Романовский С.И. Седиментологические основы литологии

Подождите немного. Документ загружается.

бассейна

(материал А. С. Тараканова). Можно видеть, что кри-

вая,

характеризующая тенденции в изменении направленности

тектонических движений, сама по себе может с успехом исполь-

зоваться

только для стратификации разреза на циклы первого

порядка, ибо гармонические составляющие этой кривой визуаль-

ным анализом не выявляются. Однако тот факт, что факторный

график достаточно надежно фиксирует цикличность первого

порядка, которая на чисто геологическом уровне всеми без исклю-

чения

исследователями связывается с фациально-геотектониче-

ским режимом осадконакопления, дает основание к утверждению,

что сама кривая изменения значений первого фактора по разрезу

является надежной

ОСНОЕОЙ

ДЛЯ восстановления периодических

составляющих

этого режима уже средствами гармонического

апализа.

заключение целесообразно отметить ряд методических (ин-

терпретационных) вопросов, связанных с использованием стати-

стических методов при анализе циклической повторяемости в стро-

ении

разрезов осадочных толщ. Речь идет об установлении генети-

ческой общности циклического строения разнотипных геосинкли-

нальных формаций на основании статистического равенства ряда

признаков, характеризующих цикличность в этих формациях.

Сразу

же отметим, что любые методы математической статистики

сами

по себе еще не решают генетических проблем. Только в том

случае,

если разработана генетическая модель явления, из кото-

рой вытекает необходимость проверки двух альтернативных

гипотез,

с помощью статистических процедур можно оценить

непротиворечивость фактического материала одной из них и тем

самым

проинтерпретировать полученный результат в гепетиче-

ском

отношении.

Чаще

же всего статистические методы служат только средством

проверки формальных гипотез (например, равенства средних или

дисперсий выборочных значений признаков), для оценки пара-

метров

эмпирических распределений признаков, а также для

решения ряда других столь же формальных задач. При этом даже

при условии равенства, к примеру, степени асимметрии циклов

угленосной и флишевой формаций, которое проверяется с по-

мощью

^-критерия Стьюдента, еще нельзя утверясдать, что

«...отме-

ченные черты сходства свидетельствуют о том, что причина обра-

зования

ритмов флиша и циклов угленосных толщ одна и та же —

тектонические движения сложно периодического характера» [176,

с.

15] (курсив наш. — С. Р.) *.

На

данных, в общем-то очевидных, вопросах приходится оста-

навливаться

по той причине, что многие геологи для решения

чисто генетических задач, связанных, в частности, с условиями

возникновения циклической повторяемости в строении геологи-

Степенью асимметрии цикла обычно именуют отношение мощности

элемента цикла (э. ц.) к суммарной мощности II + III э. ц.

Рис. 83. Стратификация разреза месторождения Эрозионное с помощью

Л-метода факторного апализа (масштаб 1 : 500).

1—5

—

типы

слоистости:

1 —

горизонтальная,

2 —

горизонтально-волнистая,

3 —

лин-

зовидно-волнистая,

4 —

косая перекрестная,

5 —

косая однонаправленная;

6—10 —

раз-

меры

слоистости:

6 —

неслоистая,

7 —

тонкая,

8 —

средняя,

9 —

толстая,

10 —

крупная;

Il—14

—

количество растительных остатков:

и —

мало,

12 —

среднее количество,

13 —

много,

14 —

очень много;

15 —

растительный

шлак;

16 —

растительный детрит;

17 —

ческих разрезов, все еще привлекают простейшие методы матема-

тической статистики и на их основании «подтверждают» либо

«опровергают»

ту или иную генетическую гипотезу.

Резюмируя изложенное, можно заключить, что задачи ритмо-

литологического анализа наиболее успешно решаются на базе

методов

гармонического анализа в том случае, когда основой этих

методов

является геологическая модель, доставляющая информа- •

цию об априорной оценке характеристик гармоник колебательного

процесса.

Тогда основной задачей методов гармонического ана-

лиза

становятся восстановление и статистическая оценка гармоник

исследуемой реализации процесса.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИЛОЖЕНИИ

ИССЛЕДОВАНИЮ СКРЫТЫХ ПЕРИОДИЧНОСТЕИ

Мы

уже писали о том, что гармоники разных порядков в струк-

туре

числовой последовательности, характеризующей колебание

признака по разрезу, выделяются в общем случае методами гар-

монического анализа. В данной работе излагается существенно

модифицированный метод выделения скрытых периодичностеи,

который иллюстрируется разлоячением графика первой компо-

ненты, послойно измеренпой по разрезу угленосных отложений

буоркемюсской свиты и интерпретируемой как изменение фаци-

альных условий седиментации под действием колебательных

движений дна бассейна седиментации. Математическая часть

метода

разработана И. Д. Македоном, а его апробацию на мате-

риале угленосных разрезов осуществил А. С. Тараканов

[295].

