Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач
Подождите немного. Документ загружается.
§ 1.2]
ОТНОШЕНИЯ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
И
.
ФУНlЩИИ
ЦЕННОСТИ
21
[62],
если
ДЛЯ
всякого
объеI\та
а
Е
В,
который
не
являет
ся
максимальным,
найдется
более
предпочтительный
мак
симальный
объект,
т. е.
будет
аОРа
для
некоторого
а
О
Е
Е
МахрВ.
Внешне
(и,
разумеется,
внутренне) устойчивое
множество
Махр
В
называется
ядро,м,
отношения
Р
в
В
[244]
*).
110IIятие
устойчивости
имеет
большое
значение.
Дей
ствительно,
если
множество
Махр
В
внешне
устойчиво,
ТО
оптимальный
(т.
е.
тот,
который
будет
считаться
на
илучшим
после
более
полного
ВЫЯВJlения
предпочтений
лица,
принимающего
решение)
объект
должен
быть
вы
бран
из
этого
множества.
Если
же
Махр
В
внешне
устой
ЧИВЬШ
не
является,
то
для
утверждения
о
том,
что
выбор
следует
ограничить
рамками
этого
множества,
вообще
го
воря,
нет
оснований.
Несложно
проверить,
что
если
R-
квазипорядок,
а
множество
В
конечно,
то
множество
Махр
В
непусто
и,
более
того,
внешие
устойчиво;
при
этом
Махр
В
можно
построить
путем
<<прямого
перебора»,
срав
НIIвая
каждый
объект
из
В
с
остальны.,IИ
и
выбирая
все
максимальные.
Таким
образом,
если
R -
квазинорядок,
то
множество
Махр
В
может
не
быть
внешне
устойчивым
(в
ч&стности,
быть
пустым)
лишь
при
бесконечном
В.
Различного
рода
условия
ненустоты
и
внешней
устойчи
вости
множества
.максимальных
элементов
при
водятся
в
работах
[9,
49,
117,201, 236].
При
111
е
ч
а
н
и
е
1.
Выше
рассматривалась
задача
вы
бора
одного
онтимального
объекта.
Однако
существуют
задачи,
в
которых
требуется
выбрать
не
один
наилучший,
а
несколько
лучших
объектов,
или
унорядочить
все
объ
екты
по
предпочтительности
и
т.
п.
Для
таких
задач
по
нятия
максимального
объекта
и ядра
теряют
свое зна
чение.
Например,
если
требуется
выбрать
r
лучших
объ
едтов
«<конкурснаю>
задача), то
уже
нельзя
утверждать,
что
все
они
должны
быть
максимальными
по
Р.
Простей
шип
пример:
В
=
{а,
Ь,
с},
Р
=
{(а,
с)}.
Здесь
Махр
В
=
=
{а,
Ы.
Однако
если
требуется
выбрать
два
лучших
объ
eRTa,
то
отбрасывать
с
нельзя:
если
принимающий
реше
ние
дополнительно
сообщит,
что
с
предпочтительнее,
чем
"')
в
теории
игр
внутренне
и
внещне
УСТОЙ'1lЦiое
подыноже
ство
наэывается
решенпем
Иеuмана
-
Моргенштерна
(ИМ-реше
нием}
,
а
ядром
принято
HRВЫBaTЪ
множество
максимальных
I)ле
ментов.
22
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ
И
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ.
1
Ь,
то
ИСRОМЫМИ
ОRажутся
объеRТЫ
а
и
с.
ДЛЯ
задач,
в
но
торых
необходимо
отобрать
установленное
число
r
луч
ших
объеRТОВ,
целесообrазно
применять
понятие
r-маRСИ-
мального
по
Р
объеRта
82]. .
При
м
е
ч
а
н и
е
2.
Часто
ИСПОЛЬЗУЮТСЯ
таRже
поня
ТИЯ
наихудшего
и
минимального
объеRТОВ.
ОбъеRТ
а",
Е
В
называется
uauxYGUtUM
в
В,
если
для
любого
а
е
В
вер
но
aRa*.
ОбъеRТ
ао
е
А
называется
миuимальuым
по
Р
отuосительuо
В,
если
ни
для
одного
а
е
В
не
выполняет
ся
аоРа.
Множество
минимальных
по
Р
объеRТОВ
из
В
обозначим
через
Min
p
В.
4.
