Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

1.5. Выводы 41

управления система называется открытой; явный вид решения открытой систе-

мы:

x(t) = e

x(0) +

A(t−τ)

w(τ)dτ,

где x(0) — начальное состояние.

Аналогичное описание вводится для дискретных систем:

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

+ D

k−1

, k > 0,

= Cx

+ D

;

явный вид решения открытой системы:

= A

k−1

i=0

k−i−1

• Под описанием системы с помощью передаточных функций (описание в частотной

области) понимают запись

y = H

(s)u + H

(s)w,

где H

(s) и H

(s) — матрицы соответствующих размерностей, элементы кото-

рых есть дробно-рациональные функции от комплексной переменной s, причем

предполагается выполненным условие реализуемости: степень полинома в числи-

теле не превышает степени полинома в знаменателе. В этом случае существуют

эквивалентные записи системы в пространстве состояний — реализации передаточ-

ной функции; те из них, которые имеют минимальную размерность матрицы A

(степень Мак-Миллана), называются минимальными реализациями.

Общий знаменатель элементов матричной передаточной функции называется ха-

рактеристическим полиномом системы; его корни — полюса передаточной функ-

ции. Если непрерывная система задана в пространстве состояний, то передаточ-

ные функции выписываются явно через матрицы системы:

(s) = C(sI − A)

−1

B, H

(s) = C(sI − A)

−1

+ D

а характеристический полином равен det(sI − A).

Если H(s) — передаточная функция системы, то H(jω) называется частотной

характеристикой; ее физический смысл — изменение амплитуды гармонического

входного сигнала частоты ω в |H(jω)| раз (при этом |H(jω)| называют коэффици-

ентом усиления) и сдвиг его по фазе на arg H(jω).

• При операторном описании выход линейной системы связывается со входом по-

средством линейного оператора L:

y = Lu,

42 Глава 1. Описание линейных систем

действующего из нормированного пространства сигналов (функций) L

3 u в про-

странство L

3 y; рассматриваются значения p, q = 1, 2, ∞. Нормы сигналов опре-

деляют (p, q)-индуцированные нормы операторов:

kLk

p,q

= sup

kuk

≤1

kLuk

Естественно требовать ограниченности операторной нормы, тогда выход соответ-

ствующей системы будет ограниченным при любых ограниченных входах. В ча-

стотной области оператор L приобретает смысл передаточной функции системы;

для нее также требуется ограниченность в какой-либо H-норме: в непрерывном

случае используются H

∞

-норма, определяемая (1.30), и

-норма (1.35). Анало-

гичные пространства сигналов l

и нормы операторов и передаточных функций

вводятся для дискретных систем, для которых, кроме того, часто используют H

норму передаточной функции, определяемую с помощью (1.37).

• Задание одномерной системы первого порядка (1.40) в пространстве состояний

эквивалентно записи в виде одного дифференциального уравнения высокого по-

рядка относительно входа u и выхода y: P (s)y = Q(s)u, где Q(s), P (s) — полиномы

от оператора дифференцирования (deg Q ≤ deg P ) или, иначе, записи с помощью

передаточных функций y = H(s)u, H(s) = Q(s)/P (s). При определенных услови-

ях одномерная система в пространстве состояний приводится линейной заменой

переменных к канонической управляемой форме (1.44); при этом говорят о фробе-

ниусовой форме матрицы A.

• Реакцию одномерной системы на входной единичный импульс (δ-функцию) назы-

вают весовой функцией, а на единичную ступенчатую функцию (функцию Хеви-

сайда) — переходной функцией.

• В инженерной практике простейшие физические устройства называют звеньями;

им соответствуют типовые передаточные функции. Например, звено с передаточ-

ной функцией

H(s) =

T s + 1

называется апериодическим или инерционным, при этом k = H(0) > 0 — коэффи-

циент усиления, а T > 0 — постоянная времени.

Глава 2

Виды управления

Предыдущая глава была, в основном, посвящена описанию открытых систем, в кото-

рых управление либо отсутствует, либо уже выбрано. В настоящей главе обсуждаются

способы задания управления в замкнутых системах.

2.1 Программное управление. Управляемость

Вернемся к общей линейной модели системы

˙x = Ax + Bu + D

y = Cx + D

(2.1)

и попробуем ответить на вопрос: в каком виде ищется управление u в данной модели?

