Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач
Подождите немного. Документ загружается.
§ &.4]
ЛИНЕйНЫй
СЛУЧАй
231
для
матрицы
U
О
=
С
в
А
я
1
быть
допустимой
в
двойствен
ной
задаче
Ба
(и
в
двойственной
задаче
Б
з
).
Таким
обра
зом,
если
матрица
U
О
является
допустимой
в
двойствеп
IЮЙ
задаче
Ба
(двойственной
задаче
Б
з
),
то
допустимое
базисное
решение
х
О
будет
эффентивным
по
вектор-фуш,
ции
Сх
относительно
рассматриваемого
мпожества
огра
ничений.
Потребность
в
нроверке
допустимости
матрицы
U
О
ВОЗIlикает
на
первоii
фазе
работы
многокритериаль
пого
симплекс-метода,
когда
ОТЫСI{ивается
допустимое
базисное
решение,
являющееся
эффективпым
(т.
е.
на
чальное
эффективное
базисное
решение).
Заметим,
что
конкретная
реализация подобной проверlШ
может
быть
осуществлена
различными
способами.
5.
I\aR
указывалось
ранее,
двойственная
задача
А
I
была
введена
Д.
Гейлом,
Х.
Иуном
И
А.
Таккером
в
[154].
Следует,
однако,
заметить,
что
в
этой
работе
рассматрп
вались
линейные
задачи
более
общего
вида,
чем
Мах
Q
и
Min
l/I,
и
теорема
3
из
п.
3 -
это
лишь
частпый
случай
результатов
авторов
работы
[154].
Приведем
здесь
ФормулироВl\И
линейных
задач,
изуче
пию
которых
посвящена
работа
[154].
Для
этого
усло
вимся
нисать
8
~
8°
для
матриц
одинакового
размера
т
Х
r,
если
все
элементы
матрпцы
8 - 8°
пеотрицатель
IIЫ
и
хотя
бы
один
-
положительный.
Будем
говорить
(см.
[154),
что
матрица
8°
является
.лtа~СUJltа.льnоЙ
(Jlt1l-
lluJltа.льnоЙ)
в
ненотором
фиксированном
множестве
MaT~
риц
размера
т
Х
r,
если
8°
принадлежит
этому
множе
ству
и
в
нем
не
существует
такой
матрицы
8,
что
8
~8°
(8
58°).
IIетрудно
видеть,
что
последнее
онределение
естественпым
образом
согласуется
с
общим
определением
максимального
(минимального)
элемента,
данного
в
§ 1.2.
Пусть
А,
В,
С
-
матрицы
соответствующих
размеров
k
Х
n,
k
Х
r,
т
Х
n,
а
8
и
Z -
матрицы
размера
т
Х
r.
Пр
я
м
а
я
з
а
Д
а
'1
а
А,.
Найти
максимальные
матри
цы
множества
S =
LJ
U {8!
St<
Сх},
ас
t
где
объединение
берется
по
всем
х
Е
E~,
t
Е
Е;,
r
",'
.....
t
i
= 1,
удовлетворяющим
неравенству
Ах
~
Бt.
(=1
232
ДВОйСТВЕННЫЕ
многоRритЕриАльныE
ЗАДАЧИ
[ГЛ,
д
в о
й
с т
в
е
н н
а
я
з
а
Д
а
'1
а
AJI'
Найти
?Iиппмаль~
ные
матрицы
множества
Z==u
U
{ZIJ.tzе;;лв},
~
1&
где
объединение
берется
по всем
л
Е
E~,
J.t
Е
М,
удов
летворяющим
неравенству
лА
~
~C.
Легко
видеть,
что
при
r
==
1
вектор-параметр
t
исче
зает,
матрицы
S,
Z,
в
становятся
векторами
COOTBeTCTBY~
ющих
размеров
и
первая
задача
с
точностью
до
обозна~
чевий
совпадает
с
прямой
задачей
А
(см.
п.
1),
а
вто
рая
-
с
двойственной
задачей
A
j
•
Если
в
теореме
3
из
п.
