Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. и др. Задачи по теории вероятностей и математической статистике

Подождите немного. Документ загружается.

проложены

два вынутых

наудач-

тара

урну,

содержащую 4 бе-

• I* и 4

черных

шара. Найти вероятность

вынуть из второй

урны

'х'кый

дар.

ЗЛ7. В

трех

урнах содержатся

белые

черные

шары. В

первой

- 2

белых

и 3

черных

шара, во

второй

- 2

белых

и 2

ччрнмх

вара, а в

третьей

- 3

белых

и I

черный

шар.

Из

первой

урны переложен

шар во

вторую. После эт'-.го шар'из второй

урны

переложен

третью.

Наконец, из третьей урны

шар

переложен в

первую. *

Какой состав шаров

первой

уput представляется

наиболее

вероятным?

Определить

вероятность

того,

что

состав шаров

во

всех

урнах

остается без изменения.

3.18.

Некто знадт не

все

экзаменационные билеты. В ка-

пом

случае вероятность вытащить

неизвестный

билет будет

для ^

ниго

наименьшей,

когда он тащит билет первым

или последним?/

3.19. Из урны, в

которой

былоШ^Ъ белых

шаров иМчсрных,

потеряли

один

шар

неизвестного

цвета.

Для

того

чтобы опреде-

лить состав шаров

в урне, из

нее

наудачу были вынуты

два

ша-

1>п. Найти

вероятность того,

что

был потерян белый

шар, если

и честно,

что

вынутые

шары

оказались

белыми.

3.20. События Ac (i=l»—-

независимы,

Р (Ак)=р

Найти вероятность:

а")

появления хотя

бы

одного из этих

событий;

б)

не появления всех этих

событий;

в)появления

только одного из

них.

3.21.

Один школьник, желая подшутить

над

своими

товари-

щами,

собрал

в гардеробе

все

шапки, а

потом развесил их

с лучайном порядке. Какова

вероятность ph, ,

что хотя

бы одна

шапка попала

на

прежнее место,

если

всего

гардеробе было

крючков

на

них

И шапок. Найти

Ри.

•

3.22.

Пусть

Oj -

вероятность излучения

радиоактивным

«томом частицы с

энергией

Ej, ^ZZ

CX.j

-± , причем

тобще

вероятность излучения частицы за промежуток

временив

равна *>0 . Найти

вероятность излучения

частицы с

«нергией Е.-

за

время

§4. Последовательность независимых испытаний

4.Т В

модели идеального равновесного

лространственно-

оинородного газа

пренебрегают

размерами

частиц,

частицы

между

собой не взаимодействуют

вероятность обнаружить частицу

любой части сосуда

объемом

равна

"Vi/V » где

ЛГ

- объ-

ем

всего сосуда.

Известно,

что

сосуде находится

частиц.

Определить вероятность обнаружить частиц

фиксированном

объеме

"VI сосуда.

4.2.

Для

того чтобы узнать, сколько рыб

в озере, отлав-

ливают 1000

рыб, метят их

выпускают обратно

озеро.

При

каком

числе рыб

озере будет наибольшей вероятность

встретить

среди пойманых

150

рыб

10 меченых?

4.3. Допустим,

что вероятность попадания

цель при

од-

ном

выстреле равна

р , а

вероятность поражения цели

при

попаданиях в

нее

Какова вероятность

того,

что цель поражена, если было произведено

KU выстрелов? к

4.4. Допустим,

что

некоторое насекомое

с вероятностью^-*

откладывает

яиц, а

вероятность развития насекомого

из

яйца равна

р .

Предполагая

взаимную

независимость

развития

яиц,

найти вероятность того, что

насекомого будет

ровной

потомков.

4.5.

Вероятность единственно возможных

и несовместных

гипотез

A^A-j,— , А

об условиях

наступления

события

В ра-

вны

до испытаний соответственно

, о(

; вероятности

наступления В , соответствующие

гипотезам, равны

Pi,

>Р

Известно,

что

при

независимых испытаниях

событие

В нас-

тупило

КУ1/4 раз.

Известно также, что при следующей серии

в 1ъ

испытаний событие

В наступило раз.

