Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

1.3. Операторный подход 31

Для линейного оператора L, переводящего последовательности в последовательно-

сти (y = Lu), можно аналогично определить индуцированные нормы. Если L: l

→ l

то его (p, q)-индуцированная норма равна

kLk

p,q

= sup

kuk

≤1

kLuk

Например, если рассмотреть оператор, задаваемый линейным разностным уравнени-

ем (1.4) при w ≡ 0, x

= 0:

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

= Cx

(1.28)

то в соответствии с формулой (1.6)

k−1

i=0

k−i−1

k−1

i=0

k−i

Здесь h

k−i

= CA

k−i−1

B является весовой функцией дискретной системы (1.28). Это

соотношение задает линейный оператор L, переводящий входные последовательности u

в выходные y. Можно показать, что если A дискретно устойчива (|λ

| < 1 для всех

собственных значений A), то оператор L ограничен в (∞, ∞)-индуцированной норме, и

имеет место факт, аналогичный (1.27). Именно, для системы с одним входом и одним

выходом при устойчивой A справедлива оценка

kLk

∞,∞

= sup

kuk

∞

≤1

kyk

∞

= khk

. (1.29)

Доказательство проводится так же, как и в непрерывном случае.

Более подробно оценки норм линейных операторов, соответствующих непрерывным

и дискретным системам управления, будут рассмотрены ниже.

1.3.3 Нормы передаточных функций

Нам понадобится еще один вид норм — не для функций от времени, а для переда-

точных функций. Пусть M(s) — матрица n × n, элементы которой являются аналити-

ческими функциями комплексной переменной s в правой полуплоскости.

Определим H

∞

-норму этой функции как

kMk

∞

= sup

Re s≥0

kM(s)k

= sup

−∞<ω<∞

kM(jω)k

, (1.30)

где kM(s)k

означает спектральную норму фиксированной матрицы M(s) (см. Прило-

жение, раздел 5):

kM(s)k

max

∗

(s)M(s))

1/2

Второе равенство в (1.30) (супремум достаточно искать не по всей правой полуплос-

кости, а лишь по ее границе — мнимой оси) следует из принципа максимума для ана-

литических функций. В частном случае, когда M(s) — скалярная функция (n = 1),

определение H

∞

-нормы приобретает вид

kMk

∞

= sup

−∞<ω<∞

|M(jω)|.

32 Глава 1. Описание линейных систем

Например, для

M(s) =

s + 1

(1.31)

(эта функция имеет единственный полюс в s = −1 и потому аналитична в правой

полуплоскости) получаем

kMk

∞

= sup

jω + 1

= sup

√

1 + ω

= 1.

В дальнейшем мы познакомимся с различными способами вычисления kMk

∞

в много-

мерном случае.

Оказывается, если наша система записана с помощью передаточных функций, т.е.

исходная система (1.22)

˙x = Ax + Bu, x(0) = 0,

y = Cx

записана в форме

y = H(s)u, H(s) = C(sI − A)

−1

B, (1.32)

то при условии, что A устойчива, имеем

kyk

≤ kH(s)k

∞

kuk

, (1.33)

где индекс 2 для функций означает 2-норму, а kH(s)k

∞

означает H

∞

-норму, которая

(в предположении устойчивости A) является конечной. Более того, H

∞

-норма является

точной верхней границей отношения энергий выход/вход:

Лемма 1 Для системы (1.32) с устойчивой A справедливо

kH(s)k

∞

= sup

kuk

6=0

kyk

kuk

= kLk

2,2

, (1.34)

где L — входо-выходной оператор, соответствующий системе (1.32).

Этот результат доказывается с помощью теоремы Парсеваля и требует знания свойств

преобразования Лапласа, поэтому мы не приводим доказательства.

Таким образом, H

∞

-норма передаточной функции приобретает простой физический

смысл — она показывает, во сколько раз может измениться энергия сигнала при про-

хождении через данную линейную систему. Если вспомнить, что другая трактовка пе-

редаточной функции характеризовала H(jω) как коэффициент усиления системы для

гармонического входа заданной частоты ω, то мы получаем, сравнивая формулы (1.19)

и (1.34), что H

∞

-норма является также равномерно-частотной характеристикой систе-

мы. Эти два результата относительно двух типов входных сигналов (ограниченные в

2-норме и гармонические с произвольной частотой) различны, так как гармонические

сигналы (см. выше) не принадлежат L

1.3. Операторный подход 33

Другая норма, которую можно ввести для тех же матричных функций M(s) — это

-норма:

kMk





∞

−∞

kM(jω)k

dω





1/2





∞

−∞

max

∗

(jω)M(jω)

dω





1/2

. (1.35)

В частности, для скалярных функций определение принимает вид

kMk





∞

−∞

|M(jω)|

dω





1/2

В примере (1.31) имеем

kMk





∞

−∞

|jω + 1|

dω





1/2





∞

−∞

dω

1 + ω





1/2

√

π.