3 Q
заменить
на
В,
Н
1
-
на
Z
и
операции
Мах
(Min)
понимать
как
операции
над
мат
рицами
в
смысле,
определенном
выше,
то
эта
теорема
укажет
соотношение
между
сформулированными
задача
ми,
установленное'
в
[154].
В
заключение
отметим,
что
между
задачами
A
t
,
АI'
n
парой
параметрических
задач
из
п.
2
имеется
тесная
связь.
Эта
связь
рассматривалась,
например,
в
работах
[176, 214].
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Современная
теория
Парето-оптимальных
решений
на·
чала
формироваться
в
начале
50-х
годов,
хотя
некоторые
ее
результаты,
часто
в
неявном
виде,
были
получены
значительно
раньше
в
других
разделах
математики
[226J.
Особенно
интенсивно
она
развивалась
в
последнее
деся·
тилетие.
В
книге
изложение
этой
теории
было
ограничено
в
основном
наиболее
разработанным
к
настоящему
времени
случаем
статической
одноуровневой
модели
принятия
ре·
шений
при
конечном
числе
критериев
в
условиях
опре
деленности.
С
состояиием
теории
IIшогокритериальноii
оптимизации
процессов
можно
ознакомиться
по
обзору
[98].
Оптимальные
по
Парето
иерархические
системы
ана
лизируются
в
статьях
[47, 270, 2751.
Парето·оптималr.·
ные
решения
при
рпске
инеопределенности
рассматрп·
ваются
в
работах
[10,45,
81, 83, 260, 265].
Задачи
с
бес
конечным
числом
критериев
исследуются
в
[61, 255, 256].
Оптимальные
по
Парето
решения
в
моделях,
описыва
емых
на
языке
нечеТКIIХ
множеств,
изучаются,
напри
мер,
в
статьях
[258,
2911.
Ряд
работ,
выполненных
в
самое
последнее
время,
указан
в
списке
литературы,
добавленном
прп
корректуре.
Авторы
надеются,
что
эта
книга
будет
способствовать
дальнейшему
развитию
теории
и
разработке
эффектив
ных
методов
принятия
решений
при
многих
критериях.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
БИБЛИОГРАФЦЧЕСКИЕ
ССЫЛКЦ
Ниже
перечисляются
литературные
источники
ряда
теорем,
лемм,
следствий
И
примеров,
не
указанные
в
библиографически"
комментариях,
примечаниях
и ссылках,
приведенных
в
основном
тексте
книги.
Теоремы
1.6.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.5
2.1.6
2.1.7
2.1.9
2.1.10
2.1.11
2.1.12
2.2.1
2.2.2
2.2.4
2.2.6
2.3.1
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.5.1
2.5.2
3.1.2,
4
3.1.7
3.2.4
3.2.5
3.3.2
3.3.4
3.4.1
Дж.
Борвейн
[124]
Ю.
Б.
Гермейер
[19,
21];
М.
Койима
[182];
В.
Бау.
маи
[125]
В.
В.
ПОДИНОВСItИii
[85]
Л.
Гурвич
[30]
В.
В.
Подпновский
[76,
77,
85];
Л.
Бенсусав,
Ж.-Л.
Л!I
онс,
Р.
Темам
[6];
А.
Пейн,
Э.
Полак
[206];
Дж.
Лиц
[191,
195];
Г.
Рухе
[2161
А.
Чарнс,
У.
Купер
[130];
А.
С.
KpaCHeHK~p
Г
46]
Л.
Гурвич
[30];
В.
В.
ПОДIIНОВСКIIЙ
[77];
И.
~lаРУШЧdК,
М.
Рэдулеску
[1991
Ю.
Б.
Гермейер
[20,
22]
А.
ДжоФФрион
[160],
В.
В.
Подиновскиii
[77]
В.
В.
Подиновский
[77]
В.
Д.
Ногин
[70]
П.
Ю
[246]
Л.
Гурвич
[30];
С.
Карлин
[41]
А.
Джоффрион
[161]
х.
Кун,
А.
Таккер
[187];
С.
Карлин
[41];
А.
ДЖОффрн
он
[161]
У.
Джархарт
[157]
Н.
Да
Канха,
Э.
Полак
[137];
А.
Джоффрион
[161]
В.
