Рабинович С.Г. Погрешности измерений
Подождите немного. Документ загружается.
Согласно формуле (4-3) теперь находим границы погрешности результата измерения:
%106,210123,1
33222
%
−−
⋅⋅=⋅++= kkθ .
Возьмем 95,0
=
α
. Тогда 1,1
=
k и
333
%
103109,2106,21,1
−−−
⋅≈⋅=⋅⋅=θ .
Если бы измерение выполнялось с приближенным оцениванием погрешностей, то погрешности
всех составляющих следовало бы считать равными %105
3−
⋅ и граница погрешности результата
измерения была бы
%01,053101,1
23'
%
=⋅⋅=
−
θ .
В заключение нужно проверить число значащих цифр в результате измерения. Для этого
переведем границы
%
θ в форму абсолютных погрешностей
523
10376,1210109,2
−−−
⋅±=⋅⋅⋅±=θ В.
Поскольку измерение точное, погрешность его результата выражается двумя значащими цифрами и
в полученном результате лишних цифр нет. Окончательно можно записать
00037,056368,12 ±=
x
U В.
Если измерение было бы выполнено с приближенным оцениванием погрешностей, то
0013,0
'
±=θ В и результат измерения следовало бы записать с меньшим числом значащих цифр:
0013,05637,12
'
±=
x
U В.
Две значащие цифры в числовом значений погрешности измерения удержаны здесь потому, что
цифра в старшем разряде числа меньше трех.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
СОВМЕСТНЫЕ И СОВОКУПНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
7-1. Метод наименьших квадратов и общая
схема его применения
Совместные и совокупные измерения, как отмечалось в гл. 1, обычно
выполняют так, что получаемое число уравнений, связывающих измеряемые
величины, превышает число последних. При этом из-за погрешностей
измерений даже при точно известной зависимости между величинами нельзя
найти такие значения неизвестных, при которых все уравнения выполнялись бы.
В этих условиях значения неизвестных, принимаемые за их оценки, находят с
помощью метода наименьших квадратов.
Примером совместных измерений может служить нахождение параметров
уравнения
(
)
(
)
2
20
2020 −+−+= tbtRR α ,
выражающего температурную зависимость точного измерительного резистора
(платинового термометра сопротивления).
Измеряя одновременно R — сопротивление резистора и t — его
температуру и варьируя температуру, получаем несколько уравнений, из
которых нужно найти ,R
20
— сопротивление резистора при t=20°С и
температурные коэффициенты
α
и
b
.
В общем виде можно написать, что имеем уравнение
(
)
,,...,,,...,,,
0
lzyxCBAF =
(7-1)
где х, у,
z
,
l
— известные коэффициенты и непосредственно измеряемые
величины,
A
,
B
,
C
— искомые неизвестные.
Подставив полученные из опыта числовые значения
i
x ,
i
y ,
i
z в
уравнение (7-1), получим ряд уравнений вида
(
)
iiiii
lzyxCBAF =,,,...,,,
(7-2)
которые содержат только неизвестные искомые величины A, В, С и
числовые коэффициенты.
Совместное решение полученных уравнений позволяет найти искомые
величины.
Пример совокупных измерений — нахождение емкости двух
конденсаторов по результатам измерений емкости каждого из них в
отдельности, а также при параллельном и последовательном их соединении.
Каждое из этих измерений выполняется с одним наблюдением, но в итоге для
двух неизвестных будем иметь четыре уравнения:
,
11
xC =
22
xC = , ,
321
xCC =+
4
21
21
x
CC
CC
=
+
.
Подставив в эти уравнения экспериментально найденные значения
i
x ,
получим систему уравнений, аналогичную уравнениям (7-2).
Как уже отмечалось, обычно число уравнений системы (7-2) превышает
число неизвестных и из-за погрешностей измерений нельзя найти такие значения
измеряемых величин, чтобы одновременно удовлетворились все уравнения,
даже если они сами по себе точно известны. Поэтому уравнения (7-2) в отличие
от обычных математических уравнений принято называть условными. При
подстановке в условные уравнения (7-2) найденных каким-то путем значений
неизвестных по отмеченным причинам получим
(
)
.0,...