Доказать

следующее

свойство формул

Байеса:

апостериорные

вероятности гипотез,

вычисленные

после второй серии испытаний

учетом

вероятнос-

тей

этих гипотез после первой серии испытаний, всегда

равны

вероятностям, вычисленным

просто для серии

в l^^^^z испыта-

ний, в

которой

-обытие В наступило раз.

4.6. В

партии из

изделий имеется

М <• N дефектных.

Из партии наудачу отобрано

гъ < N

изделий, которые

подверга-

ются сплошной проверке.

При

проверке

возножны ошибки;

так

вероятностью р

дефектное изделие признается

"годным" и с

вероятностью с^

годное

- "дефектным". Найти

вероятность

то-

го,

что

изделий будут

признаны " дефектными".

4.7.

Пусть имеется

ящиков. В

эти

ящики

независимо

друг от друга случайно бросают

К дробинок. Предполагается,

что

вероятность попадания любой фиксированной дробинки

в у -й

ящик равна

1/N

для всех

1,4.,..., N . Обозначим =

fi»

число пустых ящиков. Показать, что

закон

||'ч-прсделения

числа пустых ящиков

p. (•VjN)

задается

форму-

лами

I и I

или

рекуррентной формулой

Р fU (ft+l, =

^ =

4.8.

Пусть имеется

Л/ ячеек, в

которые бросают

незави-

симо комплектов, по №

частиц в

каждом

комплекте.

Час-

тицы

каждого комплекта размещаются

ячейках по одной,

при-

мем все

возможных размещений считаются

равновероятными.

Положим

КЪ

=n/WU ,

где

IX -

общее число частиц

в 1Ъ ком-

плектах. Обозначим C^j

число пустых ячеек.

Показать,

что закон

распределения

числа пустых ячеек задается

формула-

V- V

4.9.

Ведется стрельба до первого попадания.

Выстрелы

и--щиисимы

и вероятность попадания при

каждом

выстреле

равна

р .

Какова вероятность того, что потребуется

6 выстрелов,

по пи

известно,

что было сделано четное число

выстрелов?

4.10.

Ведется стрельба до первого попадания.

Выстрелы

независимы

и вероятность попадания при каждом выстреле

равна

Р .

Какова вероятность того, что первые два выстрела

не-

удачны?

§5.

Распределение

Пуассона

5.1. Среди

семян пшеницы

0.6%

семян сорняков. Какова

ве-

роятность при

случайном

отборе

1000

семян обнаружить не

менее

семян

сорняков;

не более

семян

сорняков;

ровно

6 семян

сорняков?

'5.2.

Книга

в 500

страниц содержит

опечаток.

Оценить

вероятность того,

что

на случайно выбранной странице не

ме-

нее

3 опечаток.

• 5.3. Известно,

что

вероятность выпуска сверла

повышен-

ной хрупкости

(брак)

равна

0.02.

Сверла укладываются

ко-

робки по

100 штук.

Чему равна вероятность

того, что:

а) в

коробке

не

окажется

бракованных сверл;

б)

число

бракованных

свйрл окажется

не

более

2) Какое наименьшее количество

сверл нужно класть

в ко*

робку

для

того, чтобы

вероятностью,

не меньшей

0.9, в ней

было не менее

100 исправных?

5.4.

Сколько изюма

среднем

должны

содержать

калорий-

ные булочки

для

того,

чтобы вероятность

иметь

булочке

хотя

бы

одну изюмину, была не менее

0.99?

5.5.

Пусть

вероятность частицы, вылетевшей

из

радиоак-

тивного источника, быть

зарегистрированной счетчиком равна

I/I000G. Предположим, что

за

время наблюдения из

источника

вылетело 30

ООО

частиц. Какова вероятность того, что

счетчик:

а*) зарегистрировал

более

10 частиц;

б) не зарегистрировал

ни

одной частицы;

в) зарегистрирует

ровно

3 частицы?

5.6.

Какое

наименьшее

число

частиц в

условиях

предыдуще(

задачи должно вылететь из источника для

того, чтобы с вероят-

ностью,

большей

0.99,

счетчик

зарегистрировал

более

3 частиц'

* 5.7. Предположим,

что при

наборе книги существует

веро-

ятность

р=

°го,

что

любая буква будет набрана

непра-

вильно. После

набора гранки

прочитывает корректор, который

обнаруживает каждую

опечатку

с вероятностью После

корректора

автор,

обнаруживающий каждую

из оставшихся

опе-

чаток с

вероятностью t = 0.5. Найти

вероятность

того, что в

книге

со

100

тысячами

печатных

знаков останется после

этого

не

более

10 незамеченных опечаток.

