Розенберг Л.Д. Физика и техника мощного ультразвука. Книга 1. Источники мощного ультразвука OCR
Подождите немного. Документ загружается.
когда
влияние
инерции
вращения
относительно
велико:
,
х
2
W = W
(1
- 2,3241)
12
' (3)
где
(о
-
собственная
частота,
определенная
без
учета
инерции
вращения
1;
ш'
-
частота
с
учетом
попраВRИ;
l-
длина
волновода.
Если
(о
-
обер
тон, то
для
сравнительно
невысоного
его
порядка
(3а)
При
этом
~тl
(х)
~
()
~
1.
т2
х
Здесь
~тl
(х)
-
затшн
распределения
амплитуд
смещения
вдоль
волно
вода
с
учетом
поправки,
а ~т2
(х)
-
без
такого
учета.
(Нак
известно,
зависимость
~т
(х)
называется
«формой
колебаний».)
Влияние
инерции
вращения
сказывается
также
на
уменьшении
ампли
туды
колебаний.
Для
снижения
влияния
инерции
вращения
необходимо
так
выбирать
размеры
изгибного
волновода,
чтобы
было
соблюдено
условие
(4)
ноторое
следует
пз
анализа
решения
уравнения
(1).
Иные
варианты
закрепления,
а
тан:же
СJIучай
нагружения
волновода
могут
дать
только
меньщее
расхождение
между
ш'
и
ш.
При
соблюдении
указанного
усло
вия
инерцией
вращения
можно
пренебречь,
и
в
этом
случае
дифферен
циальное
уравнение
установившихся
вынужденных
гармонических
коле
баний
изгибного
волновода
будет
иметь
вид
Нак
известно
r 1],
решение
таного
уравнения
следующее:
~т
=
С
1
А
х
+
С
2
В
Х
+
СзС
х
+ C
4
D
x
,
(5)
(G)
где
C
1
,
С
2
,
С
з
,
С
4
-
постоянные
интегрирования,
определяемые
из
гра
ничных
условий:
1
Ах
=
"2
(ch
kx
+
сов
kx),
В
х
=
~
(sh
kx
+
sin
kx),
1
С
Х
= 2
(ch
kx
-
сов
kx),
D
x
=
~
(shkx-sinkx).
ЭТИ
ФУНRЦИИ
называются
функциями
А.
Н.
Нрылова
2.
(7)
1
Метод
определения
собственных
частот
IIзгибного
волновода
будет
ИЗJIожен
в
§ 9
(стр.
264).
2
Таблицы
этих
функций
приводятся
В
:ппературе
(см.,
например,
[8]).
25:1
В
расчетах,
связанных
с
определением
постоянных
:интеГРИРОВаНИЯ~
используются
выражения
для
производных:
При
х
=
О
~~
= k
(C
1
D
x
+
С
2
А
х
+
СзВ
х
+
С
4
С
Х
),
~~
= k
2
(С
1
С
Х
+ C
2
D
x
+
СзА
х
+
С
4
В
Х
),
~:
=
k
з
(С
1
В
Х
+
С
2
С
Х
+
СзD
х
+
С
4
А
...
).
А
о
-=
1,
Во
=
СО
= D
o
=
о.
(8)
(9)
Входящий
в
решение
(4)
коэффициент
k
является
волновым
множителем:
(10)
где
Е -
модуль
Юнга
материала
волновода;
т -
масса
волновода
на
единицу
длины.
Волновой
множитель
связывает
частоту
со
скоростью
распространения
изгибных
колебаний:
(11)
(си
-
скорость
распространения
изгибных
колебаний
вдоль
волновода).
Если
р
-
плотность
материала
волновода,
а
S -
площадь
его
попереч
ного
сечения,
то
на
основании
(2),
(10)
и
(11)
можно
получить
(12)
здесь
с
=
-v
EJp
-
стержневая
скорость
продольных
колебаний
в
волно
воде.
На
основании
(10)
получаем
выражение
для
частоты
колебаний:
ro
-=
k2CX.
Длина
волны
изгибных
колебаний
равна
где
..