Числовая
фУНRЦИЯ
ф,
определенная
на
А, называет
ся
возрастающей
(llеубывающей)
по
Р,
если
аРЬ
влечет
ф(а)
>
'Р(Ь)
(соответственно
ф(а);;;:::
ф(Ь))-
для
любых
а,
Ь
е
А.
В
дальнейшем
будет
использовано
следующее
утверждение
(см.,
например,
[зо,
77]).
Л
е
м м
а
2.
Пусть
В
s;;;
А
и
а
О
е В
доставляет
llеубы
вающей
по
Р
иа
В
фуunции
'Ф
uаиБОЛЬUlее
иа
В
З1lаче-
1lие.
Для
того
чтобы
объеnт
а
О
был
маnсuмаЛЬ1lЫМ
по
Р,
достаточuо
выnолuеuия
оди0го
uз
следующих
условий:
Ф
возрастает
по
Р
иа
В;
а
О
-
едU1lстве1l1lая
точnа
мак,симума
Ф
иа
В.
Д
о
R
а
з
а
т е
л
ь с т
в
о.
Действительно,
предположим,
что
а
О
не
является
маRсимальным
по
Р,
тан
что
в
В
най
дется
другой объеRТ
а
таRОЙ,
что
аРа
О
•
Но
тогда
должпо
быть
ф(а)
~
ф(а
О
),
причем
это
неравенство
строгое,
если
Ф
возрастает
по
Р.
Но
строгое
неравенство
противоречит
тому,
что
а
О
-
ТОЧRа
маRсимума
'Ф,
анестрогое
-
един
ственности
этой
ТОЧI\И
маI\симума
.•
Подмножество
В
s;;;
А
назовем
замn1lУТЫМ
сверху
по
R
(по
Р)
относительно
А,
если
для
любых
а
е
А
и
Ь
е
В
из
aRb
(аРЬ)
следует
а
е
В.
В
дальнейшем
ОI\азываются
полезными следующие
леГI\О
проверяемые
утверждения.
Л
е
м
м
а
3.
Если
nодмuожества
В
!
s;;;
А,
j
е
"
замn1lУ
ты
сверху по
R
(по
Р)
ОТ1l0ситеЛЬ1l0
А,
то
таnим
же
свойством
обладает
и
В
= n
В}.
jeJ
Л
е
м
м
а
4.
Если
Ф
ие
убывает
по
Р
иа
А,
то
для
лю
бого
числа
t
nодМ1l0жество
В
=
{а
е
А
I
ф(а)
!$:;
t}
заМn1lУ
то
сверху
по
Р
ОТ1l0ситеЛЬ1l0
А.
Л
е
м
м
а
5.
Пусть
В
s;;;
А
замn1lУТО
сверху
по
Р
отио
сителЬ1l0
А.
Тогда
объеnт
а
е
В
ма1>сuмале1l
по
Р
оти0си.
§
1.2]
ОТНОШЕНИЯ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
И
ФУНIЩИИ
ЦЕННОСТИ
23
rельuо
В
тогда
и
тольnо
тогда,
nогда
ои
,м,аnсu,м,алеu
по
Р
отuосuтельuо
А.
ГОВОРЯТ, что
полный
квазипорядок
R
на
А
представ
ляет
числовая
фУНКЦИЯ
'i',
если
aRb
верно
тогда
и
толь
но
тогда,
ногда
'i'(a)
~
'i'(b).
ФУНКЦИЮ
'i',
представляющую
отношение
не
строгого
предпочтения,
называют
фуunцuей
цеииостu,
а
также
фУНI<цией
полезности
*).
Это
назва
ние
сохранилось
с
того
времени,
когда
ошибочно
счита
ЛИ,
что
каждому
объеI<ТУ
присуща
неI<оторая
объектив
ная
ценность
(полезность),
которую
и
отражают
предпоч
тения
людей.
С
современной
точки
зрения
фУНI<ЦИЯ
цен
ности
является
лишь
«техничесюr
удобным»
средством
описания
предпочтений:
суБЪе!{ТУ
приписывается
такая
числовая
фУНКЦilЯ,
которая
как
бы
максимизируется
его
деliствиями.
Понятно,
что
функция
ценности
является
ка
чественным
I<ритерием:
она
определена
с
точностью
до
ИРОIIЗВОЛЬНОГО
возрастающего
преобраЗ0вания.