5.8.

На

лекции присутствует

200

человек.

Найти вероят-

ность

того, что К

человек из

присутствующих родились I

мая

родились

ноября.

Считать, что

вероятность

рождения

фиксированный день равна

1/365.

Вычислить

эту

вероятность

при К, = I и -6 = 2. Найти

вероятность того,

что

число

ро-

дившихся I

мая

и 7

ноября не больше

§6. Локальная и интегральная теоремы

Муавра

- Лапласа

6.1. Известно, что вероятность

рождения мальчика

прибли-

«ительно

равна

0.515.

Какова вероятность

того, что среди 10

тысяч новорожденных мальчиков будет не больше, чем девочек?

6.2. Для лица,

дожившего

до

20-летнего возраста, веро-

ятность

смерти

на

21-м

году жизни равна

0.006. Застрахована

группа

в 10 ООО

человек

20-летнего возраста, причем каждый

^страхованный

внес

1.2

рубля

страховых взносов за год. В

случае

смерти застрахованного страховое учреждение выплачи-

вает

наследникам 100

рублей. Какова

вероятность того, что:

а)к концу

года страховое

учреждение

окажется

убытке;

б)его

доход превысит

6000 рублей; 4000 рублей?

?6.3. При проведении телепатического

опыта индуктор

не-

тмисимо от предшествующих опытов выбирает с вероятностью

I/?

один из двух

предметов и

думает

о нем, а

реципиент

(при-

емник) угадывает, о каком

предмете думает индуктор.

Опыт был

нопторен 100

раз,

при этом

было

получено 60

правильных

отве-

тим . Какова

вероятность совпадения при одном опыте в предпо-

ложении, что телепатической связи между индуктором и реципи-

ентом нет?

Можно

ли

приписать

полученный результат

чисто

слу-

чайному совпадению или нет?

{ 6.4. Театр, вмещающий 1000 человек,

имеет

два

разных

пхода. Около каждого из

входов

имеется свой гардероб. Сколь-

ко

мест должно быть

в каждом

из

гардеробов

для

того, чтобы в

ороднем в 99

случаях

из 100

все

зрители могли раздеться в

'ардгробе того входа, через который они вошли? Предполагает-

и,

что зрители

приходят

парами и каждая

пара

независимо от

других выбирает с вероятностью 1/2 любой

из

входов. На

сколько можно будет сократить

число мест

в гардеробе, если

Ч'Итс ли

будут приходить поодиночке и также

независимо

друг

от

друга

с равной вероятностью выбирать любой из входов?

§7. Случайные величины и функции распределения

• 7.1. и ^ независимы, причем £,-0} = Р 1^ =

"1/2., р^<Ос}=ЭС (0<Х<1).

Найти функции распреде-

ления

<0 £t

= l

z4 > О +

7.2. Найти функцию распределения суммы независимых слу-

чайных величин и £ ,

первая из

которых

равномерно

рас

пределена

интервале

С-Л,-А.) , а

вторая имеет функцию

ра

лределения F(*) •

х/ 7.3.

Пусть случайная

величина ^

имеет плотность

рас-

пределения .

Найти плотность распределения

случайной

величины:

а) ^ ~

» _

действительные

числ

б) ^ 5 в) COS^J,

г) где f (*) -

непрерывная монотонная

функция

»/7.4.

Плотность независимых

случайных величин и ^

равна:

Г О , XSO ,

<r a) ос>о , а>о-

ос

<о-

б)

Va., Ooc^CL, а>0,

-ОС

-е

Найти плотность

распределения С,

4- 7.5.

Пусть

с^

<72.

независимы

и подчиняются раслреде

лению

Пуассона с

параметрами и соответственно. Найт

условное распределение при фиксированной сумме

^t^-f

, 7.6. Доказать,

что если

величины Е, и ^ непчнисимы

их

плотность распределения

равны

то величины и \ /*£

также

независимы.

\J7.7.

Пусть

и ^ независимы

имеют плотности

рас-

пределения Р<*>и ф('й) соответственно. Найти распределен

- а) шеюс (^, >0 , б)

(.% ,

• 7.8.

