Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. и др. Задачи по теории вероятностей и математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛГЦИИ

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

И/ШЯ

'EJi

С-ТЕК 4

.-X. ГЧ.рького

N Г У

tJL-Yo

Ю.П. Пытьен. И.А. Шишмарев, Е.И. Во/ков, Е.Н. Терентьев

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Издательство

Московского университета

1985

УДК

519.2

Задачи

по

теории вероятностей

математической статистике

/Ю.П.Пытьев, И.А.Шишмарев, Б.И.Волков и др. - М.: йзд-во Моск.

ун-та, 1985. 69 с.

пособии

приведены

традиционные

задачи,

отражающие

основ

ные

понятия теории вероятностей

и математической статистики, и

задачи,

важные

для

приложений и

отвечающие

специфическим требо

ваниям

физического

образования.

Пособие

соответствует книге

Ю.ГТ.Пытьева

И.А.Шишмарева "Курс

теории

вероятностей

матема

тической статистики

для

физиков" (Изд-во

Моск.

ун-та, 1983).

Для

студентов третьего курса физического

факультета.

Подписано

печати

28.12.84.

Формат

60x90/16.

Бумага

офс,

№ I.

Офсетная печать.

Усл.печ.л. 4,25. Уч.-изд.л. 3,62. Тираж

600 экз.

Заказ №

{ОУ,<

Цена

10 коп. Заказное

Ордена "Знак

Почета"

издательство Московского

университета

103009, Москва, ул.Герцена, 5/7.

Типография ордена "Знак

Почета"

язд-ва

МГУ.

II9899, Москва,

Ленинские

горы

077(02)-85 -

заказная

(С)

Издательство

Москов-

Рецензенты:

проф. А.А.Арсеньев

проф. О.А.Хрусталев

Юрий Петрович

Пытьев

Илья Андреевич

Шиимарев

Борис Иванович

Волков

Евгений Николаевич

Терентьев

ЗАДАЧИ

ПО

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Заведующий редакцией

С.И. Зеленский

Редактор

Ф.И. Горобец

ского университета,

1985 г.

Предисловие

Настоящий

задачник отвечает семестровому курсу

лекций,

читаемому на физическом факультете

МГУ и

отраженному

книге

Ю.П.Пытьева

И.А.Шишмарева

"Курс теории вероятностей

ма-

тематической статистики для физиков". Задачник содержит

как

традиционные для курса теории

вероятностей

задачи,

основ-

ном

взятые из известного задачника Л.Д.Мешалкина, так и

за-

дачи,

иллюстрирующие применение методов теории

вероятностей

физических

исследованиях.

ЗАДАЧИ

§1.

Пространство элементарных событий. Алгебра

событий

(TTj)

Мишень состоит из десяти

кругов, ограниченных кон-

центрическими окружностями с

радиусами

< 1ю •

Событие An -

попадание

круг радиуса

Что

означают

сооытия B =

FRA

; С= Ка

; D = A

°A

= A^JYAA,?

,(нак о

обозначает

симметрическую

разность

множеств:

А°В

- (AUB)\(AftB).

1.2. Доказать,

что для любых событий

А и Е> соотноше-

ния А с В, А => 5, AUb = B, = ^ равносильны.

1.3.

Доказать

равенства:

„ ,

71Л

а) Tl_=AVBi д) А;В-САВ>(Д

б)

ДиВ

= ABi е

)

А;

= Д A

в) AUB= (ABWiA-B); ж) ~ Z

г) AVb =

(АВ)1Г(Д

В);

~ К.•

1.4.

Рабочий изготовил

К, деталей.

Пусть событие

Ас

заключается

в том,

что i-я

деталь имеет

де-

i|.i'KT.

Записать событие, заключающееся

в том,

что:

в)

ни

одна деталь не имеет

дефектов;

б)

хотя бы одна деталь имеет

дефект;

в)

только одна деталь имеет

дефект;

г)

не более ДБух деталей имеют

дефекты;

д) по

крайней мере два изделия не имеют

дефектов;

)

точно два изделия

дефектны.

1.5. Даны р - Р

(А),

Р(В),

Р(А1/В). Найти

(А ° В) ,

Р(АВ), Р(ААВ).

1.6.I. Известно,

что

совместное наступление

событий

At и Ajl

влечет наступление события

А .

I) Доказать-, что

Доказать следующее неравенство для

вероятностей

трех событий

А* , А

, А

: если AiA^AjcA , то

РСА^РСАО + РСАг^ +РСАО-*.