Д.
Ногин
[65]
А.
Джоффрион
[161]
n.-х.
Ван
[237];
В.
В.
Гороховик
[26]
С.
Смейл
[222,
223];
n.-х.
Ван
[237];
В.
В.
Горохо
вик
[26]
В. В.
Подпновский
[77]
R.
Эрроу,
Е.
Баранкин,
д.
Блекуэлл
[104]
В. В.
Подиновский
[77]
В.
Д.
Ногин
[69,
71]
К.
ЭРРОУ,
Е.
Баравиии,
д.
Бленуэлл
[104]
П.
Ю,
М.
Зелени
[248]
В. Б.
Аленсеев
[2];
Т.
М.
Виноградская,
М.
Г.
Гафт
[15];
М.
R.
Алъбертъяп
[3]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСIШЕ
ССЫЛНИ
235
3.4.3
3.4.4
4..4.2
4.4.3
4.4.5
Леммы
1.2.1
2.1.1
2.2.2
2.2.3
2.3.1
3.1.1
3.3.1, 2
3.4.1,2
4.4.3
Следствия
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.5
2.2.1
2.2.2
2.2.3
3.1.2
3.1.4
3.1.5
3.1.6
3.1.7
3.2.1, 2
Примеры
1.7.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.7
2.1.11
3.1.3
3.2.4
Б.
А.
БереЗОВСRИЙ,
С.
И.
Травкин
[7];
Т.
М.
Виноград
ская
[14З;
Х.
Кэлпайн,
А.
Гоулдинг
[128]
О.
Барндорф-Нилсон,
М.
Соблъ
[5];
Б.
А.
БереЗОВСRИЙ,
С.
И.
Травкин
[7]
Дж.
Корнблют
[185]
Д.
Гейл,
Х.
Кун,
А.
Таккер
[154]
Г.
Изерман
[175]
В.
Д.
Ногин
[67]
В.
Д.
Ногин
[70]
П.
Ю
[246]
В.
Д.
HOrJlH [66]
В.
В.
Подиновский
[77]
В.
Д.
Ногин
[71]
П.
Ю,
М.
Зелени
f248
J
В. Б.
Алексеев
[2
Д.
Гейл,
Х.
Кун,
А.
Таккер
[154]
В.
В.
ПОДИНОВСRИЙ
[85]
Л.
С.
Гуткин
[31-33];
Дж.
Лин
[191,193,194]
Р.
Соуленд
[224]
А.
Джоффрион
[161]
В.
Д.
Ногин
[66]
Х.
йокш
[178]
В. В.
Подиновский
[77];
Г.
Изерман
[172]
В.
В.
Подиновский
[77]
Б.
Пелег
[207]
Н.
Да
Канха,
Э.
Полан
[137]
Б.
Пелег
[207]
В. В.
Морозов
[39]
В.
Д.
Ногин
[71]
Дж.
Лоузер,
Р.
Вольц
r
189]
Т.
Купманс
[184З;
Х.
Кун,
А.
Таккер
[187];
А.
Джоф
фри
он
[1601
И.
Марушчак,
М.
Рэдулеску
[199];
В.
В.
Подиновский
[79З;
В.
В.
Мериурьев,
М.
А.
Молдавский
[55]
Г.
Фанделъ
[148];
С.
Хуанг
[171З;
П.
Ю
[245]
В.
В.
ПОДИНОВСIШЙ
[77З;
Л.
ПаСliуалъ,
А.
Бен-ИзраЭJIЬ
[205];
Р.
Рэйд,
В.
Вемури
[213]
В. В.
ПОДIIНОВСКИЙ
[77,
79З;
А.
Бен-Израэль,
А.
Бен
Таль,
А.
Чарнс
[110З;
Р.
~'андел.lI,
Д.
ЛИ
[241]
В.
В.
Подиновский
[77]
R.
Эрроу,
Е.
Баранкин,
Д.
Блекуэлл
[104]
Х.
Бенсон
[111];
В.
Д.
Ногин
[71
J
ЛИТЕРАТУРА
f.
Айз
f?
Р
М
а
н
М.
Л.,
М
а
л и
ш
е
в С
I(
П
Й
А.
