Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление

Подождите немного. Документ загружается.

1.2. Передаточная функция 21

номер итерации в итерационном процессе или время может быть дискретным в процес-

сах, связанных с цифровым управлением. Открытая дискретная система приобретет

вид

= Ax

k−1

+ D

k−1

= Cx

+ D

(1.5)

а ее решение также выписывается в явной форме:

= A

k−1

i=0

k−i−1

. (1.6)

Сопутствующие функции Matlab:

ss (CST) — задание системы в пространстве состояний и переход от других описаний

(см. ниже) к пространству состояний;

ss2ss (CST) — переход к другим координатам при описании в пространстве состояний;

ssdata (CST) — извлечение данных (вычисление матриц системы) с предварительным

преобразованием (если необходимо) к пространству состояний;

c2d (CST) — дискретизация непрерывной системы;

expm — матричная экспонента;

funm — вычисление функции общего вида от матрицы.

1.2 Передаточная функция

Проведем некоторые формальные преобразования уравнений в пространстве состо-

яний. Введем оператор дифференцирования по времени: s =

; на гладкие функции

x(t) он действует по правилу

sx(t) = ˙x(t). (1.7)

Будем относиться к s как к комплексной переменной и рассматривать различные функ-

ции от нее; им нетрудно придать содержательный смысл. Например, если

R(s) = a

+ a

s + . . . + a

то

R(s)x(t) = a

x(t) + a

˙x(t) + . . . + a

(k)

(t).

Тогда, подставив s

в (1.1) (при x(0) = 0) и формально разрешая первое уравнение

относительно x, получим

x = (sI − A)

−1

(Bu + D

w),

и для выхода получаем выражение

y = C(sI − A)

−1

Bu +

C(sI − A)

−1

+ D

w. (1.8)

22 Глава 1. Описание линейных систем

Матричная функция комплексного переменного s

(s)

= C(sI − A)

−1

называется передаточной функцией от управления u к выходу y, а аналогичная функ-

ция

(s)

= C(sI − A)

−1

+ D

называется передаточной функцией от возмущения w к выходу y.

Рассмотрим эти функции подробнее. Элементами матриц H(s) являются дробно-

рациональные функции от переменной s, которые имеют общий знаменатель

P (s)

= det(sI −A) (1.9)

— характеристический полином матрицы A. Этот полином от переменной s будем назы-

вать характеристическим полиномом системы, так как в дальнейшем увидим, что от

расположения его корней зависят такие важные свойства системы как устойчивость и

другие. С учетом обозначения (1.9) H

(s) (и, аналогично, H

(s)) представима в виде

(s)

= H(s) =

P (s)

W (s), (1.10)

где W (s) — матрица, элементы которой — полиномы от s. Действительно, для любой

невырожденной матрицы M ∈ R

n×n

−1

det M

где

M = ((

)) — матрица, состоящая из алгебраических дополнений (присоединенная

матрица):

= (−1)

i+j

det M

;

здесь M

— матрицы, получающиеся из M вычеркиванием j-й строки и i-го столбца.

Поэтому, если M = (sI −A), то

— полиномы от s, откуда и следует выражение (1.10).

Нули s

характеристического полинома P (s) называются полюсами передаточной

функции H(s):

: P (s

) = 0, i = 1, . . . , n.

Таким образом, полюса H(s) совпадают с собственными числами матрицы A; для всех

остальных s матрица H(s) определена. В частности, если P (s) устойчив (см. ниже,

Гл. 3), т.е. все его корни лежат в открытой левой полуплоскости, то H(s) — матричная

функция, аналитичная в правой полуплоскости. Мы будем неоднократно пользоваться

этим в дальнейшем, и такие передаточные функции называем устойчивыми.

Возвращаясь к (1.8), на языке передаточных функций выход системы как функцию

от управления и внешних входов можем записать в следующем виде:

y = H

(s)u + H

(s)w. (1.11)

Строгое обоснование перехода от записи (1.1) системы в пространстве состояний к

форме (1.11) может быть сделано с помощью преобразования Лапласа; мы сейчас не

1.2. Передаточная функция 23

будем этим заниматься, а будем рассматривать (1.11) просто как иную форму записи

дифференциальных уравнений (1.1).