г-
1;
А
и
= r
2лсхГ
2,
(J)
f---
-
2л·
(13)
(14)
Таким
образом,
длина
изгибной
волны
зависит
не
только
от
частоты
и
ма
териала
волновода,
но
и
ОТ
формы
и
размеров
его
поперечного
сечения.
Решение
уравнения
(5)
можно
представить
и
в
другом
виде:
~т
=-
М
1
sin
kx
+
М
2
cos
kx
+
М
з
sh
kx
+
М,!
ch
kx.
(15)
Постоянные
коэффициенты
выражения
(6)
связаны
с
постоянными
коэф
фициентами
решения
вида
(14)
следующими
выражениями:
М
1
=
С
2
-С4
M
z
=
СI-С
З
2 2
М
з
=
С
2
+С
4
М
4
=
С
l
4-С
з
2
2
(16)
Для
эффективной
работы
изгибного
волновода
необходимо
обеспечить
максимальную
однородность
типа
колебаний
(изгибных).
Известно,
что
получить
«чистО»
изгибные
колебания
невозможно;
этому
мешают
возни
кающие
в
объеме
волновода
силы,
действующие
в
различных
направлени
ях.
В
частности,
могут
дополнительно
возникнуть
сдвиговые
и
продоль
ные
колебания.
В
результате
энергия
изгибных
колебаний
уменьшается.
Чтобы
обеспечить
в
достаточной
степени
только
один
вид
(иагибных)
коле-
252
баний,
как
показали
наши
опыты,
надо
соблюдать
условие
ли
([>4,
(17)
где
d -
максимальный
габаритный
размер
поперечного
сечения
волновода.
Степень
однородности
колебаний
определял
ась
следующим
образом:
волновод
располагали
горизонтально
и на
его
верхнюю
боковую
поверх
ность
наносили
небольшой
слой
тонкого
порошка
(например,
сухой
фор
мовочной
земли).
При
возбуждении
волновода
в
случае
одного
типа
(изгибных)
колебаний
порошок
образовывал
фигуры
в
виде
полосок,
распо
ложенных
в
узлах
колебаний,
перпендикулярно
продольной
оси
волно
вода.
При
нарушении
однородности
колебаний
полоски
порошка
распо
лагались
под
различными
углами
к
оси
волновода.
Аналогичные
испытания
проводились
на
остальных
боковых
поверх
ностях,
для
чего
волновод
последовательно
поворачивался
вокруг
про
дольной
оси.
Для
прямоугольного
волновода
достаточно
было
испытаний
на
двух
боковых
поверхностях.
Когда
волновод
имел
поперечное
сечение
в
виде
круга,
однородность
колебаний
определялась
следующим
образом:
на
волновод
насаживалось
небольшое
металлическое
кольцо,
внутренний
диаметр
которого
был
равен
диаметру
волновода
снебольшим
припуском,
обеспечивающим
возможность
легкой
насадки.
При
нарушении
однородно
сти
колебаний
кольцо
вращалось
и
одновременно
смещалось
в
сторону
расположения
узлов
изгибных
колебаний.
§
3.
У
чет
потерь
па
внутреннее
трение
Наличие
внутреннего'
трения
в
материале'
изгибных
волноводов
приво
дит
К
необратимому
рассеянию
колебательной
мощности
и
снижению
эф
фективности
волноводных
систем.
Кроме
того,
наличие
активной
состав
ляющей
сопротивления
вызывает
изменение
формы
колебаний
и
значений
собственных
резонансных
частот.
Так
как
мы
рассматриваем
установив
шийся
режим
гармонических
колебаний,
то
учет
влияния
внутреннего
трения
на
изгибные
колебания
можно
упростить
и
сделать
удобным
для
практических
расчетов.
Для
этой
цели,
отвлекаясь
от
существа
физиче
ской
природы
этих
потерь,
а
следовательно,
от
принятия
той
или
иной
модели
упруго-вязкого
тела,
введем
величину
эквивалентного
сопротив
ления
потерь
R,
считая,
как
это
обычно
принято
в
акустике,
что
сила
F
R,
затрачиваемая
на
преодоление
этого
сопротивления,
пропорциональна
первой
степени
колебательной
скорости
~
[2].