В.
Некоторые
ас
пекты
общей
теории
выбора
JlУЧШИХ
вариантов.
(Препривт).
М.:
Ин-т
проблем
управления,
1980.
~.
А
JI
е
к
с е
е
в
Б.
Б.
Использование
симметрии
при
нахождении
mирины
частично
упорядоченного
множества.-
Дискретный
анашI3,
1974,
вып.
26,
с.
20-35.
3.
А
JI
Ь
б
е
р
т ъ
я
н
М.
К.
О
комбинаторных
характеристиках
пе
сравнимости
в
задачах
принятия
реmевиЙ.-
Изв.
АН
СССР,
сер.
Техн.
кибернетика,
1974,
М
6,
с.
3-12.
4.
Б
а
р
а
н
Ц
е
в
А.
Б.
Правило
множителей
для
векторной
зада
чи
оптимизации.-
Б
кн.:
Матем.
анаJIНЗ
и
его
приложеПIlЯ.
Ростов-на-Дону;
Иад-во
Ростовск.
ун-та,
1975,
т.
7,
с.
184-Н1О.
5.
Барндорф-Нилсон
О.,
Собль
М.
О
распределешlИ
числа
элементов
МНОГО!.lерноЙ
выборки,
привадлежащих
за
данпому
СЛОЮ.-
Теория
вероятпостей
и
ее
применения,
1966,
вып.
2,
с.
283-305.
6.
Б
е
в
с
у
с а
п
А.,
Л
и
о
н
с
Ж.-Л.,
Т
е
м
а
м
Р.
Методы
декомпо
виции,
децептрализации,
координации
и
их
приложения.
В
кн.:
Методы
ВЫЧИСJIИТeJIЬНОЙ
математики.-
Новосибирск:
Наука,
1975,
с.
144-274.
7.
Б
е
р
е
3
о
в
С
к и
й
Б.
А.,
Т
Р
а
в
к и
н
С.
И.
Диспетчеризация
очередей
заявок
в
вычислительных
системах.-
Автоматика
и
телемеханика,
1975,
М
10,
с.
165-171.
8.
Б
е
m
е
л
е
в
С.
Д.
Метод
«I!атратЪJ
-
эффективносты
(обзор).~
Экономика
и
матем.
методы,
1970,
т.
6,
выл.
5,
с.
719-732.
9.
Б
о
в
Д
а
р
е
в
а,
О.
Н.
Сходимость
простравств
с
отношением
и
теоретико-игровые
слсдствия.-
ЖБМ
и
МФ,
1979,
М
3,
с.84-92.
10.
Б
у
Р
m
т
е
й
и Ф.
Б.,
R
о
У
е
JI
о в
Э.
С.
Многокритериалъные
задачи
принятия
решении
при
неопределепности
и
риске.
Б
кн.:
Теоретическая
кибернетика.
Тбилиси:
Мецниереба,
1980,
с.143-148.
11.
В
а
л
ь
Д
А.
Статистические
решающие
функцпи.-
В
кн.:
По
зицпонные
игры.
М.:
Наука,
1967,
С.·
300-522.
12.
В
и
л к
а
с
Э.
й.
Существование
эффективно-равновесных
точек
в
задаче
векторной
оптимизации.-
Литовский
матем.
сб.,
1968,
т.
8,
~~
1,
с.
41-44.
13.
В
и
R
О
Г
Р
а
Д
с
1{
а
л
Т.
М:
ИСПОJlL:юnапие
cBoi1cTB
частично
упорядоченных
множеств
в
многокритериальных
эздачах
лри
lIЯТИЯ
решениЙ.-
Б
ЮI.:
Проблемы
прJiНятия
решениЙ.-
М.:
III1-Т
проблем
управления,
1974,
вып.
5,
с.
56-60.
ЛИТЕРАТУРА'
237
14.
В
и н
о
г
р
а
Д
с
к
а
я
Т.
М.
Среднее
зпачение
числа
неподчп
ненных
решений
n
1>Iногокритериальных
задачах.-lIзв.
АН
СССР,
сер.
Техн.
кибернеТИIШ,
1976,
.N2
2,
с.
