Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

ВВЕДЕНИЕ 11

одного линейного дифференциального уравнения n-го порядка (системы с одним входом

– одним выходом), с помощью передаточных функций. Наиболее общий современный

подход описывает систему как линейный оператор, преобразующий входные сигналы в

выходные. При этом в пространстве сигналов могут вводиться различные нормы, инду-

цирующие соответствующие нормы в пространстве операторов. Указаны приемы, поз-

воляющие переходить от одного описания к другому. Рассмотрены также дискретные

системы, в которых вместо дифференциальных уравнений фигурируют разностные.

Следующая Глава 2 знакомит со способами задания управления в линейных систе-

мах. В некоторых случаях можно выбирать управление как функцию от времени (про-

граммное управление). Однако такой способ непригоден при наличии неопределенности

в объекте или во внешних сигналах, поэтому традиционно в инженерной практике ис-

пользуется управление в форме обратной связи. Это может быть либо управление по

состоянию (когда вектор состояний доступен), либо управление по выходу (если теку-

щая информация о системе дается ее выходом). Здесь же вводятся такие важнейшие

термины теории управления как управляемость и наблюдаемость. Обсуждаются осо-

бенности задания управления при описании системы в частотной области.

В Главе 3 исследуется ключевое понятие устойчивости систем управления. Для одно-

мерных систем (с одним входом и одним выходом) условия устойчивости формулируют-

ся особенно просто, так как характеристический полином выписывается явно. Проверка

устойчивости полинома производится с помощью простых критериев Рауса–Гурвица (в

численном виде) или Михайлова (в графическом виде). Особую роль в теории управ-

ления играет критерий Найквиста. Для многомерных систем критерии устойчивости

формулируются с помощью собственных значений матрицы состояний. Другой подход

к устойчивости связан с введением квадратичной функции Ляпунова; она может быть

построена путем решения уравнения Ляпунова. В ряде случаев удобны простые доста-

точные условия устойчивости (“сверхустойчивость”), которые легко проверяются как

линейные ограничения на коэффициенты матриц. Для устойчивых систем представля-

ет интерес по возможности более точное описание множества достижимости, т.е. всех

состояний, в которые может быть переведена система с помощью ограниченных в той

или иной норме управлений.

Начиная с Главы 4 исследуются основные задачи управления линейными объектами.

Простейшая из них — стабилизация, т.е. обеспечение устойчивости замкнутой системы

с помощью обратной связи. Мы начинаем с проблем стабилизации простыми регулято-

рами. Здесь используются такие методы как годограф Найквиста и D-разбиение, поз-

воляющее выделить все значения одного или двух параметров, при которых система

устойчива. Если не задаваться видом регулятора, то можно описать все стабилизирую-

щие регуляторы для данного объекта (так называемая параметризация Юлы). Важная

идея стабилизации связана с использованием квадратичных функций Ляпунова. Нако-

нец, можно использовать условия сверхустойчивости для построения стабилизирующих

регуляторов.

Еще одному ключевому понятию теории управления — оптимальности — посвящена

Глава 5. Здесь формулируются основные типы критериев качества в задачах управле-

ния. Простейший квадратичный функционал был изучен еще в 50-е—60-е годы в рабо-

тах Калмана, Беллмана, Летова, Виллемса. Решение задачи оптимального управления

с таким показателем (задача о линейно-квадратичном регуляторе или задача об ана-

12 ВВЕДЕНИЕ

литическом конструировании регуляторов) удается получить в явном виде с помощью

уравнения Риккати. Приведены и другие способы решения — сведение к краевой задаче

или к линейным матричным неравенствам. Следующие разделы этой главы посвяще-

ны более современным постановкам задачи оптимального управления. Первой из них

является задача H

∞

-оптимизации, строго сформулированная Зеймсом в начале 80-х

годов (частные случаи задачи рассматривались и в более ранних публикациях). Она

допускает несколько трактовок. Можно исходить из задачи оптимального подавления

внешних возмущений, ограниченных в L

-норме (т.е. возмущений с ограниченной сум-

марной энергией). Можно говорить о равномерно-частотном управлении (частота гар-

монического внешнего воздействия неизвестна; управление должно хорошо подавлять

все такие воздействия). Задача H

∞

-оптимизации первоначально решалась в частотной

области с помощью тонких методов теории комплексного переменного (теорема Нехари,

