Презентация - Семенкин Е.С. Методы оптимизации
Подождите немного. Документ загружается.
Предполагается, чтокаждаяиззаданныхфункций f
1
(⋅⋅⋅), f
2
(⋅⋅⋅),…, f
n
(⋅⋅⋅) является
непрерывнодифференцируемой. Еслидифференциальныеуравнения (5) независят
явноотвремени, тоуравнениядвиженияназываются автономными. Важнымпримером
такойсистемыуравненийявляютсялинейныеавтономныеуравнениядвижения
x' = Ax + Bu,
где А – фиксированнаяматрицаразмерности n×n, а B – фиксированнаяматрица
размерности n×r.
Фиксированныеначальныезначенияфазовыхкоординат (2) являютсяграничными
условиямидляуравненийдвижения. Еслизаданыначальныезначенияиуправление
{u(t)}, тосуществуетединственнаяфазоваятраектория {x(t)}, удовлетворяющая
уравнениям движения и граничным условиям. Эту траекторию можно найти
интегрированиемдифференциальныхуравненийприданныхначальныхусловиях
x(t
0
)=x
0
.Фазоваятраектория, найденнаяврезультатерешенияуравненийдвижения
при данном начальном состоянии с использованием допустимого управления,
называется допустимой, алюбаяфазоваяточканафазовойтраектории, которуюможно
достичьзаконечноевремя, называется достижимой.
Конечныймоментвремени t
1
определяетсяусловием
(x(t), t) ∈ T при t = t
1
,
где Т – заданноеподмножествовE
n+1
, называемое конечнойповерхностью.
Важными
частными
случаями
задачи
управления
являются
задача
с
фиксированным
Целевой функционал, максимум или минимум которого требуется найти,
представляет собой отображение управлений (функций времени) на точки
вещественнойпрямой. Этотфункционалбудетрассматриваться, какправило, в
следующейформе:
J=J{u(t)}= +F(x
1
,t
1
). (6)
Подынтегральнаяфункция I(⋅⋅⋅) показывает, чтофункционалзависитотфазовых
координатиуправляющихпараметров, являющихсяфункциямивремени, иотвремени,
т.е.
I(x, u, t) = I(x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t); u
1
(t), u
2
(t), …, u
r
(t); t),
где t
0
≤ t ≤ t
1
.
Второеслагаемое F(⋅⋅) ввыражениидляфункционала, котороемыназовем
функциейконечныхпараметров, показывает, чтофункционалзависитотконечного
состоянияиотконечногомоментавремени:
F(x
1
, t
1
) = F(x
1
(t
1
), x
2
(t
1
), …, x
n
(t
1
); t
1
).
Предполагается, чтокак I(⋅⋅⋅), такиF(⋅⋅) являютсяфиксированныминепрерывно
дифференцируемымифункциями. Целевойфункционалзаписанв(6) какфункционал,
зависящий
от
управлений,
потому
что
если
вектор
-
функция
f
(
⋅⋅⋅
)
и
вектор
x
0
заданы,
то
∫
1
0
) ),( ),((
t
t
dttttI ux
Еслифункцияконечныхпараметровтождественноравнанулю, такчто
J= , (7)
тотакуюзадачуназывают задачеЛагранжа. Задачу, вкоторойподынтегральная
функцияравнанулю, такчто
J=F(x
1
,t
1
), (8)
называютобычно задачеМайера. Можетпоказаться, чтозадачаБольцаявляется
болееобщей, нежелизадачиЛагранжаилизадачаМайера, однаконасамомделевсетри
задачи эквивалентны, что можно доказать с помощью соответствующих
преобразованийпеременных. Так, например, всякуюзадачуБольцаможносвестик
задачеМайера, определивследующимобразомдополнительнуюфазовуюкоординату
x
n+1
:
(t) = I(x, u, t), x
n+1
(t
0
) = 0.
Тогдавыражение (6) принимаетвид
J = x
n+1
(t
1
) + F(x
1
, t
1
),
афункционалтакоготипаявляетсяцелевымфункционаломзадачиМайера.