Условия
существования
функции
ценности
приведены
в
[56,
99].
Здесь
отметим
лишь
тот
факт,
что
функция
ценности
су
ществует
для любого
полного
квазипорядка,
rшгда
мно
жество
А
исчислим
о, т.
е.
конечно
или
счетно.
Если
на
множестве
А
определена
функция
ценности
'IjJ,
представляющая
отношение
нестрогого
предпочтения
R,
то
для
любого
В
5
А,
очевидно,
МахрВ
=
{Ь
Е
В
1'"
(Ь)
=
тах
'"
(а)},;
аЕВ
причем
все
максимальные
по
Р
объекты
из
В
являются
наилучшими.
5.
ХараI<терной
особенностью
«языка»
бинарных
отно
шений
является
допущение
о том,
что
результат
сопо
ставления
по
предпочтению
двух
объеI<ТОВ
не
зависит
от
состава
всего
множества
выбора
А.
Однако
в
целом
ряде
случаев
такая
зависимость
имеет
место,
и'
для
ее
учета
приходится
обращаться
к
более
богатому
«язьшу»
описа
ния
предпочтений,
основанному
на
использовании
фУНl{
ций
выбора.
"')
Чаще
функцией
полезности
называют
такую
функцию,
ма
тематическое
ожидание
которой
представляет
отношение
не
строго
го
предпочтения
во
множестве
вероятностных
распределений,
рас
сматриваемых
на
А.
24
OCHOBНlJE
ПОНЯТИЯ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ.
i
Пусть
~
-
фиксированная
совокупность
непустых
под·
множеств
множества
А.
ФУ1l1щuей
выбора
(на
fl()
назы·
вается
отображение
С,
сопоставляющее
всякому
множе·
ству
В
е
f2!
подмножество
С(Ю
~
в.
В
том
частном
слу
чае,
когда
задано
отношение
строгого
предпочтения
Р,
функцию
выбора
можно
определить
равенством
с(в}
=
=МахрВ,
В
~
\1(.
Вопрос
о
введении
бинарного
отноше
пия
предпочтения
по
заданпой
функции
выбора
оказыва
-ется
значительно
более
тонким
[56, 221].
Аппарат
функ.
ций
выбора
является
основой
интепсивно
развивающейся
в
настоящее
время
общей
теории
выбора
[1J.
§ 1.3.
Независимость
критериев
по
предпочтеиию.
Многокритериальные
задачи
м&ксимизации
1.
В
многокри'!;'ериальной
задаче
каждое
решение
х
Е
Х
полностью
характеризуется
своей
оценкой
у
=
I(x},
и
по
этому
выбор
оптимального
решения
сводится
к
выбору
ОПТИЩlЛьной
оценки
из
множества
У
всех
достижимых
оценок.
В
связи
с
этим
описание
предпочтений
принима
ющего
решение
первоначально
осуществляется
во
множе-
стве
всех
оценок
У.
Такое
описание
практически
обычно
производится
при
помощи
бинарных
отношений
предпоч
тения
или
функции
ценности.
При
полном
отсутствии
информации
(кроме
перечня
критериев
11' 12'
...
,
1т)
о
предпочтениях
принимающегр
решение
во
множестве
f
можно
ввести
лишь
отношение
безразличия,
являющееся
отношением
равенства
(=)
оце
нок
Kal{
векторов
из
Е'n
(при
этом
отношение
не
строгого
пре~почтения
совпадает
с
=,
а
отношение
строгого
пред
почтения
оказывается
пустым).
Отношение
безразличия
=
индуцирует
отношение
безразличия
"'"
f
во
множестве
решений:
х
"'"'jX',
когда
I(x}
=
!(х'),
т. е.
решения,
имею
щие
равные.
оценки,
одинаковы
по
предпочтительности.
Отношение
"'"
f
является
эквивалентностью
и
разбивает
множество
Х
на
Rлассы,
состоящие
из
одинаковых
по
предпочтительности
решений.
Таким
образом,
если
задача
является
нетривиальной,
т.
е.
если
множество
У
включает
более
одной
оценки,
то
выбор
оптимального
решения
без
информации
о
предпоч
тениях
принимающего
решение
невозможен.
§
1.3]
МНОГОRРИТЕРИАПЬНЫЕ
ЗАДАЧИ
МАIЮИМИЗJЩИИ
25
2.
