Рабинович С.Г. Погрешности измерений
Подождите немного. Документ загружается.
При 21=
эф
k и
95
,
0
=
α
по таблице распределения Стьюдента находим 08,2=
q
t . Отсюда
получаем
%106,5100107,208,2
44
%
−−
⋅=⋅⋅⋅=
ρ
ψ .
Полученное значение достаточно близко к предыдущему результату.
6-6. Пример. Измерение силы ионизационного
тока компенсационным методом
Точные измерения малых токов, создаваемых, например,
γ
-излучением
эталонов единицы массы радия, выполняют компенсационным методом с
применением электрометра. Сила измеряемого тока
I
определяется
выражением
τCUI = ,
где С — емкость конденсатора, с помощью которого компенсируется
ионизационный ток, U — начальное напряжение на конденсаторе,
τ
— время
компенсации.
Рассмотрим измерение ионизационного тока на эталонной установке УЭА-
4 [26]. Используется конденсатор КВЧ-4, емкость которого С=4006,3 пФ
известна с погрешностью, не превышающей 0,005%. Напряжение на
конденсаторе устанавливается с помощью вольтметра кл. 0,1 с диапазоном
измерения 0 – 15 В. Время измеряется секундомером С-5 с ценой деления
0,1 с.
Измерение выполняется с многократными наблюдениями. Каждый раз
устанавливается одно и то же показание вольтметра U=7 В и измеряется
время компенсации. Результаты 27 наблюдений представлены в первом столбце
табл. 6-2. Данные для примера взяты из работы [33].
Наибольшая разница между полученными значениями времени
компенсации составляет 0,4 с, т. е. отклонения от среднего достигают 0,25%. Чем
можно объяснить этот разброс? Очевидно, систематические погрешности
примененных средств измерений здесь не при чем. Оценим случайные
погрешности приборов и их роль.
Пределы погрешности установления напряжения равны
%.21,0
7
15
1,0 =⋅=Uδ
Согласно нормам вариация показаний электроизмерительного прибора не
должна превышать предела допускаемой для него основной погрешности.
Поэтому, устанавливая на вольтметре точно 7 В, на конденсаторе будем
получать напряжения, которые могут отличаться от среднего не более чем на
0,1%.
Секундомер практически не имеет случайной погрешности.
Время компенсации является функцией напряжения на конденсаторе, и
разброс напряжения на конденсаторе должен сопровождаться таким же
разбросом времени компенсации.
Полученный же разброс 0,25% превышает ожидаемый. Следовательно,
наблюдаемое явление должно иметь и другую причину.
Таблица 6-2
ионизационного тока, и данные их начальной обработки
i
τ ,с
10
10⋅
i
I , А
(
)
14
10⋅− II
i
, А
(
)
28
2
10⋅− II
i
, А
2
74,4
74,6
74,3
74,6
74,4
74,4
74,4
74,4
74,4
74,3
74,5
74,4
74,5
74,4
74,6
74,2
74,5
74,3
74,4
74,4
74,5
74,5
74,3
74,3
74,3
74,4
74,5
3,7694
3,7593
3,7745
3,7593
3,7694
3,7694
3,7694
3,7694
3,7694
3,7745
3,7643
3,7694
3,7643
3,7694
3,7593
3,7705
3,7643
3,7745
3,7694
3,7694
3,7643
3,7643
3,7745
3,7745
3,7745
3,7694
3,7643
7
-94
58
-94
7
7
7
7
7
58
-44
7
-44
7
-94
18
-44
58
7
7
-44
-44
58
58
58
7
-44
49
8836
3364
8836
49
49
49
49
49
3364
1936
49
1936
49
8836
324
1936
3364
49
49
1936
1936
3364
3364
3364
49
1936
В рассматриваемом эксперименте причиной может быть фоновый ток. Этот
ток складывается с измеряемым и от него неотличим. Но известно, что фоновый
ток можно считать стационарным процессом на интервале времени, меньшем
Результаты наблюдений, полученные при измерений
необходимого для измерения. Это позволяет, измерив во время опыта средней
фоновый ток, устранить его влияние, вычтя его из полученного значения
ионизационного тока. Однако для этого и ионизационный ток нужно измерять
как средний ток.