Отказ
от
принятия
той
или
иной
модели
упруго-вязкого
тела
также
исключает
затруднения,
связанные
с
несоответствием
ряда
эксперимен
тально
установленных
фактов
с
теоретически
ожидаемыми
характеристи
ками
принятых
моделей
[4, 5].
Перейдем
к учету
влияния
эквивалентного
сопротивления
потерь.
Сопротивление
R
определяется
соотношением
. F
R
~=-"
, R
Т.
е.
Тогда
колебательное
уравнение
при
учете
трения
может
быть
записано
в
виде
(18)
2li3
Здесь
R 1 -
эквивалентное
сопротивление
на
единицу
длины.
к
режиму
вынужденных
гармонических
колебаний,
получим
Переходя
где
но
d4~
т
(2 . R 1 ) t
О
d:Jf
-
ЕI
w - 1
т
w
~m
= ,
i = V
-1.
Решение
этого
уравнения
подобно
решению
уравнения
(5),
т.
е.
~m
=
С
1
А
х
+.С
2
В
Х
+
СЗС
Х
+ C
4
D
x
,
- v R
k=k
1_i_
1
ютn
'
(19)
(20)
(21)
где
k -
волновой
коэффициент
без
учета
потерь,
а
k -
с
учетом
потерь.
Разлагая
выражение
(21)
и ограничиваясь
(при
предположении
мало
сти
потерь)
двумя
первыми
членами
разложения
(R
1
/wm
< 1),
получим
k ~ k(1 -
ir);
(22)
здесь
Rl
r =
4юm
•
(23)
Подставив
значения
k
в
решение
(20),
можно
найти
выражения
для
Аж,
Еж,
еж
и
п
х
,
которые
в
этом
случае
будут
комплексными
величинами.
§
4.
BXO~Boe
СОПРОТИDolIевие
изги6вых
DОollВОDОДОD
Входное
сопротивление
изгибного
волновода
представляет
собой
реак
цию
приложенной
к
волноводу
в
рассматриваемом
его
сечении
перере
ЗЪ'Iвающей
(нормальной)
силе
или
изгибающему
моменту.
Соответственно
можно
определить
две
составляющие
входных
импедансов.
а)
Импеданс
ZF
дЛЯ
перерезывающей
силы
амплитудой
F
т:
F
m
ZF
=
-.-,
(24)
~m
где
~m
-
амплитуда
колебательной
скорости
в
рассматриваемом
сечении
волновода.
б)
Импеданс
ZM
дЛЯ
изгибающего
момента
амплитудой
М
m
:
ZM
=
Л:
m
, (25)
<Рm
где
СРm
-
амплитудное
значение
угловой
колебательной
скорости.
Най
дем
в
обобщенном
виде
выражения
для
входных
импедансов
для
гармо-·
нической
силы:
F = F
т
sin
wt .
в
соответствии
с
определением
(24)
имеем
F
m
ZF
=
-.-\:-,
lffic,m
с
другой
стороны,
254
dЗ~
F =
ЕI dх
З
•
Тогда,
переходя
R
аМПЛIIТУДНЫМ:
значениям,
получим
d3~m
.".
.
ЕI
d3~m
ZF =
ЕI
({х
3
:
lffi;m
= - 1
(J)~m·
dx
3
•
Или,
на
основании
(6):
где
Elk
3
w
и
=--·
(J)
(27)
(28)
Входящие
в
выражение
(27)
постоянные
интегрирования
определяют
ус
ловия
закрепления
и
нагружения
волновода
(граничные
условия).
Таким
образом,
входное
сопротивление
определяется
параметрами
волновода,
ча
стотой,
местом
приложения
возбуждающей
силы
F
и
не
зависит
от
этой
силы.
Входящая
в
это
выражение
величина
(()
является
частотой
возбуж
дающей
силы.
Изгибающий
момент
может
быть
определен
из
выражения
м
=
ЕI
(12~
dx
2
•
(29)
"Угол
поворота
сечения
волновода
равен
ер
=
~~.
