Руденко В.М. Математична статистика
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Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɢɣ ɞɥɹ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɞɜɨɯ ɟɦ-
ɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ F
1
(x) i F
2
(x) ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɚɽ ɜɢɞ:
)()(max
21
xFxF
O
, (5.12)
ɞɟ F
1
(x) i F
2
(x) – ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɨɤ n
1
ɿ n
2
.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɡɧɚɣɬɢ ɬɨɱɤɭ, ɭ ɹɤɿɣ ɫɭɦɚ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɢɯ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɟɣ
ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ F
1
(x) i F
2
(x) ɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲɨɸ (ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɸ), ɿ ɨɰɿɧɢɬɢ
ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɰɿɽʀ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ. Ⱦɥɹ Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɡɿɫɬɚɜɥɹɸɬɶ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɿ (ɿɧɬɟ-
ɝɪɚɥɶɧɿ) ɱɚɫɬɨɬɢ. ɇɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
ɫɜɿɞɱɢɬɶ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ
ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɧɟɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.7. Ɂɪɨɛɢɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ ɧɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɳɨɞɨ
ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ (ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ
ɞɚɧɿ ɜɡɹɬɨ ɡ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.5).
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ:
H
0
: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɧɟɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ (ɫɭɞɹɱɢ ɡ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤ-
ɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɨʀ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɧɢɦɢ);
H
1
: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ (ɫɭɞɹɱɢ ɡ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤ-
ɫɢɦɚɥɶɧɨʀ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɨʀ ɪɨɡɛɿɠɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɧɢɦɢ).
x
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ Ȝ
ɟɦɩ
ɩɨɤɚɡɚ-
ɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.18. ɍ ɫɬɨɜɩɱɢɤɭ J ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɪɿɡɧɢɰɿ ɧɚɤɨɩɢɱɟɧɢɯ
ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ | F
1
– F
2
|, ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɢɯ ɫɤɥɚɞɟ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɣ
Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ:
Ȝ
ɟɦɩ
= max| F
1
– F
2
| = 0,178.
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȝ
ɟɦɩ
ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 5.19.
192
Ɋɢɫ. 5.18. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȝ
ɟɦɩ
x
Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȝ-ɤɪɢɬɟɪɿɸ
ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɿ n = 20 ɜɢɡɧɚ-
ɱɚɸɬɶɫɹ ɡɚ ɬɚɛɥ. 3 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ Ȝ
0,05
§ 0,294.
Ɋɢɫ. 5.19. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ Ȝ
ɟɦɩ
x
ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȝ
ɟɦɩ
§0,178
ɦɟɧɲɟ ɡɚ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɸ Ȝ
0,05
§ 0,294, ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ
0
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ
ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05.
193
x Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɜɿɞɫɭɬɧɿ ɩɿɞɫɬɚɜɢ
ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ ɩɪɨ ɧɟɨɞɧɨɪɿɞɧɿɫɬɶ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ U
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ
25
U ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɭ ɬɚɤɢɣ
ɫɩɨɫɿɛ. ȼɫɿ ɏ-ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨʀ ɿ Y-ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɞɪɭɝɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɨɛ’ɽɞɧɭɸɬɶɫɹ.
Ɉɛ'ɽɞɧɚɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ ɯ
1
, ɯ
2
, ..., ɯ
n1
, y
1
, y
2
, ..., y
n2
(n
1
ɿ n
2
– ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ) ɭɩɨɪɹɞ-
ɤɨɜɭɸɬɶɫɹ ɡɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹɦ. ȿɥɟɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɯ
1
, ɯ
2
, ..., ɯ
n1
ɡɚɣɦɚɸɬɶ ɭ
ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɦɭ ɪɹɞɿ ɦɿɫɰɹ ɡ ɧɨɦɟɪɚɦɢ R
1
, R
2
, ..., R
n1
, ɿɧɚɤɲɟ ɤɚɠɭɱɢ,
ɦɚɸɬɶ ɪɚɧɝɢ R
1
, R
2
, ..., R
n1
. Ɍɨɞɿ ɫɭɦɚ ɪɚɧɝɿɜ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɩɟɪɲɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ ɽ ɫɬɚ-
ɬɢɫɬɢɤɨɸ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ T
x
:
T
x
= R
1
+ R
2
+ ...+ R
n1
. (5.13)
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ
U ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ
x
xx
T
nn
nnU
2
)1(
)(
21
. (5.14)
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ T
x
ɿ U ɥɿɧɿɣɧɨ ɡɜ'ɹɡɚɧɿ, ɬɨ ɱɚɫɬɨ ɦɨɜɚ ɣɞɟɬɶɫɹ ɧɟ ɩɪɨ ɞɜɚ ɤɪɢɬɟɪɿʀ
– ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ ɿ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ, ɚ ɩɪɨ ɨɞɢɧ – ɤɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ
26
.
