Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. и др. Задачи по теории вероятностей и математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

•М"

коэффициента корреляции не следует независимость

слу-

мйнмх величин.

8.20.

Найти математическое ожидание и

дисперсию случай-

на величины ,

равной сумме случайного числа

У неза-

»м. имых одинаково распределенных случайных величин

если

известны Mv, Sv, 4^4. *

8.21.

Найти математическое ожидание и

дисперсию случай-

ной

величины ^ ,

распределенной по закону

9(\

c Ib+V

итппенями свободы,

если ft, -

заданное число,

у - слу-

чайная величина распределенная по биномиальному

закону

Plv^bC. р

а-рГ"

, к-од

,л.

8.22.

Найти математическое ожидание и

дисперсию случай-

на ^

мой

величины

где <Z

- -

число,

a ^^Affafy

независимы и нормально распределены. Ответ

выра-

»итк

через параметр 5"

= Vfj^" '. ^Распределение £

начинается

нецентральным с параметром нецентральное-

г, S*).

8.23.

Как распределена сумма двух независимых

случайных

величин,

имеющих нецентральное распределение Пирсона

и (см.

задачу

8.22).

8.24. В полупроводниковом

детекторе под действием

частиц

определенной энергии генерируются электронно-дырочные

пары.

Пусть в детектор попало

К частиц,

среднее

К ,

дисперсия

4>К

числа частиц известны. Вероятность образования одной

элек-

тронно-дырочной пары под действием одной частицы равна

р .

Найти среднее число и

дисперсию возникающих элек-

тронно-дырочных пар.

8.25. В

триоде катод излучает

электронов, с

вероят-

ностью р

электрон попадает на анод и

ГУ

вероятностью 1-р

на сетку.

Найти

С среднее число и дисперсию числа элек-

Vc тронов, попавших на анод Vtu , на

сетку V

и COV(Va.,Ve) .

Известно

-Ч Ч

г^

8.26. Пусть 1Ь -

число

инжектированных

электронов

из

эмиттера

в базу, из них

рекомбинировало

К ггггтт— УЬ

попало

в коллектор.

1Ъ=1Ъ

+П

, о( -

вероятность пролета

элек-

трона

через базу

в коллек

тор. Известно К, ZblX =б

Найти

ГЬ

,1Ъ

,Ч>1Ь

,0ЬГЬ

к и

ССУУ(ГЬ

1Ъ

8.27. Показать,

что

для

любой случайной величины А7£

оо

любой

постоянной С

имеет место

неравенствоМ

причем знак

равенства достигается лишь

при

С=М£.

8.28.

Пусть

даны

две случайные

величины и ^с

= 6*, и коэффициен-

том

корреляции

у- [М^-а^-• 6

) • Найти наи-

лучшую в среднеквадратичном аппроксимацию случайной величины

линейной комбинацией C

i-7

8.29. Для случайной величины h, , М ^ <Оо доказать не-

равенство

8.30.

Обозначим

Н гильбертово пространство случайных

величин .

Скалярное

произведение

определим равенствомI

расстояние между

^ и £ . Пусть линейное подпространство

вН • Доказать, что

если и

только

еслиО

для

всех L (т.е. когда

Jj - ортогональная

проекция

^ на L) .

8.31. Случайная

величина

£ в

задаче

8.30 называется

наилучшим приближением ^ случайными величинами

из

L . До-

казать единственность наилучшего приближения.

8.32. Воспользовавшись решением

задачи

8.30 ,

дать

гео-

ЩТрический

вывод

неравенства

Крамера

- Рао.

8.33. Согласно

теореме Больцмана черное тело

за

из-

ч у

in.

одной моде

(волна

определенным направлением поля-

шции

) случайное

количество фотонов, описываемое

геометри-

Р {fc=hWl- «оср(-

I «им распределением вероятностей

t*» j v

ki'/

„г

collet -

абсолютная температура черного

тела,

цмгргия излучаемого фотона,

V -

частота волны,

"fb - постоян-

ММ

Планка,

|< -

постоянная Больцмана.

Найти среднее значение

и чисперсию

числа фотонов,

испускаемых черным телом за I с в

• •ними

моде.

М.34.

Рассчитать среднее

и дисперсию

числа пустых

ящиков

г-

задаче

4.1.

Н.35.