При
гармонических
колебаниях
с
амплитудой
смещения
~m
В
плоскости,
находящейся
на
рас
стоянии
х,
дляl
амплитуды
угловой
колебательной
скорости
имеем
. .
d;m
ерт
= !ffi
сг;;-
. (30)
Тогда
на
основании
(25), (29), (30), (6)
получаем
w
и
СIСх+С~х+СзАх+С4Вх
ZM
= - i
k2
С
•
C1D
x
+
С
2
А
х
+
з
В
х
+
С4
С
х
(31
)
Если
сила
или
изгибающий
момент
приложены
в
начале
волновода
(х
=
о),
то,
учитывая
(9),
получим
Z
.
'С4.
F =
-lWи~,
§
б.
ВОoJIповое
СОПРОТИВoJIение
иагибного
ВОoJIНОIlода
(32)
Рассмотрим
волновод
бесконечной
длины,
в
начале
которого
приложе
на
сила
F = F
т
sin
ffit.
Мгновенное!
значение
колебательного
смещения
такое:
~
=
~m
(х)
e
iwt
•
ВоспользуеМСЯI
решением
для
~m
В
виде
(15):
При
х->
00
~m
=
М
1
sin
kx
+
М
2
cos
kx
+
М
з
shkx
+
М
4
сЬ
kx.
сЬ
kx->
е
КХ
+
~,
sh
kx
-'7-
е
КХ
-
~,
где
~
-)-
о.
Скорости
приближения
этих
двух
функций
к
их
значенияМ
при
х
-)-
00
различные, но
сумма
М
З
sh
kx
+
М
4
сЬ
kx
не
может
возрастать
до
255
бесконечности,
так
как
~т
<
00.
Единственным
возможным
условием
ко
нечности
величины
~т
может
быть
М
з
=
М
4
=
О.
Следовательно,
tт
= M
1
sinkx
+ M
2
coskx,
(33)
или,
переходя
к
экспоненциальным
формам:
~т
=
~
[e
ikx
(М
2
0-
i
М
1
)
+
е-ах
(М
2
+ i M
1
)].
Первое
слагаемое,
стоящее
в
квадратных
скобках,
описывает
отраженную
волну,
а
второе
-
падающую.
Так
как
в
бесконечно
длинном
волноводе
отражение
волны
отсутствует,
то
М
2
-
iM
1
=
О,
т.
е.
М
2
= i
М
1
И ~т
= M
2
e-
ikx
.
(34)
На
основании
(26)
имеем
след
ова
тельно,
F
~т
= - i
E!~3
e-
ikx
,
т.
е.
F
1":
= _ j
~
ei(wt-kx)
'"
E/k
3
,
И
величина
входного
сопротивления
будет
равна
ZF=
~т
=Е!
Р.
~т
{j}
Но
для
бесконечного
волновода
ZF
=
W
и
,
где
W
и
по
смыслу
является
его
волновым
сопротивлением.
Так
как
_
-.
у
mю~
k-
vЕГ
,
то
w -
ЕI
[-.
У
.!!I'Ю
2
-J3
__
Е!
k3
и
-
ffi
V
ЕI
-
ffi
•
Учитывая
выражение
(10),
можно
окончательно
получить:
(36)
Это
выражение
аналогично
соотношению
для
волнового
сопротивления
волновода
при
продольных
колебаниях:
ш
о
= pcs.
В
наших
рассуждениях
мы
исходили
из
физического
смысла
W 1
как
вход
ного
сопротивления
бесконечно
длинного
волновода.
Покажем,
что
это
вытекает
из
аналитического
рассмотрения
входного
сопротивления
для
этого
волновода.
П
О
Z
·
С
4
ри
Х
=
значение
F = -
lW
и
(;1'
но
В
нашем
случае
М 3 = М
4
=
О
И
М
2 =
iM.
Учитывая
СООТНОШJШИЯ
(16),
имеем
С
1
= M
z
;
С
2
=
М
1
;
Са
= -
М
2
,
С
4
= -
М
1
,
откуда
легко
получить
z; =
W
и
•
Аналогично
получаем
выражение
w
и
ZM
=
F'
(37)
256
§
6.