Ɇɟɬɨɞ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɡɨɧɭ ɡɧɚɱɟɧɶ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɱɢɫɟɥɶɧɢɦɢ ɪɹɞɚɦɢ, ɳɨ
ɩɟɪɟɯɪɟɳɭɸɬɶɫɹ. ɑɢɦ ɦɟɧɲɟ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ U
ɟɦɩ
, ɬɢɦ ɛɿɥɶɲ
ɣɦɨɜɿɪɧɨ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɞɨɫɬɨɜɿɪɧɿ. Ʉɨɥɢ ɨɛɫɹɝɢ ɨɛɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɟɡɦɟɠɧɨ
ɡɪɨɫɬɚɸɬɶ, ɪɨɡɩɨɞɿɥɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ ɿ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɽ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɧɨ
ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.8. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɨɞ-
ɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɝɪɭɩ) ɡɚ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɦɢ ɞɚ-
ɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.5).
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ:
ɇ
0
: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɨɡɧɚɤɢ ɧɟ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ;
25
ȱɧɤɨɥɢ ɰɟɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ [17].
26
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ ɦɨɠɟ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢɫɹ ɿ ɨɤɪɟɦɨ.
194
ɇ
1
: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɨɡɧɚɤɢ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ.
Ɋɢɫ. 5.20. ɉɪɢɫɜɨɽɧɧɹ ɿɦɟɧɿ «ȼɢɛ1» ɞɿɚɩɚɡɨɧɭ ɞɚɧɢɯ $ȼ$3:$ȼ$20
x
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɪɢɫ. 5.20 ɿ 5.21):
– ɩɪɢɫɜɨʀɬɢ ɿɦ'ɹ «ȼɢɛ1» ɿ «ȼɢɛ2» ɞɜɨɦ ɜɢɛɿɪɤɚɦ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɤɨ-
ɦɚɧɞɢ ɝɨɥɨɜɧɨɝɨ ɦɟɧɸ MS Excel [ȼɫɬɚɜɤɚ –> ȱɦ'ɹ –> ɉɪɢɫɜɨʀɬɢ…]. ɍ ɞɿɚɥɨ-
ɝɨɜɨɦɭ ɜɿɤɧɿ (ɪɢɫ. 5.20) ɜɧɟɫɬɢ ɿɦ'ɹ «ȼɢɛ1» (ɿɦ'ɹ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɛɟɡ ɩɪɨɛɿɥɿɜ), ɚ ɬɚ-
ɤɨɠ ɞɿɚɩɚɡɨɧ ɤɨɦɿɪɨɤ ɞɚɧɢɯ ($ȼ$3:$ȼ$20 – ɚɞɪɟɫɚ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚ). ɉɪɢɫɜɨʀɬɢ ɿɦ
'ɹ
«ȼɢɛ2» ɞɿɚɩɚɡɨɧɨɜɿ ɞɚɧɢɯ ɋ3:ɋ22 ɡɚ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɦɢ ɞɿɹɦɢ;
– ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɪɚɧɠɢɪɭɜɚɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɛɿɪɨɤ, ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɱɢ ʀɯ ɹɤ ɨɞɧɭ ɨɛ'ɽɞ-
ɧɚɧɭ ɝɪɭɩɭ, ɩɪɢɩɢɫɭɸɱɢ ɦɟɧɲɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɧɢɠɱɢɣ ɪɚɧɝ (ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɪɚɧɝɿɜ n
1
+ n
2
). Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ «Ɋɚɧɝ 1» ɿ «Ɋɚɧɝ 2» ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ
ɜɢɪɚɡ, ɹɤɢɣ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɤɨɦɿɪɤɢ D3 ɜɢɝɥɹɞɚɬɢɦɟ ɹɤ:
=(ɋɑȬɌ(ȼɢɛ1:ȼɢɛ2) + 1 – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 1) –
ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 0))/2+ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2;1);
195
Ɋɢɫ. 5.21. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɤɪɢɬɟɪɿɸ U
ɟɦɩ
ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɜɢɪɚɡ ɜ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ D ɿ E;
ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɨɤ n
1
ɿ n
2
. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ24 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ
=ɋɑȬɌ(ȼɢɛ1), ɚ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ25 – ɜɢɪɚɡ =ɋɑȬɌ(ȼɢɛ2);
– ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɪɚɧɝɿɜ Ɍ
1
ɿ Ɍ
2
ɞɥɹ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ26 ɜɧɟɫɬɢ
ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(D3:D20), ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ27 – ɜɢɪɚɡ =ɋɍɆɆ(E3:E22);
– ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɨɛɫɹɝ n
ɯ
ɜɢɛɿɪɤɢ ɡ ɛɿɥɶɲɨɸ ɫɭɦɨɸ ɪɚɧɝɿɜ. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ28 ɜɧɟ-
ɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ȿɋɅɂ(B26>B27;B24;B25);
– ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ Ɍ
x
– ɧɚɣɛɿɥɶɲɭ ɡ ɞɜɨɯ (Ɍ
1
ɿ Ɍ
2
) ɪɚɧɝɨɜɢɯ ɫɭɦ. ɍ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ24
ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ =ȿɋɅɂ(B26>B27;B26;B27);
– ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
196
x
xx
ɟɦɩ
T
nn
nnU
2
)1(
)(
21
, (5.15)
ɞɟ n
1
ɿ n
2
– ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ; n
ɯ
– ɨɛɫɹɝ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡ ɛɿɥɶɲɨɸ ɫɭɦɨɸ ɪɚɧɝɿɜ; Ɍ
x
– ɧɚɣɛɿɥɶɲɚ ɿɡ ɞɜɨɯ ɪɚɧɝɨɜɢɯ ɫɭɦ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɭ ɤɨɦɿɪɤɭ ȼ25 ɜɧɟɫɬɢ ɜɢɪɚɡ
=(B24*B25)+B28*(B28+1)/2-B29. U
ɟɦɩ
=128.00 (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 5.21).
x
ȼɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɪɢɬɢɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɂɚ ɬɚɛɥ. 4 Ⱦɨɞɚɬɤɿɜ ɞɥɹ
n
1
=18 ɿ n
2
=20, ɚ ɬɚɤɨɠ Į = 0,05 ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹU
0,05
= 123.
x
ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ U
ɟɦɩ
>U
0,05
(128>123), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ
H
0
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 0,05. Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ: ɞɥɹ U-ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɇ
0
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɡɚ
ɭɦɨɜɢ U
ɟɦɩ
> U
ɤɪ
.
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɜɢɫɧɨɜɤɿɜ. ɇɚ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɭɳɨɫɬɿ 0,05 ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚ-
ɬɢ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɨɡɧɚɤɢ ɧɟ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɩɪɢɞɚɬɧɢɣ ɞɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ
ɞɚɧɢɯ, ɜɢɦɿɪɹɧɢɯ ɡɚ ɩɨɪɹɞɤɨɜɨɸ ɲɤɚɥɨɸ. ɉɪɨɬɟ ɭ ɜɚɪɿɚɧɬɿ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɚɥɶɬɟɪ-
ɧɚɬɢɜɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɧɟ ɡɚɜɠɞɢ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɜɢɹɜɢɬɢ ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿ-
ɥɭ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɚɪɿɚɧɬɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ
ɜɢɛɿɪɨɤ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚ-
ɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ Ȧ
2
.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ Ȧ
2
n,m
ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɬɢɩɭ ɨɦɟɝɚ-ɤɜɚɞɪɚɬ ɡɚ-
ɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ
ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. əɤ ɿ ɡɚ
ɦɟɬɨɞɨɦ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ, ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨʀ ɿ ɞɪɭɝɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɳɨ ɜɡɹ-
ɬɨ ɡ ɧɟɜɿɞɨɦɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ F
n
(x) i G
m
(x), ɨɛ’ɽɞɧɭɸɬɶɫɹ. Ⱦɥɹ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɨʀ ɭɩɨɪɹɞ-
ɤɨɜɚɧɨʀ ɡɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹɦ ɜɢɛɿɪɤɢ ɯ
1
, ɯ
2
, ..., ɯ
n
, y
1
, y
2
, ..., y
m
ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶɫɹ ɪɚɧɝɢ
R
x1
, R
x2
, ..., R
xn,
R
y1
, R
y2
, ..., R
ym
.