Все вышеприведенные понятия и результаты имеют дискретные аналоги. В этом

случае вместо матриц M(s), аналитичных в правой полуплоскости, фигурируют матри-

цы M(z), аналитические внутри единичного круга. H

∞

-норма таких матричных функ-

ций равна

kMk

∞

= sup

|z|≤1

kM(z)k

= sup

0≤ω≤2π

kM(e

jω

= sup

0≤ω≤2π

max

∗

jω

)M(e

jω

))

1/2

а для скалярных функций

kMk

∞

= sup

0≤ω≤2π

|M(e

jω

)|.

Для системы

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

, y

= H(z)u

, H(z) = zC(I − zA)

−1

= Cx

с устойчивой A справедливо соотношение (аналогичное Лемме 1):

kH(z)k

∞

= sup

kuk

6=0

kyk

kuk

и H

∞

-норма передаточной функции дискретных систем приобретает тот же физический

смысл, что и для непрерывных систем.

Сходным образом справедлив и аналог соотношения (1.29) для дискретных систем.

Именно, пусть система описывается с помощью устойчивой передаточной функции:

= H(z)u

, H(z) =

g(z)

p(z)

, (1.36)

34 Глава 1. Описание линейных систем

где g(z) и p(z) — полиномы, и p(z) не имеет корней внутри единичного круга (т.е. дис-

кретно устойчив). В этом случае функция H(z) аналитична внутри единичного круга

и представима там в виде абсолютно сходящегося бесконечного ряда:

H(z) = h

+ h

z + . . . ,

∞

i=0

| < ∞.

Определим H

-норму передаточной функции H(z) следующим образом:

kH(z)k

∞

i=0

|. (1.37)

Тогда для выхода y системы (1.36) и любого входа u, ограниченного в l

∞

, справедлива

оценка

kyk

∞

≤ kH(z)k

kuk

∞

, (1.38)

причем существует такой вход, что равенство в (1.38) достигается.

Сопутствующие функции Matlab:

norm — вычисление матричных и векторных норм;

norm (CST), normhinf (RCT), h2norm (µAST), hinfnorm (µAST) — вычисление различ-

ных норм передаточных функций.

1.4 Одномерные системы

Особо важный (и простой) случай представляют системы, у которых скалярный

вход и скалярный выход. Мы будем называть их одномерными, в отличие от общего

многомерного случая. Раньше говорили обычно об односвязных и многосвязных си-

стемах. На Западе общеупотребительны термины SISO (Single-Input, Single-Output) и

MIMO (Multi-Input, Multi-Output), т.е. системы с одним входом–одним выходом и с

многими входами–многими выходами соответственно.

На примере одномерных систем рассмотрим способы описания, приведенные в преды-

дущих разделах (а также обсудим так называемое входо-выходное описание во временн´й

области) и их соотношения и приведем общепринятую терминологию, используемую в

инженерной практике.

Рассмотрим сначала задание одномерных систем в пространстве состояний. Пусть

˙x = Ax + Bu,

y = Cx,

(1.39)

где u(t) ∈ R

, y(t) ∈ R

, x(t) ∈ R

. Тогда B и C

— векторы из R

, а передаточная

функция H

(s)

= H(s) = C(sI −A)

−1

B — скалярная функция от s.