В
одно:критериальных
задачах
(при
т
=
1)
полная
Ilнформация
подобного
рода
обычно
СОСТОИТ
D
у:казании
направления
предпочтительного
изменения
оцено:к
на
множестве
У
=
У,
являющемся
подмножеством
числовой
ПРЮlОй.
Это
объясняется
Te:\l,
что
в
большинстве
при
Iшадных
задач
в
:качестве
:критерия
выбираются
тaIше
фУНIЩИИ,
для
:которых
либо
большее
значение
всегда
предпочтительнее
меньшего,
либо,
наоборот,
меньшее
:ша
чение
предпочтительнее
большего.
В
первом
случае
:критерий
часто
имеет
смысл
прибы
.'ПI,
дохода и
т.
п.,
выражает
степень
достижения
по
ставленной
цели
(например,
процент
выполнения
плано
пого
задания)
или
же
отражает
«техничес:кие»
хара:ктери
стики,
:которые
желательно
увеличивать
(с:кажем,
удоб
ство
работы
оператора,
:которое
оценивается
э:кспертами
в
баллах).
Во
второы
случае
:критерий
имеет
смысл
издерil\еI\,
расхода
ресурсов
и
т.
п.
или
же
описывает
«техничеСЮIe»
хара:ктеристи:ки,
:которые
желательно
минимизировать
(например,
загрязнение
ОI\ружающей
среды).
Пос:коль:ку
второй случай
лег:ко
сводится
:к
первому,
например,
заменой
/1
на
-/1,
то
в
обоих
случаях
одно:кри
териальная
задача
может
быть
сфорr.lулирована
в
виде
задачи
ма:ксимизации,
т.
е.
задачи,
в
:которой
большие
значения
:критерия
предпочтительнее
меньших.
В
задаче
lIIа:ксимизации
:критерия
/1
отношение
строгого
предпоч
тения
на
У
является
обычным
отношением
«больше»
(»
ыеащу
числами.
Та:ким
образом,
:критерий
/1
в
задаче
Мi1I,СlIмизации
играет
роль
фУН:КЦИИ
ценности:
любые
два
у
л
~----------~v~--------~J
~
9
Рис.
2.
I
решеUIIЯ
Х,
х
о:казываются
сравнимыми
по
предпочти-
телыlОСТИ,
II
лучшим
11З
них
является
то,
ДJIЯ
:которого
значение
:критерия
больше.
Следовательно,
оптимальной
оцен:кой
у*
является
наибольшая
в
У
(см.
рис.
2),
а оп
тимальным
явля:ется:
любое
решение
х*
Е
Х,
максимизu-
26
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ
И
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[гл.
1
рующее
/1
на
Х:
/1
(х*)
=
таХ/
1
(х)
=
у*.
хеХ
Если
такое
решение
не
существует,
то
вводится
D
рас
смотрение
максимизирующая
последовательность
реше
ний
{X*r}
!:
х,
удовлетворяющая
равенству
lim
/1
(Х*Т)
=
SUP
/1
(х).
r-+oo
хЕХ
Если
критерий
ограничен
на
У
сверху,
то
для
любого
~
>
о
(т.
е.
для
любой
заданной
точности)
найдется
та
кое
число
N,
что
при
любом
r > N
будет
справедливо
не
равенство
SUp
/1
(х)
-
/1
(Х*Т)
<::
S.
хеХ
Заметим,
что
в
прикладных
задачах
нединамичеСI<ОГО
характера
неограниченность
критерия
сверху
или
снизу
обычно
является
признаком
наличия
ошибки
в
построен
ной
математической
модели
проблемной
ситуации
(на
пример,
не
учтена ограниченность
ресурсов).
Легко
видеть,
что
определение
оптималыюго
реше
пия
адекватно
для критерия
/1,
имеющего
всего
лишь
поряд
ковую
шкалу.
Определение
максимизирующей
последова
тельности
адекватно,
Iюгда
допустимы
непрерывные
моно
тонные
преобразования
этого
критерия.
Не
следует
думать,
что
всякая
однокритериальная
за
дача
легко
представляется
в
виде
задачи
мак~имизации
путем
задания
единого
паправления
возрастания
предпоч
тений.
Иногда
для
этого
требуется
более
полная
информа
ция
о
предпочтениях.
Для
иллюстрации
разберем
следую
щий
пример
[94].
