Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.

вероятности. На практике обычно эту вероятность принимают равной 0,95

или иногда 0,99, но законодательно вопрос еще не решен. Исключение

составляют стандартизованные методики статистических измерений, для

которых недавно утвержден ГОСТ 8.207–76 «ГСИ. Прямые измерения с

многократными наблюдениями. Методы обработки результатов

наблюдений», предусматривающий применение вероятности 0,95.

5-3 Динамические погрешности

Динамическая погрешность средств измерений упоминалась выше в

качестве одной из элементарных погрешностей измерений. Однако

оценивание динамических погрешностей обладает рядом особенностей, и на

основных из них необходимо остановиться;

Прежде всего нужно заметить, что хотя динамические погрешности в

конкретных ситуациях учитываются с давних пор, общая теория

оценивания динамических погрешностей измерений, как и вообще теория

динамических измерений, в настоящее время находится еще в стадии

формирования. В работе [40] сделана попытка сформулировать основные

понятия теории динамических измерений. Рассматривая ниже методы

оценивания динамических погрешностей, будем придерживаться

концепций, изложенных в указанной работе.

Динамическая погрешность средства измерений определяется как

разность его погрешности в динамическом режиме и статической

погрешности. Последнюю можно трактовать как следствие отклонения

действительного коэффициента преобразования средства измерений от его

номинального значения. В дальнейшем, как обычно, будем считать, что

коэффициент преобразования средства измерений совпадает с номинальным

и поэтому динамическая погрешность средства измерений совпадает с его

погрешностью в динамическом режиме.

Типичным случаем измерения, для которого существенна динамическая

погрешность, является измерение с регистрацией сигнала, изменяющегося

во времени. В этом случае, в соответствии с общим определением

абсолютной погрешности, для динамической погрешности можно написать

()

(

)

()

−=ζ ,

(5-21)

где

(

)

ζ — динамическая погрешность,

(

)

tx ,

(

)

ty — сигналы на входе и

соответственно на выходе средства измерений, К — коэффициент

преобразования.

Связь между сигналами на входе и выходе средства измерений можно

представить операторным уравнением

Bxy

, (5-22)

где

— оператор средства измерений.

Оператор в общем виде выражает всю совокупность динамических

свойств средств измерений. Последние зависят от того, по отношению к

какому воздействию они рассматриваются. Так, динамические свойства по

отношению к изменяющейся влияющей величине или к помехе,

действующей не на входе средства измерений, могут быть другими, чем по

отношению к входному сигналу. В уравнении (5-22) оператор В

рассматривается по отношению к входному сигналу.

При конструировании средств измерений обычно добиваются

независимости коэффициента преобразования от уровня входных

воздействий. Тогда средства измерений можно описать линейной моделью,

причем, как правило, удается рассматривать линейные модели с

сосредоточенными параметрами.

С учетом равенства (5-22) уравнение (5-21) можно представить в

операторной форме













−=ζ ,

(5-23)

где I — единичный (тождественный) оператор,

xIx

≡

Входной и выходной сигналы изменяются во времени, следовательно, и

динамическая погрешность представляет собой функцию времени.

Казалось бы, что, имея запись выходного сигнала у(t) и оператор

средства измерений, можно найти входной сигнал

(

)

tx и тогда, обращаясь к

формулам (5-21) и (5-23), найти динамическую погрешность. Однако этот

путь логически не оправдан: если нам удалось найти входной сигнал х(t), то

погрешность, возникающая, если выходной сигнал у(t) считать оценкой

входного х(t), уже не представляет интереса. Исключением может быть

случай, когда анализируются погрешности регистрации процесса, которую

предстоит многократно повторять.

В измерительной практике всегда стремятся применять такие средства

измерений, чтобы их выходные сигналы были по форме достаточно близки

(применительно к цели измерения) к входным. Но в тех случаях, когда

таких средств измерений нет и приходится применять существующие

средства измерений, несмотря на создаваемые ими искажения,

восстановление формы (с сохранением параметров) входного сигнала

становится важным методом повышения точности измерений. Однако

нужно отметить, что восстановление формы входного сигнала представляет

большие трудности, связанные с тем, что данная задача представляет собой

так называемую некорректно поставленную задачу (по Ж. Адамару), т. е.

такую, в которой отсутствует непрерывная зависимость решения от

начальных данных. Это означает, что при малых погрешностях задания

динамической характеристики средства измерений и отсчитывания

значений выходного сигнала погрешность определения входного сигнала

может быть так велика, что полученное решение не будет иметь

физического смысла.