По существу, таким образом произведено переопределение модели
явления и дано новое определение конкретной измеряемой величины.
Исходная зависимость нелинейна. Поэтому для решения задачи
обратимся к методу приведения; для каждого значения
(
)
27,...,1=i
i
τ найдем
отвечающий ему ток
i
I и затем для всей
группы значений вычислим среднее, дающее оценку измеряемой величины.
Значения
i
I приведены во втором столбце табл. 6-2. Среднее значение
10'
107687,3
−
⋅=I A.
Если бы мы вычислили среднее время компенсации (оно равно 74,4 с) и по
нему — оценку среднего ионизационного тока, то получали бы
10'
107694,3
−
⋅=I А.
Хотя отличие оценок невелико, при точном измерении им не следует
пренебрегать.
Перейдем к оцениванию погрешностей. Прежде всего найдем среднее
квадратическое отклонение результата измерения. Так как
( )
28
27
1
2
1059171
−
=
⋅=−
∑
i
i
II , то
()
( )
14
27
1
2
102,9
2627
−
=
⋅=
⋅
−
=
∑
i
i
II
IS А.
В относительной форме
(
)
%027,0
%
=IS .
Перейдем к оцениванию систематических погрешностей. Коэффициенты
влияния (в относительной форме)
C
V ,
U
V ,
τ
V погрешностей оценок аргументов
C
,
U
,
τ
равны соответственно 1=
C
V , 1=
U
V , 1−=
τ
V . Следовательно, имевшие
место систематические погрешности связаны соотношением
%%%% τ
ϑϑϑϑ −+=
UCI
.
Для каждой из погрешностей мы оцениваем ее границы
ii
θϑ ≤ .
Предел общей погрешности вольтметра (без учета знака) равен 0,21%.
Поскольку вольтметр имеет и случайную погрешность, примем %15,0=
U
θ . Для
конденсатора дано %05,0=
C
θ . Граница систематической погрешности
секундомера равна цене деления, т. е. %135,0
74
1001,0
=
⋅
=
τ
θ .
Обращаясь к формуле (6-9) и принимая 95,0
=
α
; получим
(
)
(
)
(
)
%23,01015105,131051,1
2
2
2
2
2
2222
%
=⋅+⋅+⋅=++=
−−−
τ
θθθθ
UC
I
k
Средний фоновый ток обычно составляет
(
)
12
1015,0
−
⋅÷ А, его удается
измерять с погрешностью, не превышающей 5%. По отношению к
измеряемому ионизационному току эта погрешность составляет 0,013%, и ясно,
что ею можно пренебречь.
Если при измерении фоновой ток был
12
1075,0
−
⋅=
ф
I А, то
10
107612,3
~
−
⋅=−=
ф
III А.
Итак,
10
107612,3
~
−
⋅=I А,
(
)
12
109
~
−
⋅=IS А
(
)
27=n ,
13
107,8
−
⋅=
I
θ А
(
)
95,0=α .
Поскольку 7>Sθ , то случайной погрешностью можно пренебречь. После
округления окончательно получим
(
)
10
10009,0761,3
−
⋅±=I А
(
)
95,0=α .
Заметим, что границы неисключенной систематической погрешности
результата можно было бы оценить и методом перебора вариантов.
6-7. Обыкновенные косвенные измерения
Косвенные измерения, оценки аргументов которых получают в результате
обыкновенных измерений, названы нами обыкновенными. В результате
обыкновенных измерений аргументов получаем оценки их истинных значений, и
обычно только границы погрешностей этих оценок (или доверительные
границы). Располагая этими данными, нужно найти оценку для косвенно
измеряемой величины и оценить погрешность полученного результата.