Пусть
11
-
время
исполнения
зан:аза,
Itопраdленuе
dозросmОIfШl
Itопроdлеlfuе
do:JjJocmOIfUR
преiJПО'lmеНШl
..
'...,
пpelJПОl/mеНШl
t*
у,
Рис.
3.
причем
для
клиента
нежелательно
I{aK
исполнение
с
за
позданием
относительно
установленного
срока
t*,
тю{
и
досрочное
исполнение.
В
этом
случае
на
шкале
У
1
име
ются
два
направления
возрастания
предпочтений
(рис.
3),
§ 1.3]
мноrоНРИТЕРИАлыrЫЕ
ЗАДАЧИ
МАНСИМИ3АЦИИ
27
II
пеобходима
дополнительная
информация
для
сопостав·
ления
отнлонений
/1
-
t*
разных
знанов.
В
частности,
если
установлено,
что
отнлонения,
различающиеся
лишь
знаIl:аМII,
одинановы
по
предпочтительности,
то
исходную
задачу
можно
свести н
задаче
МИНИМИ3дции
нового
нри.
терия
1/1
- t*l.
3.
в
многонритериальных
задачах
сравниваются
по
предпочтительности
венторные
оценни,
т.
е.
значения
вен·
торного
нритерия
/ =
(/1'
/2'
...
,
/т).
Естественно,
что
наи·
более
просто сопоставлять
по
предпочтительности
те
вен·
торные
оценни,
ноторые
отличаются
друг
от
друга
лишь
одной
номнонентоЙ.
Поэтому
информация
о
нредпочти
тельности
изменения
значения
одного
частного
нритерия
при
финсированных
значениях
всех
остальных
нритери
ев
является
нанболее
доступной
и
достоверной,
и
именно
ее
целесообразно
получать
в
первую
очередь
и
использо
вать
для
анализа
задачи.
В
общем
случае
значения
критерия
/1
могут
по-разно
му
соотноситься
по
предпочтительности
в
зависимости
от
того,
нюше
значения
финсированы
у
всех
остальных
кри
териев.
Иначе
говоря,
для
чисел
S
и
t
из'
У
1
может
она
заться,
например,
что
оценна
(YI'
.•.
,
YI-I,
S,
YI+I,
...
,
Ут)
предпочтительнее,
чем
(YI'
••.
,
YI-I,
t,
YIH,
.•.
,
Ут),
одна-
(
' , ,
')
1:0
Yl,
...
,
Yl-l'
S"l
YlH,
••
'"
Ут
менее
предпочтительна
по
(
'
I ,
')
сравнению
с
Yl"'"
Yl-l,
t,
Yl+l,
••
"
Ут
.
И
тогда
сна-
зать,
кано
е
из
значений
/l-S
или
t -
предпочтительнее,
пе
указывая
значений
остальных
критериев,
невозможно.
Критерий
/1,
для
ноторого
имеет
место
уназанное
по
ложение,
называется
ВавuсuJlы
....
t
по
nредnочтенuю
от
ос
тальных.
Например,
если
/1
и
/2
-
длина
и
ширина
I\OM-
паты,
а
/3
-
высота
потолка,
то
с
точки
зрения
жильца
/3
зависит
по
предпочтению
от
{Л,
/2}'
Еще
пример:
наж
дый
из
нритериев
/1
(температура
воздуха)
и
/2
(его
влаж
ность)
зависят
по
предпочтениl0
один
от
другого
(имеет
ся
в
виду
lЮМфОРТНОСТЬ
для
человена).
Однако
гораздо
чаще
встречаются
тание
Rритерии,
для
ноторых
можно
упорядочить
по
предпочтению
все
их
зна
чения
без
рассмотрения
значений
остальных
критериев.
Примерами
являются
уже
упоминавшиеся
нритерии
до
xo~a,
издержеI\
и
т.
п.
ТаRие
I{ритерии
называются
не
зависимыми
по
предпочтению
От
остальных
[181].
Более
28
ОСНОВНЬ1Е
I10НЯТnЯ
11
ОПРЕДЕJ1ЕНIiЯ
[1'п.
1
точно,
критерий
11
незавuсuм
по
nредnочтенuю
от
осталь
ных
т - 1
критериев,
если
ДJlЯ
любых
четырех
оцено},
вида
(Уl'
••.
,
Yl-l,
В,
YlH,
••
'.'
Ут),
(У
l'
••
'.'