Число 1г(Т)

эмиттированных фотоэлектронов в про-

межуток времени

Т (при фикси-

рованной

интенсивности падающе-

го

светового

излучения1) описы-

вается

пуассоновским распреде-

лением ""ПУ^'П* „ „ ,

Pl*(i>i}=-e

гдео1=5ь1, Ji - коэффициент,

характеризующий чувствительность

фогодетектора. Найти распределе-

ние вероятностей

количества

из-

лученных

фотоэлектронов

П,

(Т)

при

условии,

что

интенсивность

светового потока

I описывается

распределением

вероятностей

плотностью Wj (х) , ЭС^О.

Рассмотреть случай

—

Фотодетектор:

катод

(фоточувстви-

илмшя поверхность);

.'•падающее световое

иэлучиние; 3-эмиттиро

•Анмые

фотоэлектроны;

коллекторный

анод

"5*

-ос

/б

х>, о

Найти

среднее

дисперсию

П.(Т).

8.36.

Пусть

точках

Х=

1,2,... находятся атомы

одно-

родного вещества,

которые независимо друг от друга могут

неполностью

5(E) (5(E)

называется также

сечением поглоще-

нии, Е -

энергия

фотона)

поглотить фотон

и с вероятностью

\ Ь(Е)

без

рассеяния пропустить

его. Считая,

что

фотон

Метает в

вещество

по

оси

ОС , найти

а) распределение вероятностей проникновения фотона

п<

глубинам (вещество-бесконечной толщины) ;

б) вероятность прохождения фотоном слоя вещества

тол>

щиной

в К> i атомов;

в) вероятность прохождения за

атомов

в веществе

бесконечной

толщины;

г)средний

пробег фотона

веществе бесконечной

тол-

щины;

д)дисперсию

пробега фотона

веществе

бесконечной

толщины.

8.37.

Пусть о(

, с(

...

-последовательность независимых

случайных чисел,

равномерно распределенных

интервале

(0,1)

Дискретную целочисленную случайную

величину

^ , распределе-

ние

вероятностей

которой задано рекуррентной формулой

к+1

= Рк- ,

моделируют

в ЭВМ

по

представленному

ниже

алго-

ритму:

Среднее число арифметических операций для

моделирования

оо

пропорционально

величине

ц-.р

которая

харак-

к-о

теризует эффективность указанного алгоритма

моделирования.

Найти S в случае:

а)биноминального распределения

< Р

(1-РГ"

, г(к)=

п-к

Рк+t 14.-К р

+- Л. 4 -

б) распределения Пуассона с

параметром

в) геометрического

распределения с параметром р

г) гипергеометрического

распределения

* Е'К

_C*

С ^oxfo^-^K^minfn^)

Г к. С

Кк) =

Рк»! C^-KXt-K)

а.38.

Выразим расстояние между атомами

ЛХ и коэффици-

ент поглощения

вещества единицы длины

через число

!Ь

Ifимon, приходящихся

на

единицу

длины:

дх = 1Лъ

^л

= 6(Е>1г= 6"(EVa°c..

условиях задачи

8.36

оценить

вероятность

ста

расстояния X в

веществе

при ДОС-» О.

Показать,

что

выражение

для

вероятности проле-

Гп

расстояния X получается

из двух

предположений: а) ве-

I "Hi,ость прохождения

фотоном длины ДХ.

от точки

X до

X. fAOC. не

зависит от

X : | =

плотность Р^

(ос)

непрерывна.

;«.39.

Пусть поглощение

веществом

фотонов

энергией

(Иридоляется несколькими независимыми процессами с коэффи-

циентами поглощения (Е)=6"

(Е)12

( 6"

(Е)-

сечение

пог-

ЮВсния, ft*. -

линейная

концентрация, соответствующая К-му

ttpo'irccy, К.*

• Найти

выражение для

вероятности про-

II" I

1 фотоном расстояния X в веществе.

§9. Законы больших чисел

•У

. I. Доказать,

что

если

случайная величина Ь, такова,

п МС^

существует

(d>0

постоянная)

, то

ъ) $ Ме

У-е

аь

Ч.,'

Пусть ("Х)>

неубывающая функция.

Доказать, что

Мчи ••.•/•чествует М

то

v/ ''.3. Показать,

что

для

пуассоновского процесса

(<li)

= = ,«=0,1,... ,

мощностью (\>0,

а,.