36-38.
15.
В
и
н о
г
р
а
Д
с
к
а
я
Т.
М.,
Г
а
Ф
т
М.
Г.
Точная
верхнля
оцен
ка
числа
пеподчпнеuных
решений
в
многокритерпальных
за
дачах.-
Автоматика
и
телемехаuика,
1974,
М
9,
с.
111-118.
16.
В
о
р
о б
ь
е
в Н. Н.
Современное
состояние
теории
игр.-
УМ
Н,
1970,
т.
25,
вып.
2 (152),
с.
81-140.
17.
Г
а
м
и
Д
о в
Р.
Г.,
Фар
б
е
р
М.
Ш.
О
привятии
решения
в
за
дачах
многокрптериальноii
(jПТИМЩlации.-
ИЗВ.
АН
Ааерб.
ССР,
сер.
Физ.-техн.
и
матем.
наук,
1978,
.N2
3,
с.
11-16.
18.
Г
а
Ф
т
1\1.
Г.,
О
з
е
р н
о
й
В.
М.
Выделение
множества
пепод
чиненных
решений
и
их
оцриок
В
задачах
припятия
решений
при
векторном
крнтерии.-
АвтомаТИI<а
и
телемеханика,
1973,
ом
11,
с.
85-94.
19.
r
е
р
м
е
й
ерЮ.
Б.
Методологические
n
математические
ос
новы
исследования
операций
n
теории
игр.-
М.:
ВЦ
МГУ,
1967.
20.
r
е
р
м
е
й
ерЮ.
Б.
Игровые
припципы
в
исследовании
си
стеы.-
В
кн.:
Методы
управления
большими
системами.-
Ир
кутск:
Иад-во
СЭИ,
1970,
с.
4-24.
21.
r
е
Г
м
е
й
ерЮ.
Б.
Введеuие
в
теорию
исследования
опера
ций.-
М.:
I1аУl(а,
1971.
22.
Г
е
р
м
е
й
ерЮ.
Б.
IIгры
с
пепротивоположными
иптереса
МИ.-1\1.:
Наука,
1976.
23.
Г
е
р
м
е
й
ерЮ.
Б.,
М
о
роз
о в
В.
В.,
С
у
х
а
р
е
в
А.
Г.,
Ф
е
Д
о
р
о
В
В. В.
Задачи
по
исследованию
операциЙ.-
М.:
Изд
во
ЫГУ,
1979.
24.
Г
о
JI
Ь
Ш
Т
е
й
н
Е.
Г.
Теорил
двойственности
в
математиче
ском
програММИРОВIIНИU
и
ее
прuложения.-
М.:
Физматгиз,
1971.
25.
Г
о
р
о
х
о в
и к
В. В.
R
проблеме
векторной
оптимизации.-
Иав.
АН
СССР,
сер.
Техн.
Iшбернетика,
1972,
М
6,
с.
63-70.
26.
Г
о
р
о
х
о
в
п к
В. В.
Условия
слабой
эффективности
в
конеч
номерных
задачах
векторной
ОПТllмпзацип.-
Минск:
Ив-Т
ма
тем.
АН
БССР,
1976.-
Препрпнт.
27.
Г
о Р о
Х
о в
и к
В.
В.,
R
и р
и
л л
о в
а
Ф. М.
О
скалярпзацпп
задач
векторной
оптимпзации.-
Докл.
АН
ВССР,
1975,
т.
19,
М
7,
с.
588-591.
28.
Г
р
а
н
б
е
р
г
А.
Г.
Математические модели
социалистической
экономИIШ.-
М.:
Экономика,
1978.
29.
Г
У
п
а
л
А.
М.
Стохастпческие
методы
решения
пегладких
Эl{стре~IaЛЬНЫХ
задач.-
I-\иеп:
Наукова
думка,
1979.
30.
Г
у
Р
в
п
ц
Л.
Программпрование
в
линейных
топологпческпх
прострапствах.-
В
кн.:
Эрроу
R.
Дж.,
Гурвиц
Л.,
Удзава
Х.
Исследованпя
по
линейному
и
нешшейному
програММИРОllа
нию.
