Рабинович С.Г. Погрешности измерений

Подождите немного. Документ загружается.

основе нормативных данных. Способы решения этой задачи подробно

изложены ниже, при рассмотрении обыкновенных измерений. Однако

нужно заметить, что использование обычно принятых норм для основной

погрешности средств измерений в виде пределов допускаемых

погрешностей дает преувеличенные оценки границ погрешности

результата. Объясняется это тем, что случайная составляющая основной

погрешности уже вошла в результаты наблюдений и ее не следует

учитывать вторично. Отдельное нормирование систематической и

случайной составляющих основной погрешности согласно ГОСТ 8.009–72

устраняет этот недостаток. Впрочем, отмеченный недостаток становится

несущественным, если измерение выполняется в условиях, отличающихся от

нормальных для используемых средств измерений, когда их

дополнительные погрешности преобладают над основными.

5-2. Методы оценивания погрешностей прямых

обыкновенных измерений

Обыкновенные измерения возможны лишь при определенных

условиях. Прежде всего объем априорной информации об объекте

исследований должен быть таким, чтобы модель объекта и определение

конкретной измеряемой величины не вызывали никаких сомнений. Это

требование обусловлено тем, что в ходе измерения мы не получаем данных

для переопределения модели объекта.

Как всегда, метод измерения должен быть изученным и методические

погрешности либо заранее устранены, либо должно быть известно, как их

устранять. Применяемые средства измерений должны быть исправными, их

метрологические свойства должны соответствовать установленным нормам.

При обыкновенных измерениях в отличие от статистических случайные

погрешности средств измерений не выявляются в ходе измерения, и их надо

учитывать при расчете погрешности результата измерения.

Методы решения задачи оценивания погрешностей измерений,

естественно, зависят от того, что считается известным о свойствах средств

измерений. Так, в последние годы появились работы, в которых приводится

решение рассматриваемой задачи в предположении, что известны

математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (и то и

другое в функции времени) погрешности совокупности средств измерений

каждого типа. К сожалению, как уже отмечалось, эти характеристики

неизвестны. Рассмотрим решение задачи на основе доступных, обычных

характеристик средств измерений.

Измерения с точным оцениванием погрешностей. На основании

индивидуального исследования основных средств измерений с учетом

результатов измерений всех влияющих величин, так же как при точных

статистических измерениях, составляют оценки всех

систематических погрешностей данного измерения и затем устраняют их из

результата путем введения соответствующей поправки. Особенность

рассматриваемого случая состоит в том, что, поскольку измерение

выполняется без повторных наблюдений, по данным эксперимента нельзя

отделить случайные погрешности от неисключенных систематических.

Поэтому для погрешности результата измерения, как правило, оценивают

только ее границы. Возьмем исходное соотношение

лим

ξξξξ ++= .

Мы ищем сумму постоянных систематических погрешностей, чтобы

ввести на нее поправку С:

∑

−= ϑ

(5-14)

В общем случае,

лим

ϑϑϑϑ

++=

∑

Методическая погрешность может быть значительной, личная обычно

мала. Основное значение имеет постоянная инструментальная погрешность.