ȼɢɫɭɜɚɽɬɶɫɹ ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɇ
0
: F
n
(x) = G
m
(x) ɩɪɨɬɢ ɚɥɶɬɟ-
ɪɧɚɬɢɜɧɨʀ ɝɿɩɨɬɟɡɢ ɇ
1
: F
n
(x) G
m
(x).
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ
>@
)(
ˆ
)()(
ˆ
2
2
,
xHdxGxF
mnmnmn
f
f
³
Z
. (5.16)
197
ɞɟ
)(
ˆ
xF
n
ɿ
)(xG
m
– ɟɦɩɿɪɢɱɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɢɛɿɪɨɤ ɨɛɫɹɝɚɦɢ n ɿ m,
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
xG
mn
m
xF
mn
n
xH
nnmn
– ɟɦɩɿɪɢɱɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɨɛ’ɽɞɧɚɧɨʀ ɜɢɛɿɪɤɢ.
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɥɢɲɟ ɜɿɞ ɪɚɧɝɿɜ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɜɢɛɿɪɤɢ:
3/2)(
1
)(
1
6/1
1
11
222
,
»
¼
º
«
¬
ª
¦¦
n
i
m
j
jimn
jS
n
iR
mnm
Z
, (5.17)
ɞɟ R
i
– ɪɚɧɝ x
(i)
, S
j
– ɪɚɧɝ y
(j)
ɜ ɨɛ’ɽɞɧɚɧɿɣ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿɣ ɜɢɛɿɪɰɿ.
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɦɚɽ ɨɞɧɨɛɿɱɧɭ (ɩɪɚɜɭ) ɤɪɢɬɢɱɧɭ ɨɛɥɚɫɬɶ. ɉɪɢ ɩɨɬɪɚɩɥɹɧɧɿ ɡɧɚ-
ɱɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ
2
,mn
mn
nm
Z
ɭ ɧɚɩɿɜɿɧɬɟɪɜɚɥ {z
1-Į
, }, ɝɿɩɨɬɟɡɚ ɇ
0
ɜɿɞɯɢɥɹɽɬɶ-
ɫɹ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɞɟɹɤɢɯ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɤɜɚɧɬɢɥɿɜ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɭ ɬɚɛɥ. 5.2.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 5.2
Į
= 0,5 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,001
Z
1-Į
= 0,12 0,28 0,35 0,46 0,58 0,74 1,17
Ⱦɥɹ ɧɟɡɧɚɱɧɢɯ ɡɚ ɨɛɫɹɝɨɦ ɜɢɛɿɪɨɤ (n, m 7) ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɚ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ
6/145/
2
,
¸
¹
·
¨
©
§
DM
mn
nm
Z
mn
Z
, (5.18)
ɞɟ
¸
¹
·
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©
§
mn
M
1
1
6
1
ɿ
»
¼
º
«
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ª
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¹
·
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©
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¹
·
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§
mnmnmn
D
11
4
31
1
1
1
45
1
.
ɉɪɢɤɥɚɞ 5.9. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɝɿ-
ɩɨɬɟɡɭ ɳɨɞɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ 5.5).
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɿɲɟɧɧɹ:
x
Ɏɨɪɦɭɥɸɜɚɧɧɹ ɝɿɩɨɬɟɡ:
ɇ
0
: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɧɟ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ;
ɇ
1
: ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɯ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ.
x
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɿɸ (ɪɢɫ. 5.22 ɿ 5.23):
– ɩɪɢɫɜɨʀɬɢ ɿɦ'ɹ «ȼɢɛ1» ɿ «ȼɢɛ2» ɞɜɨɦ ɜɢɛɿɪɤɚɦ (ɞɢɜ. ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ U-
ɤɪɢɬɟɪɿɸ);
198
Ɋɢɫ. 5.22. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȧ
2
– ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɚɯ D ɿ E ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɚɧɝɢ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɛɿɪɨɤ, ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɱɢ ʀɯ ɹɤ
ɨɞɧɭ ɨɛ'ɽɞɧɚɧɭ ɝɪɭɩɭ, ɩɪɢɩɢɫɭɸɱɢ ɦɟɧɲɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɧɢɠɱɢɣ ɪɚɧɝ (ɡɚɝɚɥɶ-
ɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɪɚɧɝɿɜ n
+ m). Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɧɟɫɬɢ ɭ ɫɬɨɜɩɱɢɤɢ R
i
ɿ S
i
ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ
ɜɢɪɚɡ, ɹɤɢɣ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ ɤɨɦɿɪɤɢ D3 ɜɢɝɥɹɞɚɬɢɦɟ ɹɤ:
=(ɋɑȬɌ(ȼɢɛ1:ȼɢɛ2) + 1 – ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 1) –
ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2; 0))/2+ɊȺɇȽ(B3;ȼɢɛ1:ȼɢɛ2;1);
ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɰɟɣ ɜɢɪɚɡ ɜ ɿɧɲɿ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ D ɿ E, ɨɬɪɢɦɚɬɢ ɪɚɧɝɢ;
199
Ɋɢɫ. 5.23. Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ȧ
2
ɫɤɨɩɿɸɜɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɨɦɚɧɞ ɝɨɥɨɜɧɨɝɨ ɦɟɧɸ MS Excel [ɉɪɚɜɤɚ –>
ɋɩɟɰɿɚɥɶɧɚ ɜɫɬɚɜɤɚ…] ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɚɧɝɿɜ ɭ ɤɨɦɿɪɤɢ ɫɬɨɜɩɱɢɤɿɜ F ɿ G, ɭɩɨɪɹɞɤɭ-
ɜɚɬɢ ɪɚɧɝɢ ɡɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹɦ;
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ2:ȱ22 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɪɿɡɧɢɰɶ (R
i
– i)
2
ɿ (S
j
–j)
2
;
ɭ ɤɨɦɿɪɤɚɯ ɇ23 ɿ ȱ23 ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɭɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɪɿɡɧɢɰɶ (R
i
– i)
2
ɿ
(S
j
–j)
2
();
ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ n ɿ m, ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ȧ
2
(5.17), ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ M, D ɿ
Z (5.18), ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨʀ ɧɨɪɦɨɜɚɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Z § 0,22.
x
ȼɢɡɧɚɱɢɬɢ ɤɪɢɬɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ Z
1-Į
ɡɚ ɬɚɛɥ. 5.2 ɞɥɹ Į = 0,05. Ʉɜɚɧɬɢɥɶ
Z
0,95
= 0,46.
200
x ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɪɿɲɟɧɧɹ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ Z<Z
0,95
(0,22<0,46), ɧɭɥɶɨɜɚ ɝɿɩɨɬɟɡɚ H
0
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɿ 0,05, ɬɨɛɬɨ ɦɨɠɧɚ ɫɬɜɟɪɞɠɭɜɚɬɢ, ɳɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ ɭ ɩɨɤɚ-
ɡɧɢɤɚɯ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ ɧɟ ɽ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɡɧɚɱɭɳɿ.
ɇɚ ɨɫɧɨɜɿ ɩɨɪɿɜɧɹɥɶɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɦɨɠɧɚ ɡɪɨɛɢɬɢ ɬɚɤɿ ɜɢɫɧɨɜɤɢ.