Физическая сущность проблемы некорректности применительно к

восстановлению формы входного сигнала заключается в следующем. Выходной

сигнал средства измерений в конечном счете всегда имеет убывающий по

интенсивности с ростом частоты спектральный состав. Амплитудно-частотная

характеристика средства измерений (которое, естественно, является устойчивой

системой) на высоких частотах также приближается к оси частот. Таким

образом, по двум функциям с убывающими спектрами требуется найти третью

(входной сигнал), которая их однозначно связывает. В области низких и

средних (для данных функций) частот, где интенсивности спектров высоки,

удается достаточно достоверно определить искомый сигнал, причем неизбежные

погрешности исходных данных и процедуры вычислений действуют

«регулярным» образом, т. е. искажают решение, не лишая его физического

смысла. В области высоких частот интенсивности спектров падают настолько,

что их влияние на решение оказывается соизмеримым с влиянием погрешностей

исходных данных. Влияние этих погрешностей может быть так велико, что

истинное решение оказывается совершенно подавленным. Искажения во

временной области обычно имеют вид быстро осциллирующих функций,

амплитуда которых часто на несколько порядков превосходит истинное

решение.

Методы решения некорректно поставленных задач (методы регуляризации)

активно разрабатываются в математике (А. Н. Тихоновым и его

последователями), математической физике, геофизике, теории автоматического

управления. В работах [17, 51] приведен перечень наиболее важных и близких к

измерительной технике публикаций по данному вопросу.

Существо методов регуляризации состоит в фильтрации искажений на

основе априорной информации об истинном решении. При этом основным

является вопрос об установлении оптимальной степени фильтраций с тем, чтобы

отфильтровать помехи, не исказив истинного решения. Различные методы

регуляризации требуют различного объема и формы априорной информации.

По приведенным соображениям восстановление формы (с сохранением

параметров) входного сигнала для оценивания динамических погрешностей

применяется редко и на практике данная задача решается иначе.

В тех случаях, когда регистрация однородных по форме сигналов

выполняется неоднократно, создают специальный тип средств измерений (или

выбирают такой из имеющихся) и затем оценивают и нормируют предел

возникающей динамической погрешности. Оценку погрешности можно найти

экспериментальным путем, если имеется менее инерционное средство

измерений, или расчетным путем (см. ниже). Применение специализированных

средств измерений существенно упрощает измерения.

При применении универсальных средств измерений для оценивания

погрешности регистрации (динамической погрешности)

составляют суждение о форме входного сигнала и ее возможных изменениях.

После этого, зафиксировав параметры входного сигнала, т. е. взяв конкретную

его модель, пользуясь выражением (5-22), находят соответствующий сигнал на

выходе средства измерений. Далее на основе уравнения (5-21) получают

выражение (или график) для динамической погрешности, которая характеризует

погрешности регистрации выбранного входного сигнала. Для нескольких

входных сигналов (двух-трех) находят таким образом несколько функций

динамических погрешностей.

Но оперировать с погрешностью как функцией времени неудобно. Поэтому

обычно динамическую погрешность регистрации стремятся охарактеризовать

параметром, который для всей функции принимает какое-то одно значение.

Чаще всего для этого берут максимальную по модулю погрешность или ее

среднее квадратическое отклонение.

Из полученных таким образом (двух-трех) значений динамической

погрешности затем обычно в качестве общей характеристики берут худшую, т. е.

наибольшую. Поиском наилучших характеристик, или критериев погрешности,

как часто (и неточно) их называют, занимался ряд авторов. Здесь этот вопрос не

рассматривается. Отметим лишь, что в силу резко различной информационной

емкости функции и числа адекватное выражение динамической погрешности

числом принципиально невозможно и речь может идти лишь об отражении тех

или иных свойств погрешности в целом. Поэтому выбор той или иной

характеристики можно сделать, лишь ориентируясь на цель измерения.

Нужно заметить, что приведенная схема вычислений применительно к

различным задачам измерений может видоизменяться. Так, частоте имеет

значения сдвиг во времени выходного сигнала относительно входного. В этом

случае возможно искусственно располагать сигналы таким образом, чтобы;

норма погрешности стала минимальной.

Однако рассматриваемая нами задача в целом состоит в оценивании

динамической погрешности измерения. В частном случае это может быть

измерение, которое как промежуточный этап содержит в себе регистрацию.