Ее оценивают, как и при точных статистических измерениях, по формуле

∑∑

iи

~~~

ϑϑϑ ,

(5-15)

где

ϑ — оценка систематической составляющей i-го основного средства

измерении,

— оценка j-й дополнительной погрешности.

После введения поправки останутся погрешности

лим

ξξξξ ++= ,

причем

ммм

ζϑξ −=

иии

ζϑξ −=

ллл

ζϑξ −=

Этими погрешностями и определяется погрешность результата

измерения. Из них по-прежнему основное значение имеет инструментальная

погрешность, которая в свою очередь состоит из ряда составляющих.

Одной из них, в частности, является динамическая погрешность.

Для расчета погрешности результата нужно прежде всего составить

соответствующие оценки каждой составляющей погрешности. Например,

после внесения поправки на систематическую составляющую основной

погрешности прибора останутся погрешности, обусловленные

погрешностью образцовых средств измерений, использованных для его

поверки, а также случайной составляющей основной погрешности

рассматриваемого прибора. После учета некоторой дополнительной

погрешности останется погрешность, обусловленная погрешностью

измерения влияющей величины и той неточностью, с которой известна

функция влияния. Оценка этих погрешностей осуществляется методами,

разработанными для косвенных измерений (см. главу 6).

Методическая погрешность иногда зависит от свойств примененных

средств измерений и поэтому устраняется неполностью.

Для всех составляющих погрешности измерения находят оценки либо

модуля их границ, либо среднего квадратического отклонения. Чаще всего

первые применяют для систематических, а вторые — для случайных

составляющих. Далее требуется рассчитать общую погрешность измерения.

Задача решается тем же путем, что и при статистических измерениях.

Заметим, что элементарные погрешности измерений во всех или почти во

всех случаях оцениваются не статистически, и поэтому исходные погрешности не

имеют соответствующих вероятностей. Чтобы применить вероятностно-

статистический метод суммирования этих погрешностей, мы вводим для них

вероятностную модель и делаем два допущения: если даны границы

погрешностей, то считаем погрешности равномерно распределенными, если

даны средние квадратические отклонения, то распределения считаем

нормальными. Вероятностное суммирование приводит к оценке погрешности

результата измерения, отвечающей некоторой вероятности, которая должна

быть известна. Однако в тех случаях, когда погрешность измерения определяется

одной элементарной погрешностью и, следовательно, ее границы были оценены

без суммирования, обычно нет оснований соотносить эту погрешность с какой-

либо вероятностью.

Вернемся к суммированию составляющих. Сначала нужно упорядочить

исходные данные, т. е. представить их так, чтобы для всех систематических

составляющих иметь границы

θ , а для случайных — средние квадратические

отклонения

σ . Поскольку измерение выполняется без повторных наблюдений, то

можно обойтись без раздельного суммирования составляющих.

Обычно при точном оценивании погрешностей выделяют сравнительно

много составляющих. Это позволяет считать, что их сумма имеет нормальное

распределение, и на этой основе вычислять доверительную погрешность

∑ ∑

= =

+=∆

1 1

σθ

(5-17)

где

1 α+

z — квантиль нормированного нормального распределения, отвечающая

вероятности

Для применения формулы (5-17) обычно достаточно, чтобы

≥

Если же

, то результирующее распределение может значительно

отличаться от нормального. В этом случае задачу можно успешно решить на

основе формул (5-7) и (5-8), хотя при этом несколько усложняются расчеты.

Рассмотрим пути упрощения выкладок.

Предположим, что элементарные систематические погрешности —

случайные величины с нормальным распределением. Напомним, что мы

рассматриваем условно постоянные систематические погрешности, которые по

мыслимому множеству можно

считать случайными величинами. Тогда можно принять, что погрешностям

соответствует некоторая доверительная вероятность

, например 95,0

или

99,0

. Обосновать то или иное значение вероятности в общем нельзя. Затем

для выбранного значения доверительной вероятности вычисляем доверительную

границу случайной погрешности

∑

σψ

Заметим, что при статистических измерениях мы имели оценку среднего

квадратического отклонения, которую составляли по экспериментальным данным.

В рассматриваемом случае мы основываемся на априорной информации и

считаем, что имеем не оценки, а сами средние квадратические отклонения.

Теперь можно вычислить суммарную доверительную погрешность

∑

+=∆

ψθ .

(5-18)

Однако полученная таким путем погрешность обычно считается

приуменьшенной. Погрешности же не принято оценивать с приуменьшением.

Поэтому данный путь постепенно выходит из применения.

Другая возможность — принять, что случайная погрешность имеет

равномерное распределение в пределах доверительных границ

. Тогда

суммарную доверительную погрешность можно найти по формуле

∑

+=∆

ψθ .

(5-19)