~
,
~
,
~
≠=−
iii
lCBAF ν
Величины
i
ν принято называть невязками. Всеобщее признание получило
такое решение условных уравнений, которое приводит к минимуму сумму
квадратов невязок. Это предложение было сформулировано и впервые
опубликовано Лежандром и называется принципом Лежандра; осуществляется
этот принцип методом, который получил наименование метода наименьших
квадратов.
Методу наименьших квадратов и его применениям при измерениях
посвящена обширная литература. Теоретически показано, что при нормальном
распределении погрешностей метод наименьших квадратов приводит к оценкам
неизвестных, удовлетворяющим принципу максимума правдоподобия, т. е.
наиболее вероятным оценкам [56].
Мы остановимся на практическом применении метода наименьших
квадратов. Сначала рассмотрим применение метода для измерений, при которых
условные уравнения являются линейными и точными. Для сокращения
записей возьмем случай с тремя неизвестными.
Пусть система условных уравнений имеет вид
iiii
lCzByAx =++
(
)
3,,...,1 >= nni ,
(7-3)
причем
A
,
B
, С — искомые неизвестные,
i
x ,
i
y ,
i
z ,
i
l — результаты
i
-го
наблюдения и известные коэффициенты.
В общем случае число неизвестных
m
, причем т<п; если
n
m
=
, то
система условных уравнений решается однозначно, хотя получающиеся
результаты и отягощены погрешностями.
Если в (7-3) подставить какие-то оценки измеряемых величин
A
~
,
B
~
,
C
~
, то
получим невязки
iiiii
lzCyBxA −++=
~
~
~
ν
.
Найдем оценки
A
~
,
B
~
,
C
~
из условия
.min
1
2
==
∑
=
n
i
i
Q ν
Для выполнения этого условия необходимо, чтобы
0=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
C
Q
B
Q
A
Q
.
Найдем эти частные производные и приравняем их нулю:
(
)
( )
( )
∑
∑
∑
=
=
=
=−++=
∂
∂
=−++=
∂
∂
=−++=
∂
∂
n
i
iiiii
n
i
iiiii
n
i
iiiii
zlzCyBxA
C
Q
ylzCyBxA
B
Q
xlzCyBxA
A
Q
1
1
1
.0
~
~
~
2
,0
~
~
~
2
,0
~~~
2
Отсюда получаем систему так называемых нормальных уравнений:
.
~
~
~
,
~
~
~
,
~~~
11
2
11
111
2
1
1111
2
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
====
=++
=++
=++
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
lzzCyzBxzA
lyzyCyBxyA
lxzxCyxBxA
При написании нормальных уравнений часто пользуются
обозначениями Гаусса:
[ ]
,
1
2
∑
=
=
n
i
i
xxx
[ ]
∑
=
=
n
i
ii
xyyx
1
и т. д.
Очевидно, что
,
1 1
∑ ∑
= =
=
n
i
n
i
iiii
xyyx т.е.
[
]
[
]
.yxxy =
В обозначениях Гаусса нормальные уравнения принимают более
простой вид:
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] []
=++
=++
=++
.
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
zlCzzByzAxz
ylCyzByyAxy
xlCxzBxyAxx
(7-4)
Нужно обратить внимание на две хотя и очевидные, но важные
особенности матрицы коэффициентов при неизвестных в системе
уравнений (7-4):
1. Матрица этих коэффициентов симметрична относительно главной
диагонали.
2. Bсe элементы главной диагонали положительны.
Эти свойства являются общими, они не зависят от числа неизвестных,
но в данном примере показаны применительно к случаю с тремя
неизвестными.
Число нормальных уравнений равно числу неизвестных, и их решение
известными методами дает интересующие нас оценки измеряемых
величин. Наиболее кратко решение записывается с помощью
определителей:
D
D
A
x
=
~
,
D
D
B
y
=
~
,
D
D
C
z
=
~
,
(7-5)
где
[
]
[
]
[
]
[ ][ ][ ]
[ ][ ][ ]
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
D
= .
Определитель D
x
получают из главного определителя системы D
путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном
A
~
а столбец со
свободными членами:
[
]
[
]
[
]
[ ][ ][ ]
[][ ][ ]
zzzyzl
yzyyyl
xzxyxl
D
x
= .
Определители D
y
и D
z
находят аналогично, т. е. путем замены на
указанный столбец второго и соответственно третьего столбца.