Следовательно, оценка измеряемой величины составляется по записи некоторого

сигнала путем ее соответствующей обработки. Иными словами, известен

функционал, преобразующий сигнал в оценку измеряемой величины. Для

решения задачи нужно иметь оценки возможных форм входного сигнала. Для

этих сигналов, зная оператор средства измерений, находят соответствующие

выходные сигналы. Затем, обработав эти сигналы, определяют значения

измеряемой величины по входному сигналу

A и по выходному

A . Их разность

дает динамическую погрешность измерения

−=ζ .

Последнюю следует представить в форме относительной погрешности

ζε = .

Из полученных двух-трех динамических погрешностей обычно выбирают

наибольшую (по модулю) и принимают ее за оценку динамическое погрешности

измерения. При нелинейном функционале преобразования сигнала в оценку

измеряемой величины оценку относительной динамической погрешности,

полученную по выбранному входному сигналу, необходимо скорректировать

соответственно свойствам функционала, учитывая отличие

от полученной

при реальном измерении оценки измеряемой величины

. Если

AA = , то

нелинейность функционала не имеет значения.

Динамическая погрешность возникает также при измерении параметров

периодических и нестационарных процессов с помощью показывающих приборов.

При некоторой типичной форме входного сигнала приборы градуируют.

Динамическая погрешность возникает, если форма входного сигнала при

измерении оказывается отличной от той, при которой прибор градуировали.

Очевидно, что, основываясь только на показаниях прибора, оценить эту

погрешность невозможно. Для решения задачи необходимо иметь оценку формы

входного сигнала, имевшего место при измерении. Тогда, зная форму входного

сигнала при градуировке прибора и оператор прибора, по приведенной выше

схеме можно оценить динамическую погрешность измерения. Расчеты

целесообразно выполнять при таких параметрах входного сигнала, которые

соответствуют фактическому показанию прибора.

Рассмотренный путь решения задачи требует много информации и расчетов.

Поэтому практика выработала другой подход к ее решению.

Входной сигнал можно представить некоторой моделью, характеризуемой

рядом параметров. Один из них — информативный, измеряемый, остальные —

неинформативные. Средства измерений конструируют так, чтобы сделать их

нечувствительными ко всем неинформативным параметрам входного сигнала.

Полностью, однако, этого достичь не удается, и в общем случае влияние

неинформативных параметров только ослабляется. Далее для всех

неинформативных параметров можно определить такие границы, что при

изменении неинформативных параметров внутри этих границ суммарная

погрешность средств измерений будет изменяться незначительно. Это

позволяет установить нормальные области значений неинформативных

параметров.

Если какой-либо неинформативный параметр выходит за границы области

его нормальных значений, то возникающую погрешность рассматривают как

дополнительную. Влияние каждого неинформативного параметра нормируют по

отдельности, как и воздействия влияющих величин. Таким образом, вместо

оценивания

динамической погрешности в целом приходят к оцениванию ряда

погрешностей, что упрощает задачу.

Нормирование влияния неинформативных параметров и оценивание

возникающих из-за них погрешностей выполняется на основе тех же

положений, которые развиты для учета дополнительных погрешностей,

вызванных воздействием внешних влияющих величин.

Погрешности от изменения неинформативных параметров входных сигналов

порой называют динамическими. Однако при нескольких параметрах это

малоинформативно. Более содержательно каждой погрешности дать

собственное наименование, как это обычно и делается в электро- и

радиоизмерительной технике. Например, изменение показаний вольтметра

переменного тока из-за изменения частоты входного сигнала, называют

частотной погрешностью. У вольтметра для измерений пиковых переменных

напряжений, помимо частотных погрешностей, учитывают погрешности от

изменения длительности фронтов импульса,, от спада плоской части импульса и

т. д. (см., например, «Вольтметр компенсационный В4-11. Паспорт, техническое

описание, инструкция по эксплуатации и периодической поверке»).

5-4. Формы представления результатов измерений

Рассматривая выше методы оценивания погрешностей прямых измерений,

мы предусматривали два варианта представления погрешностей результата

измерения:

раздельное указание оценок границ систематической погрешности и

среднего квадратического отклонения результата измерения;

указание оценки суммарной погрешности результата измерения.

Раздельное указание составляющих возможно лишь для статистических

измерений. В этом случае результат измерения и его погрешности

представляются совокупностью следующих данных:

— оценки измеряемой

величины

;

(

)

αθ — границы систематической погрешности результата

измерения, вычисленной для доверительной вероятности

;

S — оценки

среднего квадратического отклонения результата измерения; п — числа

наблюдений, использованных для нахождения

S .