Для удобства перепишем (1.39) в виде

˙x = Ax + bu, b ∈ R

y = c

x c ∈ R

(1.40)

1.4. Одномерные системы 35

Перейдем от записи в пространстве состояний к описанию в виде одного соотноше-

ния, связывающего вход u с выходом y напрямую, без использования понятия состо-

яния. С этой целью продифференцируем n раз второе уравнение в (1.40), подставляя

выражение для ˙x из первого уравнения. В результате получим

y = c

˙y = c

Ax + c

bu,

¨y = c

x + c

Abu + c

b ˙u,

(k)

= c

x + c

k−1

bu + c

k−2

b ˙u + . . . + c

(k−1)

(n)

= c

x + c

n−1

bu + c

n−2

b ˙u + . . . + c

n−k

(k−1)

+ . . . + c

(n−1)

Сложим уравнения, предварительно умножив первое на a

, второе — на a

, и т.д.,

последнее — на единицу, где a

— коэффициенты характеристического полинома мат-

рицы A. По теореме Кэли-Гамильтона (Теорема П.1 из Приложения), матрица удовле-

творяет своему характеристическому уравнению, поэтому члены с x в правой части

исчезнут; в результате приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению n-

го порядка относительно входного и выходного сигналов:

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ . . . + a

˙y + a

y = β

n−1

(n−1)

+ . . . + β

˙u + β

u, (1.41)

где

= c

n−k−1

+ a

n−1

n−k−2

+ . . . + a

k+2

A + a

k+1

b, k = 0, . . . , n − 1.

Вспомним, что мы ввели оператор дифференцирования s (1.7); с его помощью (1.41)

записывается в компактной форме

P (s)y = Q(s)u, P (s) =

k=0

, a

= 1, Q(s) =

n−1

k=0

или

y = H(s)u, H(s) =

Q(s)

P (s)

где передаточная функция H(s) — скалярная дробно-рациональная (в отличие от об-

щего многомерного случая), а ее знаменатель — полином P (s) = det(sI −A) — является

характеристическим полиномом нашей системы. Если P (s) устойчив (т.е. все его корни

лежат в левой полуплоскости), то передаточная функция аналитична в правой полу-

плоскости.

В разделе 1.2 мы уже говорили, что всегда предполагается выполненным условие ре-

ализуемости — степень m полинома в числителе передаточной функции не превосходит

степени n полинома в знаменателе. В (1.41) это условие выполнено: m ≤ n − 1.

Итак, система в пространстве состояний сведена к эквивалентной записи на языке

передаточных функций. Обратно, пусть теперь доступно описание в форме одного диф-

ференциального уравнения n-го порядка, т.е. исходным является описание с помощью

36 Глава 1. Описание линейных систем

передаточной функции. Тогда, действуя в “обратном порядке”, такое дифференциаль-

ное уравнение

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ . . . + a

˙y + a

y = β

(m)

+ . . . + β

˙u + β

u, n ≥ m, (1.42)

можно привести к эквивалентной записи в пространстве состояний. Например, пусть в

уравнение (1.42) входит лишь входной сигнал, но не его производные:

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ . . . + a

˙y + a

y = u, (1.43)

или в операторной записи

P (s)y = u, P (s) = s

+ a

n−1

+ . . . + a

s + a

Вводя новые переменные x

— состояния — по правилам

= y, x

= ˙y, . . . , x

= y

(n−1)

с учетом (1.43) получим

˙x

= x

, ˙x

= x

, . . . , ˙x

= −a

− a

− . . . − a

n−1

+ u,

или

˙x = Ax + bu,

y = c

— реализацию в пространсте состояний с

A =







0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

0 0 . . . 0 1

−a

. . . −a

n−2

−a

n−1







, b =













, c

= (1 0 . . . 0). (1.44)

Нетрудно проверить, что для матрицы A (1.44) det(sI − A) = P (s) — характеристиче-

ский полином нашей системы.

Отметим, что (1.44) (с вектором c произвольного вида) — так называемая канониче-

ская управляемая форма записи системы в пространстве состояний (при этом говорят,

что матрица A приведена к фробениусовой форме, см. Приложение, разделы 6.3 и 6.6).

Оказывается, линейными заменами переменных при некоторых предположениях можно

привести исходную систему (1.42) к такому виду (см. Лемму (П.11) из Приложения).

Рассмотрим коротко еще один способ входо-выходного описания, который основан на

предположении, что известна реакция системы на “типовой” входной сигнал. Например,

пусть δ(t) обозначает δ-функцию; определим функцию h(t) в момент времени t как

значение выхода системы в момент времени t, если на вход в момент t = 0 была подана δ-

функция, а начальное состояние — нулевое. Назовем h(t) импульсной характеристикой

1.4. Одномерные системы 37

системы (иногда ее называют весовой функцией системы). Тогда для произвольного

входа u(t) получаем соотношение

y(t) =

h(τ)u(t − τ)dτ; (1.45)

это и есть желаемое входо-выходное описание системы; его вид проясняет название

функции h(t) — весовая. Выражение (1.45) для y(t) представляет собой свертку функ-

ций h(t) и u(t); для нее используют обозначение y = h ∗ u. Мы уже встречались с

формулой (1.45) для систем, описываемых в пространстве состояний (см. (1.24)).