Теперь нужно оценить погрешности полученных результатов. Задача
решается в том случае, когда из числа непосредственно измеряемых
величин можно выделить одну, погрешность измерения которой
существенно превышает погрешности измерений остальных. Условные
уравнения тогда преобразуют так, чтобы величина, измеряемая с
наибольшей погрешностью, была выделена в свободный член
i
l .
Результаты наблюдений
iii
zyx ,, тогда считаются точными. В этом случае
оценки дисперсий найденных значений неизвестных можно вычислить,
пользуясь формулами:
(
)
()
()
=
=
=
,
~
,
~
,
~
2
33
2
2
22
2
2
11
2
S
D
D
CS
S
D
D
BS
S
D
D
AS
(7-6)
где
11
D ,
22
D ,
33
D — алгебраические дополнения элементов [хх], [уу] и [zz]
определителя D соответственно (они получаются путем удаления из
матрицы определителя D столбца и строчки, на пересечении которых
находится данный элемент), S
2
— оценка дисперсии условных уравнений.
Оценка дисперсии условных уравнений вычисляется по формуле
,
1
2
2
m
n
S
n
i
i
−
=
∑
=
ν
(7-7)
где
i
ν — невязка условного уравнения, полученная при подстановке в него
оценок
A
~
,
B
~
,
C
~
.
На практике не всегда погрешности измерений всех величин много
меньше погрешности измерения величины, выделенной в правую часть
условных уравнений. Тем не менее и в этих случаях желательно пользоваться
уравнениями (7-6) и (7-7), дающими простое решение задачи. Вычисление
оценки дисперсии
условных уравнений по формуле (7-7) при этом можно рассматривать как
«приведение погрешностей левых частей условных уравнений к правым».
Е. Ф. Долинский исследовал этот вопрос и получил приближенные условия
допустимости такого приема [20].
Метод наименьших квадратов дает возможность найти оценки измеряемых
величин и оценить их средние квадратические отклонения.
Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых величин
строят на основе распределения Стьюдента*
8
. Число степеней свободы при
этом для всех измеряемых величин равно п–т.
7-2. Приведение линейных неравноточных
условных уравнений к равноточным
В § 7-1 мы рассмотрели случай, когда все условные уравнения имели
одну и ту же дисперсию. Такие условные уравнения принято называть
равноточными. На практике могут быть случаи, когда условные уравнения
имеют разные дисперсии. Обычно это происходит, если в систему уравнений
соединяют уравнения, отражающие результаты измерений, выполненных в
разных условиях: Например, при калибровке набора гирь, если не принять
специальных мер, для разных комбинаций взвешиваемых гирь из-за разной
нагрузки весов погрешности взвешивания будут разными. Соответственно
этому и условные уравнения окажутся неравноточными.
При неравноточных условных уравнениях наиболее вероятную
совокупность значений неизвестных ,...,, CBA получим, если
минимизировать
∑
=
=
n
i
ii
gQ
1
2
ν ,
где
i
g — вес i-го условного уравнения [36].
Введение весов равносильно умножению условных уравнений на
i
g . В
итоге в коэффициенты при неизвестных в нормальных уравнениях войдут
сомножители
i
g .
Так, первое из системы нормальных уравнений (7-4) примет вид
[
]
[
]
[
]
[
]
0
~
~
~
=+++ gxlCgxzBgxyAgxx .
Аналогично изменятся и все остальные уравнения. При этом каждый
коэффициент уравнения представляет собой сумму членов вида
[
]
....
222111 nnn
yxgyxgyxggxy +++=
8
Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической
теории обработки наблюдений. 2-е изд., М.: Физматгиз, 1962.
Веса условных уравнений находят согласно приведенным в [49 ]
соображениям из условий:
22
2
2
1
21
1
1
:...:
1
:
1
:...::
,1
n
n
n
i
i
ggg
g
σσσ
=
=
∑
=
Следовательно, для решения задачи нужно знать дисперсии условных
уравнений. Если веса определены (или выбраны), то после приведенных
преобразований дальнейшее решение задачи выполняем в полном
соответствии с изложенным в § 7-1 и в итоге получаем оценки измеряемых
величин и их средние квадратические отклонения. Однако обычно веса
определяются приближенно.
7-3. Линеаризация нелинейных условных уравнений
Метод наименьших квадратов по ряду причин принципиального
характера развит только для линейных условных уравнений. Поэтому
нелинейные условные уравнения нужно преобразовать к линейному виду.