Решить

предыдущую задачу, если ^ и £ равномер

распределены

на

[о, 2] и на [i, 3] соответственно.

7.9. Случайная

величина

сI

равномерно распределена

на

[р, il . Показать,

что случайная величина

£ = [<*(к+1У] Г И

фиксировано,

D] -

целая

часть

имеет "равномерное

дискрет

ное" распределение

к-©,*.,

7.10.

Показать,

что случайная величина

(1-р)]

(•< и С-]

обозначает то

же,

что

задаче

7.9 )

имеет

ге-

ометрическое

распределение

P* = PU=K} = p(l-pV\ к-0,1,- к

7.11. Показать,

что случайная величина

ли

, 0,1, К/ _

независимые случайные величины,

рас-

пределенные равномеоно

на

[о, ,

распределена

плотностью

«•роятноэти /_

Ри»= »bt =>

0<<x<1

Указание.

Применить метод математической

индукции.

7.12.

Используя результат предыдущей задачи,

показать,

что

случайная величина

£ ,

равная минимальному

Уь , при

TToi:

котором выполняется неравенство

, распреде-

лив

по закону Пуассона с

параметром («^обозначает

то

же,

что и

предыдущей

задаче) .

7.13.

Пусть заданы независимые случайные величины

oft

Л), равномерно

распределенные

интервале

(0,l) . Образуем

новые случайные

величины ^

по

формулам

p v IT CPS I***, ,

| _ у +.6- (-2.-&V cl

)

1/Z

^ iftc^ ,

|(ц|<оо,

6>0

Показать,

что

случайные

величины ^^

м п л иютея

независимыми

нормально распределенными

средним ^

и диопероией

f 7.14.

Пусть известна плотность вероятности

Рх

(эОтого,

что объект расположен на расстоянии

от линзы. Имеет

место

формула линзы

"Y"

+ X"

=F'"

где

р -

фокусное

расстояние

кинзы, а X

Y -

соответственно расстояния от объекта

до

ними

от линзы до изображения. Определить плотность

вероят-

ности р^ того,

что изображение объекта располагается

на

расстоянии "Y"

от линзы. Рассмотреть частный случай

равноверо-

ятных

расположений объекта от линзы

интервале

1ШС0Т0ЯНИЙ.

7.15.

Пусть случайные

величины % и £

независимо

одинаково распределены,

причем Р|^=0^=1-р>0.

Введем новую случайную

величину

£ равную

нулю,

если

четное число

единице,

если - нечетное

число.

При

каком значении р

случайные

величины Ь, и£

независимы?

7.16.

Пусть

£ -

целочисленная

неотрицательная случай-

ная величина,

принимающая

вероятностью значе-|

ние

К * 0,1,2

Эксперимент состоит

том,

что на

отрезок

[0.1]

независимо одна от другой бросается наудачу

^ точек.

Обозначим Хс

число точек,

попавших

на интервал

э •

^ . Доказать, что ОСс независимы.

7.17. Показать,

что последовательность двоичных

разря-

дов

о<1Ып.

числа

• •1-°l*.Z~

пред-

ставляет собой результат

И. независимых

испытаний Бернулли

параметром 1/2, если % -

случайная величина,

равномерно

распределенная

на

£ 0, i] .

7.18. В мессбауэровском

эксперименте источник

/-кван-

тов в

направлении детектора излучения испускает

мессбауэров-

ский

К -квант независимо от энергии

с вероятностью % и с

вероятностью

испускает фоновый

^-квант» Распреде-

ление энергий мессбауэровских jf -квантов оценивается

плот-

ностью распределения

Коши

Vn>/aJ

где Ео -

наиболее вероятная энергия

/-кванта. Вероятность

(эффекта Мессбауэра")

мессбауэровскому ^-кванту

быть

по-

глощенным (независимо

от энергии без потери энергии

на

от-

дачу ядру

кристаллической

решетки равна

£ .

Вероятность

про-

лета мессбауэровского -кванта с

энергией Е

через

вещест-

во оценивается выражением

«лср(-6"(E)h.),

где

6"(Е)_ сечение

резонансного поглощения

У1-

концентрация резонансных

ядер

по направлению движения

Jr-квантов.

Детектор

регистрирует

любой

у-квант мессбауэоовский или фоновый независимо

от

энергии.