Более подробное изложение всех полученных результатов можно

найти в нашей совместной работе

[184].

математической точки зрения задача выделения периодиче-

ских гармоник состоит в следующем. Предполагается, что функ-

ция / (х), описывающая колебания по разрезу опробуемой харак-

теристики, определена на конечном интервале [О, L] и представима

виде

/(я)

= 2

(х),

(255)

где (х) — периодические

функции

(определенные на всей чис-

ловой оси) с периодами T

<^ L и соответствующими «угловыми

частотами»

2n/T

Требуется определить периоды 7&, коэф-

фициенты a

и по возмояшости вид

функций

/г

(х). Если Ф

(х)

достаточно гладкие, то их можно разлончить в ряды Фурье и

растительные остатки;

18—20 —

состав конкреций:

18 —

сидеритовые,

19 —

известко-

вистые конкреционные прослои,

20 —

песчано-конкреционные

линзы.

I —

разрез;

IJ —

график

первого

фактора

(по

слоям);

III —

циклы

первого порядка. Мощность приведена

в метрах.

где c

= V

(dk — ibk)- В разложении (256) уже необходимо найти

частоты

O)^,

амплитуды IcJ и фазы ф

= argc

причем по-преж-

нему считаем co

^> 2n/L. - .

Трудность заключается в том, что длина интервала наблюде-

ния L определяется только приведенной мощностью исследуемого

разреза

и никак не связана с частотами co&. В частности, на от-

резке

[0,L] может укладываться не целое число периодов T

2jt/(Dfe.

Это не позволяет решить задачу выявления скрытых

периодичностей непосредственным разложением в ряд

Фурье;

самом деле, хотя любую непрерывную функцию, заданную на

конечном интервале, можно периодически продолжить и разло-

жить в ряд Фурье

(257)

Однако ча-

стоты

Qj в разложении (257) определяются лишь длиной интер-

вала

наблюдения L, и среди них может не быть ни одной со*..

Это

обстоятельство не очень существенно для определения

частот

(соседние частоты Q

- отличаются на 2n/L, а определение

частоты

с ошибкой, меньшей, чем 2n/L, по-видимому, в принципе

невозможно),

но затрудняет определение Cj

по полученным

Рассмотрим

функцию непрерывного аргумента

(258)

и покажем, что ее можно использовать для исследования пери-

одичности функции / (х), представленной в виде

(256).

Эту функ-

цию с точностью до множителя можно рассматривать как

Фурье-

образ

непериодической функции / (х), доопределенной нулем вне

интервала [0,L], С другой стороны, \с (со)| представляет собой

огибающую

коэффициентом Фурье \с

}

Подставив

в (258) разложение

(255),

получим

(259)

ограничиться несколькими первыми членами. Тогда / (х)

можно приближенно представить в виде

При со = co

имеем

(co

)

- с

^ ± 2

тт)

Wm)

}

• (260)

Можно показать, что

функция

\с

(со)I

имеет максимумы при

со

(т = 1, 2, . . ., 7г), полуширина которых составляет 2n/L.

Каждому такому главному максимуму сопутствуют побочные,

отстоящие от него на (2n/L) п (п = ±1, ±2, . - .), причем ампли-

туда

самого большого из них составляет не более 20

амплитуды

главного.

Это обстоятельство необходимо иметь в виду при ана-

лизе

функции

|с(со)|.

По положению главных максимумов можно оценить значения

<о

причем полуширина 2n/L задает абсолютные ошибки такого

определения. Следовательно, относительную погрешность можно

выразить как

2jt/(Lco

Если поблизости от

со

нет других ча-

стот

со&,

т. е. если |co

—

со&|

2jt/L,

то можно считать, что с

(о>

Причем, как это следует из

оценки

(260),

ошибка соста-

вит

величину

/(\(o

—

|L)

<С с^/я. Еслия;е в представление

(255)

входят колебания, частоты которых (o

со

и при этом

|(0/

— (о

\ ^ Зя/L, то амплитуды обоих колебаний искажаются

на

величину

2\c

\/(\(Ok

—

L) ^

Q,2c

Если же частоты

со

и со

отличаются еще меньше, то может оказаться, что им обоим в функ-

ции /

(со)

соответствует

один

максимум, а не два.