YI-l,
t,
YlH,
••
'.'
Ут),'
(
' , ,
')
Yl'
••
'.'
Yl-l,
В,
YZ+l,' • "
Уm
,
(
, , , )
Уl,
..
'.'
Yl-l,
t,
Yl+l'
•••
t
Ут
из
соотношения
(Yt,
...
, Yl-t,
В,
Yl+l,
...
,
Yт)R(Yt,
...
, Yl-t,
t,
Y'+I,
"',
Ут)
всегда
следует
(
' , ,
')
('
, ,
')
Yl"
••
'.!
Yl-l,
В,
YZH,
••
"
Ут
R Yl,
.••
,
YI-l,
t, YI+l,
••
"
Ут
.
Если
I{ритерий
11
независим
по
предпочтению
от
сово
купности
остальных,
то
на
множестве
У
,
можно
ввести
отношеНIIе
нестрогого
предпочтенuя
R
"
полагая
вЯt
t,
Богда
(YI'
•..
, Yl-I,
S,
YI+I,
...
, Ym)R(YI,
...
, Y,-I,
t,
Yl+l,
"',
Уm>
для
некоторых
двух
(а
значит,
и
любых
двух)
оценок
та
БОГО
вида.
Нроме
того,
и
на
множестве
f
можно
ввестп
отношение
не
строгого
предпочтения
R(l)!
полагая
yR(l)Y',
, ,
когда
Yi
=
Yi
для
всех
i
=t=
l
и
уIRШI.
.
Задачи,
в
которых
все
критерии
независимы
по
пред
почтению,
т. е.
каждый
критерий
независим
по
предпоч
тению
от
совокупности
всех
остальных,
а
отношением
не
строгого
предпочтения
на
множестве
значений
наждого
I<ритерия
является
отношение
~
«<Не
меньше»>,
назы
ваются
многокрuтерuа,л,ьнымu
задача.МU
макси.мuзацuu.
В
таних
задачах
по
I{аждому
нритерию
желательно
иметь
возможно
большее
значение,
или,
кан
говорят, нажды:ii
нритерий
желательно
максимизировать.
Если
же
в
задаче
каждый
критерий
желательно
минимизировать,
то
она
на
зывается
многоt>рuтерuа,л,ьной
задачей
мuнuмuзацuu.
В
дальнейшем,
за
исключением
особо
оговариваемых
случаев,
будут
рассматриваться
МНОГOl{ритериалъные
за
дачи
максимизации.
При
м
е
ч
а
н
и
е.
В
ряде
работ
критерием
называется
показа
телъ,
независимый
по
предпочтению
от
совокупности
всех
осталь
ных
показателей,
а
под
многокритериальными
понпмаются
задачи,
В
которых
все
показатели
независимы
по
предпочтению.
§
1,4}
ЭФФЕКТИВНЫЕ
1t
СЛАБО
ЭФФЕктИВnЫЕ
РЕШЕНиft
20
§ 1.4.
Эффективные
I1
слабо
эффективные
оценки
и
решения
1.
В
мвогокритериальвой
задаче
максимизации
из
двух
векторных
оценок,
отличающихся
лишь
одной
I<OM-
понентой,
предпочтительнее
та,
у
которой
такая
к@мпо
нента
больше.
А
что
можно
сказать
о
векторных
оценнах
у
n
у',
для
которых
выполняются
неравенства
,
Yi
'2
Yi,
t =
1,
2,
..
','
т?
(1)
Разберем
вначале
случай
многокритериальной
задачи
принят
ия
индивидуального
решения.
Допустим,
что
пред
почтения
принимающего
решение
описываются
отношени-
ем
нестрогого
предпочтения
R
на
У:
причем
известно,
что
оно
не
только
рефлексивно,
но
и
транзитивно
(т.
е.
является
квазипорядком).
Считая,
что
У
- Y
t
Х
У
2
Х
...
. . .
Х
у
т,
можно
записать
следующие
соотношения
для
веI,ТОрных
оценок,
последовательно
ИСПОJIЬЗУЯ
отношение
6
для
их
компонент:
(Уl'
У2;
•.
"
Ут)
R
(у;,
У2'
•..
,
Ут),'
(Y~,
У2'
•.•
,
Ут)
R
(y~!
y~;
Уз,
.•.
