Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

максимум численности зайцев опережает, как правило, максимум

численности рысей на один год.

Мы

видим, что форма этих экспериментальных кривых значи-

тельно менее правильная, чем теоретических. Однако в данном

случае

достаточно того, что модель обеспечивает совпадение наи-

более существенных характеристик теоретических и эксперимен-

тальных кривых, т. е. величин амплитуды и сдвига фаз

между

ко-

лебаниями

численностей хищников и жертв. Гораздо более серьез-

ным

недостатком модели Вольтерра является неустойчивость

решений

системы уравнений. Действительно, как уже говорилось

Заяц

Рысь

i I i я i

1865 1885 1905 1925

[оды

Рис.

1.27. Кривые численности зайца и рыси в Канаде

(по

К. Вилли и В. Детье)

выше,

любое случайное изменение численности того или

другого

вида должно привести, следуя модели, к изменению амплитуды

колебаний

обоих видов. Естественно, что в природных условиях

животные подвергаются бесчисленному количеству таких случай-

ных воздействий. Но, как видно из экспериментальных кривых,

амплитуда колебаний численности видов мало изменяется от

года

году.

Кроме

того, в силу

«негрубости»

системы Вольтерра произ-

вольно малое изменение вида правых частей уравнений системы

(1.5—14)

приводит к изменению типа особой точки и, следователь-

но,

характера фазовых траекторий системы. Как

будет

показано

ниже,

негрубые системы вообще не

могут

являться адекватным

описанием

природных явлений.

целью устранения этого недостатка были предложены раз-

ными

авторами различные модификации системы Вольтерра.

Наиболее интересные из них

будут

рассмотрены во II части.

Здесь мы остановимся лишь на модели, учитывающей самоограни-

чения

в росте обеих популяций. На примере этой модели наглядно

видно,

как может меняться характер решений при изменении пара-

метров системы.

Итак,

рассматривается система

—— —

Л^1

(

i — Yi2^2 — Yn-^i)»

(1.5-17)

Система

(1.5—17)

отличается от ранее рассмотренной системы

(1.5—14)

наличием в правых частях уравнений членов вида

— Ун^с (i=l, 2), которые отражают тот факт, что численность

популяции

жертв не может расти до бесконечности

даже

отсут-

ствие хищников в силу ограниченности пищевых ресурсов, ограни-

ченности ареала существования. В свою очередь, такие же «само-

ограничения» накладываются и на популяцию хищников.

Для нахождения стационарных численностей видов JV, и N

приравняем

к нулю правые части уравнений системы (1.5—17).

Решения

с нулевыми значениями численности хищников или жертв

не

будут

нас сейчас интересовать. Поэтому рассмотрим систему

алгебраических уравнений

Если

решение

Y12—

дает

нам координаты особой точки, то корни характеристического

уравнения системы, линеаризованной в окрестности особой точки

(1.5-18),

42 = — {—

[eiY

(Y11 — Y22) +

(Y12 + Y22)] ±

/[eiYaa (Y11 — Y22) + 8

Yu (Y12 +

Y22)]

~ 4Y12Y21 (eiY

2Yi

)

ЪхЪх

— ЧЪх) }•

Из

выражения для характеристических чисел видно, что если

выполнено

условие

[81Y22

(Y11 — Y22) + e«Yii (Y12 +

Y22)]

< 4Y12Y21 (eiY22 + e

) (siY2! —

Yn),

(1.5—19)

то численность хищников и жертв совершает во времени

затухаю-

щие

колебания, система имеет ненулевую особую точку — устой-

чивый фокус. Фазовый портрет такой системы изображен на

рис.

1.28, а.

/т

_ ,„.

Допустим что параметры в неравенстве

(1.5—19)

так изменя-

ют свои значения, что условие

(1.5—19)

обращается в равенство.

Тогда характеристические числа системы

(1.5—17)

будут

равны,

а ее особая точка

будет

лежать на границе

между

областями I

II устойчивых фокусов и узлов (рис.

1.20).

При изменении знака

/V,

Рис.

1.28. Фазовый портрет системы (1.5—17):

а — при выполнении соотношения (1.5—19) между параметрами; б — при

обратном

соотношении параметров

неравенства

(1.5—19)

на обратный особая точка становится устой-

чивым узлом. Фазовый портрет системы для этого случая пред-

ставлен на рис. 1.28, б.

Сравнивая

между

собой системы

(1.5—14)

и (1.5—17), легко

видеть, что они отличаются

друг

от

друга

наличием в

(1.5—17)

правых частях уравнений нелинейных членов типа —Уц^1-

Очевидно, при ^« = 0 фазовые портреты обеих систем совпадают и

соответствуют негрубой системе

(1.5—14)

с особой точкой типа

центр.

Появление же в правых частях

даже

небольших отрица-

тельных нелинейных членов

—УЦ^Г

вызывает качественное изме-

нение

фазового портрета и превращение негрубой особой точки

типа центр в

грубую

особую точку типа устойчивый фокус или

узел

в зависимости от соотношения параметров системы (1.5—19).

При

добавлении положительных членов в правые части урав-

нений

в системе появится неустойчивая особая точка типа

узел

или

фокус в зависимости от соотношения коэффициентов (1.5—19).

Таким

образом, параметры уц можно рассматривать как своего

рода управляющие параметры, вызывающие качественную дефор-

мацию фазового портрета системы с изменением типа ее устой-

чивости.

Глава

БИОЛОГИЧЕСКИЕ

ТРИГГЕРЫ

Важная особенность биологических систем — это их способ-

ность переключаться из одного режима функционирования в дру-

гой,

что соответствует нескольким устойчивым стационарным со-

стояниям

системы. На фазовой плоскости такая система обладает

двумя и больше устойчивыми особыми точками. Области влияния

устойчивых особых точек разделяются сепаратрисой, которая

должна проходить через неустойчивую особую точку типа седло.

На

рис. 1.29 представлен фазовый портрет такой системы с двумя

устойчивыми особыми точками. Напомним, что количество стацио-

нарных состояний в системе определяется числом точек пересече-

ния

главных изоклин вертикальных и горизонтальных касатель-

ных, изображенных на рис. 1.29 жирными линиями. Точка пересе-

чения

главных изоклин b представляет собой седло, а точки

пересечения главных изоклин а и с, лежащие по обе стороны от

сепаратрисы седла (пунктирная

линия),

суть

устойчивые узлы.

Система, характеризующаяся подобным фазовым портретом, т. е.

обладающая двумя (несколькими) устойчивыми стационарными

состояниями,

между

которыми возможны переходы, называется

триггерной.

Мы

уже встречались с системами подобного типа в гл. 2, рас-

сматривая свойства нелинейных уравнений первого порядка с

одним неизвестным (1.2—14). В самом деле, как показал анализ

кривой

стационарных состояний (см. рис. 1.9) уравнения (1.2—14),

между

двумя устойчивыми стационарными точками а, с лежит

одно неустойчивое состояние Ь, при достижении которого и совер-

шается непосредственное переключение системы из одного режима

другой. Какое из устойчивых стационарных состояний реализует-

ся

в действительности, зависит как от параметров, так и от на-

чальных условий функционирования системы.

Действительно, на рис. 1.29 мы видим, что, если начальное по-

ложение изображающей точки расположено левее сепаратрисы

седла (пунктирная

линия),

система находится в области влияния

особой точки а и стремится к этому устойчивому стационарному

состоянию.

Из точек, лежащих правее сепаратрисы, система

будет

двигаться к устойчивой особой точке с.

Допустим, что наша система функционирует в устойчивом ре-

жиме а, и необходимо перевести ее в

другой

устойчивый режим с.

Можно

сделать это двумя способами. Мы можем за счет внешнего

воздействия так изменить значения переменных х и у, например

резко

увеличив х, что это переведет систему в некую точку с' (см.

рис.

1.29),

находящуюся по правую сторону сепаратрисы седла в

области притяжения устойчивого

узла

с. После этого система уже

сама по фазовой траектории перейдет в точку с и окажется в тре-

буемом режиме. Это так называемый силовой способ переключе-

ния

триггера, он называется также специфическим. Действитель-

но

для такого переключения в систему необходимо добавить

некоторое количество определенного вещества (в данном

случае

вещества X).

Другим, более тонким, является способ параметрического не-

специфического

переключения. Здесь непосредственному воздей-

ствию подвергаются не перемен-

ные,

а параметры системы, что мо-

жет'быть достигнуто разными спосо-

бами:

например, изменение темпе-

ратуры или скорости поступления

субстрата.

Процесс

параметрического пере-

ключения

показан на рис. 1.30 (а,

б, в, г). Сущность его состоит в ис- »,

пользовании

характерной зависи-

мости фазового портрета от

неко-

торого управляющего параметра

системы. Напомним, что в

случае

Рис.

1.29. Фазовый портрет тритгер-

ной

системы

Рис.

1.30. Процесс параметри-

ческого переключения триггер -

ной

системы на фазовой пло-

скости

(а, б, в, г; пояснения в

тексте)

уравнения с одной переменной мы рассматривали зависимость

стационарного значения переменной от параметра (см. рис. 1.9).

Было

показано, что, двигаясь по кривой стационарных состояний

за счет изменения управляющего параметра а, можно перевести

систему от устойчивой ветви АВ в область неустойчивых состоя-

ний

ВС. При достижении бифуркационного значения параметра

а число стационарых состояний уменьшается на рис. 1.9 до

двух,

3 Зак. 46

а при дальнейшем росте а оставалась уже только одна ветвь ус-

тойчивых состояний CD.

Допустим, что для нашей системы с двумя переменными и

фазовым портретом (рис. 1.30, а) имеется также управляющий пара-

метр а, изменение которого может вызвать

соответствующую

де-

формацию фазового портрета. Тогда аналогичный описанному вы-

ше переход а-^с

будет

выглядеть следующим образом (рис. 1.30—

а, б, в, г). При изменении управляющего параметра а фазовый

портрет начнет меняться так, что точки пересечения главных изо-

клин

а и Ь

будут

сближаться

друг

другом

(рис. 1.30, б, в), слив-

шись

в конце концов в одну сложную

особую

точку седло —

узел

(рис.

1.30, в). Затем произойдет такое изменение расположения

изоклин,

что на фазовой плоскости останется только одна точка

их пересечения с — устойчивый

узел,

к которому и сходятся все

траектории фазовой плоскости. Очевидно, что наша система, нахо-

дившаяся в начале процесса переключения в точке а с соответ-

ствующими координатами Хо, Уо на фазовой плоскости, окажется

теперь в силу изменения фазового портрета в области притяжения

устойчивого

узла

с,

куда

она теперь самопроизвольно и перейдет.

Заметим, что при изменении фазового портрета сами координаты

особой точки с должны, конечно, также несколько измениться, по-

скольку они, вообще говоря, зависят от значений параметров си-

стемы. Возвращаясь затем к прежним значениям управляющего

параметра, мы восстановим исходный фазовый портрет системы,

но

она уже

будет

работать в требуемом режиме с.

Модели, обладающие триггерными свойствами, оказались при-

менимыми для описания важнейших процессов эволюции. Один из

них — процесс возникновения единого кода генетической

инфор-

мации,

когда одной -последовательности нуклеотидов соответ-

ствует

одна последовательность аминокислот. Модели этого типа

рассмотрены в работах М. Эйгена (1973), Д. С. Чернавского и

Н.

М. Чернавской (1973). Возникновение единого кода связано с

отбором одного из многих равновозможных способов кодировки

генетической информации. Простейшая модель, предложенная

Д. С. Чернавским для пояснения процесса отбора одного из

двух

равноправных биологических объектов, записывается в виде си-

стемы

двух

дифференциальных уравнений

dx s о

ь<я * —Р*-

*s"

(1.6-1)

s +

•->

где х — концентрация объектов первого типа, у — концентрация

объектов второго типа, 5 — концентрация

субстрата,

общего для

обоих типов объектов, k

, p, у — константы. В модели предпола-

гается, что при взаимодействии объекты обоих типов погибают

(члены вида — уху). Субстрат 5 лимитирует рост популяций,

скорость прироста популяций объектов обоих типов записана в

форме Моно. Модель

(1.6—1)

представляет собой триггер, две

устойчивые особые точки которого расположены на координатных

осях фазового портрета системы (рис.

1.31).

Из

рисунка видно, что в зависимости от начальных условий

траектории системы устремляются либо к одной, либо к

другой

устойчивой стационарной точке, лежащей симметрично по обе сто-

роны

сепаратрисы седла Ь (а либо с). Тот факт, что третья особая

/О

Рис.

1.31.

Фазовый

портрет си-

стемы

(1.6—1)

Reg-

•т-РНК,

-РНК

Reg-2

Рис.

1.32. Схема

взаимной

регуля-

ции

двух

систем синтеза

фермен-

тов

(схема Жакоба и

Моно)

точка Ь является седлом, очень важен. Он означает, что однород-

ная

смесь, содержащая равные количества объектов х и у, не-

устойчива и под влиянием сколь угодно малого возмущения

«сва-

ливается» либо в режим вымирания х и конечных значений чис-

ленности

у (точка а), либо в режим вымирания у и конечных

численностей х (точка с).

Автор

модели

делает

вывод, что неустой-

чивость симметричного стационарного состояния является основ-

ной

причиной биологического отбора (выбора одной из

двух

или

многих равноправных возможностей).

Способность триггерной системы к переключениям явилась

основной

предпосылкой для ее использования также в качестве

модели процессов, ведущих к дифференциации ткани. С этой точ-

ки

зрения каждая клетка обладает набором возможных устойчи-

вых стационарных режимов, но фактически в данный момент вре-

мени

функционирует лишь в одном из них. В процессе дифферен-

циации

и происходит переключение клетки из одного стационар-

ного режима функционирования в другой.

Теперь остановимся кратко на модели генетического триггера,

основанной

на биохимической

схеме

регуляции белкового синтеза.

Эта модель была предложена Жакобом и Моно (1964), а матема-

тическая разработка ее принадлежит Д. С. Чернавскому,

Л. Н. Григорову и М. С. Поляковой (1967).

Как

известно, Жакоб и Моно предложили

схему

взаимной ре-

гуляции

двух

систем синтеза ферментов, изображенную на

рис.

1.32. Ген — регулятор каждой системы синтезирует неактив-

ный

репрессор. Этот репрессор, соединяясь с продуктом противо-

положной

системы синтеза ферментов, образует активный комп-

лекс.

Активный комплекс, обратимо реагируя с участком струк-

турного гена, называемого опероном, блокирует синтез mPHK.

Таким

образом, продукт второй системы Р

является корепрессо-

ром первой системы, a Pi — корепрессором второй. При этом в

процессе корепрессии может участвовать одна, две и больше мо-

лекул продукта. Очевидно, что при таком характере взаимодей-

ствия при интенсивной работе первой системы вторая заблокиро-

вана и наоборот. После соответствующих упрощений уравнения,

описывающие синтез продуктов Pi и Рг, принимают вид

dPi ^ A

(1.6-2)

dt Bz + P™

Здесь Р

— концентрации продуктов, величины А

, В

, q\,

q<i

выражаются через параметры своих систем. Показатель

степени т указывает, сколько молекул активного репрессора (сое-

динений

молекул продукта с молекулами неактивного репрессора,

который

предполагается в избытке) соединяются с опероном для

блокировки

синтеза mPHK.

Вводя безразмерные величины

•^-1 =

\1Ч\Въ

t" = qt,

:истему

(1.6—2)

можно переписать в следующем виде:

—г- =

*i,

dt 1 +

(1.6-3)

Ах, L

Исследование системы

(1.6—3)

показывает, что при m=l ее фа-

зовый портрет при любых значениях параметров системы имеет

одну устойчивую особую точку в положительном квадранте фазо-

вой

плоскости (переменные нашей системы x

суть

безразмер-

ные

концентрации и по смыслу не

могут

быть отрицательными)

(рис.

1.33, а). Следовательно, модель при т=\ не может отра-

жать процессов переключения в системе. Если же

/nj^.1,

то при

определенных значениях отношения —— > у система приобретает

триггерные свойства (рис. 1,33, б). На фазовой плоскости такой

системы имеются две устойчивые особые точки а, с,

между

кото-

Рис.

1.33. Фазовый портрет системы (1.6—2):

а — при т=1; б — при /и = 2 (Романовский, Степанова, Чернавский, 1975)

рыми

расположена неустойчивая — седло Ь, Значение параметра

—— = Y является бифуркационным, причем бифуркация имеет

триггерный характер. Легко видеть, что в такой модели отношение

—— играет роль управляющего параметра, изменение которого

может привести к смене стационарного режима системы. Величина

параметров L

зависит от многих биохимических характери-

стик:

скорости снабжения субстратами, активности ферментов,

времени жизни ферментов,

тРНК

и продуктов. Наиболее измен-

чивый из этих параметров и доступный для регулирования — кон-

центрация

субстратов.

Посмотрим

теперь, как можно осуществить переключение триг-

гера Жакоба и Моно, например, из режима а в режим с, т. е. акти-

визировать деятельность первой системы и соответственно синтез

фермента Е\ и заблокировать синтез второго фермента Е

Первый,

специфический, способ заключается в добавлении

больших количеств продукта Р

чтобы концентрация Х\ измени-

лась на Д*1 и изображающая точка пересекла сепаратрису

(рис.

1.29).

Разберем неспецифическнй способ переключения. Пусть в си-

стеме, устойчиво работающей в режиме а, изменяется соотношение

параметров Ь

{

и L

, при этом фазовый портрет системы постепен-

но

искажается, устойчивый

узел

а и седло b приближаются

друг

другу

и при —~- = у сливаются в одну особую точку, при этом

точка с почти не меняет своего положения. Имеет место процесс,

описанный

нами ранее и изображенный на рис. 1.30. После дости-

жения

бифуркационного значения —— = у система сама перехо-

да

дит в режим функционирования с. Время, в течение которого изме-

няется

величина параметра ——, должно быть больше некоторого

критического значения, чтобы система

успела перейти в область притяжения

точки с. Кинетика изменения концент-

раций

во времени изображена на

рис.

1.34. После этого можно вернуть

параметрам их прежние значения, фа-

зовый портрет системы при этом вос-

становится, но система уже

будет

функционировать

в состоянии с, т. е.

синтезировать преимущественно ф.ер-

мент Е\.

В заключение еще раз подчерк-

нем,

что триггерные модели адекватно

описывают одну из основных особен-

ностей биологических систем — их

способность к переключениям из одного режима в другой; имен-

но

поэтому, наряду с колебательными, триггерные модели полу-

чили столь широкое распространение. Некоторые из них

будут

более подробно описаны нами в III части при рассмотрении

кине-

тических моделей ферментативного катализа.

Рис.

1.34. Кинетика изменения

переменных в процессе неспецн-

фического переключения

Глава

АВТОКОЛЕБАНИЯ.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ

ЦИКЛЫ

В предыдущих

главах

нами были рассмотрены общие методы

исследования систем дифференциальных уравнений, описывающих

модели реальных процессов. Было показано, что в большом числе

случаев можно свести

задачу

исследования стационарных состоя-

ний

системы произвольного вида