М.:
ПЛ,
1962,
с.
65-155.
31.
Г
у
т
к
и
н
Л.
с.
о
синтезе
систем по
безусловному
Rритерию
предпочтепия.-
И3В.
АН
СССР,
сер.
Техн.
кибернетика,
1972,
М
3,
с.
190-197.
32.
Г У
т
к
и
н
Л.
С.
о
при~rенении
метода
крайних
точек
при
син
тезе
по
векторному
критерию.
У,
II-
Изв.
АН
ссср,
СЗр.
Техн.
l\Пбернетика,
1973,
ом
4,
с.
178-183,
М
5.
с.
138-144.
238
ЛИТЕРАТУРА
33.
Г у
т
1,
И
И
Л.
С.
Оптимизация
радио:шектроппых
устропств
по
совонупносТll
показателей
качества.-
М.:
Сов.
радио,
1975.
34.
Д
ы
м
к
о в
М.
П.
Метод
решения
общей
шюгокритериальной
задачи
линсйного
программироваНlIЯ.-
В
кн.:
Проблемы
уп
равления
и
оптимизации.
Минск,
1976,
с.
147-157.
35.
Е
р
е
м
пнИ.
И.
Метод
штрафных
фушщий
в
задачах
век
торной
ОПТИМlIзации.-
В
КП.:
Труды
ин-та
математики
11
ме
ханикп,
УНЦ
АН
СССР.
Свердловск,
1973,
вып.
5,
с.
63-73.
36.
Е
реш
к
о
Ф.
И.,
3
л о б
и
н
А.
С.
ОптимпзаППI!
линейной
формы
на
эффективном
множестве.-
В
кн.:
Численные
мс
тоды
нелинейного
программироваНlIЯ.
Тезисы
докладов
11
Все
союзн.
семинара.
Харыюв:
Изд.
Харьновсн.
ун-та,
1976.
с.
167-
170.
37. 3
а
н
г
в
и л л
У.
И.
Нелинейное
програимирование.-
М.:
Сов.
радио,
1973.
38.
И
в а
н
и н
В.
М.
Асимптотическая
оцениа
мате}(атичсского
ожидания
числа
элементов
множества
Парето.-
Кибернетика,
1975,
ом
1,
с.
97-101.
39.
И
в а
н
и
н
В.
М.
Об
одной
оценке
математического
ожидания
ЧIlС.lIа
элементов
множества
Парето.-
Кибернстика,
1975,
.м
3,
с.
145-146.
40.
К
а
3
а
к
о в а
М.
Ф.
Нахождение
ОПТИМУМОВ
Парето
в
поли
матрпчной
задаче
иоммнвояжера.-
В
кн.:
Матем.
мстоды
ре
шения
Э1ЮНОМ.
задач.
М.:
Наука,
1974,
ом
5,
с.
55-61.
41.
К
а
р
л и н
С.
МатематичеСlше
методы
В
теории
игр,
програм
мироваюш
и
экономике.-
М.:
Мир,
1964.
42.
R
о
л
м
о
г о
р
о
в
А.
Н.,
Ф
о
м
и
н
С.
В.
Элементы
теории
функ
ций
и
фующионального
анализа.-
М.:
Наука,
1976.
43.
К
о
м
л и
к
В.
И.,
К
у
Р
и
JI
е
н к
о В
В.
И.
О
струн
туре
множест
ва
неулучшаемых
решениЙ.-
Изв.
АН
БССР,
сер.
Физ.-маТС\l.
наун,
1976,
ом
4,
с.
132-133.
44.
К
о
м
л и н
В.
И.,
К
У Р
и л
е
н
к
о
в В.
И.,
Р
о
м
а
ш
к
n
н
а
Н.
В.
Об
одном
алгоритме
построения
множества
неулучшасмых
плапов.-
Автоматпзир.
системы
план.
расчетов
в
республ.
план.
органах,
1977,
вып.
9,
с.
18-21.
45.
К
о р
н и
е
н
н
о
И.
А.
О
нескалярных
мннимаксных
задачах.
В
I\П.:
Исследование
операций
и
аналит.
проектир.
в
теХlш'не.