Оценку косвенно измеряемой величины естественно строить на основе
оценок аргументов, так как в них уже воплощена вся информация, которую
можно было использовать; границы погрешностей этих оценок определяют зону
неопределённости каждой из них. Следовательно,
(
)
.
~
,...,
~
~
1 m
ААfА = . (6-31)
Оценивание погрешностей получаемого по формуле (6-31) значения
А
~
чаще
всего можно выполнить методом линеаризации. Расчеты в этом случае
основаны на формуле (6-21):
∑
=
=
m
i
ii
W
1
ζζ .
(6-32)
Рассмотрим сначала случай, когда для каждой составляющей погрешности
известны лишь ее границы:
ii
∆≤ζ .
Приступая к решению задачи, нужно перейти к относительным
погрешностям, так как при этом снимается вопрос о неточности
коэффициентов влияния. Если же это сделать не удается, то нужно оценить те
погрешности, которые вызывают неточности определения коэффициентов
влияния. Эта задача решается тем же путем, что был рассмотрен выше для
статистических косвенных измерений.
Полагая, что линеаризация допустима, обратимся к формуле (6-32). Замена
в этой формуле всех погрешностей
i
ζ на их границы
i
∆ введет к неправдоподобно
увеличенной оценке границ погрешности
результата. Исходя из соображений, приведенных в гл. 4,
более оправдано
вероятностное суммирование, которое для суммирования систематических
погрешностей при линейных косвенных измерениях приводит к формулам (6-
9) — (6-12). В данном случае можно воспользоваться этими же формулами, но
границы систематических погрешностей
i
θ нужно заменить на границы
погрешностей измерений аргументов
i
∆ , коэффициенты
i
b — на коэффициенты
влияния
i
W . Предпочтительно все вычисления вести с относительными
погрешностями.
Иногда погрешности измерений аргументов определены не их границами,
а параметрами составляющих: средними квадратическими отклонениями для
случайных составляющих и границами (доверительными границами)
систематических составляющих. Приведенные выше соотношения позволяют
объединить их и найти суммарную погрешность результата. Специального
внимания этот случай не требует. Нужно лишь заметить, что если косвенное
измерение выполняется в нормальных условиях и основано на измерении
значительного числа аргументов, то раздельные оценки случайных и
систематических погрешностей измерений аргументов позволяют более
точно оценить общую погрешность результата косвенного измерения. При
измерениях же в условиях, когда влияющие величины отличаются от
нормальных, обычно случайные погрешности становятся несущественными по
сравнению с систематическими. Раздельное оценивание составляющих
погрешности при этом усложняет подготовку к измерению и затем
вычисление погрешности результата, но не улучшает, оценку погрешности и
поэтому нецелесообразно.
В качестве простого примера обыкновенного измерения возьмем измерение мощности Р,
выделяемой высокочастотным током в резисторе, осуществляемое в соответствии с формулой
R
I
P
2
=
, где Р — измеряемая мощность,
I
— действующий ток, R — активное сопротивление
резистора.
В результате измерения тока и сопротивления получены их оценки
I
~
,
R
~
и пределы
относительных погрешностей %5,0
=
I
δ
,
%1
=
R
δ
.
Предполагается, что допустима линеаризация исходного уравнения. Убедимся в
обоснованности этого допущения:
I
R
I
f
R
f
R
I
f
I
R
f
IR
I
f
RI
RI
f
R
R
f
I
I
f
R
R
R
f
I
f
PP
RI
2 ,0 ,2 , ,2
,2
2
1
,
~
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
∆∆
∂∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+= ζζ
Перейдем к относительной форме выражения погрешностей:
22
22
~
rr
R
I
P
PP
RI
RI
P
++=++=
−
= εε
ζζ
ε ,
где
.22
2
2
2
2
RII
R
R
I
I
I
I
P
R
r δδδ +=
∆
⋅
∆
+
∆
==
Очевидно, что
(
)
RI
r εε +<< 2
2
, т. е. линеаризация допустима, и погрешности результата
можно оценивать по формуле
RIP
εεε += 2 .