Итак, общаязадачауправлениясостоитвследующем:
∫
1
0
) ),( ),((
t
t
dttttI ux
'
1n+
x
Jmax
t })({u
∫
1
0
) ),( ),((
t
t
dttttI ux
Отметим, чтостандартныеобозначениявзадачеуправленияотличаются
отобозначенийвзадачахматематическогопрограммирования. Динамическим
аналогомвектораобъектныхпеременных x изтеорииматематического
программированияявляетсяуправление {u(t)}, анефазоваятраектория
{x(t)}.
Геометрическая интерпретация задачи управления: из множества
допустимыхфазовыхтраекторий, началокоторыхсоответствуетзаданному
начальномусостоянию x
0
вначальныймоментвремени t
0
, требуетсявыбрать
определеннуюфазовуютраекторию, приэтомнеобходимоучитывать, что
каждаядопустимаяфазоваятраекторияосуществляетсяприиспользовании
некоторогодопустимогоуправления {u(t)}. Оптимальнойтраекторией {x*(t)}
является такая допустимая фазовая траектория, заканчивающаяся на
конечной поверхности, на которой достигается максимум целевого
функционала.
Частные случаи
Задачасцелевымфункционаломвида (6), илисэквивалентнымиему
целевымифункционалами (7) или (8) являетсяособенноважной, таккакона
представляетсобойобобщениерядачастныхзадачуправления. Однимиз
таких важных частных случаев является задача об оптимальном
быстродействии (задачаоминимальном времени перехода), в которой
требуетсязаминимальноевремяперевестифазовуюточкуиззаданного
начальногоположениявзаданноеконечноеположение. Вэтомслучаецелевой
функционалпринимаетвид
J=-(t
1
–t
0
).
ТотжевидимеетфункционалвзадачеЛагранжа, вкоторой I(⋅⋅⋅)=-1. Так
каквремя t
0
задано, товэквивалентнойзадачеМайерафункция F(⋅⋅)=-t
1
.
Классическим примером задачи о минимальном времени перехода,
относящимсяещекXVII столетию, является задачаобрахистохроне. Вэтой
задачерассматриваетсядвижениематериальнойточки, котораяподдействием
силы тяжести скатывается без трения вдоль некоторой кривой из
фиксированнойверхнейточкивфиксированнуюнижнююточку. Требуется
определить кривую, соответствующую минимальному времени перехода.
Другимпримеромможетслужитьзадачауправлениякораблем, когдатребуется
достичь
места
назначения
за
минимальное
время
.
Второй частный случай задач управления связан с работой
автоматическихследящихустройств (сервомеханизмов). Взадачахтакого
родаизвестныжелательныесостоянияобъекта x
0
(t) вкаждыймомент
времениопределенногопромежуткавремениитребуетсяобеспечить, чтобы
фактическиезначенияфазовоговекторавкаждыймоментвременибыли
достаточно близкими к желательным состояниям. Например, при
отапливаниидомафазовойкоординатойявляетсятемпературавпомещении,
которую желательно поддерживать на уровне, достаточно близком к
заданному. Целевойфункционалвэтомслучаеимеетвид
J=
где ϕ(⋅)–функция, измеряющаяотрицательныйэффектотразличия
междуфактическимижелательнымсостоянием.
Третий важный частный случай – задача на минимум энергии, в которой
целевой функционал зависит только от управлений.
∫
−
1
0
))()((
0
t
t
dttt xxϕ
Виды управления
Взадачахуправлениявстречаютсядвавидауправления. Одинизних –
управлениепоразомкнутомуконтуру. Вэтомслучаеоптимальноеуправление,
являющеесярешением (9), определяетсякакфункциявремени
{u*(t)}.
Управление по разомкнутому контуру полностью определяется в
начальныймомент t
0
, афазоваятраектория {x(t)} отыскиваетсяврезультате
интегрирования уравнений движения при фиксированных начальных
условиях.
Другойвидуправления – управлениепозамкнутомуконтуру (собратной
связью). Вэтомслучаеоптимальноеуправлениеопределяетсякакфункция
текущихфазовыхкоординативремени
{u*(x(t), t)}.
