɬɭ
Ʉɨɦɩ'ɸɬɟɪɧɢɣ ɡɚɫɿɛ ɜɢɤɨɧɭɽ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ (ɫɟɪɟɞɧɿ, ɞɢ-
ɫɩɟɪɫɿʀ), ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ F-ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɹɤɿ ɞɨɡɜɨ-
ɥɹɸɬɶ ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į.
214
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ
(t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ)
Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɹɤɿ ɩɪɟɞɫɬɚɜ-
ɥɟɧɿ ɡɚɥɟɠɧɢɦɢ ɜɢɛɿɪɤɚɦɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ t, ɫɬɚɬɢɫɬɢ-
ɤɚ ɹɤɨɝɨ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
)1(
2
4
2
12
2
2
2
1
2
2
2
1
r
n
ss
ss
t
, (5.24)
ɞɟ s
1
2
ɿ s
2
2
– ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ; n – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɩɚɪ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ; r
2
12
– ɤɜɚɞ-
ɪɚɬ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɩɚɪɧɨʀ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ.
Ɇɟɬɨɞɢɤɚ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɚ ɩɨɩɟɪɟɞɧɶɨɦɭ ɩɪɢɤɥɚɞɭ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.15. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ n
ɩɚɪ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɞɚɧɿ ɭ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɢɫ 5.37).
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ. ɍɦɨɜɚɦ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɚɤɨɜɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ n ɩɚɪ
ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ:
H
0
: ı
2
1
= ı
2
2
(ı
2
1
ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ı
2
2
);
H
1
: ı
2
1
ı
2
2
(ı
2
1
ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ı
2
2
).
x
ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨ-
ɞɿɥ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ; ɜɢɦɿɪɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ.
x
ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹɦɢ ɰɿɣ ɫɢɬɭɚɰɿʀ
ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɦɨɞɟɥɶ ɞɜɨɛɿɱɧɨɝɨ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ:
)1(
2
4
2
12
2
2
2
1
2
2
2
1
r
n
ss
ss
t
ɟɦɩ
.
x
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ
ɪɢɫ. 5.37 ɿ 5.38. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ s
1
2
§ 1,60 ɿ s
2
2
§ 0,78, ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɜɚ-
ɞɪɚɬɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɤɨɪɟɥɹɰɿʀ ɉɿɪɫɨɧɚ r
2
12
§ 0,17 ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ
ɮɭɧɤɰɿɣ MS Excel =Ⱦɂɋɉ() ɿ =ɄȼɉɂɊɋɈɇ(). ȿɦɩɿɪɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɩɪɢɣɦɚɽ
ɬɚɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ:
215
49,1
)17,01(
216
78,060,14
78,060,1
|
ɟɦɩ
t
.
Ɋɢɫ. 5.37. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ t-
ɤɪɢɬɟɪɿɸ
Ɋɢɫ. 5.38. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ t-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
(ɜɢɛɿɪɤɢ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ)
x
ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ⱦɥɹ ɞɜɨɛɿɱɧɨʀ ɦɨɞɟɥɿ ɜɫɬɚ-
ɧɨɜɥɸɸɬɶɫɹ ɞɜɚ ɤɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t
ɤɪ
ɞɥɹ ɬɨɱɨɤ (Į/2) ɿ (1–Į/2) t-ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ
ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df=n–2= 16–2=14, ɬɨɛɬɨ: t
Į/2
ɿ t
1-Į/2
. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ
ɮɭɧɤɰɿʀ =ɋɌɖɘȾɊȺɋɉɈȻɊ() ɞɥɹ Į = 0,05 ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ t
0,025
§ 2,49 ɿ t
0,975
§
0,03; ɞɥɹ Į = 0,01 t
0,005
§ 3,29 ɿ t
0,995
§ 0,01 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ (ɪɢɫ. 5.37).
x
ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t
ɟɦɩ
§ 1,49 ɧɟ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɭ
ɠɨɞɧɿɣ ɤɪɢɬɢɱɧɿɣ ɡɨɧɿ (0,03 < 1,49 < 2,49), ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
.
216
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚɜɿɬɶ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɧɟɦɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜ
ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ.
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ
(ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɯɪɚɧɚ q ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɨɤ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ)
Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡ ɩɪɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɜɢ-
ɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɯɪɚɧɚ q.