ЗаиреПollения
иагионых
ВОollНОВОДОВ
Закрепления нзгибных
волноводов
-
это
устройства,
предназначен
ные
для
присоединения
волноводов
к
поддерживающим
конструкциям
или
для
создания
заданных
граничных
условий,
определяющих
колебательный
режим.
Закрепления
могут
быть
промежуточными
и
оконечными:
первые
располагаются
между
концами
волновода,
а
вторые-
на
его
концах,
сво
бодных
от
нагрузок
или
прилагаемых
сил
(возбуждения).
Промежуточные
закрепления
не
должны
вносить
заметных
потерь
и
нарушать
колебатель
ный
режим
волноводов.
Конструкции
закреплений,
удовлетворяющих
пер
вому
требованию,
рассматриваются
нами
в
дальнейшем;
для
обеспечения
второго
условия
закрепления
необходимо
располагать
в
узлах
колебаний.
----~c===a=====/~=~~
~
-----с=====
г
Рпс.
3.
Виды
sакреплений
иsгибных
ВОЛНОВОДОВ
а
-
шарнирная
опора;
б
-
нешарнирная
опора;
в
-
защемление;
г
-
свободный
нонец
Оконечные
закрепления
одновременно
могут
выполнять
функции
поддер
живающих
(крепящих)
конструкций.
Закрепления
изгибных
волноводов
бывают
следующих
видов
(рис.
3):
а)
шар
н и
р
н
а
я
о
пор
а
-
волновод
связан
с
опорой
так,
что
он
может
вращаться
относительно
последней,
но
не
может
быть
от
нее
отор
ван;
так
как
в
этом
случае
прогиб
и
изгибающий
момент
в
месте
присоеди-
нения
опоры
равны
нулю,
то
граничные
условия
будут:
~т
=
О;
~~
=
О;
б)
н
е
шар
н и
р
н
а
я
о
пор
а
-
при
пренебрежении
продольной
реакцией
(см.
далее)
эта
опора
в
отношении
создаваемых
ею
граничных
условий
равноценна
шарнирной;
в)
з
а
Щ
е
м
л
е
н и
е
-
при
этом
прогиб
и
угол
поворота
равны
нулю,
следовательно,
~т
=
О,
~~
=
О;
г)
с
в
о
б
о
д
н
ы
й к
о
н
е
Ц
-
так
как
реакция
для
перерезыв
ающей
силы
отсутствует,
то
поперечная
сила
и
изгибающий
момент
равны
нулю;
отсюда
~:
=
О,
~~'
=
О.
Закрепления
а
и
б
могут
быть
установлены
не
только
на
концах
вол
новода,
но
и
на
промежуточных
узлах.
Если
волновод
имеет
шарнирное
закрепление
или
защемление,
то
они,
препятствуя
продольным
перемещениям,
создают
продольную
реакцию.
Эти
перемещения
возникают
вследствие
изменения
длины
волновода,
связанного
с
его
изгибом.
Продольная
реакция
может
повлиять
на
значе
ния
собственных
частот.
Чтобы
не
возникало
изменения
собственных
час
тот
волновода,
вызванного
продольной
реакцией
(как
показывает
анализ
(6]),
должно
быть
выдержано
условие
;;;-
< 0,5,
(38)
где
~тт
-
амплитуда
колебаний
в
пучности.
В
диапазоне
ультразвуковых
частот
это
условие
полностью
реализуется.
Промежуточные
закрепления
(кроме
защемлений),
располагаемые
в
узлах,
не
влияют
на
характер
коле
баний.
17
Источники
улътраэвуна
257
§
7.
Наl'руmеппыii.
ВО.JIПОВОД
"Условимся
называть
элементарным
изгибныM
волноводом
однородный
волновод,
один
конец
которого
(при
х
=
о)
возбуждается
гармонической
силой
F = F
т
sin
rot,
нормально
приложенной
к
боковой
поверхности
вол
новода,
а
второй
его
конец
(при
х
= l)
нагружен
на
некоторое,
также
нор
мально
приложенное
механическое
сопротивление
ZH'
Найдем
граничные
условия
для
элементарного
волновода.