Эта оценка, наоборот, будет с некоторым преувеличением. Сопоставление

оценок, получаемых по формулам (5-18) и (5-19), позволяет сделать вывод, что при

обычно применяемых значениях доверительной вероятности это преувеличение

невелико.

Рассмотренными способами решается задача суммирования условно

постоянных систематических погрешностей со случайными. Безусловно

постоянные систематические погрешности, если они имеются, приходится

учитывать, как и при статистических измерениях, алгебраическим

суммированием.

Обыкновенные измерения выше были определены как измерения,

выполняемые с однократными наблюдениями. Между тем при точных

обыкновенных измерениях часто делают не одно, а два-три наблюдения.

Однако два-три наблюдения не могут дать материал для статистической

обработки, и делаются они в общем лишь для того, чтобы удостовериться в

правильности хода измерения. Если условия, при которых ведется измерение,

установлены

правильно и выполняются, модель объекта ему соответствует и применены

исправные средства измерений, то различия между результатами наблюдений

должны быть невелики, например, не должны превышать погрешности

измерения.

В принципе в рассматриваемом случае за результат измерения можно взять

любой из полученных результатов наблюдений. Но, поскольку наблюдения

уже сделаны, целесообразно все их использовать, и поэтому за результат обычно

берут их среднее арифметическое

A . Затем вводится найденная выше

поправка и получается окончательный результат измерения CAA +=

Погрешность измерения можно оценить по модифицированным естественным

образом формулам (5-17) и (5-18):

при

≥

∑ ∑

= =

+=∆

1 1

σθ

при

∑

+=∆

θ .

Оценим, при каком соотношении между систематической и случайной

составляющими разница между наблюдениями не будет превышать

∆

. Понятно,

можно было бы ограничить эту разность и некоторой долей от

∆

. Мы взяли

ограничение, применяемое на практике.

Напомним, что наибольшая разность (по модулю) в выборке из п

элементов называется ее размахом R

. Для случайной величины с нормальным

распределением известна функция распределения размаха [49]. Различие между

результатами наблюдений определяется только случайной составляющей

погрешности. Обычно можно считать, что она имеет нормальное распределение.

Это позволяет воспользоваться упомянутой функцией распределения размаха. С

учетом нашего ограничения получаем

{

}

α=∆≤

RP .

Примем 95,0

. Тогда при

по таблице, приведенной в [49], находим

3,3

∆

. У нас

∑

σσ Пусть

≥

, 95,0

, т. е. 2

≈

+α

z . Тогда

∑∑∑

===

23,3 σθσ .

Отсюда находим нужное нам соотношение

4,0

≤=

∑

При полученном соотношении между составляющими оценим то

уменьшение погрешности, которое происходит за счет усреднения наблюдений.

Для этого составим отношение оценок погрешности результата наблюдения и

погрешности результата измерения

∑∑

σθ

γ .

При

и 4,0

y 12,1

=γ .

Следовательно, если в качестве погрешности результата измерения взять

погрешность наблюдения, то погрешность будет преувеличена всего лишь на

12%.

Обыкновенные измерения с приближенным оцениванием погрешностей.

Для этих измерений характерно оценивание погрешностей на основе нормативных

данных о свойствах используемых средств измерений. Поскольку нормы

относятся к любым экземплярам средств измерений определенного типа, у

конкретного экземпляра, используемого в конкретном измерении;

действительные свойства могут по-разному отличаться от их норм. В особенности

значительными бывают различия между номинальными и действительными

коэффициентами влияния либо между предельными допускаемыми и

действительными дополнительными погрешностями средств измерений при

заданных изменениях влияющих величин.

Влияющие величины при простых технических измерениях обычно лишь

оценивают, а не измеряют точно. Часто исходят из априори известных пределов

значений отдельных влияющих величин. Например, для измерения, выполненного

летом в Ленинградской области в полевых условиях, в тени, заранее известно,

что температура воздуха будет лежать в интервале от +10 до +35°С.

Неточная информация о значениях влияющих величин и сведения о

свойствах средств измерений все же дают возможность оценить погрешность

измерения, но для нахождения поправок, для корректировки результата

измерения они недостаточно надежны.

Общую схему оценивания границ погрешностей можно представить

следующим образом.

Для влияющих величин составляют оценки возможных значений их

верхних и нижних границ. Эти оценки часто несимметричны относительно

нормального значения (области значений) влияющей величины.

Соответственно можно составить оценки для границ возможных

дополнительных погрешностей. В качестве одной из дополнительных

погрешностей, как и выше, следует рассматривать возможную динамическую

погрешность.

Нижние границы дополнительных погрешностей обозначим

нj

θ ,

верхние —

вj

θ , где

— условное обозначение влияющей величины.