Разумеется, описание (1.11) системы с помощью передаточных функций может быть

и исходным; иногда оно возникает более естественно, чем описание в пространстве со-

стояний. Рассмотрим для простоты ситуацию, когда внешние возмущения и ошибки

измерения выхода отсутствуют:

y = H(s)u, u ∈ R

, y ∈ R

. (1.12)

В этой записи под передаточной функцией H(s) будем понимать матрицу l × m, эле-

менты которой есть дробно-рациональные функции от s, т.е. H(s) представима в виде

H(s) =

P (s)

W (s), (1.13)

где элементы l ×m матрицы W (s) являются полиномами от s. Полином P (s) — общий

знаменатель элементов матрицы H(s) — будем называть характеристическим поли-

номом системы, а его корни — полюсами передаточной функции (системы). Такое

определение характеристического полинома и полюсов системы не вполне точно, по-

скольку могут возникнуть неприятности, связанные, например, с возможным сокраще-

нием неустойчивых полюсов (см. обсуждение в разделе 3.4). Более строгое определение

дается следующим образом.

Формально умножив обе части (1.12) на P (s), с учетом (1.13) получим

P (s)y = W (s)u, (1.14)

и, рассматривая теперь s как оператор дифференцирования, приходим к системе диф-

ференциальных уравнений высокого порядка относительно y(t) ∈ R

, u(t) ∈ R

. На

элементы матрицы H(s) естественно накладывать дополнительное условие реализуе-

мости: степень полинома в числителе не превосходит степени полинома в знаменателе

(см. также ниже, раздел 1.4); такие передаточные функции будем называть правильны-

ми или реализуемыми. Тогда, вводя “искусственные” переменные — состояния — можно

привести уравнение (1.14) к виду, аналогичному (1.1). Иными словами, от записи систе-

мы с помощью реализуемой передаточной функции можно перейти к эквивалентному

описанию в пространстве состояний, которое принято называть реализацией передаточ-

ной функции в пространстве состояний. При этом используют запись

H(s) =

A B

C D

(1.15)

или H(s) = (A, B, C, D), которые означают, что система y = H(s)u эквивалентна систе-

ме

˙x = Ax + Bu, x(0) = 0,

y = Cx + Du,

и при этом

H(s) = C(sI − A)

−1

B + D.

24 Глава 1. Описание линейных систем

Переход от H(s) к (A, B, C, D)-реализации может быть осуществлен различными спо-

собами, и таких реализаций много. Среди них существуют такие, в которых размер-

ность A (т.е. размерность вектора состояний x) минимальна; они называются мини-

мальными реализациями. Соответствующая размерность A называется степенью Мак-

Миллана для передаточной функции. Эта степень может быть найдена с помощью спе-

циального алгоритма — приведения H(s) к так называемой форме Мак-Миллана. Если

(A, B, C, D) — минимальная реализация H(s), то

P (s)

= det(sI −A)

представляет собой характеристический полином системы, а его корни — собственные

значения A — называются полюсами матричной передаточной функции (полюсами

системы).

В дальнейшем мы увидим, что запись с помощью передаточных функций чрезвы-

чайно удобна; сейчас проиллюстрируем это на простом примере. Пусть имеется несколь-

ко объектов соответствующих размерностей, соединенных последовательно, так что вы-

ход y

каждого служит входом u

k+1

последующего (рис. 1.1), причем каждый объект

имеет свою передаточную функцию H

(s):

= H

(s)u

, k = 1, . . . , m;

мы для простоты полагаем, что имеется единственный входной сигнал u, а ошибки

измерения v отсутствуют.

u = u

(s)

= u

(s)

= u

. . .

m−1

= u

(s)

= y

Рис. 1.1: Последовательное соединение объектов.

Подставляя последовательно, получаем для связи общего входа u = u

и выхода

y = y

= H

(s) ···H

(s)u

= H(s)u,

т.е. передаточная функция последовательного соединения равна произведению переда-

точных функций объектов:

H(s) = H

(s) ···H

(s). (1.16)

Выразить такое соотношение на языке пространства состояний было бы гораздо

труднее. Поэтому в инженерной практике, где нередко рассматриваются сложные со-

единения простых звеньев (блок-схемы системы), язык передаточных функций явля-

ется общепринятым. При этом существуют простые правила, позволяющие рассчитать

итоговую передаточную функцию блок-схемы по передаточным функциям звеньев (по-

добные правилу (1.16) для последовательного соединения).