Если верхняя и нижняя границы систематической погрешности по

модулю не равны, то каждая из них указывается по отдельности.

Раздельная запись составляющих погрешности результата измерения

целесообразна в тех случаях, когда полученный результат в дальнейшем

подвергается анализу и сопоставлению с другими результатами или

используется как промежуточный при нахождении других величин.

Особенно подробная запись составляющих погрешности измерения

необходима при измерении физических констант, так как она облегчает

сопоставление результатов разных исследователей и установление наиболее

достоверных значений. В этом случае рекомендуется помимо упомянутых

данных привести и те сведения об элементарных систематических

погрешностях, на основе которых составлена оценка границ систематической

погрешности результата. Само собой разумеется, необходимо и подробное

описание эксперимента.

Суммарная погрешность статистического измерения указывается в том

случае, когда получаемый результат измерения является окончательным и

требуется лишь оценить границы зоны той неопределенности, с которой он

установлен. В этом случае результат измерения представляется в виде

(

)

α∆±A

либо по отдельности указываются

и доверительные границы его погрешности

(

)

α∆ . Если нижняя и верхняя границы по модулю не равны, они приводятся по

отдельности. В скобках десятичной дробью должна быть написана

доверительная вероятность.

Для обыкновенных и технических измерений указывается только

суммарная погрешность результата измерения. При этом, если эта погрешность

найдена без вероятностного суммирования составляющих, то в записи

погрешности, естественно, отсутствует доверительная вероятность. Вообще,

если при записи погрешности результата измерения не указана доверительная

вероятность, то это следует считать свидетельством того, что границы

погрешности оценены невероятностным путем. Это замечание не относится,

конечно, к тем случаям, когда приводится расчет погрешностей и из

сопровождающего расчет описания явно видно то значение вероятности

(доверительной вероятности), которое было принято при вычислении.

Однако, если доверительная вероятность не указана в связи с тем, что

оценка границ погрешности найдена невероятностным путем, то, хотя

полученная оценка может быть и весьма надежной, соответствующую ей

вероятность нельзя считать равной единице. Поскольку вероятностная модель не

была использована, то и вероятность не была оценена и нельзя требовать ее

указания.

Приведенные соображения по представлению результатов измерений, и их

погрешностей относятся не только к прямым измерениям, но и ко всем

категориям измерений.

5-5. Пример. Обработка результатов

наблюдений при сличениях масс

В результате сличения меры массы 1 кг с эталонной мерой массы того же номинала получена группа

результатов наблюдений, приведенных в столбце 1 табл. 5-5 [31].

В столбце 2 приведены значения

(

)

10998000,999 ⋅−=

xx , в столбцах 3, 4 —

результаты вспомогательных расчетов.

Измерение выполнено методами точного взвешивания, исключающими погрешность от

неравноплечности весов. Таким образом, систематические погрешности при измерении можно

считать отсутствующими. О случайных погрешностях на основании ранее накопленных данных

известно, что их распределение можно принимать за нормальное.

Таблица5-5

К вычислению статистических характеристик

по результатам сличений мер массы

x ,г

10⋅

(

)

⋅−

(

)

⋅−

999,998738

738

+17

289

998699

699

484

998700

700

441

998743

743

+22

484

998724

724

998737

737

+16

256

998715

715

998738

738

+17

289

998703

703

324

998713

713

Сумма

2676

Измеряемую массу принимаем равной среднему арифметическому, определяемому по формуле

998721,999998000,999

=+=

xx г.

Далее вычисляем по формуле (3-18) и данным столбца 4 оценку среднего

квадратического отклонения наблюдений

612

101710

2676

−−

⋅≈⋅=S г.

По формуле (3-15) вычисляем оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического

105

1017

−

⋅=

⋅

S г.

Теперь можно найти доверительную погрешность результата. Возьмем 95,0

и, пользуясь

распределением Стьюдента (табл. П-7), находим коэффициент

. Число степеней свободы

9110

−

05,01

−

q . Следовательно, 26,2

05,0

=t .

По формуле (5-3) получаем

101110526,2

−−

⋅=⋅⋅=ψ г.

Таким образом, масса т исследуемой меры лежит в интервале

г. 998732,999г. 998710,999

≤

Более компактная запись полученного результата имеет вид

95,0

1011998721,999

−

⋅±=m г.