ИМ» *• г место сходимость

по вероятности ^ -fc->oo '

9Л. Выяснить, применим ли

закон больших чисел

к после

довательностям

попарно

независимых случайных величин ^

К=1,2,...>

указанными законами распределения вероятностей:

9.5.

Оценить

в условиях теоремы Бернулли и в условиях

центральной предельной

теоремы необходимое

число

испытаний

схеме

Бернулли, чтобы

для

любого

0<р<1 , отклонение

частоты

успехов

от

вероятности

не

превышало Ь - С.02 с

вероятностью 0.95.

' 9.6. Для

случайной

величины ^ с плотностью распреде-

ления = ЗЕ^Г

ХъО, Пу - неотрицательное целое

число,

доказать

неравенство Р> •

9.7.

Дана

последовательность

случайных

величин К=

=1,1,..., для

которых

h £ С и'коэффициент корреляции

-> О

при 1

—•Доказать,

что к

данной

последователь-

ности

применим

закон больших чисел (теорема Бернштейна)

§10. Центральные

предельные

теоремы

10.1.

Вычислить

характеристические

функции

для следую-

щих

законов

распределения:

а"} равномерного распределения в

интервале

(-a,ft)J

6) биноминального распределения;

в") распределения Пуассона; ^

1' г") распределения Коши:

р(ос)

= — ^.^а. '•>

1 , л) показательных распределений с плотностями

D ГтЛ- f

Х <0

iae~

, 00,0, а>о,

ОО =

</ге"

,ос|

(х-а)

ё)

нормального распределения:

р(х)=.

V23C 6"

10.2. Для случайной величины ^ вероятность события

К =

0,1,1,...

определяется вероятностью достижении

pinaxoR в

схеме

1Ы-К испытаний Бернулли с вероятностью ус-

мши р . Найти

закон распределения

f^ М|

10.3. Доказать,

что для

вещественкокхарактеристической

функции справедливы неравенства:

ь) 1=0, i, а,...,

й) 1

+ {ищ

10.4. Доказать, что

следующие функции не могут

быть

Mjm

к туристическими

функциями:

-lilt 1 .

<0 е , i- uic '

б)

вещественная функция,

не обладающая свойством

f/lN

fi-tMtui

о, m>i;

г) = CosC-t

'10.5. Установить,

будет

ли выполнена центральная пре-

пон 1.чпя теорема для

последовательностей взаимно независимых

пиутйных величин с указанными законами распре-

л>

пиния

вероятностей:

«О Ри«

Ыг>

10.6. Показать,

что функция

распределения случайного

km NttW* .,/n

Пр0Ц( оса с1т)

= 7

=I=;

где

пуассоновский

r\f мм\ 1 (<H0

-<*+ ,

процесс

с мощностью CJ,- : = -^j-£

к=0,1

при{.-»<*>,

онолится к

функции

распределения стандартного нормального

процесса.

10.7. Игральная

кость

подбрасывается до тех пор, пока

ОПачи

сумма выпавших

очко?, не гфевысит 700. Оценить вероят-

иооть того, что для эгого потребуется

более

210 бросаний?

И*н*е 180 бросаний?

от

190

до

210 бросаний?

10.8. На улице

стоит человек

и продает газеты. Иредпо-

«оним, что каждый из проходящих

мимо

людей покупает газету с

Вероятностью 1/3. Пусть ^ означает число людей, прошедших

мимо продавца за

время, пока он продавал

первые

100 экземп-

ляров

газеты.

Оценить плотность

распределения £

§11. Конечные

однородные цепи

Маркова

II.1. Вероятности

перехода

за

один

шаг

задаются

матрицей

( 1/3

1/3 1/3

У г

1/2

1/4

1/2

i/г

1/2

Найти:

а)

число

состояний;

б)

за сколько шагов из второго состояния можно

пер<

ги

третье;

в) вероятности перехода за два

шага.

11.2.

Точка движется

по

целочисленной

прямой,

переходя

за один шаг из точки

L в

точку

L~1 с вероятностью р , в

точку L с вероятностью и в

точку

L+1 с

вероятностью

Найти

матрицу

вероятностей

перехода;

за

оди

:иаг;

за два

шага.

VH.3.

Электрон может находиться на одной из орбит

за

чисимости

от

энергии. Переход

с L-й орбиты на /-ю проис<

ходит за одну секунду

с вероятностью

Ci-e*cp(-<*IL-jl)

С t,/

=4,2, ...).