Обсудим еще одно важное свойство передаточных функций, поясняющее удобство

такого способа описания систем. Предположим, что система (1.1) имеет вид

˙x = Ax + Bu,

y = Cx,

1.2. Передаточная функция 25

а входное воздействие u(t) — комплексный гармонический сигнал:

u(t) = ae

jωt

где a — некоторый постоянный вектор, а ω — частота колебаний (напомним, что в

теории управления мнимую единицу принято обозначать j, а не i, как обычно в мате-

матике). Из формулы (1.3) для решения системы x(t) получим

x(t) = e

x(0) + e

(jωI−A)τ

Badτ

= e

x(0) + (jωI − A)

−1

Bae

jωt

− (jωI − A)

−1

Ba, (1.17)

и через x(t) обозначим установившееся значение вектора состояния

x(t)

= (jωI − A)

−1

Bu(t). (1.18)

Предположим, что матрица A устойчива, т.е. все ее собственные значения λ

лежат в

левой полуплоскости: Re λ

< 0, i = 1, . . . , n (подробнее вопрос об устойчивых матрицах

и системах обсуждается ниже, в Главе 3). Можно показать, что для устойчивых матриц

→ 0 при t → ∞. Тогда из (1.17)–(1.18) следует |x(t) − x(t)| → 0 при t → ∞. Таким

образом, для установившегося значения выхода имеем

y(t)

= Cx(t) = C(jωI − A)

−1

Bu(t), |y(t) − y(t)| → 0 при t → ∞,

или, иначе говоря,

y(t) = H(jω)u(t), (1.19)

где матричная функция H(jω) называется частотной характеристикой системы.

Поясним смысл полученного соотношения (1.19). Пусть все компоненты входного

вектора u(t) равны нулю, кроме i-й, которую представим в виде u

(t) = a cos ωt+ja sin ωt

(где a — число). Тогда k-я компонента установившегося значения выходного сигнала

равна

(t) = |h

(jω)|a cos(ωt + ϕ) + j|h

(jω)|a sin(ωt + ϕ),

где h

(jω) — (k, i)-й элемент матрицы H(jω), а ϕ = arg h

(jω). В силу линейности

H(·) отклик системы на сумму вещественной и мнимой составляющих u(t) равен сумме

откликов на каждую из них, т.е. если в качестве u

(t) взять вещественную гармонику

a cos ωt, то установившееся значение на k-м выходе будет

(t) = |h

(jω)|a cos(ωt + ϕ).

Приходим к важному выводу: если на i-й вход системы с устойчивой матрицей A

подается гармонический сигнал с частотой ω, то на k-м выходе в пределе получается

также гармонический сигнал с той же частотой. Его амплитуда в |h

(jω)| раз отлича-

ется от амплитуды входного сигнала (т.е. |h

(jω)| имеет смысл коэффициента усиле-

ния входного гармонического сигнала), а фаза изменяется на arg h

(jω). Это свойство

используется на практике для определения частотной характеристики системы экспе-

риментальным путем.

26 Глава 1. Описание линейных систем

Таким образом, в терминах передаточных функций очень удобно описывать транс-

формацию гармонических сигналов, проходящих через линейную систему.

Введем теперь передаточные функции для дискретных систем. Определим оператор

сдвига назад z:

= x

k−1

, (1.20)

и аналогично непрерывному случаю будем рассматривать его как формальную пере-

менную. Тогда при x

= 0 уравнение (1.4) запишется в форме

= zAx

+ zBu

+ zD

т.е.

= z(I − zA)

−1

+ z(I − zA)

−1

= zC(I − zA)

−1

zC(I − zA)

−1

+ D

Передаточные функции теперь выражаются через переменную z по формулам

(z) = zC(I − zA)

−1

B, H

(z) = zC(I − zA)

−1

+ D

, (1.21)

и характеристическим полиномом системы так же, как и раньше, будем называть

общий знаменатель элементов матричных передаточных функций, т.е. полином

P (z)

= det(I −zA)

от переменной z. Соответственно, передаточные функции (1.21), как и в непрерывном

случае, имеют вид

H(z) =

P (z)

W (z),

где W (z) — матрица, элементы которой являются полиномами от z. Поэтому, если P (z)

не имеет нулей внутри единичного круга, т.е. является устойчивым по Шуру

(экви-

валентно, матрица A дискретно устойчива, т.е. |λ

| < 1 для всех собственных значе-

ний A), то H(z) аналитична в этом круге.

Аналогично тому, как это сделано для непрерывных систем, можно показать что

если у открытой системы (1.5) без ошибок в наблюдении выхода (D

= 0) матрица A

дискретно устойчива, а на вход подается гармонический сигнал

= ae

jωk

то выход стремится к установившемуся значению, записываемому формулой

= H(e

−jω

, H(e

jω

)

= e

jω

C(I − e

jω

−1

т.е. и в этом случае гармонические сигналы преобразуются в пределе в гармонические,

с амплитудой, измененной в |H(e

jω

)| раз и сдвигом по фазе, равным −arg H(e

jω

) (знак

“−” соответствует оператору z сдвига назад).