Оценим теперь разрешающую способность метода, т. е. найдем

такую оценку

б,

что как только

\(Ok

— (о

<С

б,

функции

|с(о))|

вместо

двух максимумов получается один. Для простоты вычисле-

ний будем считать, что амплитуды обоих колебаний равны, т. е.

\си\

= \с

Нужно определить, при каких б

функция

sin —

т]

= - — + ^

T-

(2(31)

имеет максимум (а не минимум) в точке w = (o

-\- 6/2.

Введем

обозначения

Функция (261) приобретает вид

SIn(^e

sin^^ .

(263)

Интересующую нас

величину

найдем из уравнения

Легко показать, что наименьший корень этого уравнения лежит

интервале л/2 -< £

<<л. Это значит, что при g

«<

л/2 или,

что то же самое, б

2nlL вместо двух максимумов с частотами сод

-f- 8

функция

\с

(со)

будет иметь

один

максимум с частотой

G>£

_|_ 6/2. Другими словами, указанным способом нельзя разли-

чить два колебания, частоты которых разнятся менее чем на

2nlL.

Из сказанного ясно, что увеличение интервала наблюдения повы-

шает

точность определения частот и амплитуд колебаний и увели-

чивает разрешающую способность метода.

Излояченный метод можно реализовать в виде вычислительной

программы для ЭВМ. Программа, составленная И. Д. Македоном

для ЭВМ БЭСМ-4, вычисляет и выводит на график

функции

Функция / (х) должна быть задана с равномерным шагом по х.

Кроме

того, необходимо задать диапазон изменения аргумента

функции

/ (я), границы и шаг вычисления

функций

от со. Про-

грамма

монист выбрать главные гармоники, просуммировать их

и напечатать на графике вместе с исходной функцией. Главные

гармопики выделяются по следующему алгоритму. Рассматри-

вается

последовательность всех максимумов y

функции

с (со),

и из них выбираются такие y,

ЧТО

Ys-I

<.Ys

Vs+

При анализе полученного спектра следует учитывать, что

функция

/ (х) задана в конечном числе точек наблюдения N по

разрезу.

Очевидно, не имеет смысла пытаться выявить колебания,

на протяжении периода которых имеется менее 6—7 точек, так как

этом случае численное интегрирование быстро осциллирующей

функции

дает неправильный результат. Таким образом, суще-

ствует

предел Т

^ GLlN или

со

тах

^ NIL

ограничивающий

наше

рассмотрение со стороны малых периодов, или, что то же

самое,

со стороны больших частот. С другой стороны, как уже

было сказано, нельзя рассчитывать на хорошее выделение колеба-

ний, периоды которых укладываются в интервале наблюдения L

менее чем 2—3 раза.

Это

накладывает естественное ограничение на колебания со

стороны больших периодов

тах

^ L/2, или малых частот со =

AnIL.

Таким образом, при анализе полученного спектра следует

рассматривать

функцию с (со) лишь в интервале

[AnIL.

NlL].

Следовательно, количество гармоник в

(256),

которые можно

выделить изложенным методом, ограничено разрешающей способ-

ностью метода и не превышает

2с (со) I — \^а

(со) + Ь

(со) и arg с (со) = arctg

(со)

(265)

2.rr

J L

COmax

(26())

Еще

раз подчеркнем, что произвольную непрерывную функцию

можно разложить в ряд

Фурье,

причем это представление будет

точным. В таком представлении каждому числу ряда соответствует

максимум функции

(со)| и таких максимумов оказывается

N/(2n).

Ясно поэтому, что большое количество примерно одинаковых

главных максимумов — веский аргумент против адекватности

представления (255) или

(256).

Напомним, что коэффициенты ряда

Фурье

убывают тем быстрее, чем более гладкую функцию мы

этим рядом представляем. В случае же функций с большим коли-

чеством

разрывов коэффициенты ряда Фурье могут вообще не

обнаружить тенденции к убыванию. Другими словами, если

\с

(со)| имеет много максимумов, величина которых не испытывает

тенденции к убыванию, то исследовать предложенным методом

функцию / (х) совершенно не имеет смысла. Это в свою очередь

означает,

что либо точки опробования взяты слишком редко, что

не позволяет уловить основные черты поведения функций, либо

значения функции в точках опробования суть выборка из некото-

рой случайной совокупности. Исследование же случайных вели-

чин указанным методом затруднительно, так как может при-

вести к неправильным выводам. Отметим только, что если значения

функции / (х) в точках опробования искажены небольшими

независимыми ошибками измерения, то их влияние на спектр

будет, грубо говоря, пропорционально средней относительной

ошибке.