интерполяция Неванлинны–Пика). Позже было найдено решение в пространстве состо-

яний, оно по форме напоминает решение задачи линейно-квадратичной оптимизации

и также связано с уравнением Риккати. Заключительный раздел Главы 5 описывает

еще одну оптимальную задачу — о подавлении ограниченных внешних возмущений.

Для дискретных систем ограниченные сигналы связаны с l

∞

-нормой, а оператор, пре-

образующий такие сигналы, ограничен в l

-норме. Поэтому принято сейчас называть

указанную задачу l

-оптимизацией. Мы рассматриваем различные подходы к таким

проблемам как для дискретных, так и для непрерывных систем.

Вторая часть книги посвящена управлению в условиях неопределенности, т.е. про-

блеме робастности. Здесь мы имеем дело не с одной системой, а с целым семейством

систем. Это семейство может задаваться либо с помощью некоторого множества па-

раметров (параметрическая неопределенность), либо с помощью “полосы” в частотной

области (частотная или неструктурированная неопределенность), либо с помощью неко-

торого допустимого множества матриц состояния (матричная неопределенность). Есть

и общая схема записи, охватывающая все упомянутые виды неопределенности — так

называемая M–∆ конфигурация. Наконец, в рамках вероятностного подхода к робаст-

ности рассматриваются ситуации, когда неизвестные параметры являются случайными

(вероятностная неопределенность). Все эти способы задания неопределенностей обсуж-

даются в Главе 6.

В Главе 7 исследуется проблема робастной устойчивости, т.е. устойчивости систем

при наличии неопределенности. Простейшей является задача о робастной устойчиво-

сти полиномов при параметрической неопределенности. Предполагается, что характе-

ристический полином системы зависит от параметров; условие робастной устойчивости

сводится к проверке гурвицевости этого полинома при всех допустимых значениях пара-

метров. Критерии этого иногда весьма просты. Если параметрами являются сами коэф-

фициенты полинома, и они могут изменяться в некотором параллелепипеде, то теорема

Харитонова утверждает, что робастная устойчивость гарантируется, если устойчивы че-

тыре специальных полинома из данного семейства. Для этого же случая графический

критерий Цыпкина–Поляка позволяет не только проверять робастную устойчивость, но

и находить радиус устойчивости — максимальный размах неопределенных параметров,

при котором все полиномы устойчивы. Более сложная (но и более реалистическая) си-

туация встречается, когда неопределенные параметры входят в полином нелинейным

образом. Принципиальное решение вопроса дается здесь с помощью принципа исклю-

ВВЕДЕНИЕ 13

чения нуля, однако конструктивное построение требуемых для этого “областей значе-

ний” возможно лишь в частных случаях. Далее обсуждается проблема робастной устой-

чивости при иных видах неопределенности — частотных, матричных, вероятностных.

Для частотной неопределенности ситуация наиболее проста. Для одномерных систем

можно построить робастный критерий Найквиста; в многомерном случае робастную

устойчивость гарантирует теорема о малом коэффициенте усиления. При матричной

неопределенности необходимые и достаточные условия робастной устойчивости удает-

ся получить лишь в исключительных случаях; общая задача оказывается NP-сложной.

Вероятностный подход здесь оказывается весьма плодотворным. Другим удобным ин-

струментом является переход к проблеме квадратичной устойчивости — построению

единой функции Ляпунова для всего семейства матриц. Общая неопределенность рас-

сматривается в рамках так называемого µ-анализа.