В качестве дополнительной иллюстрации к рассмотренным в этом параграфе методам

могут служить расчеты, приведенные в § 9-3. Однако, поскольку пример в § 9-3 посвящен

расчету предельной погрешности прибора, а не расчету погрешностей измерения, сложение

оценок систематических и случайных погрешностей в нем выполнено иначе, чем это

предусмотрено в § 5-1.

5-6. Пример. Расчет погрешности измерения

напряжения показывающим прибором

Рассмотрим измерение с помощью вольтметра кл. 0,5 (ГОСТ 13600–68 и ГОСТ 8711–58)

напряжения на участке электрической цепи с сопротивлением

2≤

Ом.

На шкале с диапазоном измерений 0—1,5 В показание прибора было 1,025 В. Априори

известно, что измеряемое напряжение неизменно, и поэтому в повторных наблюдениях не было

необходимости.

Измерение выполнено при температуре примерно +30°С и при возможном магнитном

поле до 400 А/м. Остальные условия измерения нормальные.

Оценим составляющие погрешности измерения.

Методическая погрешность определяется соотношением между внутренним

сопротивлением источника измеряемого напряжения и сопротивлением вольтметра. Входное,

сопротивление вольтметра

R известно — оно равно 1500 Ом с погрешностью в границах

±0,5%.

Вольтметры градуируют в режиме заданного напряжения. Поэтому их показания дают

падение напряжения на самом приборе, т. е.

U вместо измеряемого напряжения

U . Очевидно

соотношение

U ⋅

= .

Методическая погрешность в форме абсолютной погрешности будет

xVм

UU ⋅

−=−=ϑ .

В форме относительных погрешностей она равна

%13,0

1502

2100

100

−=

⋅

−=

⋅

−=

ϑ .

Методическая погрешность примерно в 5 раз меньше основной, т. е. имеет тот же порядок,

что точность поверки прибора, и поэтому ею можно пренебречь.

Перейдем к оценке пределов основной погрешности прибора при имевшем место

показании. Имеем пределы для приведенной погрешности при нормирующем значении

5,1=

x В. Следовательно, при показании 025,1=

U В границы относительной погрешности

прибора будут

%75,0

025,1

5,15,0

±=

⋅

±=

осн

Погрешность от влияния магнитного поля лежит в границах %5,0

±=

θ .

Дополнительная температурная погрешность обусловлена возможным изменением

температуры на 10°С. Следовательно, эта погрешность лежит в границах %5,0

±=

θ .

Личные погрешности входят в основную.

По формуле (4-3) найдем доверительные границы погрешности результата измерения для

95,0

. При 1,1

k и

%1,106,11,15,05,075,01,1

222

≈=++==∆ θ .

Поскольку измерение не относится к точным, числовое значение погрешности можно округлить и

считать %1

=∆ . В форме абсолютной погрешности найденные границы погрешности результата

измерения равны 01,0

∆

В.

Следовательно, последняя цифра в числовом значении показания прибора недостоверна, и ее

следует отбросить, пользуясь правилами округлений.

Таким образом, результат измерения примет вид 01,002,1 ±=

U В.

Рассмотренный пример представляет собой пример обыкновенного измерения с приближенным

оцениванием погрешности. Пример измерения с точным оцениванием погрешности приведен в § 6-7.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

6-1. Предварительные замечания и классификация

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение

величины находят путем согласованных измерений других величин, связанных с

измеряемой величиной известной зависимостью. Эти другие величины будем

называть измеряемыми аргументами (в краткой форме — аргументами).

Значения аргументов чаще всего находят в результате прямых измерений,

но иногда — в результате совместных, совокупных или косвенных

измерений.

Измеряемая величина (ее истинное значение

) связана с измеряемыми

аргументами

(

)

miA

,...,1= зависимостью, которую обычно можно разрешить

относительно

, т. е. представить в виде

(

)

AAfA ,...,

(6-1)

Случаи неявной зависимости между

A нетипичны.

По виду функциональной зависимости (6-1) будем различать косвенные

измерения с линейной зависимостью между измеряемой величиной и

измеряемыми аргументами, косвенные изменения с нелинейной зависимостыб

между этими величинами и косвенные измерения с зависимостью между

величинами смешанного типа. При линейной зависимости уравнение (6-1)

имеет вид

∑

AbA

где

b — постоянный коэффициент i-го аргумента

A , m — число слагаемых.

Косвенные измерения при линейной зависимости между величинами будем

называть линейными косвенными измерениями, а при нелинейной

зависимости — нелинейными косвенными измерениями.