В качестве другого типового входного сигнала часто рассматривается единичный

скачок (функция Хевисайда):

1(t) =

(

0 при t < 0,

1 при t ≥ 0.

Реакцию системы (при нулевых начальных условиях) на такое входное воздействие

называют переходной характеристикой π(t) (переходной функцией); она связана с им-

пульсной характеристикой следующим образом:

π(t) =

h(τ)dτ.

Способ описания систем, основанный на использовании весовой или переходной

функций, часто применяется при моделировании сложных физических устройств неиз-

вестной структуры, а указанные характеристики снимаются экспериментально.

При таком описании (как и при описании в форме дифференциального уравне-

ния (1.42)) говорят, что входо-выходные соотношения заданы во временн´й области.

Часто удобнее бывает перейти в частотную область, используя преобразование Ла-

пласа:

L{f(t)}

∞

f(t)e

−st

= F (s),

которое определено для функций, растущих не быстрее экспоненты: |f(t)| ≤ Ce

Термин “частотный” объясняется тем, что поскольку st — безразмерная величина, то s

имеет смысл частоты (ср. раздел 1.2). Функция f (t) называется оригиналом, а F (s) —

ее изображением по Лапласу. Из определения следует, что при f(0) = 0

d f(t)

= sL{f(t)},

т.е. дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s —

вспомним введенный формально оператор дифференцирования s =

(1.7). Наконец,

нетрудно видеть, что для свертки справедливо

L{f ∗ g} = L{f} · L{g}.

38 Глава 1. Описание линейных систем

Таким образом, в частотной области уравнение (1.45) приобретает вид

y = H(s)u, H(s) = L{h(t)},

где H(s) — передаточная функция, определенная в разделе 1.2.

Отметим, что с помощью (1.45) можно описать гораздо более широкий класс ли-

нейных систем, чем с помощью дифференциального уравнения — второй способ по

определению накладывает ограничения на структуру системы. В самом деле, не всякой

импульсной характеристике отвечает дробно-рациональная передаточная функция, на-

пример, для системы с запаздыванием y(t) = u(t −1) имеем h(t) = δ(t −1) и H(s) = e

−s

;

в таких случаях говорят о распределенных системах. Мы будем рассматривать только

дробно-рациональные передаточные функции, что соответствует конечномерным систе-

мам.

В многомерном (MIMO) случае импульсная характеристика становится матричной

импульсной характеристикой — матрицей l × m, элемент (i, k) которой есть функ-

ция h

(t) — отклик i-ого выхода системы в момент времени t на единичный импульс,

поданный на k-й вход в момент t = 0 (импульсная характеристика пары (i, k)).

Аналогичным образом входо-выходное описание вводится для дискретных систем;

аппаратом перехода в частотную область является дискретное преобразование Лапласа:

Z{f

}

∞

k=0

= F (z), (1.46)

обладающее теми же свойствами, что и непрерывное.

Мы видим, что все формы записи — в пространстве состояний, в виде входо-выходных

соотношений во временн´й области, с помощью передаточных функций (в частотной об-

ласти) — в определенной степени эквивалентны. Использование того или иного способа

описания при решении конкретной задачи — вопрос удобства.

Закончим этот раздел кратким обзором классических частотных методов исследова-

ния одномерных систем. В инженерных приложениях различным физическим устрой-

ствам — звеньям — соответствуют так называемые типовые передаточные функции;

они имеют специальные названия. Звено с передаточной функцией

H(s) =

T s + 1

называется апериодическим (инерционным), при этом k = H(0) > 0 — коэффициент

усиления, а T > 0 — постоянная времени.

Передаточная функция

H(s) =

+ T

s + 1

, k > 0,

Обычно дискретное преобразование Лапласа записывают как Z{f

} =

∞

k=0

−k

, при этом z имеет

смысл оператора сдвига вперед ; если же под z понимать оператор сдвига назад (см. определение z в

разделе 1.2), то приходим к записи (1.46).