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.16. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɿɫɬɨɬɧɨɫɬɿ ɪɿɡ-
ɧɢɰɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɬɪɶɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ. 5.39.
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ:
H
0
: ı
2
1
= ı
2
2
= ı
2
3
(ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ);
H
1
: ı
2
1
ı
2
2
ı
2
3
(ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ).
x
ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨ-
ɞɿɥ; ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɿɥɶɲɚ ɞɜɨɯ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ; ɜɢ-
ɦɿɪɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ.
x
ȼɢɛɿɪ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ q:
22
2
2
1
2
max
m
sss
s
q
!
, (5.25)
ɞɟ s
2
1
, s
2
2
, …, s
2
m
– ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ; s
2
mɚɯ
– ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ; m –
ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ.
x
Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɨɰɿɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ q
ɟɦɩ
ɿ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ
ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.39. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɢɛɿɪɨɤ s
2
ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨ-
ɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =Ⱦɂɋɉ(), ɞɥɹ ɨɬɪɢɦɚɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ q
ɟɦɩ
ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ
ȼ16 ɜɜɟɞɟɧɨ ɜɢɪɚɡ =ɆȺɄɋ(B15:D15)/ɋɍɆɆ(B15:D15), ɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɟɥɟ-
ɦɟɧɬɚɪɧɢɦ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɦ ɰɶɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ:
44,0
87,056,109,1
56,1
|
ɟɦɩ
q
.
x
Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ q-ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ ɦɨɠɧɚ ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ
ɬɚɛɥ. 5 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ Į = 0,05 ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨ-
217
ɫɬɿ Ȟ1 = n–1 = 11–1=10 ɿ Ȟ2 = m = 3 ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ q
0,05
§ 0,60.
x
ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ q
ɟɦɩ
< q
0,05
(0,44 < 0,60) ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɭ-
ɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
.
Ɋɢɫ. 5.39. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ
ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ q
Ɋɢɫ. 5.40. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ
ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɯɪɚɧɚ q
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɧɟɦɚɽ ɩɿɞɫɬɚɜ ɫɬɜɟ-
ɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɨɞɧɟ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ.
Ɉɞɧɚ ɡ ɩɟɪɟɜɚɝ ɦɟɬɨɞɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɯ-
ɪɚɧɚ q ɽ ɩɪɨɫɬɨɬɚ ɨɛɱɢɫɥɟɧɶ. ɇɟɞɨɥɿɤɨɦ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɬɟ, ɳɨ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɜɢɹɜɥɹɽ
ɨɡɧɚɤɢ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɬɿɥɶɤɢ ɭ ɛɿɤ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ.
ȼɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ 3-ɯ ɿ ɛɿɥɶɲ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ
(ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ M ɞɥɹ ɜɢɛɿɪɨɤ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ)
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ ɜɜɚɠɚɽɬɶɫɹ ɧɚɣɩɨɬɭɠɧɿɲɢɦ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɝɿɩɨɬɟɡɢ
ɳɨɞɨ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɥɹ ɨɡɧɚɤ ɡ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ. ȼɿɧ ɧɟ ɽ ɨɛɦɟ-
ɠɟɧɢɦ ɩɨɩɚɪɧɢɦɢ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹɦɢ ɿ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɩɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɞɟɤɿɥɶɤɚ
ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ.
218
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.17. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɿɫɬɨɬɧɨɫɬɿ
ɪɿɡɧɢɰɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɩ'ɹɬɶɨɯ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɪɢɫ.
5.41.
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ ɞɥɹ ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɧɟɫɩɪɹɦɨɜɚɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ:
H
0
: ı
2
1
= ı
2
2
= ı
2
3
= ı
2
4
= ı
2
5
(ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ);
H
1
: ı
2
1
ı
2
2
ı
2
3
ı
2
4
ı
2
5
(ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ).
x
ɉɟɪɟɜɿɪɤɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɶ: ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɦɚɽ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɪɨɡɩɨ-
ɞɿɥ; ɱɢɫɟɥɶɧɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɿɥɶɲɚ ɞɜɨɯ; ɜɢɛɿɪɤɢ ɧɟɡɜ'ɹɡɚɧɿ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ; ɜɢɦɿ-
ɪɢ ɡɪɨɛɥɟɧɨ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ.
x
ȼɢɛɿɪ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ɋɢɬɭɚɰɿʀ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɞɜɨɛɿ-
ɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ Ɇ.