Вопросы дискретной устойчивости полиномов и матриц подробно рассматриваются в разделах 3.2,

3.3.3 и 4.1.3.

1.3. Операторный подход 27

Мы вновь видим, что язык передаточных функций хорошо приспособлен к описа-

нию прохождения гармонических сигналов, имеющих фиксированную частоту. Поэтому

методы, основанные на таком подходе, обычно называют частотными.

Сопутствующие функции Matlab:

tf (CST) — задание системы с помощью передаточных функций и переход от других

форм записи к передаточной функции;

tfdata (CST) — извлечение данных (числителя и знаменателя передаточной функции)

с предварительным преобразованием (если необходимо) к частотной форме;

pole (CST) — вычисление полюсов системы;

append, connect, feedback, parallel, series (CST) — различные соединения зве-

ньев, заданных как передаточной функцией, так и в пространстве состояний;

freqresp (CST) — вычисление частотной характеристики;

minreal (CST) — построение минимальной реализации передаточной функции;

poly — вычисление характеристического полинома матрицы;

det — вычисление определителя матрицы;

inv — обращение матрицы.

1.3 Операторный подход

В последние годы все большее распространение получает еще один способ описа-

ния линейных систем, опирающийся на язык функционального анализа. Рассмотрим

непрерывную открытую систему

˙x = Ax + Bu, x(0) = 0,

y = Cx

(1.22)

при нулевых начальных условиях и отсутствии ошибок на выходе w = 0. Тогда сигнал

на выходе (y) линейно зависит от сигнала на входе (u):

y = Lu, (1.23)

где L — некоторый линейный оператор, действующий в соответствующих простран-

ствах функций. В данном случае, в соответствии с формулой (1.3), этот оператор яв-

ляется линейным интегральным оператором и имеет явное выражение

y(t) =

A(t−τ)

Bu(τ)dτ

h(t − τ )u(τ)dτ; (1.24)

28 Глава 1. Описание линейных систем

функция h(t) называется (матричной) весовой функцией системы, см. ниже, в разде-

ле 1.4. Однако можно рассматривать и более общие линейные операторы L (1.23), за-

дающие соответствие входа и выхода; при этом система не обязательно приводима к

виду (1.22). На такие операторы следует наложить естественные ограничения, напри-

мер, требование причинности: значение выхода y(t) в момент t не может зависеть от

значений входа u(τ) в будущем, при τ > t. Очень важно также, чтобы оператор L был

oграниченным. Чтобы строго определить это понятие, нам нужно ввести функциональ-

ные пространства, в которых определены сигналы, и нормы в них.

1.3.1 Нормы сигналов

Будем считать, что все сигналы определены на полуоси 0 ≤ t < ∞. Основные про-

странства, с которыми придется иметь дело, это

1) L

— пространство ограниченных с квадратом функций, в котором рассматри-

ваются измеримые функции u(t), заданные на 0 ≤ t < ∞ и имеющие ограниченную

2-норму:

kuk





∞

|u(t)|





1/2

< ∞. (1.25)

Здесь |u(t)|

— евклидова норма вектора u(t) ∈ R

. Во многих физических приложениях

ku(t)k

означает энергию сигнала, поэтому L

— пространство сигналов ограниченной

энергии. Отметим, что если u ∈ L

, то из конечности интеграла в (1.25) следует u(t) → 0

при t → ∞. Поэтому, например функция u(t) ≡ 1 не принадлежит L

, равно как и

функция u(t) = sin ωt при любом ω 6= 0.

2) L

∞

— пространство существенно ограниченных функций. В него входят изме-

римые функции u(t) с ограниченной ∞-нормой:

kuk

∞

= sup

0≤t<∞

|u(t)| < ∞,

где |u(t)| — какая-нибудь векторная норма в R

(как правило, это ∞- или 2-норма).

Заметим, что более правильно было бы писать

kuk

∞

= ess sup

0≤t<∞

|u(t)|,

где ess sup — существенная верхняя грань функции, получающаяся при пренебреже-

нии множествами нулевой меры. Мы, однако, будем считать, что функция u(t) уже

изменена на множестве нулевой меры так, что величина sup |u(t)| оказалась минималь-

ной. Например, вместо u(t) = 0, t 6= 1, u(1) = 1, мы рассматриваем эквивалентную ей

u(t) ≡ 0; для обеих функций kuk

∞

= 0.