1.4. Одномерные системы 39

отвечает апериодическому звену второго порядка при T

≥ 2T

> 0 (тогда корни ха-

рактеристического полинома 1 + T

s + T

вещественны) и колебательному звену при

0 < T

< 2T

(случай комплексных корней).

Простейший элемент с

H(s) =

, k > 0,

называется идеальным интегратором, а с

H(s) = k

— идеальным усилителем.

1elfrr.eps,height=3.5in,width=5in

Рис. 1.3: Частотные характеристики типовых звеньев.

Для приведенных выше простых звеньев легко нарисовать и их частотные характе-

ристики H(jω). На рис. 1.3 показаны H(jω) для апериодического звена первого (I) и

второго (II) порядка, для колебательного звена (III) и интегратора (IV).

Часто удобно отдельно рисовать амплитуду и фазу частотной характеристики (вспом-

ним их физический смысл, описанный в разделе 1.2, как реакции системы на гармони-

ческое воздействие). Функция

A(ω)

= |H(jω)|

называется амплитудной частотной характеристикой, она дает коэффициент усиле-

ния устойчивой линейной системы на входной сигнал частоты ω.

Функция

ϕ(ω)

= arg H(jω)

называется фазовой частотной характеристикой, она характеризует сдвиг по фазе

входа и выхода.

ﬁgure=c:/sher/book/ﬁgs/1bdplot.eps,height=3.5in,width=5in

Рис. 1.4: Диаграммы Боде.

Наконец, во многих случаях удобно применять логарифмические частотные харак-

теристики (диаграммы Боде), когда величины A(ω) и ϕ(ω) откладываются в логариф-

мической шкале. Именно, величина

Lm(ω)

= 20logA(ω)

называется логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ); она измеряется

в децибелах. Дело в том, что, как мы видели в разделе 1.2, при последовательном

соединении элементов их передаточные функции перемножаются. Поэтому

H(s) = H

(s) ···H

(s), |H(jω)| = |H

(jω)|···|H

(jω)|

A(ω) = A

(ω) ···A

(ω), Lm(ω) = Lm

(ω) + . . . + Lm

(ω),

40 Глава 1. Описание линейных систем

т.е. логарифмические амплитудные характеристики при таком соединении складывают-

ся. При построении ЛАХ по оси абсцисс откладывается частота ω в логарифмической

шкале; единицей измерения при этом является декада — отрезок, на котором частота

увеличивается в 10 раз. По оси ординат откладывается величина Lm(ω), единицей из-

мерения которой является децибел. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс называется

частотой среза ω

, т.е.

20log|H(jω

)|=0, |H(jω

)|=1.

При построении логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ) по оси абсцисс от-

кладывается частота ω в декадах (т.е. в логарифмической шкале), а по оси ординат —

углы ϕ в градусах в равномерной шкале. Рисунок 1.4 показывает ЛАХ и ЛФХ системы,

построенные с помощью процедуры bode (CST) системы Matlab.

Частотная теория одномерных систем представляет собой хорошо разработанный

раздел теории управления со своей терминологией и методами. Мы не будем подробно

заниматься этой техникой, а уделим больше внимания многомерным системам.

Сопутствующие функции Matlab:

canon (CST) — приведение системы к канонической управляемой форме;

compan — матрица Фробениуса для данного полинома;

polyvalm — вычисление полинома от матрицы;

impulse (CST) — построение импульсной характеристики системы;

step (CST) — построение переходной характеристики системы;

lsim (CST) — расчет отклика системы на произвольный входной сигнал;

conv — свертка;

laplace, ilaplace; ztrans, iztrans (SMT) — прямые и обратные непрерывное и

дискретное преобразования Лапласа;

bode (CST) — вычисление ЛАХ, ЛФХ и частоты среза (построение диаграммы Боде).

1.5 Выводы

• Под описанием системы в пространстве состояний понимаем векторное диффе-

ренциальное уравнение

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + D

w(t), t ≥ 0,

y(t) = Cx(t) + D

w(t),

с постоянными матричными коэффициентами A, B, C, D

, D

, где x(t) ∈ R

— со-

стояние системы, u(t) ∈ R

— управление, y(t) ∈ R

— выход системы, w(t) ∈ R

— внешние сигналы (возмущения) или задающие воздействия. При отсутствии