В этом параграфе обсуждается способ выбора управления как функции от времени,

т.е. в виде u(t). Такой способ выбора называется программным управлением; на первый

взгляд он представляется наиболее естественным.

Здесь, прежде всего, следует уточнить, в каком классе ищутся функции u(t) и ка-

кие на них накладываются ограничения. Так, управления могут быть либо гладки-

ми, либо непрерывными, либо произвольными измеримыми функциями времени. Чаще

всего задача ставится именно в последней формулировке, т.е. допускаются и разрыв-

ные управления. Однако нередко оказывается, что для некоторых задач оптимальное

управление достигается на дифференцируемых функциях от времени. Кроме того, на

класс управлений обычно накладываются дополнительные условия типа ограниченно-

сти управлений. Типичным является условие

u(t) ∈ U для всех t ∈ [0, T ],

где U — заданное замкнутое ограниченное множество в R

. Другим типом ограничений

являются интегральные, например,

J(u)

|u(t)|

dt ≤ c

, (2.2)

где T — заданная длительность процесса управления.

44 Глава 2. Виды управления

После выбора программного управления и подстановки его в систему (2.1), мы по-

лучаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых фигурируют

лишь внешние воздействия. Например, уравнение состояния приобретает вид

˙x = Ax + w

, w

(t)

= Bu(t) + D

w(t),

и если x(0), A, B, D

и w(t) известны, то x(t) может быть рассчитано по формуле

x(t) = e

x(0) +

A(t−τ)

(τ)dτ

для всех значений t. Подчеркнем, что для этого требуется знание всех указанных выше

величин.

Разумеется, программное управление может применяться и в дискретных системах

выбирается заранее как функция от k); никаких принципиально новых моментов

при этом не возникает.

Используем программное управление для анализа важного понятия управляемости;

именно, система

˙x = Ax + Bu, x ∈ R

, u ∈ R

, (2.3)

называется управляемой, если для любого конечного x(0) и 0 < T < ∞ найдется такое

ограниченное кусочно-непрерывное u(t) на интервале [0, T ], что решение системы (2.3)

принимает нулевое значение в момент T .

Иначе говоря, в управляемой системе начальное отклонение может быть устранено

за (любое) конечное время.

Очевидно, что поменяв направление времени, мы получим, что управляемая систе-

ма переходит из x(0) = 0 в любое заданное x(T ). Более общо: система управляема,

если для любых x

, x

∈ R

и любого T > 0 найдется управление u(t), переводящее

систему из x(0) = x

в x(T ) = x

. Часто в литературе такие системы называют вполне

управляемыми, но мы будем пользоваться более простой терминологией.

Трудность задачи состоит в том, что обычно количество управляющих воздействий

(размерность m пространства управлений) меньше количества управляемых величин

(размерности n пространства состояний), однако она разрешается следующим образом.

Пара матриц (A, B) называется невырожденной (управляемой) парой, если ранг мат-

рицы

U = [B AB . . . A

n−1

равен n. Матрица U называется матрицей управляемости.

Матрица U составлена из n блоков, каждый из которых — матрица n ×m, т.е. в це-

лом U — матрица n ×nm. Например, если m = 1 (система с одним входом), B = b ∈ R

то U — матрица n × n, столбцы которой являются векторами b, Ab, . . . A

n−1

b, и пара

(A, b) управляема, если эти векторы линейно независимы (ср. Лемма П.8 из Прило-

жения). Следующая теорема дает конструктивное необходимое и достаточное условие

управляемости; другие, также полезные условия сформулированы в Приложении (Тео-

рема П.3).

2.1. Программное управление. Управляемость 45

Теорема 1 (управляемость) Система (2.3) управляема тогда и только тогда, когда

пара (A, B) невырождена.

Доказательство. Необходимость. Пусть rank U < n. Тогда найдется вектор v ∈ R

v 6= 0 такой, что v

B = v

AB = . . . = v

n−1

B = 0. По теореме Кэли-Гамильтона

(Теорема П.1 из Приложения) матрица A удовлетворяет своему характеристическому

уравнению:

+ a

n−1

+ . . . + a

I = 0,

откуда

B = −a

n−1

B − . . . − a

B = 0.