Определить вероятность зарегистрировать

JT-квант в

мессбауэровском эксперименте,

§8. Моменты

случайных величин.

Математическое ожидание.

Дисперсия

8.1.

Найти

функцию

распределения

среднее значение

чис-

им бросаний монеты

задаче

2.1.

У 8.2.

Случайные

величины и £ независимы, причем

М^и Z, t

Найти

математическое

придание и

дисперсию: 4

• V8.3. Предположим,

что

озере было

ООО

рыб,

причем

1000

из

них

меченых.

Из

озера было отловлено

150

рыб.

Найти

математическое ожидание числа меченых рыб среди

отловленных.

tJQ.k.

При

бросании

К игральных

костей определить

мате-

матическое ожидание,

дисперсию и

центральный момент

3-го по-

пика

суммы очков на всех

костях.

V0.5.

Бросают две

кости.

Найти математическое

ожидание

оуммы выпавших

очков,

если

известно,

что выпали разные

грани.

8.6.

Плотность распределения величин

скорости

лмжения молекул газа имеет вид

(

распределение

Максвелла) :

,%<+*> , где -

масса молекул,

Э- температура

rasa.

Найти плотность распределения

компонднты

скорости

V^ ,

модуля скорости

1T=|v/

импульса

р = MbV и кинетической

пмвргии

Е-

= m-vVI

__ __

8.7. В

условиях

предыдущей

задачи рассчитать

tf", t

где черта означает среднее

- математическое

ожидание.

8.8. В

условиях задачи

8.6

найти распределение по

углам

частиц максвелловского

газа, вылетающих в

вакуум из

неболь-

шого отверстия

стенке

сосуда.

Указание. Перейти к

сферическим

координатам: & - угол

мгжду

направлением скорости V и осью х. , перпендикуляр-

ной стенке; у -

азимутальный

угол.

8.9. В электрическую

цепь включена квадратная

сетка,

состоящая из

2x2 узлов.

Каждый узел сетки

неза-

висимо от других

узлов

с вероятностью р бло-

кируется (

не

проводит

электрический

ток) и с

вероятностью р не

блокируется (

проводит

электрический

ток) .

Определить вероятность того, что через сетку течет ток и

на

ти порог протекания

среднее относительное число

неблокшро

ванных узлов

сетки.

8.10.

Урна содержит шары

номерами

от I

до

А/ . Пусть

^ -

наименьший номер, полученный

результате

1г извлече-

ний,

если производится случайный выбор

с возвращением. Найт

Mt, .

8.II. Известно,

что вероятность выхода из строя

элек-

тронной лампы,

проработавшей X

дней, равна

следующие

дней

O.00"jA +

(д^.

Здесь

о(й} означает,

что

OftO

при .

Через год

работы

лампу заменяют, если она

да-

же

не вышла из строя. Найти среднее время работы

лампы.

^ 8.12.

Найти среднее значение и

дисперсию произведения

двух

независимых случайных величин и ^ с равномерными

законами

распределения: fe, - в

интервале

[0,l] , £ - в ин-

тервале [1,3] .

8.13. Доказать,

что если

% и £ независимы, то

- 25^) >

8.14. Говорят, что К>0

имеет логнормальное

распреде-

ление

с параметрами ff*-) , если

имеет

нормаль

ное распределение

>Af(<t, б"

) .

Выписать плотность

распреде-

ления % ,

найти

М ^

£ ^ .

8.15.

Случайные

величины ^

*1 независимы и нормально

распределены с

одними

теми же параметрами

CL и б .

1) Найти коэффициент корреляции величин сС

^ + |

также их совместное

распределение.

2)Доказать, что М

Шддс-

=» а + •

8.16.

Найти

С<ЛГ(£,,^

) , К « 1,2,..., если £ - случай-

ная величина, распределенная по

нормальному

закону

с пара-

метрами (0,l) .

8.17.

Найти

Сетгф^+'г) , если \ . £ . \ - незави-

симые случайные величины

заданными

дисперсиями.

.\/8.18.

Ведется стрельба по мишеням. Найти

корреляционный

момент числа попадания

девятку

восьмерку при Сь

выстре-

лах,

если вероятность при каждом выстреле выбить

1,2,...,10

очков

одинакова.

8.19.

Построить пример,

показывающий,

что из

равенства