Нам известны погрешности
I
δ
и
R
δ
, причем предполагается, что I
I
δε ≤ и R
R
δε ≤ .
Предел погрешности результата нужно находить по-разному в зависимости от того, что
известно о погрешностях
I
δ
и
R
δ
. Если эти погрешности определяются только свойствами
использованных приборов, то и тогда возможно несколько ситуаций. Рассмотрим наиболее
характерные из них.
1. Измерение выполнено в нормальных условиях, средства измерений недавно
поверены, и образцовые средства измерений были не менее чем в пять раз точнее поверяемых. В
этом случае можно считать, что пределы погрешностей измерений тока и сопротивления
I
δ
,
R
δ
вполне достоверны. Принимая распределения фактических погрешностей
I
ε и
R
ε по
множеству приборов за равномерные в оцененных пределах, предел погрешности результата
измерения целесообразно находить как доверительную погрешность по формуле
( ) ( )
22
1
4 RIkP δδδ += .
Для 95,0
=
α
и 1,1
=
R ; получаем
%5,1125,041,1
1
=+⋅=Pδ .
2. Измерение выполнено в нормальных условиях, но средства измерений прошли
поверку сравнительно давно или образцовые средства измерений были всего в два-три раза
точнее поверяемых. При этом нет уверенности, что фактические погрешности измерений тока и
сопротивления не превышают пределов погрешностей
I
δ
и
R
δ
, полученных по паспортным
данным использованных приборов. Поскольку у нас всего две элементарные погрешности и
оценены они нестрого, сложим их алгебраически. Получим:
%215,022
2
=+⋅=+= RIP δδδ .
3. Измерение выполнено в рабочих условиях, и оценки
I
δ
и
R
δ
составлены путем
оценивания влияния ряда составляющих. В этом случае указанные оценки следует считать
доверительными погрешностями, отвечающими достаточно высокой доверительной
вероятности. Как отмечалось, в измерительной технике такой вероятностью обычно считают
90,0
>
α
. Распределения фактических погрешностей
I
ε и
R
ε по множеству измерений нередко
близки к нормальному. Тогда доверительную погрешность результата измерения можно найти
по формуле
( ) ( )
%4,14
22
3
=+= RIP δδδ .
Полученная оценка практически так же надежна, как и оценки ее составляющих.
При очень грубых измерениях, когда погрешности велики и
линеаризация оказывается недопустимой, приходится обращаться к методу
перебора вариантов. Существо этого метода изложено в гл. 4. Применительно к
косвенным измерениям схема применения этого метода состоит в следующем.
На основании имеющейся информации о погрешностях измерений
аргументов нужно выбрать вид распределения для каждой из погрешностей.
Если известны только границы погрешности измерения какого-то аргумента, то в
силу уже неоднократно приводившихся доводов распределение этих
погрешностей целесообразно считать равномерным. Если же известно, что
границы какой-то погрешности — доверительные границы, вычисленные
путем суммирования нескольких составляющих, то распределение этой
результирующей погрешности можно считать нормальным.
Выбрав вид распределения для погрешности измерения каждого
аргумента, затем нужно от непрерывных распределений перейти к их
дискретному представлению. Для этого весь интервал между границами делим
на несколько равных участков. Часто достаточно взять всего 3–5 участков. Затем
вычисляем значения аргументов, соответствующие середине каждого участка
(отдельные значения). Вероятность каждого такого отдельного значения
принимаем равной площади под кривой плотности распределения погрешности
на соответствующем участке. Подставляя в уравнение, связывающее величины,
отдельные значения аргументов, получаем отдельное значение измеряемой
величины. Вероятность этого значения равна произведению вероятностей
подставленных в формулу отдельных значений аргументов.
По полученным отдельным значениям измеряемой величины и
соответствующим им вероятностям можно построить функцию распределения
этих значений и, выбрав доверительную вероятность, по ней найти
доверительные границы погрешности результата измерения.