Умножая последнее равенство на A

, k = 1, 2, . . ., получим, что v

B = 0 и для всех

m = n + 1, n + 2, . . . Но тогда

−Aτ

B = v

I −Aτ +

− . . .

B ≡ 0.

С другой стороны, решение системы (2.3) имеет вид (1.3)

x(T ) = e

x(0) +

A(T −τ )

Bu(τ)dτ = e





x(0) +

−Aτ

Bu(τ)dτ





поэтому для x(T ) = 0 имеем

0 = v

x(0) +

−Aτ

Bu(τ)dτ = v

x(0)

для любого управления u(τ). Ясно, что равенство v

x(0) = 0 не может выполняться

при произвольных x(0) (например, при x(0) = v).

Достаточность. Мы укажем конкретный вид управления, которое переводит си-

стему из x(0) = x

в x(T ) = 0. Именно, возьмем

∗

(t) = B

(T −t)

где вектор v подлежит выбору из условия x(T ) = 0, x(0) = x

, т.е.

0 = e

A(T −τ )

∗

(τ)vdτ = e





A(T −τ )

(T −τ )

dτ





Покажем, что матрица

(T )

A(T −τ )

(T −τ )

dτ =

Aτ

dτ (2.4)

невырождена (она называется грамиан управляемости). Прежде всего, (W

(T )d, d) =

Aτ

dτ для любого d ∈ R

, т.е. эта матрица неотрицательно определена. Если

46 Глава 2. Виды управления

(T )d, d) = 0 для некоторого d 6= 0, то ϕ(τ)

= d

Aτ

B ≡ 0 для всех 0 ≤ τ ≤ T . Тогда

и все производные этой функции равны нулю, и, в частности,

ϕ(0) = ϕ

(0) = . . . = ϕ

(n−1)

(0) = 0, ϕ

(k)

(0) = d

т.е. d

B = 0, k = 0, 1, . . . , n−1. Это означает, что d

U = 0, что противоречит условию

rank U = n. Таким образом, W

(T ) > 0, поэтому уравнение e

+ W

(T )v = 0 имеет

решение v = −W

−1

(T )e

при любом x

. Тем самым мы нашли управление

∗

(t) = −B

(T −t)

−1

(T )e

, (2.5)

которое переводит систему (2.3) из состояния x(0) = x

в состояние x(T ) = 0.

Сделаем несколько замечаний. Во-первых, если известно, что rank B = r, то условие

управляемости уточняется: rank [B AB . . . A

n−r

B] = n.

Во-вторых, мы не просто доказали, что найдется управление, которое переводит

систему из произвольного начального состояния в начало координат, но указали яв-

но одну такую функцию u

∗

(t). Более того, предложенное управление оказалось глад-

кой функцией, в то время как в определении управляемости требуется лишь кусочная

непрерывность.

В-третьих, указанное управление u

∗

(t) к тому же является оптимальным по крите-

рию энергии (2.2) среди всех кусочно-непрерывных управлений, которые переводят си-

стему из заданного начального состояния в нуль (управление с минимальной энергией),

т.е. если u(t) — любое другое допустимое управление, то J( u

∗

) ≤ J(u). Действительно,

вычитая друг из друга решения системы при u(t) и при u

∗

(t), получим

A(T −t)

u(t) − u

∗

(t)

dt = 0,

откуда, домножив на W

−1

(T )e

0 =





A(T −t)

u(t) − u

∗

(t)

dt, W

−1

(T )e





u(t) − u

∗

(t)

(T −t)

−1

(T )e

= −

u(t) − u

∗

(t)

∗

(t)dt.

Поэтому

J(u) =

|u(t)|

dt =

|u(t) − u

∗

(t) + u

∗

(t)|

|u(t) − u

∗

(t)|

+ |u

∗

(t)|

+ 2

u(t) − u

∗

(t)

∗

(t)

2.1. Программное управление. Управляемость 47

|u(t) − u

∗

(t)|

dt +

∗

(t)|

≥

∗

(t)|

dt = J(u

∗

Пользуясь формулами (2.5) и (2.4), нетрудно посчитать и само значение энергии J(u

∗

J(u

∗

) = x





−Aτ

−A

dτ





−1

откуда видно, что чем меньше время T процесса, тем б´льшие управления приходится

применять, так что ограничение (2.2) может нарушиться.