Обычно kuk

∞

измеряет интенсивность сигнала, так что L

∞

— пространство сигна-

лов ограниченной интенсивности. Функции u( t) ≡ 1 и u(t) = sin ωt принадлежат L

∞

однако

u(t) =

(

1/t

0 ≤ t ≤ 1

0 t > 1

, 0 < α < 1/2

1.3. Операторный подход 29

не принадлежит L

∞

(она не ограничена), но принадлежит L

(ku(t)k

= 1/

√

1 − 2α).

3) L

— пространство абсолютно интегрируемых функций, для которых ограниче-

на 1-норма:

kuk

∞

|u(t)|dt < ∞,

где также |u(t)| — норма вектора u(t) ∈ R

(как правило, 1-норма). Функция

u(t) =

(

1/t

0 ≤ t ≤ 1

0 t > 1

, 1/2 ≤ α < 1

принадлежит L

(ku(t)k

= 1/(1 − α)), но не L

(интеграл от 1/t

2α

расходится в нуле

при α ≥ 1/2) или L

∞

Рис. 1.2: Пространства L

, L

∞

Условно соотношение между рассмотренными пространствами можно изобразить в

виде диаграммы на рис. 1.2. В частности, из ограниченности функции в L

-норме и

∞

-норме следует ограниченность в L

-норме:

kuk

∞

|u(t)||u(t)|dt ≤ kuk

∞

|u(t)|dt = kuk

∞

kuk

1.3.2 Нормы операторов

Нормы функций дают возможность определить и нормы линейных операторов.

Если линейный оператор L (1.23) переводит функции из L

в функции из L

, где p, q =

1, 2 или ∞ (т.е. если Lu ∈ L

при u ∈ L

), то его (p, q)-индуцированная норма равна

kLk

p,q

= sup

kuk

6=0

kLuk

kuk

= sup

kuk

≤1

kLuk

. (1.26)

Заметим, что аналогичным образом определяются и индуцированные нормы для мат-

риц (см. Приложение, раздел 5).

Некоторые из операторных норм особенно важны; в частности, случаи p = q = 2 и

p = q = ∞. Мы увидим в дальнейшем, как вычисляются эти нормы через передаточные

функции системы. Так, мы покажем, что

kLk

2,2

= kH(s)k

∞

30 Глава 1. Описание линейных систем

где kH(s)k

∞

означает H

∞

-норму передаточной функции системы (см. ниже).

Можно вычислять норму оператора и с помощью весовой функции, т.е. представле-

ния (1.24). Несколько забегая вперед, рассмотрим простейший пример. Пусть (1.22) —

устойчивая система (подробнее см. Гл. 3)) с одним входом и одним выходом. Тогда ее

весовая функция

h(t) = Ce

B ∈ L

так как |Ce

B| ≤ const ·e

−σt

, σ > 0, и поэтому

∞

|Ce

B|dt < ∞. Покажем, что имеет

место формула для оператора L, задающего систему (1.24):

kLk

= kLk

∞,∞

= khk

. (1.27)

Действительно, для kuk

∞

≤ 1 имеем

|y(t)| ≤

|h(t − τ )||u(τ)|dτ ≤

|h(t − τ )|dτ ≤ khk

поэтому kyk

∞

≤ khk

. С другой стороны, зафиксировав t и взяв u

(τ) = sign h(t − τ)

при 0 ≤ τ ≤ t и u

(τ) = 0 при τ > t, имеем

y(t) =

h(t − τ )u

(τ)dτ =

|h(t − τ )|dτ = khk

−

∞

|h(τ)|dτ.

Отсюда следует, что y(t) сколь угодно близк´о к khk

при больших t, т.е. sup

|y(t)| = khk

Норма оператора является мерой того, насколько он “усиливает” входные сигналы,

измеряемые в соответствующей норме. Обычно желательно выбрать управление так,

чтобы эта норма была по возможности мала; это означает, что выход системы будет

мал при любых возмущениях, ограниченных в соответствующей норме.

Аналогичные пространства и нормы вводятся для дискретного случая. Здесь нужно

рассматривать не функции y(t) на [0, ∞), а последовательности y

, y

, . . . , y

, . . ., где

∈ R

. Для них вводятся пространства l

и нормы в них определяются следующим

образом:

1) l

: kyk

∞

i=0

1/2

2) l

∞

: kyk

∞

= sup

0≤i<∞

3) l

: kyk

∞

i=0

Например, если y

≡ 1 или y

= sign(−1)

, то y ∈ l

∞

, но y /∈ l

, y /∈ l

, а для

= 1/(i + 1)

будет y ∈ l

∞

при любом α > 0, y ∈ l

при α > 1/2, y ∈ l

при α > 1.