Общий метод данной задачи основан на допущении, что несовместность
условных уравнений невелика, т. е. их невязки малы. Тогда, взяв из системы
условных уравнений столько уравнений, сколько у нас неизвестных, их
решением находим начальные оценки неизвестных
000
,, CBA . Полагая далее,
что
,
0
aAA += ,
0
bBB += ,
0
cCC +=
и подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем условные
уравнения в ряды. Пусть
(
)
(
)
0,...,,,...,, =−=
iii
lCBAfCBAF .
Тогда, сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок cba ,, ,
получим
( )
0,,
000
000
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+− c
C
f
b
B
f
a
A
f
lCBAf
iii
ii
.
Частные производные находим путем дифференцирования функции
(
)
CBAf
i
,, по А, В, С соответственно, а затем в полученные формулы
подставляем А
0
, В
0
, С
0
и находим их числовые значения. Кроме того,
(
)
0,,
000
≠=−
iii
lCBAf λ .
Таким образом мы получаем. систему линейных условных уравнений
относительно cba ,, . Решение ее дает нам их оценки и средние квадратические
отклонения. Тогда
aAA
~
~
0
+= , bBB
~
~
0
+= , cCC
~
~
0
+= .
Поскольку
000
,, CBA — неслучайные величины, то
(
)
(
)
,
~
~
22
aSAS =
(
)
(
)
bSBS
~
~
22
=
и т. д.
В принципе, получив CBA
~
,
~
,
~
можно сделать второе приближение и т. д.
Наряду с рассмотренным общим методом линеаризации условных
уравнений пользуются также методом подстановок [61 ]. Так, если условное
уравнение имеет вид
B
iii
ezAxy
2
sin
−
+= ,
где
z
y
x
,
,
— непосредственно измеряемые величины, а А, В требуется
определить, то можно сделать подстановку
B
eEAU
2
,sin
−
== .
Тогда получим линейное условное уравнение
UzUxy
iii
+= .
Решение этих уравнений дает Eu
~
,
~
и оценки их дисперсий, используя
которые, затем можем найти искомые величины А, В.
Метод подстановок удобен, однако возможен не во всех случаях.
В принципе можно представить себе еще один общий метод решения системы уравнений в
условиях, когда число уравнений превышает число неизвестных. Этот метод таков.
Возьмем из всех имеющихся у нас условных уравнений группу уравнений, такую, чтобы число их
было равно числу неизвестных. Такая группа дает определенное значение для каждого из
неизвестных.
Затем, заменяя поочередно уравнения группы на каждое из не вошедших в группу, получим
другие значения тех же неизвестных. Независимо от способа комбинирования уравнений необходимо
перебрать все возможные их сочетания и для каждого найти значения неизвестных. В результате таких
вычислений получим для каждого неизвестного группу значений, которую можно рассматривать как
группу наблюдений, полученную при прямых измерениях.
Все значения в группе равноценны, однако, к сожалению, их нельзя считать независимыми. Это
создает трудности в оценке дисперсии полученных значений неизвестных.
Возьмем, к примеру, искусственный случай. Предположим, мы имеем группу наблюдений
n
xx ,...,
1
. Все
i
x независимы,
[
]
AxM
i
= ,
[
]
2
σ=
i
xD .
Введем случайную величину
2
ji
k
xx
y
+
= и найдем первые два момента
k
y , зная их для
(
)
jix
i
≠ :
[ ]
( )
[ ]
( )
.
24
1
2
,
2
1
2
2
σ
=+=
+
=
=+=
+
=
ji
ji
k
ji
ji
k
DxDx
xx
DyD
AMxMx
xx
MyM
Отсюда
[
]
[
]
[] []
.2
,
2
σ==
==
ki
ki
yDxD
AyMxM
Следовательно, обрабатывая группу
(
)
rky
k
,...,1= , можно найти параметры величины
(
)
nix
i
,...,1= . Имея в виду приведенные соотношения, нужно считать,
что оценкой математического ожидания X будет оценка математического ожидания
Y
, а чтобы найти
оценку дисперсии X, надо удвоить оценку дисперсии Y.
Число случайных величин
k
y будет
( )
(
)
.
2
1
22
!
2
2
−
=
−
==
nn
n
n
Cr
n
Следовательно,
n
r
>
при
4
>
n
. Ясно, что данная процедура может быть оправдана только
при значительном числе наблюдений.