В заключение нужно обратить внимание на то, что на последнем этапе
следует строить интегральную функцию распределения, а не плотность
распределения, так как интегральная функция сглаживает, а дифференциальная
подчеркивает неточности исходных данных и решения.
6-8. Пример. Расчет погрешности измерения
напряжения с помощью потенциометра
и делителя напряжения
Измерение напряжения с помощью потенциометра представляет собой прямое измерение.
Однако при отдельном нормировании погрешностей собственно потенциометров и
погрешностей нормальных элементов, а также при измерении с применением делителя
напряжения оценивание погрешности результата такого измерения выполняется методами,
специфическими для косвенных измерений, и поэтому данный пример рассматривается в гл. 6,
посвященной косвенным измерениям.
Рассмотрим случай обыкновенных измерений с точным оцениванием погрешностей,
например измерение напряжения с помощью потенциометра Р309 кл. 0,005, нормального
элемента кл. 0,005 и делителя напряжения Р35 кл. 0,005. Сведения о свойствах перечисленных
средств измерений приведены, например, в справочнике [50].
Принцип действия потенциометров постоянного тока состоит в следующем. Сначала в
цепи с точными резисторами устанавливается рабочий ток
р
I так, чтобы падение напряжения на
участке этой цепи с сопротивлением
..эн
R уравновесило э. д. с. нормального элемента
..эн
U . При
этом
.... энэнр
RUI = .
Затем нормальный элемент отключается и к цепи потенциометра присоединяется
измеряемое напряжение
П
U . Переключателями потенциометра вводят в цепь
сравнения такую часть резисторов потенциометра, чтобы падение напряжения на их
сопротивлении
П
R скомпенсировало
П
U , т. е.
ПрП
RIU = . Тогда
..
..
эн
эн
П
П
U
R
R
U = , (6-33)
и, зная э. д. с. нормального элемента и отношение
..энП
RR находим
П
U .
Показания потенциометра пропорциональны
П
R , но погрешность потенциометра
обусловливается не погрешностями сопротивлений
П
R и
..эн
R , а погрешностью отношения
..энП
RR . Неточностью выполнения операций сравнения напряжений можно пренебречь, так
как плавность органов управления потенциометра и чувствительность нулевого индикатора
рассчитаны исходя из того, чтобы это условие выполнялось.
Потенциометр имеет 6 декад и встроенный автокомпенсатор. Предел допускаемой
погрешности в зависимости от измеряемого напряжения
U
вычисляется по формуле
(
)
6
1004,050
−
⋅+±=∆ UU В.
(6-34)
Погрешность потенциометра не выходит за указанные границы при условии, что
температура воздуха в помещении лежит в интервале от +15 до +30°С и отличается от той, при
которой выполнена подстройка измерительных резисторов потенциометра, не более чем на
2,5°С (потенциометр Р309 — прибор с автономной поверкой и подстройкой).
Э. д. с. нормального элемента кл. 0,005 при наличии образцовых нормальных элементов 2-
го разряда можно определить с погрешностью, лежащей в пределах ±10 мкВ. Влияние
температуры учитывается с помощью известной формулы, достаточно точно описывающей
зависимость э. д. с. от температуры.
Пусть при измерении одного и того же напряжения, выполненном с применением делителя
напряжения, коэффициент деления напряжения которого был установлен равным 1:10,
получены следующие показания потенциометра:
256316,1
1
=x В, 256321,1
2
=x В, 256318,1
2
=x В.
Предел допускаемой погрешности собственно потенциометра при этом составляет
631026,150
6
±=⋅⋅±=∆
−
U мкВ.
Поэтому разница в 5 мкВ между приведенными результатами трех наблюдений может
рассматриваться как результат случайной погрешности измерения, по своему уровню вполне
допустимой. В расчет, следовательно, можно взять любой из полученных результатов ил их
среднее значение.
В процессе подстройки измерительных резисторов, выполненной перед измерением, были
оценены поправки старших декад. Введем их в показания потенциометра.