§2.

Понятие

вероятности

2.1.

Монета бросается до тех

нор,

пока

раза

подряд

она

не выпадет одной и той же стороной. Каждому

возможному

исходу,

требующему

IX бросаний, припишем

вероятность

2Г* •

Описать пространство

элементарных событий.

Найти

вероятность

следующих событий:

а)

опыт окончится до

6-го бросания;

б)

потребуется четное число

бросаний.

2.2. В

лифт 8-этажного дома на первом этаже вошли

человек.

Предполагая,

что каждый из них

равной

вероятнос-

тью

может выйти на любом из этажей, начиная со второго,

най-

ти

вероятность того, что все пятеро выйдут на разных

этажах.

2.3.

Колода игральных карт содержит

52 карты: 4 масти

по 13

карт в

каждой.

Вытаскивание любой

карты

одинаково

ве-

роятно. Вытащили 6

карт. Описать пространство

элементарных

исходов, а также:

найти вероятность того, что среди этих

карт

будет король

пик,

2) найти

вероятность того, что среди этих

карт

будут представители всех

мастей,

найти наименьшее число карт, которое

необходимо

взять из

колоды,

чтобы вероятность того, что среди

них

встретятся хотя

бы

две

карты

одинакового

наименования, была

более

1/2?

людей садятся

случайным образом

за

круглый

стол.<)Найти

вероятность того,

что:

а)

два фиксированных лица

сядут

рядом,

причем В

слева от

А ;

три фиксированных лица

А , В

сядут

ря-

дом, причем А

справа от

В , а С слева;

найти те же вероятности

случае, когда

люди

садятся по одну сторону прямоугольного

стола.

2.5.

Из

последовательности чисел 1,2.,.

.^fl

наудачу

выбираются

два числа. Какова

вероятность,

что одно из

них

меньше К ,

а другое больше

К ,

где

4 - про-

извольное целое

число?

?.б. В

лотерее

ft/ билетов,

из которых

Hv выигрышные.

Как велика вероятность выигрыиа для того, кто имеет

К би-

летов, ?

2.7. В

партии, состоящей из

N изделий, имеется М

бракованных.

Наудачу выбирается

изделий из этой

партии

(1X6 N) .

Чему равна вероятность того, что среди

них

окажутся ИТ» бракованных (

СП/

6 М) ?

2.8. В

чулане находится

пар ботинок. Из них

случай-

но выбираются

2.Z

ботинок

(Z1

СИ.)

Какова

вероятность

того,

что среди выбранных

ботинок

а)отсутствуют

парные;

б)имеется

ровно одна комплектная

пара;

в)имеются ровно две комплектные

пары?

2.9. Группа,

состоящая из

2 N

мальчиков

и 2N дево-

чек,

делится

случайным образом

на две равные

части. Найти

вероятность того, что

каждой части число мальчиков и

де-

вочек одинаково. Вычислить эту вероятность, используя

фор-

мулу

Стирлинга.

2.10.

Каждая из

палок разламывается на две части

длинную и

короткую.

Затем 2,11/ полученных

обломков

объединя-

ются

в IX пар,

каждая из которых образует

новую "палку".

Найти вероятность того,

что:

а)все

обломки

объединены в первоначальном порядке;

фвее

длинные части соединены с

короткими.

2.11. Показать,

что более вероятно при

одновременном

бросании

четырех костей получить хотя бы одну единицу,

чем

при

бросаниях двух костей получить хотя

бы

один раз

две

единицы.

2.12.

Получить биноминальное распределение как

предель-

ный случай гипергеометрического при

!Х> —*• оо, к= р!Х»,

р = СОМ/si

0<Р<1, - фиксированы:

г\

г*

iv»-k

-Ц^ — ей

< (1-рУ*-

гь

2.13. В

статистической механике рассматриваются

механи-

ческие системы, состоящие из

Ч неразличимых

частиц и

\Ъ

ячеек,

каждая из частиц попадает

одну из ячеек.

Состояние

такой системы описывается как распределение

частиц по

ячейкам

определяется набором

чиселО-$Ш^6

1 (C~l,.-.,tl)

Р7

где

число частиц

1-й ячейке.

Фотоны,

атомные ядра

и атомы, содержащие

четное

чис-

ло элементарных частиц, подчиняются

статистике Бозе

- Эйн-

штейна, в

которой рассматриваются только различные

состоя-

ния

и каждому

из них

приписывается

равная

вероятность.

Найти ее.

2.14.