Для произвольных x(0) = x

и x(T ) = x

управление, переводящее систему из x

в x

и минимизирующее функционал энергии (2.2), имеет вид

u(t) = −B

(T −t)

−1

(T )

− x

;

в частности, при x

= 0 получаем

∗

(t) = B

(T −t)

−1

(T )x

(2.6)

— управление минимальной энергии, переводящее систему из нуля в заданное состоя-

ние x

Аналогичные результаты имеют место для дискретных систем, именно, дискретная

система

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

, x

∈ R

, u

∈ R

, (2.7)

называется управляемой, если для любого x

и некоторого k > 0 найдутся такие ограни-

ченные управления u

, . . . , u

k−1

, которые переводят систему в начало координат: x

= 0.

Согасно (1.6), решением системы (2.7) является

= A

k−1

i=0

k−i−1

и требование управляемости приобретает форму: для всякого a ∈ R

найдется k > 0 и

векторы u

, . . . , u

k−1

, такие, что

k−1

i=0

k−i−1

= a. (2.8)

Отсюда вытекает критерий управляемости для дискретных систем.

Теорема 2 Система (2.7) управляема тогда и только тогда, когда пара (A, B) невы-

рождена.

48 Глава 2. Виды управления

Действительно, взяв k = n, перепишем уравнение (2.8) в виде Uu = a, где обозначено

= [B AB . . . A

n−1

B] ∈ R

n×mn

и u

= (u

. . . u

n−1

)

∈ R

. Видим, что это уравнение

имеет решение при любом a тогда и только тогда, когда ранг матрицы U равен n.

Заметим, что в отличие от непрерывных систем, дискретное время не может выби-

раться произвольно — требуется конечное число шагов, чтобы “накопить” ранг матри-

цы U. Если ранг B больше единицы, то систему можно привести в начало координат

за число шагов, меньшее n; в частности, если B невырождена, то мы достигаем цели

за один шаг.

Подход с точки зрения пограммного управления допуст´м, когда нет внешних воз-

мущений (w ≡ 0, v ≡ 0), матрицы A, B, C известны и задан некоторый критерий опти-

мальности (типа (2.2)). Например, в линейно-квадратичной задаче оптимального управ-

ления (см. подробнее в Главе 5)

min

(Rx, x) + (Su, u)

dt, x(0) = x

˙x = Ax + Bu

при известных матрицах A, B, R, S и времени T можно найти оптимальное решение

∗

(t), 0 ≤ t ≤ T. Однако в более общих ситуациях — при наличии неопределенных

внешних возмущений или неопределенности в описании системы — применение про-

граммного управления может привести к резкому ухудшению качества процесса ли-

бо к полной катастрофе. Представим себе, например, процесс управления самолетом,

рассчитанный заранее, до начала полета, и не предусматривающий использования по-

ступающей текущей информации о скорости ветра, высоте и т.п. Вряд ли кому-нибудь

придет в голову управлять самолетом таким образом. Это же относится и к подав-

ляющему большинству иных ситуаций, связанных с управлением производственными

процессами, транспортом, системами связи, финансами и т.д. Лишь в очень небольшом

числе случаев (расчет оптимального режима космического полета или модели, в кото-

рых t не играет роль времени, например, расчет оптимальной трассы дороги) решение

в виде u(t) является удовлетворительным.

В связи с этим в данной книге мы почти не будем иметь дела с программным управ-

лением. Ниже будут рассмотрены иные подходы к выбору управления.

Сопутствующие функции Matlab.

rank — вычисление ранга матрицы;

ctrb (CST) — построение матрицы управляемости;

gram (CST) — построение грамиана управляемости (и наблюдаемости, см. ниже).

2.2 Обратная связь по состоянию

Другой подход к проблеме управления связан с идеей обратной связи. Управление

не выбирается заранее, а корректируется в каждый текущий момент на основании ин-

2.2. Обратная связь по состоянию 49

формации о состоянии системы.

Выбор управления в форме функции от состояния и момента времени называется

синтезом управления:

u = ϕ(x, t). (2.9)

Функция ϕ(x, t) в принципе может быть нелинейной по x; существуют различные под-

ходы (например, динамическое программирование), позволяющие решать задачу опти-

мального синтеза при некоторых постановках задачи оптимального управления. Однако

после выбора управления в форме (2.9) уравнение состояния становится нелинейным

и нестационарным. Поэтому в данной книге мы ограничимся случаем статической

линейной обратной связи по состоянию:

u = Kx, (2.10)

где матрица усиления K ∈ R

m×n

не зависит от t. Оказывается, во многих задачах

управления такого типа обеспечивают наилучшее значение критерия оптимальности в

классе любых управлений, т.е. переход к нелинейным нестационарным обратным связям

не улучшает желаемого критерия качества.

