Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление
Подождите немного. Документ загружается.
Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков
РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
И УПРАВЛЕНИЕ
Москва, 2002
2
Предисловие
За последние 20 лет в теории автоматического управления произошли революцион-
ные изменения. Возникли такие новые концепции, как робастность, H
∞
-оптимальное
управление, l
1
-подход, µ-анализ и синтез, LMI-техника и т.д. Им соответствует новый
математический аппарат и новый взгляд на теорию линейных систем. К сожалению,
вся эта тематика весьма слабо освещена в литературе на русском языке. Большинство
учебников по теории автоматического регулирования отражает состояние предмета на
60-е–70-е годы. Таким образом, российскому читателю нелегко разобраться в потоке
современных западных публикаций, где новый взгляд на теорию управления предпола-
гается исходно известным. Отсутствие переводов современных зарубежных монографий
и учебников и их труднодоступность усугубляет ситуацию.
Авторам настоящей книги хотелось восполнить этот пробел и изложить некоторые
новейшие результаты теории управления в простой и доступной форме. Мы основы-
ваемся как на известных результатах зарубежных ученых, так и на собственных ис-
следованиях в области робастной устойчивости и управления. Конечно, мы понимаем
всю трудность поставленной задачи и поэтому сознательно ограничиваем рамки изло-
жения. В книге нет материалов, относящихся к нелинейным системам, стохастическим
возмущениям, задачам идентификации, адаптивному управлению; мы совершенно не
рассматриваем вопросы практической реализации систем управления. Многие матема-
тические вопросы излагаются на возможно более простом уровне.
Авторы будут признательны читателям за любые замечания по содержанию книги.
3
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление
Введение 7
Список обозначений 13
I Системы с полной определенностью 16
1 Описание линейных систем 17
1.1 Пространство состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Передаточная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Операторный подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Нормы сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Нормы операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 Нормы передаточных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Одномерные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Виды управления 41
2.1 Программное управление. Управляемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Обратная связь по состоянию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Обратная связь по выходу. Наблюдаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Частотные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Устойчивость 57
3.1 Устойчивость линейных непрерывных систем . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Невозмущенные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Возмущенные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Устойчивость линейных дискретных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Критерии устойчивости полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.1 Графические критерии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Алгебраические критерии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.3 Устойчивость дискретных полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Частотные критерии устойчивости замкнутых систем . . . . . . . . . . . 77
3.5 Множества достижимости для устойчивых систем . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1 L
2
-норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5
6 Оглавление
3.5.2 L
∞
-норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.3 Интегральные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6 Сверхустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6.1 Сверхустойчивость линейных стационарных систем . . . . . . . . . 90
3.6.2 Нестационарные системы и другие вопросы сверхустойчивости . . 92
3.7 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Стабилизация 101
4.1 Стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка . . . . . . . . . . 101
4.1.1 П-регулятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.2 D-разбиение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.3 Дискретные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Общий вид стабилизирующих регуляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Размещение полюсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4 Квадратичная стабилизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 Сверхстабилизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Оптимальное управление 127
5.1 Линейно-квадратичный регулятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.1 Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.2 Уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.1.3 Функция Ляпунова и линейные матричные неравенства . . . . . . 132
5.2 H
∞
-оптимизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1 Решение в частотной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2.2 Решение в пространстве состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3 Подавление ограниченных возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.1 l
1
-оптимизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.2 Использование сверхустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3.3 Использование инвариантных множеств . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
II Системы с неопределенностью (робастная теория) 153
6 Виды неопределенности 155
6.1 Параметрическая неопределенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2 Частотная неопределенность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3 Нестационарные и нелинейные возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4 Вероятностный подход к робастности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7 Робастная устойчивость 167
7.1 Робастная устойчивость полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2 Робастная устойчивость матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3 Робастная устойчивость при неопределенных передаточных функциях . 183
Оглавление 7
7.4 µ-анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5 Вероятностный подход к робастной устойчивости . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5.1 Метод Монте Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5.2 Вероятностные аппроксимации критериев робастной устойчивости 194
7.5.3 Свойства случайных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.6 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8 Робастная стабилизация и управление 201
8.1 Робастная стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка . . . . 201
8.2 Робастная квадратичная стабилизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.3 Робастный линейно-квадратичный регулятор . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.4 Робастная стабилизация с помощью H
∞
-оптимизации . . . . . . . . . . . 207
8.5 µ-синтез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.6 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9 Нерешенные задачи 215
9.1 Стабилизация регулятором заданной структуры . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2 Одновременная стабилизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.3 Линейно-квадратичная оптимизация: регуляторы заданной структуры и
робастность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.4 Другие проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Приложение 227
1 Определитель, характеристический полином, след . . . . . . . . . . . . . 227
2 Положительно определенные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3 Блочные матрицы и лемма Шура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4 S-теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5 Нормы матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6 Матричные разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.1 Приведение к диагональной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2 Приведение к жордановой форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.3 Приведение к фробениусовой форме . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.4 Приведение к вещественной блочно-диагональной форме . . . . . 233
6.5 Сингулярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.6 Каноническая управляемая форма. Управляемость . . . . . . . . . 234
7 Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.1 Функции от матричного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.2 Матричная экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8 Решение полиномиальных и родственных уравнений . . . . . . . . . . . . 237
9 Матричные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.1 Уравнение Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.2 Уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10 Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.1 Непрерывная зависимость корней полинома от коэффициентов . . 242
8 Оглавление
10.2 Непрерывная зависимость собственных значений матрицы от ее
элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.3 Линейная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.4 Круги Гершгорина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11 Одна теорема двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Библиографический комментарий 247
Список литературы 255
Русско-английский словарик по управлению 267
Введение
Теория автоматического управления — молодая наука, находящаяся в процессе ин-
тенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды на предмет и основные
проблемы данной дисциплины, равно как и используемый математический аппарат.