Наиболее важная задача робастного синтеза рассматривается в Главе 8. Она заклю-

чается в выборе регулятора (в форме обратной связи по состоянию или по выходу),

который, во-первых, обеспечивает робастную устойчивость замкнутой системы, а во-

вторых, гарантирует некоторое желаемое значение показателя качества при всех воз-

можных неопределенностях. Мы рассмотрим робастные версии задач стабилизации и

оптимального управления, исследовавшихся в Главах 4 и 5. Ситуация с ними оказыва-

ется весьма различной. Уже задача о линейно-квадратичном регуляторе при наличии

неопределенности в матрице состояний достаточно трудна; иногда ее решение возможно

с помощью линейных матричных неравенств. В то же время робастный вариант H

∞

оптимизации может быть исследован аналитически. В этой же главе рассматриваются

некоторые специфические задачи оптимального управления, например, задача о мак-

симальной робастности. Здесь же предлагаются робастные обобщения методов синтеза

регуляторов низкого порядка, обсуждавшихся в Главе 4.

Наконец, в заключительную Главу 9 включены проблемы, которые представляют

большой интерес для теории управления, но еще не получили полного решения. Первая

— известная задача о стабилизируемости по выходу: существует ли стабилизирующий

регулятор в форме обратной связи по выходу? Близкая задача о стабилизации по состо-

янию допускает простое решение (в терминах управляемости системы); однако данная

задача представляет большие трудности. Родственная задача: как проверить, существу-

ет ли в данном аффинном семействе полиномов устойчивый полином? — также далека

от решения. Еще одна задача из того же круга: найти ближайший (в смысле какой-либо

нормы в пространстве коэффициентов) устойчивый полином к данному неустойчивому.

На первый взгляд похожая задача о радиусе робастной устойчивости (найти ближайший

неустойчивый полином к данному устойчивому) хорошо исследована и полностью реша-

ется с помощью годографа Цыпкина–Поляка. Другой цикл проблем связан с робастной

устойчивостью матриц; среди них остается много нерешенных (одновременная стаби-

лизация нескольких систем; робастная устойчивость интервального семейства матриц

и т.д.). Обсуждаются полученные в этой области результаты и перспективы решения

подобных задач.

Параллельно с теоретическим иследованием в книге часто упоминается система

Matlab — важное и удобное программное средство решения многих задач теории

управления [7, 52, 69]. В конце каждого раздела приводится список сопутствующих

процедур, реализованных в версии Matlab 6.1.

14 ВВЕДЕНИЕ

Заключительная часть книги состоит из приложения, содержащего требуемые мате-

матические сведения из нескольких областей математики. Большинство из них относит-

ся к линейной алгебре и полиномам. Здесь освещаются такие вопросы, как приведение

матриц к той или иной форме, нормы векторов и матриц, теория возмущений, непре-

рывная зависимость корней полинома от его коэффициентов, матричные уравнения

Ляпунова и Риккати. Приведены также такие результаты, как S-процедура, решение

полиномиальных уравнений и т.д.

Список литературы в книге не претендует на полноту. Мы включили в него ос-

новные западные учебники по современной теории управления; журнальные работы,

сыгравшие важную роль в становлении этой теории. Литературу на русском языке мы

пытались представить более подробно. Наряду с несколькими учебниками прошлых лет

даны достаточно детальные ссылки на журнальную литературу, имеющую отношение

к тематике книги.

Для удобства читателя, которому придется читать зарубежную литературу или пе-

реводить собственные работы на английский язык, мы привели краткий русско-английский

словарик по современной теории управления. Нам кажется, что нужда в таком слова-

рике существует, поскольку терминология в этой области только складывается, а пе-

реводы русских статей на английский нередко грешат серьезнейшими ошибками из-за

незнания этой терминологии.

В заключение — несколько слов о возможном читателе книги. Книга не является

учебником (в ней мало примеров, нет упражнений, не все затронутые вопросы изло-

жены достаточно подробно). В то же время нам кажется, что на основе книги могут

читаться курсы для студентов по современной теории управления. Основными же чи-

тателями нам представляются студенты, желающие углубить свои знания, аспиранты

и специалисты по теории управления. В принципе знание “классической” теории ав-

томатического управления не требуется для чтения, однако такое знакомство весьма

полезно для понимания особенностей новых подходов к теории.