В результате для оценивания погрешности измерения мы имеем

следующие сведения о погрешностях средства измерений:

пределы допускаемой основной погрешности

∆ ,

пределы всех имевших место при данном измерении дополнительных

погрешностей

нj

θ и

вj

θ .

Личные погрешности при этих измерениях малы, и их обычно можно не

учитывать, источники методических погрешностей известны, и известны

способы их оценивания и учета.

Сложение всех составляющих погрешности измерения нужно выполнять

статистически. Но для этого необходимо иметь хотя бы приближенное

представление о форме функций распределений составляющих.

Если такие данные есть, то задача решается известными методами,

например методом перебора вариантов, который рассмотрен в § 4-5, Однако

обычно такой информации у нас нет. Тогда задачу, приходится решать с

допущением о равномерности функций распределений составляющих.

Специфика рассматриваемой задачи состоит в том, что

вjнj

QQ ≠ .

Учитывая эту особенность, будем и для погрешности измерения искать

верхнюю и нижнюю границы

∆ и

∆ . С этой целью несимметричные

погрешности

вjjнj

θϑθ ≤≤ представим в виде центрированных случайных

величин

η , таких, что

jjj

a ηϑ += , где

a — координаты центра

группирования. Очевидно, что

нjвj

θθ +

= .

Следовательно, границы случайной величины

η по модулю равны

нjвj

θθ −

Сумму дополнительных погрешностей можно представить в виде

∑∑∑

===

111

ηϑ .

Первый член этой суммы находится алгебраическим суммированием.

Для второго члена будем искать оценку его границ. Слагаемые считаем

случайными величинами с равномерным распределением. Для вычисления

границ их суммы можно воспользоваться способом, приведенным в § 4-4.

Если к дополнительным погрешностям присоединить основную

погрешность, считая ее также равномерно распределенной в известных

границах, то можно найти интересующую нас погрешность измерения.

Границу суммы равномерно распределенных центрированных

случайных величин с известными границами можно оценить по формуле

(4-3):

∑

+∆=

∑

HkH

где k — коэффициент, значения которого приведены на стр. 96. Найдя

∑

H ,

можно вычислить искомые значения доверительных границ погрешности

∆ и

∆ :

∑

−=∆

∑

jн

∑

+=∆

∑

jв

(5-20)

При измерениях с приближенным оцениванием погрешностей

∑

а,

обычно не устраняют из результата измерения, так как надежность этой

оценки недостаточна для того, чтобы изменять результат, измерения.

Как видно из приведенного решения, при суммировании погрешностей использовалось

допущение о равномерности распределений слагаемых в оцененных границах. Соображения в пользу

этого допущения приводились выше. Однако ясно, что более строгим решение было бы, если бы мы

имели функции распределений слагаемых. Методы построения композиции распределений рассмотрены

выше, и проблема лишь в том, чтобы эти распределения знать. Некоторые особенности решения данной

задачи для случая, когда дополнительная погрешность вычисляется как произведение величин,

рассмотрены в § 9-5 на примере измерений, выполняемых с помощью измерительных систем.

Информацию для построения функций распределений основной погрешности средств

измерений можно было бы накапливать на основе данных периодических поверок средств измерений.

Но при поверках обычно не фиксируют значений погрешностей, для ускорения процедуры

ограничиваются лишь констатацией, удовлетворяет ли погрешность нормам или нет. Данные,

получаемые при выпуске средств измерений из производства, не годятся для этой цели, так как нас

интересуют свойства не новых средств измерений, а находящихся в эксплуатации. А то, что эти

свойства существенно различны, не вызывает сомнений. Достаточно вспомнить хотя бы о том, что в

большинстве случаев пределы допускаемой Погрешности средств измерений при выпуске их из

производства устанавливают более узкими, чем те, по которым определяют пригодность средств

измерений к применению во время эксплуатации. Кроме того, погрешности средств измерений

неизбежно изменяются во времени. Об этом свидетельствует ряд выполненных исследований,

например [47].

В зависимости от скорости старения средств измерений и числа выпускаемых новых

экземпляров данного типа функция распределения основных погрешностей может тоже изменяться

со временем.

В целом трудно рассчитывать на то, что функции распределения погрешностей средств

измерений можно установить. Поэтому для расчета погрешностей измерений необходимо

допущение о виде распределения, Распределения основных погрешностей принимаются за

равномерные, что приводит к достаточно осторожным оценкам.

Иначе обстоит дело с распределениями коэффициентов влияния и дополнительных

погрешностей средств измерений. В большинстве случаев эти свойства средств измерений не

изменяются и статистические данные о них можно накапливать на предприятиях, выпускающих

средства измерений. Эти данные ценны не только потому, что могут служить базой для

определения функций распределения дополнительных погрешностей (для этого нужно еще