Найти:

а) вероятности перехода за

две

секунды;

б) постоянные

Cj .

II.Ч. Рассмотрим

цепь Маркова

двумя

состояниями £±

с вероятностями перехода Р^ = р

2г

~р, Р

-Ри~ 1

(0<p<-i, начальными вероятностями р j =

Plt^H-*- .

Найхи

<\ и

соответствующие предельные вероятности pj

О II.5. Пусть

частица случайно блуждает

единичным uiaroi

по

бесконечной целочисленной

прямой.

Найти

вероятность

пере

хода из

точки О

точку Уп, за

К» шагов, если вероятность

того,

что

из общего числа У\. шагов вправо сделано

К ша;ов,]

задается

биноминальным законом с параметром р?0

II.6. Пусть^, ... -

последовательность нез*

)иси-

мых случайных величин, принимающих значения

- 0,1,2.,,.. с

вероятностями

Рк

- . Вероятности переход!

Nf яимищт от

номера испытания

равны

что

последовательность величин =• +"•+

•

mil ммрковской, и

нпйти

для

нее матрицу

ЗГj вероятностей

^fttHnnii

на один

шаг.

- II.7. Пусть £>i> ^a'"

последовательность

независимых

|||чпИ1Ых величин, принимающих

значения

+1 и -I с вероятнос-

м«н р

1-р . Показать,

что

последовательность величин

Й ^im *

не

является

марковской.

< I i. й.

Пусть - независимые

одинаково

распреде-

миниг

олучайные

величины, принимающие

значения

-I

+1, со-

Ммтстпе нно

с вероятностями Р

1-р . Положим

Йудит

ли

последовательность

С п. цепью Маркова?

Существует

ли

|||)ИДП

»!,->• ОО?

§12.

Случайные

процессы

!!,!.

Излучение представляет собой парциальные

потоки

ЧИСТиц. различагчиеся

энергией

Е; , = j

с_

иначений Ej ,

Пусть

K(Ej) -

вещественная

функция,

. . определенная

на

Ь> так. чтоСй

» I ХШ

модели излучения

множество

Ь>

спектр

энергий, функция

задает

распределение на

l f — tb

спектре

энергий ё> . Пусть

е известно, что: а) для случай-

1 * * * " *

•

* с*

НЫХ величин

'4i (it) • Равных

* "V i»-t h. числу излученных

частиц

энергией £/

в непересе-

(Мшисеп

временные

интервалы ,

-С

— 4,..., события

Ity независимы;

б)

вероятность излучения

чистиц с энергией Е^с в

Интерполе длины i не

зависит

от его

расположения

на

оси

iilHiotm;

ri)

вероятность излучения одной

частицы с энергией

fy*

в интервале времени

длины Ь

при

4.-*

с точностью

Hp'

.•h-i'hlil'

интервалы и длительности в обозначениях не

рп )личагтся.

до бесконечно малой более высокого порядке,

пропорциональна

длительности

этого

интервала, а

вероятность излучения

более

чем одной частицы

имеет более высокий порядок малости пс

сре

нениг

с Ь , т.е.

мощность

излучения.

.)= I! (N:(L)=

У:.)

К,/, \

полнее

,ь

(NUMkUWU'b), Nik)-

количество частиц,

излученных в

промежуток

времени ^ .

Показать,

что для случайных величин

N(Lf)1,...

YYL

•

ч5вт место

утверждения:

а)

события

( N(,i

... = независимы

б)вероятность

излучения

частицы в

интервале

времени hi

зависят от расположения интервала на оси

времени;

а)

вероятность излучения одной

частицы

в достаточно

малом

имrepвале иреыеки t

пропорциональна длительности этого

ин-

терваля, а

вероятность излучения более одной

частицы имеет

более

высокий порядок малости

по

сравнению с t :

P(tf(l)>^ о.

12.2. Показать,

чго условия предыдущей задачи

определят

1) векторный поток

N(;l) = (N^(1), N

(i)),

за

даваемый К* -мерным пуассоновским распределением вероятносте!

р (N^v,,..., к. (*>-*)- П

j«l /

-.^fimifi

2 hj

- '

полный

поток

век-

//\

(.с^

описываемый

пуассоновским распределе-

нием вероятностей

: . v

nvn Ow^ur. I

HV/\<(

vn» I I

' —