Вотличиеотуправленияпоразомкнутомуконтуру, когдавсерешения
принимаютсязаранее, приуправлениипозамкнутомуконтурурешенияможно
пересматриватьсучетомновойинформации, которуюнесуттекущиефазовые
координаты
.
Задача
определения
оптимального
управления
по
замкнутому
Вдвухтипахзадачуправленияуправлениепозамкнутомуконтуруимеет
преимуществопередуправлениемпоразомкнутомуконтуру, таккакпервое
доставляетбольшеемаксимальноезначениецелевогофункционала. Этими
двумятипамизадачявляются задачистохастическогоуправления, которые
содержатслучайныепеременныесфиксированнымираспределениями, и
задачи адаптивного управления, которые содержат неопределенности
относительноначальныхусловийнапараметры, функцииилимножества,
которыеуменьшаютсяилиполностьюустраняютсяпомереразвертывания
процесса. Задачиэтихдвухтиповрассматриватьсянебудут.
Вдальнейшемпредполагается, чтозадачауправлениянесодержит
случайныхпеременныхичтовсенеобходимыепараметры, функциии
множества, указанные в (9), полностью определены. В этом случае
управлениепозамкнутомуконтуруиуправлениесобратнойсвязьюприводят
кодинаковымрезультатам. Поэтомуосновноевниманиебудетуделено
управлениюпоразомкнутомуконтуру, котороеобычнолегчеопределить, чем
управлениепозамкнутомуконтуру.
Задача управления как задача программирования
в бесконечномерном пространстве
Задачууправленияможносчитатьзадачейматематическогопрограммированияв
бесконечномерномпространстве. Рассмотримследующуюзадачууправления:
= , x'=f(x,u), (12)
t
0
и x(t
0
)=x
0
фиксированы, t
1
фиксирован,{u(t)}∈ U.
Этазадачаотличаетсяот (9) следующимисвойствами: онаавтономна, т.е.
уравнениядвиженияицелевойфункционалнезависятявноотвремени; даннаязадача
относитсякклассузадачЛагранжа, таккакцелевойфункционалнезависитот
конечногосостоянияилиотконечногомоментавремени; этазадачасфиксированным
временем, таккак t
1
задано, а x(t
1
) произвольно; задачасодержиттолькоодин
управляющийпараметриоднуфазовуюкоординату.
Заданныйпромежутоквремени (t
0
≤ t ≤ t
1
) можноразбитьна N интерваловравной
длины ∆
∆ = .
Времяизмеряетсявдискретныхединицах
t
=
T
+
q
∆
,
Jmax
t })({u
∫
1
0
),(
t
t
dtuxI
N
tt
21
−
РассмотримтеперьзадачуматематическогопрограммированиясN+1 переменной
u
0
, u
1
,…, u
N
:
J
N
= ,
x
q+1
– x
q
= f(x
q
, u
q
)⋅∆, (13)
q = 0, 1, …, N-1, x
0
= x
0
, u
q
∈Ω,
где ∆ - фиксированныйположительныйпараметр. Пределомцелевойфункцииэтой
задачи при N, стремящимся к бесконечности, и ∆, стремящемся к 0, и при
фиксированнойвеличине N⋅∆ равной (t
1
- t
0
), являетсяцелевойфункционалзадачи (12),
т.е.
J
N
=J.
Приуказанномпереходекпределуразностныеуравненияв(13) превращаютсяв
дифференциальныеуравнениязадачи (12). Такимобразом, задачууправленияможно
считатьзадачейматематическогопрограммированиявбесконечномерномпространстве.
Этимпространствомявляетсямножествовсехкусочно-непрерывныхвещественных
функций u(t), определенныхнапромежутке t
0
≤ t ≤ t
1
.
Основная
теорема
математического
программирования
–
теорема
Вейерштрасса,
N
uuu ,...,
1
,
0
max
∑
=
∆⋅
N
q
qq
uxI
0
),(
lim
0
∞→
→∆
N