Подставим управление (2.10) в уравнение (2.1), тогда получим уравнение замкнутой

системы:

˙x = A

x + D

w, A

= A + BK,

y = Cx + D

Таким образом, после замыкания системы обратной связью вида (2.10), мы опять

получаем линейное уравнение состояния, но уже с измененной матрицей состояния

= A + BK. В дальнейшем мы покажем (Гл. 4), что за счет выбора матрицы уси-

ления K можно улучшить свойства системы, например, сделать матрицу устойчивой,

тогда как A таковой не является.

Управления вида (2.10) называются линейными регуляторами. Большинство ис-

пользуемых на практике регуляторов являются именно линейными; они легко реализу-

ются технически.

Отметим, что возможности линейных регуляторов в некоторых отношениях огра-

ничены. Так, линейный регулятор в системе без возмущений ˙x = Ax + Bu не может

устранить начальное отклонение за конечное время, т.е. не может перевести систему из

(0)

= 0

в начало координат за конечное время даже при выполнении условия управля-

емости. Действительно, из уравнения замкнутой системы ˙x = A

x и условия x(T ) = 0

следует, что x(t) ≡ 0, поэтому то управление, которое выбиралось выше при доказа-

тельстве Теоремы 1 об управляемости, не было стационарной обратной связью.

В дискретных системах линейная обратная связь имеет вид

= Kx

и уравнениe замкнутой системы приобретают вид

= A

k−1

+ D

k−1

, A

= A + BK,

= Cx

+ D

Таким образом, матрица состояний A

замкнутой дискретной системы пересчитывается

по той же формуле, что и в непрерывном случае.

50 Глава 2. Виды управления

2.3 Обратная связь по выходу. Наблюдаемость

Состояние системы не всегда доступно измерению; часто единственная информа-

ция о системе предоставляется ее выходом y. Попытка построить регулятор в форме

статической линейной обратной связи по выходу

Ky,

где K — матрица m × l, как правило бывает неудовлетворительной; обычно систему

даже не удается сделать устойчивой с помощью управлений такого вида. Например,

если система ˙x = Ax + Bu, y = Cx, — одномерная, т.е. u, y ∈ R

, то K = k — скалярная

величина, и матрица замкнутой системы имеет вид A + BKC = A + kBC. Нетрудно

построить пример неустойчивой матрицы A и матрицы BC такой, что их линейная

комбинация A+kBC неустойчива при всех значениях коэффициента k. Иными словами,

мы имеем слишком мало возможностей воздействовать на систему. Поэтому обычно

поступают иначе. Например, в простейшей ситуации без внешних возмущений

˙x = Ax + Bu,

y = Cx,

управление ищется в виде, аналогичном обратной связи по состоянию:

u = K

но теперь вместо неизвестного состояния x берется его оценка

x по наблюдаемым зна-

чениям выхода системы.

Прежде чем переходить к конкретным способам построения оценок

x(t), обсудим

принципиальную возможность восстановления состояния по выходу. Для этого рас-

смотрим еще более простую ситуацию — открытую систему с выходом:

˙x = Ax

y = Cx.

(2.11)

Система (2.11) называется ненаблюдаемой, если разным траекториям могут отвечать

одинаковые выходы, т.е. найдутся такие x

6= x

, что для соответствующих траекторий

x, x

и выходов y, y

будет y ≡ y

. В противном случае система называется наблюдаемой.

Мы покажем, что если система наблюдаема, то можно точно восстановить значе-

ние x(t) по значениям y(t), ˙y(t), . . . , y

(n−1)

(t), т.е. достаточно знать значения выхода и

его производных в тот момент времени, когда производится оценка состояния.

Теорема 3 (наблюдаемость) Система (2.11) наблюдаема тогда и только тогда, ко-

гда ранг матрицы наблюдаемости







n−1







∈ R

ln×n

равен n. В этом случае пара (A, C) называется наблюдаемой парой.