Показание «12» декады «X100 мВ» имеет поправку
6
1015
−
⋅+ В; показание «5» декады
«X10 мВ» — поправку
6
103
−
⋅− В. Поправки остальных декад настолько малы, что уже не
представляют интереса. Погрешность определения каждой из поправок лежит в границах
8
105
−
⋅± В. Погрешность потенциометра, соответствующая показаниям остальных декад,
лежит в границах, определяемых в соответствии с формулой (6-34) и равных
(
)
6
1004,00063,050
−
⋅+⋅±=∆U В.
Кроме того, нужно учесть возможное изменение температуры воздуха в помещении. Если
оно в допустимых пределах, то согласно ГОСТ 9245–68 «Потенциометры постоянного тока
измерительные» погрешность потенциометра может измениться примерно на 1/4 допускаемого
предела, т. е. на 16 мкВ.
Возьмем за результат среднее значение выполненных наблюдений с внесенной в него
поправкой
(
)
66
101210315
−−
⋅=⋅−=C мкВ:
256330,1000012,0256318,1 =+== xU
П
В.
Погрешность собственно потенциометра, входящая в этот результат, имеет составляющие
6
1
1016
−
⋅±=θ В и
6
2
104,0
−
⋅±=θ В.
Погрешностью определения поправки и погрешностью
2
θ можно пренебречь. Таким образом,
границы погрешности собственно потенциометра нужно считать равными
1
θ :
6
1
1016
−
⋅±==θθ
П
В.
Далее следует оценить погрешности, обусловленные нормальным элементом и делителем
напряжения. С учетом использования делителя напряжения с коэффициентом деления
Д
K измеряемое
напряжение определяется по формуле
ПДx
UKU = , причем
..
..
эн
эн
П
П
U
R
R
U =
,
и поэтому можно написать
..
..
эн
эн
П
Дx
U
R
R
KU =
(6-35)
Погрешность делителя напряжения может достигать %105
3−
⋅ . Но можно найти действительный
коэффициент деления делителя и его взять в расчет. В рассматриваемом случае именно так следует и
поступить. В данном измерении 0003,10=
Д
K и погрешность определения
Д
K лежит в границах
%102
3−
⋅± .
Э. д. с. нормального элемента учитывается с помощью специальных декад потенциометра.
Несоответствие действительного значения э. д. с. нормального элемента выставленному на
потенциометре лежит в пределах погрешности определения э. д. с. нормального элемента (±10 мкВ).
Оценку измеряемого напряжения U
x
находим по формуле
56368,12256330,10003,10
~
=⋅==
ПДx
UKU В.
Чтобы оценить погрешность измерения, обратимся к формуле (6-35) и воспользуемся обычным
приемом: прологарифмируем выражение (6-35), найдем дифференциалы обеих частей уравнения и,
пренебрегая ошибками второго порядка малости, заменим дифференциалы приращениями. Получим
(
)
..
..
..
..
эн
эн
энП
энП
Д
Д
x
x
U
U
RR
RR
K
K
U
U ∆
+
∆
+
∆
=
∆
.
Для слагаемых мы имеем лишь оценки границ, а не сами значения погрешностей. Поэтому будем
искать оценки границ погрешности результата измерения. Для этого можно воспользоваться формулой (4-
3). Предварительно нужно все составляющие представить в форме относительных погрешностей.
Относительная погрешность собственно потенциометра, точнее, ее границы в процентах, будет
(
)
%103,1
26,1
1016100100100
3
6
..
..
%
−
−
⋅±=
⋅⋅
±=
∆
==
энП
энП
П
П
П
RR
RR
U
θ
θ
Границы относительной погрешности делителя напряжения были оценены непосредственно как
%102
3
%
−
⋅±=
K
θ .
Границы погрешности определения э. д. с. нормального элемента в форме относительной
погрешности будут
%101
018,1
1010100
3
6
.%.
−
−
⋅±=
⋅⋅
±=
эн
θ .