Ка"ань: Иад-во
Каз.
авиац.
ин-та,
1979,
с.
3-8.
46.
!{
Р
а с
н
е
н
к
ерА.
С.
Условия
оптимальности
по
Парето.
В
IШ.:
Сб.
трудов
Воронежского
ун-та
по
прикд.
вопросам.
Во
ронеж,
1972,
вып.
3,
с.
73-77.
47.
К
Р
а
с
н
о
Щ
е
1\
о
В
П.
С.,
М
о
роз
о
в В.
В.,
Ф
е
Д
о
р
о
в
В. В.
Последовательное
агрегирование
в
задачах
внутреннего
про
сктироваНlIЯ
технических
систем.-
Изв.
АН
СССР,
сер.
Техн.
кибернетика,
1979,
ом
5,
с.
5-12.
48.
К
у
к
с
а А.
И.,
Шор
Н.
3.
О
методе
оценки
количества
ус
ловно-оптимальных
траекторий
дискретного
сепарабельного
программпрованил.-
I{ибернетика,
1972,
.1'1'2
6,
С.
37-44.
49.
К
у л
а
к
о
в
с
к
а
я
Т.
Классические
припципы
оптимальности
для
бесконечных
Iшоперативных
игр.-
В
нн.:
Современные
направления
теории
игр.
Вильиюс:
Монслас,
1976,
с.
94-108.
50.
К
у
р
а
т
о в
с
1\
И
й
R.
Топология.-
М.;
МИР,
т.
1",
2,
1966,
1969.
ЛИТЕРАТУРА
239
51.
Л
а
н
к
а
с
т
е
р
I\.
Математическа!!
ЭКОНОМIIКЗ.-
1\1.:
Соп. ра
ДПО,
1972.
52.
Л
п
Э.
В.,
Ы
а
р
к у
с
Л.
Основы
теорип
оптимального
управ
леНIIЯ.-
М.:
Наука,
1972.
53.
Лью
с
Р.
Д.,
Рай
Ф
а Х.
Игры
и
решения.-
М.:
ИЛ,
1961.
54.
Л
я
ш
к
о
И.
И.,
н
и
г
е
л
ь
В.
Р.
О
некоторых
свойствах
эффек
тивных
планов
МIIогокритериальной
аадачи.-
В
кн.:
Вычис
лит.
матем.
в
совр.
научно-техн.
прогрессе.
Нанев,
1974,
с.
407-
418.
55.
М
е
р
к у
р
ь е
в
В.
В.,
М
о
л Д
а
в с
к
и
ii
М.
А.
Семейство
свер
ток
векторного
крптерия
для
нахождения
точек
множества
Парето.-
Автоматика
и
телемеханика,
1979,
ом
1,
с.
110-121.
56.
:м
и
р
к и
н
В.
Г.
Проблема
группового
выбора.-
М.:
Нау!щ
1974.
57.
М
и
р
к п н
Б.
Г.,
П
о л
и
Щ
у
к
Л. И.
Использование
карт
па
ретовой
границы
в
человеко-машинных
процедурах
решения
многокритериальных
аадач.-
В
нн.:
Тезисы
докл.
III
Всесо
юз.
конф.
по
исслед.
операций.
Горький,
1978,
с
211-212.
58.
Ы
о
л
о
Д
Ц
о в
Д. А.
Регуляризация
множества
точек
Парето.
твм
и
МФ,
1978,
;N'2
3,
С.
597-602.
59.
М
о
роз
о
в
В.
В.
О
свойствах
множества
недоминируемых
векторов.-
Вестник
МГУ,
сер.
Вычисл.
матем.
и
киберн.,
1977,
М
4,
с.
47-51.
60.
М
о
роз
о
в
В.
В.,
Ф
е
Д
о
р
о
в
В.
В.
О
формировании
вектор
ного
критерия
по
бинарному
отношению
предпочтеНiIЯ.-
твм
iI
МФ,
1980,
.N2
3,
с.
63О-639.
61.
Н
а
у
м
о в
Г.
Е.
Правпло
множителей
для
векторной
задаЧil
оптимиаации
С
бесконечным
множеством
критериев.-
ИЗБ.