ɋ
Ɇ
M
ɟɦɩ
, (5.26)
ɞɟ
))lg(()(lg(3026,2
2
11
2
j
m
j
j
m
j
j
snnsM
¦¦
; m – ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɜɢɛɿɪɨɤ;
n
j
ɿ
2
j
s – ɨɛɫɹɝɢ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ (j = 1, 2, …, m);
¦
¦
j
jj
n
ns
s
)(
2
2
– ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ;
)1(3
/1/1
1
¦¦
m
nn
C
jj
– ɧɨɪɦɭɸɱɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ.
x
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ (ɪɢɫ. 5.41 ɿ 5.42):
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ3:L3 ɿ ɇ4:L4 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝɢ n
j
ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɜɢɛɿɪɨɤ s
j
2
;
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ5:L5 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɞɟɫɹɬɤɨɜɿ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɜɢɛɿɪɨɤ
)lg(
2
j
s ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ =LOG10();
ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ɇ6 ɡɧɚɣɬɢ ɫɟɪɟɞɧɽ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɟ ɩɨɪɿɜɧɸɜɚɧɢɯ s
2
, ɹɤɟ ɦɨɠɧɚ
ɨɰɿɧɢɬɢ ɟɥɟɦɟɧɬɚɪɧɢɦɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɦɢ:
07,1
814161315
857,01476,11605,11392,01584,0
2
|
s
;
219
ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ɇ8 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ:
95,1)814161315()0702,1lg()(lg(
2
|
¦
j
ns ;
ɭ ɤɨɦɿɪɰɿ ɇ9 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ:
24,0)24(825,01402,016)03,0(13)08,0(15))lg((
2
1
|
¦
j
m
j
j
sn
;
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ10, ɇ11 ɿ ɇ12 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ɇ, ɋ ɿ Ɇ
ɟɦɩ
:
Ɇ =2,3026(1,95–0,24)§3,92;
03,1
)15(3
)814161315(
8
1
14
1
16
1
13
1
15
1
1 |
C
;
80,3
03,1
92,3
|
C
M
M
ɟɦɩ
.
Ɋɢɫ. 5.41. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ Ɇ
x
ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ. ȼɿɞɧɨɲɟɧɧɹ Ɇ/ɋ ɩɿɞɤɨɪɹ-
ɽɬɶɫɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ Ȥ
2
ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ df=m–1. Ʉɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ɇ ɞɥɹ Į=0,05 ɿ df=5–1= 4 ɨɬɪɢɦɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɮɭɧɤɰɿʀ
=ɏɂ2ɈȻɊ() ɿ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ Ȥ
2
0,05
§ 9,49.
220
Ɋɢɫ. 5.42. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȼɚɪɬɥɟɬɚ Ɇ
x
ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Ɇ
ɟɦɩ
< Ȥ
2
0,05
ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
ɩɪɢɣɦɚ-
ɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05.
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɞɢ-
ɫɩɟɪɫɿɹɦɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɧɟɡɧɚɱɭɳɢɦɢ.
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ.
1. ɉɪɢ ɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ z-ɤɪɢɬɟɪɿɣ?
2. əɤɚ ɿɞɟɹ ɦɟɬɨɞɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ, ɳɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽ ɮɭɧ-
ɤɰɿɸ MS Excel =ZɌȿɋɌ().
3. ɉɪɢ ɹɤɢɯ ɭɦɨɜɚɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɳɨɞɨ ɨɰɿɧɤɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ?
4. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ t-ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɹɤɳɨ ɧɟɨɛ-
ɯɿɞɧɨ ɨɰɿɧɢɬɢ ɿɫɬɨɬɧɿɫɬɶ ɪɿɡɧɢɰɶ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɞɜɨɯ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ?
5. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɚ
ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɩɚɤɟɬɚ «Ⱥɧɚɥɿɡ ɞɚɧɢɯ» ɪɨɡɞɿɥ «Ⱦɜɨɜɢɛɿɪɤɨɜɢɣ t-ɬɟɫɬ ɿɡ ɪɿɡɧɢɦɢ
ɞɢɫɩɟɪɫɿɹɦɢ».
6. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɳɨɞɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɚ