Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

так

как

суммарная скорость протока прироста популяции меньше,

чем скорость 'протока из-за малой доли размножающихся клеток.

Затем

по

мере восстановления популяции доля живых клеток

уве-

личивается, скорость роста сравнивается

со

скоростью протока,

имеет место минимум, определяемый формулой

(11.10—26).

Рис.

11.16.

Эксперименталь-

ные

расчетные данные

процесса роста популяции

дрожжей

проточном куль-

тиваторе

постоянной

ско-

ростью

протока:

/ —

расчет

общей концентрации

био-

массы популяции;

2 —

рас-

чет процента размножаю-

щихся клеток (точки

кре-

стики

—

экспериментальные

данные) (Печуркин

и Тер-

сков,

(1975)

too

•

"~4 •

« 8

Время,

В дальнейшем скорость прироста начинает превышать скорость

протока,

происходит нарастание (концентрации клеток

до

стацио-

нарного уровня, определяемого концентрацией питательных

ве-

ществ

среде, подающейся

культиватор.

Как

объект иссле-

дования использовались популяции дрожжей.

На рис. 11.16 при-

ведены данные расчета

эксперимента

для

популяции дрожжей

С. tropicalis.

Кривая

соответствует проценту размножающихся

клеток

популяции. Кривая

характеризует общую концентрацию

клеток

популяции

(в г/л сух.

вещества). Константы

для

расчета

были получены

из

эксперимента.

Как

видно

из

рисунка, совпаде-

ние

расчета

эксперимента достаточно хорошее

течение всего

процесса восстановления, который занимает около

15 ч, — при-

мерно

генераций. Подробно условия эксперимента описаны

работе Печуркина, Терскова (1975). Проведено исследование

мо-

делей процессов восстановления популяций

субстратным лимити-

рованием

продуктным угнетением

аппаратах типа хемостат

турбидостат.

Выводы

Биогеоценоз

представляет собой крайне сложную

разнооб-

разную систему,

построение

его

портретной модели

требует

большой работа

по

установлению структурно-функциональной

схе-

мы взаимодействий

между

компонентами биогеоценоза.

При

этом существенную помощь может оказать рассмотрение

биогеоценоза

как

системы

лимитирующими факторами, установ-

ление критических компонент

ограничивающих соотношений

для

процессов, протекающих

рассматриваемом ценозе.

191

При

математическом описании биогеоценоза необходимо учиты-

вать условия сохранения и превращения вещества и энергии. Со-

блюдение этих общих физических законов не только является

обязательным условием правильности модели, но и позволяет ма-

тематически выразить трудноопределимые на опыте коэффициенты

популяционной

динамики через энергетические величины, легко

определяемые экспериментально.

Необходимым критерием правильности модели биогеоценоза,

как

и любого

другого

реального объекта, являются такие матема-

тические свойства модели, как грубость системы уравнений и

устойчивость ее стационарного состояния.

При

изучении структуры и функционирования сложных биогео-

ценозов

необходимо детальное рассмотрение моделей элементар-

ных взаимодействий в ценозе, таких как хищничество, конкуренция

видов и др., с целью отбора 'наиболее адекватных происходящим

природе моделей этих процессов.

Наиболее перспективным в настоящее время методом экспе-

риментального и теоретического исследования экологических и

эволюционных процессов является проточное культивирование,

которое позволяет точно регистрировать и регулировать как харак-

теристики самих исследуемых популяций (биологические перемен-

ные),

так и условия внешней среды (параметры — коэффициенты

уравнениях).

Л ИТЕРАТУРА

А л е к с е е в В. В., Крышев И. И., Полякова М. С. Влияние физических

факторов на динамику водного биоценоза пелагиалн (на примере Белого

моря).

— ЖОБ, 1975, № 5.

а з ы к и н А. Д. Модель динамики численности вида и проблема сосущество-

вания

близких видов. — ЖОБ, 1967, т. 30, № 3.

ей л и Н. Математика в биологии и медицине. М., «Мир», 1970.

Белл м а н Р. и К а л а б а Р. Динамическое программирование и современная

теория управления. М., «Мир»,

'1969.

е р т а л а и ф и Л. фон. Общая теория системы. Критический обзор. — В сб.:

Исследования по общей теории систем. М., «Прогресс», 1969.

Болтянский

К. И. и др. Математическая теория оптимальных процессов.

М.,

«Наука»,

1961.

Виноградов М. Е. Изучение структуры биологических сообществ пелагпалп

океана

(44-й рейс «Витязя»), —

«Вест.

АН СССР», 1968, N° 7.

Виноградов М. Е., Крапивин В. Ф., Флейшман Б. С, Ш у ш к н-

а Э. А. Математическая модель функционирования экосистемы пелагпалп

тропических районов океана (по материалам

50-го

рейса «Витязя»). —•

«Океанология», 1973, т. 13, вып. 5.

Г и л ь д е р м а н Ю. И., Кудрина К. И., Полетаев И. А. Модели Л-сп-

стем (системы с лимитирующими факторами). — В сб.: Исследования по

кибернетике.

М., «Советское радио», 1970.

Г и н з б у р г Л. Р. О совместимости популяций. — ЖОБ, 1973. т. 34. Х° 3.

Гинзбург Л. Р., Коновалов Н. Ю., Эпельман Г. С. Математическая

модель взаимодействия

двух

популяций. — ЖОБ, 1974, т. 35, № 4.

Колмогоров А. И. Качественное изучение моделей динамики популяций. —

В сб.: Проблемы кибернетики, вып. 25. М.,

«Наука»,

1972.

Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.,

«Нау-

ка», 1972.

192

Ляпунов А. А. О математическом подходе к изучению жизненных явлений.—

В сб.: Математическое моделирование жизненных процессов. М., «Мысль»,

1968.

Ляпунов А. А. О кибернетических вопросах биологии. — В сб.: Проблемы

кибернетики,

вып. 25. М., «Наука», 1972.

Манфелдьен Э. Экология животных. М., «Мир», 1966.

Меншуткин В. В. Математическое моделирование популяций и сообществ

водных животных. Л., «Наука», 19711.

О дум Ю. Основы экологии. М., «Мир», 1975.

Печурки н, ТерсковИ. А. Анализ кинетики роста и эволюции микробных

популяций.

Новосибирск, 1975.

Полетаев И. А. О математических моделях элементарных процессов в био-

геоценозах. — В сб.: Проблемы кибернетики, вып. 16. М., «Наука», 1966.

Полетаев И. А. О математических моделях роста. — В сб.: Физиология при-

способления растений к почвенным условиям. Новосибирск, 1973.

Полетаев И. А. Модели Вольтерра «хищник—жертва» и некоторые их обоб-

щения

с использованием принципа Либиха. — ЖОБ, 1973 а, т. 34, № 1.

о л у э к т о в Р. А. и др. Динамическая теория биологических популяций. М.,

«Наука», 1974.

Ратнер В. А. Математические модели в популяционной генетике. — В сб.:

Итоги

науки. Сер. «Математические методы в биологии». М., изд.

ВИНИТИ,

1969.

Ризниченко

Г. Ю., Рубин А. Б. Математическая модель искусственной

экосистемы с пространственно разделенными компонентами. — «Космическая

биология и медицина», 1975, № 4.

Романовский

Ю. М.. Степанова Н. В., ЧернавскийД. С. Матема-

тическое моделирование в биофизике. М., «Наука», 1975.

у б и н А. Б., Ф о х т А. С. О математическом моделировании закрытых эко-

логических систем. —• В сб.: Космические исследования. 1968, т. 6, вып. 2.

Свирежев Ю. М., Елизаров Е. Я. Математическое моделирование био-

логических систем. — «Проблемы космической биологии», т. 20. М., «Наука»,

•1972.

Сукачев В. Н. Основы лесной типологии и биогеоценологии. — «Избранные

труды»,

т. 1. Л., «Наука». 1972.

Уатт

К. Экология и управление природными ресурсами. М., «Мир», 1971.

Уильямсон М. Анализ биологических популяций. М., «Мир», 1975.

Федоров В. Д., Белая Т. И., Максимов В. Н. Потребление биогенных

элементов фитопланктонным сообществом в зависимости от их концентра-

ции

в водоеме и условий освещения. — «Изв. АН СССР», сер. биол.,

1970, № 3.

Э м а н Г. И. О некоторых математических моделях биогеоценозов. —В сб.:

Проблемы кибернетики, вып. 16. М., 1966.

MacArthur R. Graphycal

analysis

of ecological

systems.

—

«Division

of Bio-

logy

Report, Princeton Univerity», 1971.

a u s e Q. F. The

struggle

for existence. Reprinted 1964, Hafner Publishing Co.

Y., 1934.

M о n о d J. La technique de culture continue; theorie et applications. —

«Ann.

Inst.

Pasteur», 1950, vol. 79.

NovickA., SzilardL. Experiments with the chemostat on spantaneous muta-

tions of bacteria. — «Proc. Nat.

Acad.

Sci.

USA»,

1950, vol. 36,

708—719.

о n t i n A. J. Experimental transplantation of nest-mounds of the ant

Lasius

flavus

in a habitat containing

also

L. Niger and Myrmica scabrinodis Nyl. —

«J. Anim. Ecol.»', 1969, vol. 38.

ReynoldsonT. В., DaviesR. W. Food niche and co-existance in

lakedwel-

ling

triclads. — «J. Anim. Rcol.», 1970, vol. 39.

Ulanowicz R. E. Mass and Energy Flow in Closed Ecosystems. — «J. Theor.

Biol.»,

1972, vol. 34.

Volterra

V. Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie. —

«Gautier—Villars»,

Paris, 1931.

7 Зак. 46 193

Часть III

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ФЕРМЕНТАТИВНЫХ

ПРОЦЕССОВ

В настоящем разделе мы переходим к рассмотрению математиче-

ской

теории процессов ферментативного катализа. Как известно,

ферментативные системы составляют основу механизма регули-

рования

сложной цепи клеточного метаболизма. Регуляторные

функции

ферментативных систем, в свою очередь, обусловлены

существенной нелинейностью последних. В целом сложным фер-

ментативным системам присущи многие элементы и свойства само-

организующихся и саморегулируемых систем, что лишний раз под-

черкивает самостоятельный интерес, который представляет их ма-

тематическое моделирование.

Глава

ОСНОВНЫЕ

ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

ФЕРМЕНТАТИВНЫХ

ПРОЦЕССОВ

Как

известно, биологический катализ осуществляют белки —

ферменты,

обладающие исключительно высокой каталитической

активностью и ярко выраженной специфичностью действия на

строго определенные субстраты.

Ключевой стадией механизма катализа является присоедине-

ние

молекул субстрата к молекуле фермента с образованием ком-

плекса, называемого комплексом Михаэлиса. После соответствую-

щей

«обработки» молекулы субстрата — ее расщепления, переста-

новки

или замены некоторых групп атомов — комплекс распадает-

ся

с образованием продукта и освобождением молекулы фермента.

В основе математических моделей ферментативных реакций лежит

формальная

схема этого процесса, которая представляется в сле-

дующем виде:

S + F

(

±j

-->-[FS]

-»-+ РЛ- F

(III.

— 1)

194

S —

субстрат,

Е — фермент, [ES]—комплекс Михаэлиса,

k+\

—

константа, или абсолютная скорость синтеза комплекса (это реак-

ция

второго порядка). Обратная стрелка с константой A_j указы-

вает на то, что эта реакция обратима. Скорость образования про-

дукта

и распада комплекса характеризуется константой k

Процесс распада комплекса

суть

реакция первого порядка. Эту

реакцию можно считать необратимой, что в большинстве случаев

соответствует действительности.

Существует ряд физико-химических особенностей ферментатив-

ного катализа, сильно усложняющих эту простую кинетическую

схему,

которые необходимо учитывать при построении и анализе

соответствующих математических моделей. Кратко остановимся

на

некоторых из них. Прежде всего отметим, что размеры актив-

ного центра, как правило, значительно меньше размеров всей мо-

лекулы фермента, так что иногда одна молекула белка — фермен-

та — несет на себе несколько активных центров (например у гемо-

глобина их 4). Существуют также примеры совмещения в одной

молекуле белка активных центров разной структуры и функций.

Управление биологическими процессами осуществляется путем

подавления или активации деятельности ферментов. Ингибито-

ры — вещества, уменьшающие активность ферментов, — представ-

ляют собой сравнительно небольшие молекулы, часто по

структуре

сходные с субстратами или продуктами (под активностью фермен-

та понимают число молекул субстрата, превращающихся на одном

каталитическом центре в 1 мин). Различают два вида торможе-

ния:

конкурентное

(изостерическое) и

неконкурентное

(аллосте-

рическое).

В первом

случае

ингибитор является структурным аналогом

субстрата и может занимать его место в активном центре; при

этом образуется неактивный комплекс. Иными словами, молекулы

ингибитора

«засоряют»

активный центр фермента, конкурируя с

молекулами субстрата и частично выводя фермент из строя. По-

добное же обратимое, или конкурентное, торможение может осу-

ществляться продуктом ферментативной реакции, имеющим суще-

ственное сродство с активным центром фермента. В некоторых

ферментативных реакциях избыток субстрата также

действует

угнетающе на реакцию. Это явление, по-видимому, объясняется

образованием неактивного вторичного комплекса молекулы фер-

мента с двумя или более молекулами субстрата. В

результате

субстрат

в больших концентрациях уже сам начинает играть роль

конкурентного ингибитора. К конкурентным относят также более

сложные механизмы угнетения, допускающие образование наряду

с комплексом фермент — ингибитор и тройных комплексов: фер-

мент—

субстрат

— ингибитор. При этом последний, тройной, комп-

лекс и комплекс фермент —

субстрат

могут

образовывать продукты

реакции с одинаковой скоростью.

Неконкурентное ингибирование отличается тем, что агент, ата-

кующий активный центр фермента, не может быть вытеснен суб-

7* 195

стратом ни при каких концентрациях последнего, что имеет место

при

всех

необратимых химических изменениях активного центра.

Весьма важным видом неконкурентного ингибирования являет-

ся

так называемое аллостерическое угнетение. В отличие от изо-

стерических типов ингибирования, затрагивающих активный центр

фермента, при аллостерическом угнетении ингибитор не имеет

структурного сродства с субстратом и присоединяется к совершен-

но

иному, но также структурно определенному центру на белковой

молекуле. Отсюда и термин —• аллостерическое (структурно не-

связанное)

ингибирование. В

результате

происходит общая де-

формация

белковой глобулы и, как следствие, меняется взаимное

расположение активных групп центра ферментативной активности.

Это не мешает образованию комплекса фермента с субстратом,

но

препятствует образованию продукта реакции.

Наряду с ингибиторами имеются и активаторы — вещества,

способные повышать активность фермента и ускорять соответст-

вующую

реакцию. Этот способ регулирования также играет суще-

ственную роль в процессах метаболизма. Ингибиторы и активато-

ры часто называют общим термином —

эффекторы,

встречается

также равносильный термин

•—модификаторы.

Разнообразие

механизмов ферментативных реакций и взаимо-

действия различных веществ-модификаторов с ферментами тре-

бует

тщательного кинетического анализа. Как

будет

показано в

дальнейшем изложении, теоретический

подход

в этой области не

только способствует разработке методов количественной оценки

эффективности

ферментативных процессов, но и позволяет делать

определенные выводы о их механизмах и способах регулирования.

Регулирование сложной системы метаболических процессов в клет-

ке

осуществляется в основном путем подавления или активации

каталитической деятельности ферментов. В этой связи интересно,

что свойства биологических систем автоматического регулирова-

ния

подчиняются тем же основным закономерностям, что и авто-

матические устройства, применяемые в технике. Для тех и для

других

характерно наличие обратной связи: конечный продукт

биохимического процесса влияет на скорость начальной стадии.

Другое

общее свойство биологических и технических систем авто-

матического регулирования — нелинейность кинетики, весьма ха-

рактерная,

например, для аллостерических ферментов. Причиной

нелинейной

зависимости скорости ферментативного катализа как

функции

концентрации субстрата или аллостерического ингибито-

ра (активатора) является наличие нескольких активных центров,

а также взаимодействие сорбированных молекул субстрата в пре-

делах

одной молекулы белка (так называемый принцип коопера-

тивное™)

(Бреслер, 1973). Свойство нелинейности обеспечивает

устойчивость и вместе с тем высокую чувствительность фермен-

тативной системы к изменениям внешней среды. Наконец, как

технические, так и многие биологические системы автоматическо-

го регулирования являются автоколебательными. Исследование

196

таких систем — важный и, по-видимому, неооходимый этап в вы-

яснении

механизмов саморегулирования живых организмов.

Аналогия в структурно-функциональной организации техниче-

ских и биологических систем автоматического регулирования оп-

равдывает самостоятельное изучение последних теоретическими

методами, разработанными в физике, среди которых важное место

занимает прежде всего метод математического моделирования.

Глава

СТАЦИОНАРНАЯ КИНЕТИКА

ФЕРМЕНТАТИВНОГО

КАТАЛИЗА

В этой главе мы рассмотрим отдельные типы ферментативных

реакций,

наиболее часто встречающихся в практике энзимологи-

ческих исследований. На примере этих простых реакций

будет

показано,

в чем состоит принцип подхода к анализу и более слож-

ных ферментативных процессов, различающихся как по числу

исходных субстратов и образующихся продуктов, так и по коли-

честву

промежуточных стадий.

Как"

уже отмечалось, к ферментативным реакциям применимо

понятие

обратимости и необратимости. Как правило, фермента-

тивные реакции состоят из нескольких стадий, некоторые из ко-

торых обратимы,

другие

необратимы. Так, процесс, выраженный

схемой

E+S^l ES

-+ES

-»E -f P,

состоит из одной обратимой реакции и

двух

необратимых.

В зависимости от числа субстратов, принимающих участие в

процессе,

ферментативные реакции

могут

быть подразделены на

односубстр атные

двухсубстратные

-':- 5(D ^

£S

(

i),

£S(i) -f 5(2) ^

£S(i)5

(

-> Е

-{-

т. д. Ферментативные реакции, в которых принимают участие

более

двух

субстратов, встречаются очень редко. По числу обра-

зующихся продуктов ферментативные реакции, как правило, де-

197

лятся

на

реакции

одним

и с

двумя продуктами. Реакции

обра-

зованием

двух

продуктов протекают по

схеме

S-£ES2LESW

-+Е

Р(

Ло

В более сложных случаях превращение субстрата

конечный про-

дукт

происходит

несколько стадий

образованием нескольких

фермент-субстратных комплексов.

Во

многих ферментативных

реакциях, протекающих

участием нескольких субстратов

про-

дуктов, осуществляется строго определенный порядок связывания

субстратов

десорбции продуктов;

других

случаях последова-

тельность присоединения субстрата

ферменту

не

имеет сущест-

венного значения.

Рассмотрим детально наиболее простую ферментативную реак-

цию

участием одного субстрата

образованием одного продукта

£ + 5 ^^-+ES-^-*-E + P.

(111.2—1)

Запишем

систему дифференциальных уравнений, отвечающую

схеме

реакций (Ш.2—1):

[S] [E]

+ k.

[ES]

[ES],

^k+^m-k^^-k^ES],

•^L=-k+,\ES].

(III.2-2)

Сложив

второе

третье

уравнения

системы

(Ш.2—2),

получим

-L-

([Е]

[ES])

О,

или

[£]

[ES]

= £

const,

(III.2—3)

что является условием сохранения общего количества фермента

системе.

замкнутой системе сохраняется также сумма масс

субстрата

продукта

[S]

[Р]

const.

В общем

случае

решение дифференциальных уравнений

(Ш.2—2),

т. е.

нахождение концентраций реагентов как функций

времени,

затруднительно. Поэтому

большинстве случаев анализ

198

кинетики

ферментативных реакций строится на допущении о ста-

ционарности

концентрации фермент-субстратного комплекса. Оче-

видно,

такой стационарный режим, при котором концентрация

фермент-субстратного комплекса остается постоянной,

[ES] = const или — [ES] = О, (III.2—4)

реализуется только в том случае, когда концентрация субстрата

также поддерживается постоянной (например, за счет притока его

извне).

В клетке это условие практически всегда выполняется.

В замкнутых системах концентрацию субстрата также можно счи-

тать практически постоянной, если она много больше концентра-

ции

фермента:

[5]^>[£].

Тогда на протяжении достаточно дли-

тельного времени текущая концентрация субстрата практически

не

изменяется, и можно приближенно полагать, что фермент ра-

ботает в стационарных условиях. Анализ более сложных фермен-

тативных систем показывает, что приближенно стационарность

имеет место, если соблюдается единственное условие — избыток

концентрации

субстрата над концентрацией фермента:

[S]»[£].

Допущение о стационарности, точнее — о квазистационарности,

сводит процесс отыскания решения для скорости ферментативной

реакции

к чисто алгебраической задаче.

Исходя из (Ш.2—2), запишем уравнение для скорости изме-

нения

фермент-субстратного комплекса, использовав при этом ус-

ловие сохранения числа молекул фермента (Ш.2—3):

^р = k

] [S] - [ES] (*_, + k

+ k

[S]). (Ш.2-5)

Из

последнего уравнения можно найти стационарную концентра-

цию

фермент-субстратного комплекса

)[S)

или

[Щ

[£

о] [S]

(III.2-6)

Km — S

где К

= ——-—-—. Эта величина, называемая

константой

Ми-

хаэлиса,

по физическому смыслу и численному значению представ-

ляет собой концентрацию субстрата, при которой половина моле-

кул фермента состоит в комплексе с субстратом.

Из

соответствующих уравнений системы (Ш.2—2) можно най-

ти стационарные скорости убыли субстрата и образования продук-

та. Итак, в условиях, когда концентрация фермент-субстратного

комплекса

остается постоянной, получим

[S][]+

dt ]

(Ш.2—7)

199

d[P]

[E~S~]

fe+2[£o][S1

(Ш.2-8)

• k

-\-

[S]

(III.2—8)

представляет основное уравнение ферментативной

кине-

тики.

Оно

носит название уравнения Михаэлиса

—

Ментен, соглас-

но

которому скорость простейшей ферментативной реакции линей-

но

зависит

от

начальной концентрации фермента. Однако

эта за-

кономерность выполняется лишь

при

условии

[Е]

<С

[S].

Повы-

шение концентрации фермента

за

пределы этого неравенства

нарушает указанную линейную зависимость. Стационарная

ско-

рость ферментативной реакции

как

функция концентрации

субст-

рата

обладает

этом

случае

свойством насыщения. Действительно,

при

малых концентрациях

субстрата

[S]<g.K

скорость образова-

ния

продукта согласно (III.2—8) приблизительно линейно зависит

от

[S]

d[P]

^, k+

[£,] [S]

При

[S]->oo

или [S]^>K

можно считать,

что

+[5]»[S].

В этом

случае

скорость ферментативной реакции принимает

по-

стоянное,

не

зависящее

от

концентрации

субстрата

значение

(III.2-9)

которое носит название максимальной скорости ферментативной

реакции.

Величина

поддается экспериментальному определению.

Как

мы увидим

дальнейшем, данные

максимальной скорости

син-

теза продукта

могут

быть использованы

при

исследовании

меха-

низма

ферментативной реакции.

По

экспериментальным данным

о зависимости стационарной скорости образования продукта

от

концентрации

субстрата

выявляются эффекты, связанные

регу-

лированием скорости ферментативной реакции,

в том

числе

и не-

линейные эффекты, обусловленные кооперативными свойствами

ферментов.

Так,

многие аллостерические ферменты характеризу-

ются 5-образной зависимостью стационарной скорости реакции

от

концентрации

субстрата.

Однако

большинстве

случаев

кинетика

ферментативных реакций весьма удовлетворительно описывается

простым уравнением Михаэлиса

—

Ментен,

что

подтверждает

пра-

вильность основных представлений

механизме рассматриваемого

процесса

справедливость допущения

квазистационарности

его

течения.

Рассмотрим теперь уравнения реакций

конкурентным

алло-

стерическим регулированием.

При

действии конкурентных инги-

биторов, наряду

активным комплексом

ES,

образуется неактив-

ный

комплекс

Ё1

200