Список обозначений

R, C множества вещественных и комплексных чисел.

sign x знак числа x ∈ R.

Re z, Im z вещественная и мнимая части комплексного числа z ∈ C, z = Re z +

jIm z, j

√

−1.

∗

комплексное сопряжение z ∈ C, т.е. если z = Re z + jIm z, то z

∗

Re z −jIm z.

arg z аргумент комплексного числа z ∈ C.

, C

пространства n-мерных векторов x с вещественными и комплексными

координатами: x = (x

, . . . , x

)

|x| норма конечномерного вектора x ∈ R

или x ∈ C

, в частности:

— модуль x при n = 1;

— l

-норма: |x|

i=1

1/p

, 1 ≤ p ≤ ∞; в том числе:

при p = 2 — евклидова норма: |x|

i=1

1/2

;

при p = ∞: |x|

∞

= max

1≤i≤n

при p = 1: |x|

i=1

(a, b) скалярное произведение векторов из R

или C

n×m

, C

n×m

пространства n × m матриц A с вещественными и комплексными эле-

ментами a

, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.

I единичная матрица.

16 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

транспонирование A = ((a

)): A

= ((a

)).

∗

комплексное сопряжение и транспонирование матрицы A ∈ C

n×n

, т.е.

если A = ((a

)), то A

∗

= ((a

∗

)).

rank A ранг матрицы A.

(A) i-е собственное значение матрицы A ∈ C

n×n

, i = 1, . . . , n.

tr A след матрицы A = ((a

)) ∈ C

n×n

: tr A =

i=1

det A определитель матрицы A.

ρ(A) спектральный радиус матрицы A ∈ C

n×n

, т.е. максимум модуля ее соб-

ственных значений: ρ(A)

= max

|λ

(A) i-е сингулярное число матрицы A ∈ C

n×m

: σ

(A) = λ

1/2

∗

A), i =

1, . . . , m.

k · k норма функции (сигнала) или норма матрицы (оператора) или норма

передаточной функции; если не указана явно, то подразумевается лю-

бая норма или 2-норма (для сигналов) и индуцированная норма (для

матриц); в частности, для матриц A ∈ R

n×m

или A ∈ C

n×m

— спектральная норма (2-норма): kAk

= max

1/2

∗

A) = max

(A);

— строчная норма (1-норма): kAk

= max

1≤i≤n

j=1

;

— столбцовая норма (∞-норма): kAk

∞

= max

1≤j≤m

i=1

;

— фробениусова норма: kAk

i,j=1

1/2

hA, Bi скалярное произведение в пространстве матриц; для A, B ∈ C

n×n

hA, Bi = tr A

∗

B; в частности, для A, B ∈ R

n×n

, A = A

, B = B

hA, Bi = tr AB.

deg P (s) степень полинома P (s).

∞

пространство устойчивых реализуемых дробно-рациональных функ-

ций, т.е. функций вида G(s) = A(s)/B(s), где A — полином, B — гур-

вицев полином, и deg A ≤ deg B. Если M(s) — матрица с элементами

(s), то зпись M(s) ∈ RH

∞

означает, что m

(s) ∈ RH

∞

для всех i, j.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 17

= равно по определению.

CST пакет Control System Toolbox системы Matlab.

LMIC пакет LMI Control Toolbox системы Matlab.

µAST пакет µ-Analysis and Synthesis Toolbox системы Matlab.

OT пакет Optimization Toolbox системы Matlab.

RCT пакет Robust Control Toolbox системы Matlab.

SMT пакет Symbolic Math Toolbox системы Matlab.

18 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ЧАСТЬ I

Системы с полной определенностью

В первой части книги предполагается, что доступно полное математическое описание

системы управления, т.е. она не содержит неопределенности. В то же время, входные

сигналы (внешние возмущения) могут быть известны не полностью.

Глава 1

Описание линейных систем

В первой главе будут рассмотрены различные способы задания линейных систем,

соотношения между ними, их сравнительные достоинства и недостатки. Мы будем па-

раллельно исследовать как непрерывные, так и дискретные системы.