Электроны, протоны, нейтроны

подчиняются

ста-

тистике Ферми

Дирака,

которой предполагается,

что:

а) в одной ячейке

не

может находиться более

одной

частицы;

б)все

различные

состояния,

удовлетворяющие

перво-

му

условию, имеют

равную вероятность. Найти

эту

вероят-

ность

случае, когда имеется

Т-

частиц

и ячеек,

^бИ (

см

задачу

2.13) .

2.15.

Пусть имеется ча :тиц

и И/ ячеек, причем

имеет место статистика Бозе

Эйнштейна

(см.

задачу

2.13).

1)Доказать,

что

вер ытность наличия

в фиксирован-

ной ячейке

частиц

равна

п - JUL

jir

Л к ~" г ъ

rut

ъ-±

2)Показать, что

3)Доказать,

что

если П/ и %

неограниченно

воз-

растают, причем

среднее число частиц

Ъ/У\> , приходящихся

на одну ячейку,

стремится к <оо , +

(правая

часть известна под

названием

геометрического

рас-

пределения)

4)Доказать,

что

вероятность

того, что ГУ1

ячеек останутся пустыми, равна

Pm,= (C£ Ch-w-tVC^n-f

2.16. Если при распределении <t

частиц по

Ц/ ячей-

кам

все

ьД распределений

будут иметь

равную вероятность,

то

говорят

статистике Максвелла

Больцмана

(см. зада-

чи

2.13 и 2.14 ), Найти

вероятность

того, что:

ei)первая

ячейка содержит

КЧ частиц,

вторая

- К^

частиц

и т.д., где

К.,

+ К

•••

К*.

- V,

(5)при ни

одна ячейка не останется

пустой;

в) при

h/ =

останется пустой только одна

ячейка.

2.17. В

квадрат

вершинами (0,0) , (0,1) , (1,0) ,

(1,1)

наудачу брошена точка

М .

Пусть

СЧ»

?) -

ее

координаты.

Предполагается,

что

вероятность попадания

область, лежащую

целиком внутри

квадрата,

зависит лииь

от

площааи

этой области

пропорциональна

ей.

Доказать,

что для

О^ОС,^ € 1

Найти

для О < Ot < 1

В) r)P{m<vx(^)<2};

Д)

2.18.

На

бесконечную шахматную

доску

со

стороной

ква-

драта CL

бросается наудачу монета диаметром

2,t<&

Найти вероятность того,

что:

а) монета попадает целиком внутрь одного

квадрата;

монета пересечет не более одной стороны

квадра-

та.

2.19.

Два лица независимо друг от друга имеют

равную

вероятность прийти

метро

любой момент промежутка

време-

ни Т •

Найти вероятность того, что время ожидания

одним

другого будет меньше

t (О < i.< Т).

2.20.

Пусть

^ , Ч определены

также, как

в задаче

2.17. Найти

вероятность

того,

что

корни

уравнения

+ £ = О

а)действительны;

б)оба

положительны.

2.21. В

прямоугольный треугольник

ABC

катетами

АВ =1

ВС=К

бросается наудачу точка

М .

Найти

вероят-

ность того,

что

одновременно происходят

события

и^о^сЯ^ , где -

длина перпендикуляра, опущенного

из

точки

М на АВ , - любые.

2.22.

На окружность единичного радиуса наудачу

ставят

ся три точки

А , В ,С .

Какова вероятность

того, что

треугольник ABC остроугольный?

2.23. 3

сфере радиуса

случайно

независимо

друг

от друга разбросано

точек.

Чему равна вероятность

того,

что расстояние

от

центра до ближайшей точки будет не менее

Ъ ?

2)К

чему стремится

вероятность,

наЯденная

в п.1.,

если ^

2.24.

Из

последовательности

чисел

....> N ото-

браны

наудачу

чисел

и расположены в

порядке

возраста-

ния: ОС

.<ОС

"^ Хц, .

Какова вероятность того,

что

< М ?

Найти предел этой вероятности, когда

N->°°

так, что

M/N—*-cl>0.

2.25.

Дворцовый чеканщик кладет

каждый ящик,

вмес-

тимостью в УХ/

монет,

|ТГ1

<1Х фальшивых.

Король

подозрева-

ет чеканщика и подвергает проверке монеты,

взятые наудачу

по

одной в

каждом

из

К ящиков.

Какова вероятность

того,

что чеканщик не будет

разоблачен?

Рассмотреть случай

КЬ = К= 100.

2.26.