При
х
=
О
приложенная
сила
ДОJ.Iжна
уравновешиваться
поперечной
силой
реакции.
Кроме
того,
в
пло
скости
приложения
силы
изгибающий
момент
равен
нулю.
Поэтому
при
х
=0
F =E['i;:.'"
т
~m'
t"
=0.
~m
(39)
Для
нормально
приложенной
нагрузки
изгибающий
момент
также
равен
нулю,
а
реакция
нагрузки
должна
уравновешиваться
поперечной
силой,
действующей
в
плоскости
приложения
нагрузки,
следовательно,
при
х
= l
~"
=
о,
т
ЕП.'"
= i
f:
ooZ
.
~m
~m
н
Рассмотрим
частные
случаи.
. (40)
(41)
а)
Нагрузка
представлена
массой
М
н,
т. е.
имеет
инерци
онный
xapaR-
тер.
Тогда
j
ZH
= i
00
~1
н
= i Х
m
(42)
и
б)
Нагрузка
упругая,
т. е.
представлена
упругостью:
G =
1/С,
где
С
-
гибкость:
Z
.
1 .
Х
н
= - 1
шС
= - 1
с·
Следовательно,
II!
1
ETs
m
=
~mc·
(43)
в)
Нагрузка
активная,
представлена
эквивалентным
активным
со
противлением
R
H
ЕГЕ'"
= i
ffiR
.
~m
н
(44)
Если
рассматриваемые
нагрузки
приложены
не
к
правому
,
а
к
левому
RОНЦУ
(х
=
о),
то
знаки
перед
правыми
частями
равенств
(42), (43), (44)
нужно
изменить
на
противоположные.
HarpY3Ra
может
быть
также
комп
леRСНОЙ:
ZH
= R
H
+ iX
H
•
Граничные
условия,
определяемые
видом
на
ГРУЗ0К
и
родом
закрепления,
позволяют
определить
постоянные
интегри
рования
уравнения
(5),
т. е.
коэффициенты
формы
Rолебаний,
описывае
мой
выражением
(6).
Для
х
=
О
возможно
установить
некоторые
простые
соотношения,
учет
RОТОРЫХ
облегчает
определение
постоянных:
С
1
,
С
2
,
С
з
,
С
4
•
На
основании
приведенных
выше
граничных
условий
и
соотноше
ний
(6), (8),
(9)
составлена
табл.
1.
f"~
Пользуясь
этой
таблицей
и
аналитическими
выражениями
для
гранич
ных
условий,
составим
общую
таблицу
граничных
условий
изгибных
вол
новодов,
учитывающую
виды
заRрепления
и
нагружения
(табл.
2).
Такая
таблица
является
RЛЮЧОМ
дЛЯ
определения
Rоэффициентов
формы
Rолеба
ний
в
различных
вариантах
построения
элементарных
волноводов.
258
Таблица
1
Значение
постоянных
при
различных
условиях
закрепления
Функ-!значение
I
ЦИЯ:
фУНКЦИИ
~т
Сl
~~
kC
2
"
~т
k
2
С
з
'"
k
З
С
4
~т
Ес:ш
равны
нулю
Прогиб
"Угол
поворота
Изгибающий
момент
Перерезывающан
сила
То
равны
ну"ю
~т
C
1
~~
С
2
~~
С
З
~:;:
С
4
Обобщенная
нагруз:ка
(или
обобщенный
импеданс)
определяет
реа:к'"
цию
на
волновод
нагруз:ки
любого
вида:
для
перерезывающей
:колебатель
...
ной
силы
и для
изгибающего:колебательного
момента.
Та:ким
образом,
на
..
груз:ка
может
хара:ктеризоваться
не
толь:ко
сопротивлением,
нормально
приложенным
:к
волноводу,
но
и
моментом
сопротивления,
l
Рис.
4.
Нагруженный
изгибный
волновод
Примем
обозначение
обобщенного
импеданса:
ZMF
или
Z(M;
F).
Обозна
чение
ZMP
содержит
составляющие
обобщенного
импеданса:
ZF
-
импе"
данс
для
перерезывающей
силы;
ZM-
импеданс
для
изгибающего
момента.