1.1 Пространство состояний

Линейная стационарная непрерывная управляемая система описывается вектор-

ным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка:

˙x = Ax + Bu + D

y = Cx + D

(1.1)

Здесь x(t) ∈ R

— вектор, называемый состоянием системы, u(t) ∈ R

— управление,

y(t) ∈ R

— выход системы, w(t) ∈ R

, — входные сигналы (внешние возмущения) или

задающие воздействия. Матрицы A ∈ R

n×n

, B ∈ R

n×m

, D

∈ R

n×m

, C ∈ R

l×n

, D

∈ R

l×m

не зависят от времени t. Cистемы, в которых эти матрицы изменяются во времени,

называются нестационарными; мы почти не будем рассматривать этот случай. Форму

записи системы в виде (1.1) принято называтьописанием в пространстве состояний.

Обычно предполагается, что проектировщик знает лишь выход системы y(t); в неко-

торых случаях y = x, т.е. известно и состояние системы. В данной части книги будет

считаться, что система полностью определена, т.е. матрицы A, B, C, D

, D

заданы. Во

второй части будут исследованы системы при наличии неопределенности, когда эти

матрицы известны не полностью. Управление при наличии неопределенности называ-

ется робастным.

Относительно внешних воздействий w(t) могут делаться самые разнообразные пред-

положения — они могут отсутствовать или быть полностью известными; могут быть

произвольными детерминированными и ограниченными в некоторой норме; могут быть

случайными. Последняя ситуация — случайные возмущения с заданными вероятност-

ными свойствами — в этой книге изучаться не будет. Более подробно классы возможных

возмущений будут описаны ниже.

Целью управления является выбор таких u(t) (или u(x)), которые придают системе

(1.1) заданные свойства (например, устойчивость, оптимальность по некоторому пока-

20 Глава 1. Описание линейных систем

зателю качества и т.д.). Более четко постановка задачи управления будет сформулиро-

вана позже.

Система, в которой управление отсутствует, может быть записана в том же виде

(1.1), но без члена Bu:

˙x = Ax + D

y = Cx + D

(1.2)

Такие системы называются открытыми. Отметим, что если в (1.1) управление u уже

выбрано в форме u(t) или u = Kx (т.е. как программное управление или в форме

обратной связи по состоянию, см. ниже), то мы также получаем уравнение в форме

(1.2), но с иным внешним возмущением (равным Bu(t) + D

w, если задано u(t)) или

иной матрицей A (равной A + BK в случае u = Kx; при этом говорят о замкнутой

системе).

Решение открытой системы (1.2) может быть записано в явном виде:

x(t) = e

x(0) +

A(t−τ)

w(τ)dτ. (1.3)

Здесь x(0) — значение x(t) в начальный момент t = 0, а e

— матричная экспонента

(см. Приложение, раздел 7.2). Таким образом, если x(0) и w(t) известны, то можно

найти x(t) для всех моментов t.

Вообще, в дальнейшем, уравнение состояния (первое из уравнений (1.1)) при нали-

чии лишь одного неоднородного члена будем для единообразия иногда записывать в

виде

˙x = Ax + Bu,

подразумевая различную природу неоднородного члена. Например, одна и та же мате-

матическая задача описания множества

x(T ): ˙x = Ax + Bu, x(0) = 0, kuk ≤ c

может интерпретироваться либо как описание всех состояний системы, достижимых

к моменту T из начала координат с помощью ограниченых в какой-то норме управ-

лений u, либо как описание возможной неопределенности в состоянии системы, нако-

пившейся к моменту T под воздействием ограниченных возмущений u. Физическую

постановку задачи будем оговаривать в каждом конкретном случае.

Наряду с непрерывными системами (1.1) будем рассматривать дискретные систе-

мы, описываемые не дифференциальными, а разностными уравнениями

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

+ D

k−1

= Cx

+ D

(1.4)

Здесь индекс k играет роль времени (дискретное время), а смысл всех остальных

векторов и матриц тот же. Дискретные системы могут возникать как при дискретной

аппроксимации непрерывных систем, так и в других случаях. Например, k может быть