Найти вероятность того, что при раздаче

колоды

в 52 карты четырем игрокам

первый из них получит ровно

пар "туз-король

одной

масти".

2.27.

Пусть

А«,А

»..., Ац. -

случайные события.

До-

казать

формулы:

L=1

§3.

Условная вероятность. Формула полной

вероятности.

Формула

Байеса

<2^

Студент пришел на экзамен, зная лишь

из

вопросов

программы. Экзаменатор

задал студенту

3 вопроса.

Используя понятие условной вероятности, найти

вероятность

того,

что студент знает все вопросы. Найти ту же

вероят-

ность,

используя классическое определение

вероятности.

3.2. В

изображенных ниже пяти схемах, образующих

це-

пи элементов с одним входом

одним выходом, отказы

эле-

ментов являются независимыми. Отказ любого из

элементов

приводит к

прерыванию

сигнала в той ветви

цепи,

где

нахо-

дится данный элемент. Известна вероятность неотказа

- на-

дежность р

к -го элемента (соответственно

= 1- Рк

вероятность

отказа) .

Вычислить надежность

каждой

из

схем.

3.3.

Разыскивая

специальную

книгу, студент

решил

обойти три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково

ве-

роятно:

есть в ее фондах книга или

нет. И

если книга

есть,

го одинаково вероятно: занята она другим

читателем

или

нет.

Что более вероятно

достанет студент книгу или

нет, если

известно,

что библиотеки комплектуются независимо одна

от

другой?

3.4.

Стрелок

поражает мишень с вероятностьюРд=0.б

отрелок В -

вероятностью

=0.5 и

стрелок

С -с ве-

роятностью р

= 0.4 .

Стрелки дали залп по мишени и

две

пули попали в

цель. Что

вероятнее:

попал

С в

мишень

или

нет?

3.6. Шместно,

что

Ъ%

всех мужчин и

0.25?

всех

жен-

щин - д&отонхки.

Наугад выбранное лицо страдает

дальто-

низмом. Кмова

вероятность того, что это

мужчина? (Считать,

что количество мужчин и женщин

одинаково) .

1.6.

На фабрике, изготовляющей болты,

машины А , В .

производят соответственно

25, 35

всех изделий.

их

продукции

брак составляет соответственно

5, 4 и

2%.

Случайно

выбранный из продукции болт оказался

дефектным.

Какова вероятность того, что он был произведен машиной

А ;

машиной

В ; машиной С ?

3.7. Известно,

что

вероятносто

случая:

два близнеца

одного пола

s; 0.64, причем

вообще вероятность

рождения

мальчикам 0.51.

Найти вероятность

того,

что второй

из

близнецов мальчик,

при

условии, что первый из них

маль-

чик.

3.8.

Вероятность

того,

что письмо находится

пись-

менном столе, равна р , причем с

равной

вероятностью оно

может быть

любом из восьми ящиков

стола. Просмотрели

семь ящиков

письма не

нашли.

Какова

вероятность, что

письмо

в восьмом ящике?

3.9.

Бросают три

кости.

Какова вероятность того,

что

хотя

бы

на одной из

них

выпадет одно

очко, если

на

всех

трех

костях выпали разные

грани?

3.IC. Известно,

что при бросании

костей

появилось,

по

крейней мере, одна единица. Какова вероятность

того,

что появились две или более

единицы?

ЗЛ1.

т) Доказать, что если

р (А)= 0.9,

Р(В)

= 0.9 ,

то р (А1В)>0.Й?5.

2)Доказать, что Р(А

|А

)>Л~Р(A^/Pfai)

3.12. Пусть

(А)=

р,

Р(В)=1~Я , где &<Р . Оце-

нить pi'.AI

В) сверху

и снизу.

3.13. Известно,

что

события

А и В независимы

не

пересекаются. Найти mln. { Р(А), Р (В)^.

3.14. Даны

три попарно

независимых события, которые

однако чее вместе

произойти

не могут.

Предполагая,

что

все

они

имеют одну

ту же

вероятность р ,

определить

наи-

большее возможное

значение р .

3.15. "i

жгри

из

3-х

человек два члена жюри

независимо

друг

друга принимают правильное решение

с вероятностью

р , а

третий для выяснения решения бросает монету.

Окон-

чательное решение выносится

большинством голосов. Другое

жюри

из одного человека выносит правильное решение

с веро-

ятнее; ьг

Р .

Какое из этих жюри выносит правильное

реше-

на с:

большей

вероятностью?

t 3.16.

Из урны, содержащей

белых

и 2

черных

шара,