В ХIХ веке главным объектом исследования были автоматические регуляторы про-
изводственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. Было введе-
но важнейшее понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые крите-
рии устойчивости линейных систем, выражаемые в терминах характеристического по-
линома (Максвелл, Раус, Вышнеградский, Гурвиц, Стодола). В работах А. М. Ляпунова
были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся
на фундаментальную идею введения функции Ляпунова.
В 30-е годы ХХ века, с появлением телефонии и радиосвязи, основным аппаратом
теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устой-
чивости (Найквиста, Михайлова). Эти методы в 40-е–50-е годы распространяются на
импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури) — такие системы приобретают
особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники, — а также на
некоторые классы нелинейных систем (теория абсолютной устойчивости — Лурье, Ай-
зерман, Попов).
Однако в конце 50-х годов происходит очередное обновление в теории управления.
В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат опи-
сания систем управления — описание в пространстве состояний. Иначе говоря, дви-
жение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще
говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выби-
раться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея
оптимальности — выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель
качества. В такой постановке задача управления имеет много общего с классическими
задачами вариационного исчисления. В дело исследования систем управления включи-
лись математики; результатом явилась разработка “принципа максимума Понтрягина”
— необходимого условия оптимальности управляемой системы. Работы специалистов
по управлению (Калман, Беллман, Летов) помогли инженерам осознать важность и
продуктивность созданной теории оптимального управления.
В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь
сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим по-
летом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препят-
ствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-
первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределенность, связанная либо с на-
личием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры
9
10 ВВЕДЕНИЕ
модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функ-
ции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию
управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более есте-
ственно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы
в текущий момент (задача синтеза).
Подобное критическое отношение вызвало ревизию теории управления в 70-е годы.
В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с
помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В тео-
рии восстанавливается интерес к частотным методам; они обобщаются на случай мно-
гомерных систем (Розенброк). Однако подлинная революция произошла в 80-е годы.
Возникла так называемая H
∞
-теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер); она позволила
объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить
оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопре-
деленностью (робастное управление); именно, задачи, в которых частотная характери-
стика объекта имеет неопределенность, ограниченную в H
∞
-норме. Появились и другие
постановки задач робастного управления, в которых неопределенность может быть за-
дана иначе — либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при
описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения
отдельных задач, например, задача о робастной устойчивости интервального полинома
допускает очень простое решение (теорема Харитонова). Был создан математический
аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределенностей
— µ-анализ (Дойл). Помимо H
∞
-теории и робастности, новое решение получил ряд
других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений
привела к появлению так называемой l
1
-оптимизации (Барабанов–Граничин, Пирсон–
Далех). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан
с так называемыми линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возник-
ли еще в 60-е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс); позже выяснилось
(Бойд), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных
систем. Наличие эффективных программ решения линейных матричных неравенств
(Нестеров–Немировский) сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислитель-
ной точки зрения.
Как видит читатель, за последние 20 лет теория управления претерпела очень боль-
шие изменения. К сожалению, они слабо отражены в отечественной учебной литературе.
Замечательная книга А. А. Первозванского [58] дает полное представление о положе-
нии в теории управления к началу 80-х годов. Вышедшие за последние годы учебники
затрагивают, как правило, лишь отдельные стороны современной теории. Некоторую
информацию можно извлечь из статей и обзоров на русском языке, однако все это дает
лишь мозаичную картину предмета.
Мы попытаемся в этой книге дать более систематическое (но неизбежно краткое)
изложение современного состояния теории управления.
Книга построена следующим образом. Часть I посвящена задачам управления, в ко-
торых отсутствует неопределенность в описании объекта (однако допускается неопре-
деленность внешних воздействий). В первой главе описываются основные способы за-
дания линейных систем — с помощью систем линейных обыкновенных дифференци-
альных уравнений первого порядка (описание в пространстве состояний), с помощью