,
Ут)',:
(
' ,
)R("
')
Уl,
••
'1
Ут-ll
Ут
Yl,
У2,
••• J
Ут
•
На
основании
этих
соотношений
и
транзитивности
R
при.
ХОДИ!lI
К
заключению,
что
верно
yRy',
т.
е.
векторная
оценка
у
не
менее
предпочтительна,
чем
у'.
Если
утверждать,
что
R
транзитивно,
нельзя,
или
если
у
не
представляется
прямым
произведением
У
!
ХУа
Х
..•
. . •
Х
У
т,
то
формальным
путем
прийти
к
сформулиро
ванному
утверждению
yRy',
вообще
говоря, нельзя.
Од
нюш
в
любом
случае оно
представляется
настолько'
ес·
тественным,
что
во
всех
моделях
принятия
индивидуаль
ных решений
вводится
как
аксиома.
Принятие
этой
ак
сиомы,
называемой
часто
(сильной)
аксиомой
Парето,
означает
введение
во
множестве
оценок
У
отношения
нестрогого
предпочтения,
совпадающего
с
(частичным)
по
рядком
~
для
векторов
из
Ет
*).
*)
Точнее,
с
его
сужением
на
У:
Однако
ради
простоты
за
писи
здесь
n
в
дальнейшем
сужения
отношений
$:,
;::
и
других
обозначаются
так
же,
НЮ( и
сами
эти
отноmения.
30
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ
И
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ.
1
Отношению
нестрогого
предпочтения
~
соответствует
отношение
безразличия
=
и
отношение
строгого
предпоч
тения
>
(У'?:
У'
означает,
как
указано
в
§ 1.2,
что
спра
ведливы
неравенства
(1),
причем
хотя
бы
одно
ИЗ
них
яв
ляется
строгим).
2.
Разберем
теперь
случай
многокритериальной
задачи
принятия
группового
решения,
когда
j/
является
функци
ей
ценности
индивида
i
*),
входящего
в
группу
{1,
2,
..•
••.
,
т},
так
что
Мх)
~
Мх')
означает,
что
решение
хне·
хуже,
чем
х' с
точки
зрения
i.
В
такой
задаче
отношение
предпочтения
на
множестве
оценок
У
должно
отражать
«групповое
мнение»,
агрегирующее
индивидуальные.
Если
у
=
У',
т.
е.
j(x)
=
j(x'),
то
вывод
о
равенстве
х и
х'
по
предпочтительности
может
быть
сделан
и
для
группы
в
целом.
Остается
рассмотреть
вопрос:
если
в
(1)
хотя
бы
одно
неравенство
строгое,
то
следует
ли
считать,
что
ре
шение
х
предпочтительнее,
чем
х'?
Пожалуй,
положительный
ответ
на
последний
вопрос
можно
дать не
во
всех
реальных
ситуациях.
Действи
тельно,
если
строгое
неравенство
в
(1)
всего
одно, то это
означает,
что
х
предпочтительнее,
чем
х'
лишь
для
одного
члена
группы,
а
для
всех
остальных
оба
решения
равно
ценны.
Но
в
некоторых
ситуациях
может
оказаться,
что
«одного
голоса»
слишком
мало,
и
тогда
группа
в
целом
не
обязательно
должна
считать
х
предпочтительнее,
чем
х'.
По-видимому,
в
разных
ситуациях
ИТОГ
сравнения
оце
нок
У
и
У'
может
зависеть
от
того,
сколько
строгих
пе
равенств
выполняется
в
(1).
Однако
самым
слабым
явля
ется
допущение,
состоящее
в том,
что
У
для
всей
группы
предпочтительнее
у',
если
в
(1)
все
неравенства
строгие.
Это
допущение,
принимаемое
почти
во
всех
известных
мо
делях
групповых
решений
(и
называемое
(слабой)
аксио-
мой
Парето),
вводит
на
У
отношение
строгого
предпочте
ния,
совпадающее
с
отношением
>
для
векторов
из
Еm
(точнее,
с
его
сужением
на
У):
у>
у'
верно
тогда
и
толь
.ко
тогда,
когда
Yi
>
у;
для
всех
i =
1,
2,
...
,
m.
Тю\Им
образом,
в
зависимости
от
специфики
задачи
отношение
строгого
предпочтения
Р
может
вводиться
по-разному,
од-
.)
Возможен
и
более
общий
случай,
когда
члены
группы
{<имеют»
ПО
неСI\ОЛЬКО
критериев.