иметь и функции распределений влияющих величин, что также представляет сложную

проблему), но они могут позволить более точно описывать соответствующие свойства средств

измерений. Здесь кроется большой резерв повышения точности измерений.

Основным направлением реализации данной возможности является нормирование

функций влияния, намеченное ГОСТ 13600–68 и регламентированное ГОСТ 8.009–72.

Например, температурная погрешность электроизмерительных приборов обычно задается

как предел допускаемого изменения показаний при изменении температуры на 10°С. Таким

образом задают граничные значения коэффициента влияния температуры:

CbW

10/±= ,

где

— обозначение класса точности прибора.

Однако у многих типов приборов этот коэффициент изменяется в более узких границах.

Если можно хотя бы с небольшой точностью, например всего лишь с погрешностью в 30%,

указать функцию влияния температуры, то дополнительную температурную погрешность можно

уменьшить уже в четыре раза. Пусть, например, вместо CbW

10/±= мы можем указать

(

)

CdW

10/3,01±= ,

где 3,1:bd

Если измерение было выполнено при температуре Ct

50+= (нормальная температура

20+ ), то

30=∆t и дополнительная температурная погрешность прибора в первом случае

имела бы границы b

3±=θ .

Если задано

W то получим

( ) ( ) ( )

bbd

7,03,23,01

3,1

3,013

±=±=±=θ

Погрешность, равную b3,2

, можно исключить, введя поправку, и дополнительная

температурная погрешность будет заключена в границы b

7,0

±=θ , т. е. уменьшится более чем

в 4 раза.

При обыкновенных измерениях влияющие величины обычно точно неизвестны, их

неопределенность отражается на погрешностях измерений и при известных функциях влияния.

Тем не менее нормирование функций влияния представляет собой большой резерв для

раскрытия свойств средств измерений и повышения точности измерений.

Одним из условий осуществления обыкновенных измерений является

правильное определение модели объекта исследования и истинного

значения измеряемой величины. О правильности решения этих задач можно

судить по близости результатов повторных измерений. Разница между

ними не должна выходить за пределы случайных погрешностей

примененных средств измерений. Так, при применении

электроизмерительных приборов разница между показаниями одного и того

же прибора не должна

превышать его вариации, норма для которой равна пределу допускаемой

основной погрешности.

При измерениях в условиях, отличающихся от нормальных,

случайная погрешность средств измерений обычно изменяется мало и

доминирующее значение приобретают дополнительные погрешности,

которые чаще всего являются систематическими. Это также оправдывает

выработанную практикой методику нормирования свойств средств

измерений (см. гл. 2).

Технические измерения. Как было определено, это измерения,

погрешности которых известны заранее, до измерения, и в процессе

измерения их не оценивают. Априорную оценку делают с учетом всех

возможных влияющих величин, хотя и ясно, что в ряде случаев часть их

будет находиться в диапазоне нормальных значений.

Особенность оценивания погрешностей технических измерений

состоит в том, что нужно предусмотреть возможность измерения

различных величин (по размеру) из некоторого диапазона. Этот диапазон

определяется свойствами используемых средств измерений.

Иногда за погрешность технического измерения принимают

погрешность в наименее благоприятной точке диапазона. Иногда же, если

можно как-то оценить распределение измеряемых величин, оценивают

погрешность для определенной доли измеряемых величин, подобно тому

как это делают при вычислении толерантных интервалов.

С учетом отмеченной особенности схема вычисления границ

погрешности технического измерения та же, что и для обыкновенных

измерений с приближенным оцениванием погрешностей.

В заключение нужно сделать одно существенное замечание. Как

видно из изложенного, во всех случаях мы пользовались вероятностным

суммированием составляющих. Однако, не имея достаточной информации

о функциях распределения слагаемых, мы приняли для них худшие в

некотором смысле распределения. В результате, если поставить

эксперимент с измерением вычисленной погрешности, то трудно

рассчитывать на то, что частость доверительной погрешности будет

оценкой соответствующей вероятности. Но выбор худших распределений

должен дать более надежную оценку, т. е. если погрешность вычислялась

для вероятности 0,95, то экспериментальные данные должны вести к

большим значениям вероятности.

Сделанное замечание говорит о том, что вероятность, принимаемую

для суммирования погрешностей, нужно как-то отличать от вероятности в

математическом смысле этого термина. Ее можно было бы назвать

условной вероятностью. Для простоты мы этого не сделали.

Кроме того, чтобы можно было сравнивать точность результатов

измерений, основываясь на значениях доверительных погрешностей,

последние нужно вычислять для одного и того же значения