Импедансы
ZF
и
ZM
не
могут
алгебраичес:ки
или
геометричес:ки
суммиро"
ваться,
та:к
:ка:к
хара:ктер
их
реа:кций
различен
и
размерности
разные.
В
свою
очередь,
Zp
и
ZM
могут
быть
:компле:ксными
в
том
смысле,
что
они
представлены
различными
нагруз:ками
(инерционными,
упругими,
а:ктив
ными
или
их
сочетаниями).
В
ультразву:ковых
изгибных
волноводах
реальные
нагруз:ки
представлены
импедансом
ZF,
одна:ко
при
анализе
и
расчетах
составных
волноводов
имеется
та:кже
составляющая
ZM,
:кото
рую
необходимо
учитывать.
Рассмотрим
волновод
длиной
l
с
нагруз:кой
на
:конце
ZH,
имеющей
ха
..
ра:ктер
импеданса
для
перерезывающей
силы
(на
рис.
4
нагруз:ка
по:ка
..
зана
условно
в
виде
прямоугольни:ка).
На
основании
таБJI.
1
и
2
МОIIШО
получить
С
З
=
О;
(45)
'Учитывая
выран;ения
(6)
и
(8),
находим
С
1
С
!
+ C
2
D
z
= - C
4
B
l
(46)
и
(инде:кс
l
соответствует
х
=
[).
шZ
н
Е!k
З
Обозначим
N = k
3
E!
'
но
так
как
w
и
=
~'
то
(48)
17*
259
Таблица
2
Граничные
условия
изгибных
волноводов
Граничные
УСЛОВИН
ПОСТi>ннные,
Конец
волновода
-обращаю-
ПримечаНИII
(х
=0
ИЛИ
Х
=
[)
I
щиеСfl
в
НУЛЬ
1 2
I>РИ
х
=
О
"
~:=o
Свободный
~т
=
О
Сз,
С
4
Опертый
~т=O
~:n
=
о
C
1
,
С
з
Защемленный
~т
=0
~:n
=
о
C
1
,
С
2
~
Нагружен
массой
М
н
~:n
=
о
~т
-
=t=
ЕI
С
з
-прих
= 1
('
-
m
2
М
+прих=О
т
н
Нагружен
жеСТI<ОСТЫО
G
~:n
=
о
~т
=±EIG
С
з
+прих
= 1
с:::
-прих=О
Нагружен
па
аIПИВНУЮ
~:n
=
о
~т
=
=t=
i
ЕI
С
з
-прих
= 1
нагрузну
Нн
('
mR
+
прих=
О
т
н
Возбуждается
силой
F = F
т
Х
~:n
=
о
111
F
С
з
~ _
т
Х
sin
mt
т-
ЕI
Нагружен
па
пагру3I<У
ZF
(
-о
~т
= + i
ЕI
С
з
-прих
= 1
т-
('
mZ
+
прих=
О
т
F
После
преобразований
можно
привести
выражение
(46)
к
виду
Из
уравнений
(47)
и
(49)
находим
С
1
=
F
т
В[С[
-
AzD
z
+ i N
(D~
-
Br)
(50)
Elk
3
B[D[
-cr
+ i N
(В[С[
-A[D
1
) ,
С
2
=
F
т
А[С
!
-
Br
+ i N (AzB
z
- DzC
z
)
(51)
Elk
3
B[D[
-
cr+
i N
(В[С[
-
A[DJ
•
Таким
образом
определены
все
постоянные
коэффициенты
выражения
(6)
применительно
к
изгибному
волноводу,
возбуждаемому
на
одном
конце
гармонической
силой
и
нагруженному
на
другом
сопротивлением
ZH.
Выражение
для
входного
сопротивления
может
быть
легко
найдено.
Z
.
С
4
F =
lW
и
с;:-
,
откуда
(52)
или
в
тригонометрической
форме
Z F = __ i
W
И
ch
kl
cos
kl
- 1 + i N (ch
kl
sin
kl
-
sh
kl
cos kl)
(53)
(сЬ
kl
sin
~l
-
sh
kl
cos
kl)
- i N
sh
kl
sin
kl
280