1)
Ɉɛɥɚɫɬɶ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɶ ɦɟɬɨɞɭ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɪɢ-
ɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɨɛɦɟɠɟɧɚ. ȼɿɧ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɩɟɪɟɜɿɪɹɬɢ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɩɪɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɱɿɤɭɜɚɧɶ, ɚɥɟ ɧɟ ɝɿɩɨɬɟɡɭ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɨɛɢɞɜɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɜɡɹɬɿ ɡ ɨɞ-
ɧɿɽʀ ɣ ɬɿɽʀ ɠ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. Ʉɥɚɫɢɱɧɿ ɭɦɨɜɢ ɡɚɫɬɨɫɨɜɧɨɫɬɿ ɤɪɢɬɟɪɿɸ
ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɜ ɩɟɪɟɜɚɠɧɿɣ ɛɿɥɶɲɨɫɬɿ ɩɫɢɯɨɥɨɝɨ-ɩɟɞɚɝɨɝɿɱɧɢɯ ɿ ɿɧɲɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ
ɧɟ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ
. ɉɪɢ ɡɧɚɱɧɢɯ ɿ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɪɿɜɧɢɯ ɨɛɫɹɝɚɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɣɨɝɨ ɦɨɠ-
ɧɚ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ. ɉɪɢ ɤɿɧɰɟɜɢɯ ɨɛɫɹɝɚɯ ɜɢɛɿɪɨɤ ɬɪɚɞɢɰɿɣɧɢɣ ɦɟɬɨɞ ɧɨɫɢɬɶ
ɞɨɫɢɬɶ ɧɚɛɥɢɠɟɧɢɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ.
2)
Ɂɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ ɧɟ ɦɟɧɲ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɨ, ɱɢɦ ɡɚ-
ɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɚ ɩɟɪɟɜɚɝɚ – ɧɟ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɤɨɧɬɪɨ-
ɥɸɜɚɬɢ ɜɢɦɨɝɢ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ. Ɍɨɦɭ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɽɬɶɫɹ ɞɨɰɿɥɶɧɢɦ ɡɚɦɿɧɢɬɢ
ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɧɚ ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ.
3)
ɉɪɢ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɿ ɞɜɨɯ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɡɚ ɤɪɢɬɟɪɿɽɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨ-
ɜɚ-ɋɦɿɪɧɨɜɚ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ, ɳɨɛ ɨɛɫɹɝɢ ɜɢɛɿɪɨɤ ɛɭɥɢ n
1,
n
2
50, ɩɪɢ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɿ
ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ ɞɨɩɭɫɤɚɽɬɶɫɹ ɩɪɢ n5. Ɋɨɡɪɹɞɢ ɦɚɸɬɶ
ɛɭɬɢ ɜɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɿ ɡɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹɦ (ɫɩɚɞɚɧɧɹɦ) ɨɡɧɚɤɢ.
4)
Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɽ ɨɞɧɢɦ ɿɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɪɨɡɩɨɜɫɸɞɠɟ-
ɧɢɯ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɧɢɯ ɪɚɧɝɨɜɢɯ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ, ɳɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪ-
ɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ. ɉɪɨɬɟ ɭ ɜɚɪɿɚɧɬɿ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɢ ɤɪɢɬɟ-
ɪɿɣ ɧɟ ɽ ɫɩɪɨɦɨɠɧɢɦ, ɬɨɦɭ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɸɬɶ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɫɩɪɨɦɨɠɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ,
ɡɨɤɪɟɦɚ, ɤɪɢɬɟɪɿɣ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɬɢɩɭ ɨɦɟɝɚ-ɤɜɚɞɪɚɬ.
Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɮɭɧɤɰɿɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɸɬɶ ɡɚ
-
ɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɭ Ʌɟɦɚɧɚ-Ɋɨɡɟɧɛɥɚɬɬɚ ɬɢɩɭ ɨɦɟɝɚ-ɤɜɚɞɪɚɬ. Ⱦɥɹ ɩɟɪɟɜɿ-
ɪɤɢ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɫɬɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɨɱɿɤɭɜɚɧɶ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɤɪɢɬɟɪɿɣ
Ʉɪɚɦɟɪɚ-ȼɟɥɱɚ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ȼɿɥɤɨɤɫɨɧɚ-Ɇɚɧɧɚ-ȼɿɬɧɿ ɬɚ ɿɧ. ɩɪɢ-
ɩɭɫɬɢɦɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɥɢɲɟ ɜ ɨɤɪɟɦɢɯ ɜɢɩɚɞɤɚɯ [49].