Таким образом, применение изложенного метода следует при-

знать

удачным только в том случае, если график функции \с (со)|

имеет небольшое [по сравнению с

N/(2n)]

количество главных

максимумов,

хорошо отделенных друг от друга.

Рассмотрим теперь вопрос о возможности восстановления вида

функций

Ф/г

(х) в представлении

(255).

Предполояшм, что при

анализе спектра удалось выделить колебания с кратными пери-

одами Т, Т/2, 273, . . . Ясно, что сумма колебаний с этими пери-

одами имеет период T и по форме отличается от гармонического

колебания.

Можно считать, что выделенные гармонические колеба-

ния с кратными периодами являются первыми членами разло-

жения функции Ф (х), имеющей период Г и не являющейся

гармоническим колебанием, в ее ряд

Фурье.

Чувствительность метода и его разрешающую способность

лучше всего оценить на модельных примерах, когда заранее

известны вид функции и ее численные характеристики (амплитуда,

период и частота). На рис. 84 приведены две функции, синтези-

рованные из исходных компонент с заранее известными харак-

теристиками, и показаны «восстановленные» компоненты этих

функций.

11 IZ U 15 16

Рис. 84. Чувствительность алгоритма «гармонический анализ».

ная

по

заданным

значениям,

т. с. по

формулам

«, б, в, г.

ФУНКЦИЯ,

построен

Первая

функция

(рис. 84, а) означает дробную часть числа х.

Она задавалась в виде у = х — Ix]

где [х] — означает целую

часть числа х. График самой

функции

изображен на рис. 84, а,

на рис. 84, б мы видим ее частотные характеристики в системе

координат амплитуда — частота. Как и следовало ожидать,

функция

имеет лишь одну значимую гармонику с характеристи-

ками: амплитуда — 0,32, частота — 1,93, период — 3,26 и фаза —

1,37.

Предельно наглядно возможности метода демонстрирует второй

пример: у (х) = —l,3sin 0,3# -|- cos х -f- 0,7 sin 1,6#. Ясно, что

(х) является суммой трех периодических

функций

с разными

характеристиками. Построенный

единый

график этой

функции

(рис. 84, в) не позволяет обнаруяшть в ее структуре какие-либо

периодические компоненты. Однако мы знаем, что они имеются,

и метод действительно их восстанавливает, т. е. раскладывает

исходную синтезированную кривую (рис. 84, в) на сумму трех

периодических компонент (рис. 84, г). Для еще большей нагляд-

ности приведем сравнение теоретических значений (в данном

случае заданных) частотных характеристик и вычисленных с по-

мощью

предлагаемого метода (табл. 23).

ТАБЛИЦА

Сопоставление

теоретических

и найденных

помощью

метода

значений

коэффициентов

заданных

функций

Показатели

1-я функция

2-я функция

3-я функция

Частота

0,3

(0,279)

(1,0041)

1,6

(1,6338)

Период 20,93 (22,5195) 6,28

(6,2574)

3,925

(3,8457)

Амплитуда 1,3

(1,3141)

(1,0031)

0,7

(0,7238)

Примечание.

скобках приведены найденные значения.

Таким образом, данная модификация гармонического анализа

позволяет с достаточной надежностью решать задачи по восста-

новлению гармоник разного порядка из заданной числовой после-

довательности, характеризующей колебания опробуемого при-

знака.

качестве содержательной иллюстрации рассмотрим разложе-

ние с помощью описанного метода кривой тектоно-фациального

фактора, который описывает суммарные колебательные движения

для бассейна седиментации при формировании угленосного

раз-

реза

буоркемюсской свиты месторождения Эрозионное Зырян-

ского угольного бассейна и который был получен на основе

/?-метода

факторного анализа (см. рис. 83). Как оказалось после

разложения, график тектоно-фациалыюго фактора удачно аппро-

ксимируется суммой трех синусоид, параметры которых оценены

следующим образом:

синусоида T

-=27,6

м; C

= 0,57а и

= — 1,4 рад;

II синусоида T

= 14,2 м;

= 0,34а п

=—

0,9; рад;

III синусоида T

= 10,5 м;

= 0,45а и

=—

0,8 рад.

Таким

образом, предпринятый анализ возможностей аналити-

ческих методов исследования периодической структуры разрезов

осадочных толщ показал, что задача ритмолитологического ана-

лиза

успешно решается только при

наличии

конкретной седимен-

тологической модели, связывающей структурные характеристики

разрезов

с определенными тектоническими и фациальными усло-

виями среды седиментации, а характеристики периодичности

наиболее надежно могут быть оценены только с помощью одного

из методов гармонического анализа, в частности того, какой был

изложен в этой главе.