К сожалению, в представляющих интерес случаях поправочный коэффициент к оценке дисперсии
найти нелегко.
7-4. Применение метода наименьших квадратов
для нахождения параметров эмпирических
формул
Цель почти всякого естественно-научного исследования состоит в
установлении закономерностей в явлениях материального мира, а измерения
являются тем характерным методом, который дает объективные данные для
достижения этой цели.
Закономерные связи между физическими величинами, устанавливаемые на
основании результатов измерений, желательно представить в аналитическом
виде, т. е. в виде формул. Первоначальный вид формул обычно устанавливается
на основе неформализованного анализа совокупности полученных данных.
Одной из важных предпосылок анализа является предположение, что искомая
зависимость должна выражаться плавной кривой: обычно физическим
закономерностям отвечают гладкие кривые.
Выбрав вид формулы, ее параметры затем находят путем
интерполяционного приближения получаемой формулы к эмпирическим
данным, причем чаще всего на основе метода наименьших квадратов.
Данная проблема имеет большое значение, и ей посвящен ряд работ
как математического, так и прикладного характера [61]. Мы остановимся
лишь на некоторых аспектах решения данной задачи, связанные с применением
метода наименьших квадратов. В основе применения этого метода лежит
допущение, что критерием оптимального выбора искомых параметров можно
считать минимум суммы квадратов отклонений эмпирических данных от
полученной кривой. Очень часто это допущение оправдано, но не всегда.
Например, иногда требуется провести кривую так, чтобы она точно прошла
через все заданные точки. Последнее естественно, если координаты упомянутых
точек заданы как точные. Задача решается методами интерполяционного
приближения, причем известно, что степень интерполяционного полинома
будет лишь на единицу меньше числа упомянутых точек.
Иногда минимизируется максимальное отклонение экспериментальных
данных от кривой. Однако, как было отмечено, чаще всего минимизируют
сумму квадратов указанных отклонений,
для чего пользуются методом наименьших квадратов. С этой целью в
выбранную формулу последовательно подставляют все полученные значения
величин (в сочетаниях, физически оправданных). В итоге получают систему
условных уравнений, по которым составляют нормальные уравнения; решение
их дает искомые значения параметров.
Далее, подставляя полученные значения параметров в условные
уравнения, можно найти невязки этих уравнений и по ним оценить среднее
квадратическое отклонение условных уравнений. Существенно, что в данном,
случае среднее квадратическое отклонение условных уравнений определяется
не только погрешностями измерений, но и несовершенством структуры
формулы, выбранной для описания искомой зависимости. Например,
известно, что зависимость электрического сопротивления многих металлов от
температуры напоминает параболу. Однако в технике часто находят
возможным на определенном участке этой зависимости аппроксимировать ее
линейной функцией. Неточность выбранной формулы, естественно,
отражается на среднем квадратическом отклонении условных уравнений.
Даже если бы все экспериментальные данные были свободны от каких-либо
погрешностей, то и тогда среднее квадратическое отклонение было бы
отлично от нуля. Поэтому в данном случае среднее квадратическое
отклонение характеризует не только погрешности условных уравнений, но и
несоответствие принятой эмпирической формулы истинной зависимости
между величинами.
В связи с изложенным получаемые описанным выше путем оценки
дисперсий найденных параметров эмпирических формул приобретают
условный характер в том смысле, что характеризуют не случайное рассеивание
экспериментальных данных, как обычно, а неточность аппроксимации, которая
является неслучайной. Нужно заметить, что если эмпирическую формулу
можно считать линейной, то определять параметры этой формулы
целесообразно с использованием методов корреляционного и регрессионного
анализа, который позволяет, кроме того, построить доверительные интервалы
для параметров и доверительную зону для аппроксимирующей прямой [1].
7-5. Примеры применения метода
наименьших квадратов
Применение метода наименьших квадратов связано с громоздкими выкладками и трудоемкими вычислениями.
Однако эти вычисления удобны для выполнения с помощью ЦВМ и в настоящее время, как правило, выполняются
именно таким образом.
Приведенные ниже примеры должны показать технику выкладок, их последовательность
и поэтому выбраны так, чтобы вычисления были возможно более простыми*
9
.
9
Данные для примеров взяты из работы [36, стр. 219, 229].