АН
СССР,
сер.
Техн.
кибернетика,
1978,
.N2
2,
с.
36-38.
62.
Ф
о
н
Н
е
й
м
а
н
Дж.,
М
о р
г
е
н
ш
т е
р
н
О.
Теория
игр
и
экономическое
поведение.-
М.:
Наука,
1970.
63.
Н
и
к
а
й
Д
о
Х.
Выпуклые
структуры
и
математическая
эко
НОМIIка.-
11.:
Мир,
1972.
64.
Н
о
г
и
н
В.
Д.
О
существовании
эффективных
и
собственно
эффективных
точек
для
линейной
beKTOP-фУНКЦИII.-
М.:
ВИНИТП,
1975.-
Деп.
рукопись.
65.
Н
о
г
If
Н
В.
Д.
1\
задаче
многоцелевого
програМlrlllровавия.
М.:
ВIIНИТИ,
1975.-
Деп.
рукопись.
66.
Н
о
г
11
Н
В.
Д.
Неrюторые
вопросы
многокритериальвой
опти
мизации
rистем.-
В
кн.:
Проблемы
СIlстемотехники.
Матери
алы
III
Всесоюзн.
симпозиума.
Л.,
1976,
ч.
2,
с.
187-190.
67.
Н
о
r
п
н
В.
Д.
Двойственность
в
многоцелевом программиро
вании.-
твм
и
МФ,
1977,
.N2
1,
С.
254-258.
68.
Н
о
г
и
н
В.
Д.
Взаимосвяаь
различных
видов
решений
задачи
многоцелевощ
программирования.-
Вестник
ЛГУ,
сер.
Матем.,
мехав.,
астроном.,
1977,
.N2
19,
с.
143-144.
69.
Н
о
г
и
н
В.
Д.
I\ритерии
сущ~ствования
решений
в
конеч
номерной
задаче
многоцелевой
ОПТlIмизации.-
В
кн.:
Тезисы
докл.
111
Всесоюзн.
конф.
по
исследованию
операций.
Горь
КИЙ,
1978,
с.
214-215.
70.
Н
о
r
и
н
В.
Д.
Об
условнях
оптимальности
в
многоцелевой
оп
тимизации.-
В
кн.:
Численные
мето;(ы
нелипейного
програ!.{
I>шрования.
Харьков,
1979,
с.
139-140.
240
ЛИТЕРАТУРА
71.
Н
о
г
и
н
В.
Д.
Критерии
существоваnия
решений
в
ко~е'IИ()ОО
I>fерной
задаче
многоцелевой
оптимпзации.-
BecTHUR
ЛГУ,
сер.
Матем.,
механ.,
астроном.,
1980,
ом
7,
с.
27-32.
72.
О
13
е
р н
о
й
В.
Ы.,
В
У
я н
о
в
В.
В.,
В
а с
ь
к и н
а
Л.
М.
Алго
ритм
выделения
множества
пепоДчиненных
решений
в
мно
гокритериальных
задачах.-
В
кн.:
ПроблеJl.fЫ
принятия
ре
шений.
:М.:
Ин-т
проблем
управленпя,
1974,
вып.
5,
с.
61-67.
73.
О
8
е
р н
о
й
В.
М.,
Г
а
Ф
т
м.
Г.
Методология
решения
ди
скретных
многокритериальных
задач.-
В
кн.:
Многокритери
альные
задачи
принятия
решений.
М.:
Машиностроение,
1978,
с.14-47.
74.
О
Р
е
О.
Теория
графов.-
М.:
HaYRa,
1968.
75.
О
Р
л
о
в А. И.
Устойчпвость
В
соцпаЛЬНО-::JкопомпчеСIШХ
мо
делях.-
11.:
Экономпка,
1978.
78.
П
о
Д и н
о
в
с
к и
й
В. В.
Примененпе
процедуры
максимиаа
ЦIШ
основного
локального
критерия
для
решения
задач
теории
векторной
оптимизации.-
Управляемые
системы,
1970,
вып.
6,
с.
17-22.
77.
П
о
д
и
н
о в
С
к и
й
В.
В.
Методы
многокритериальной
оптими
зации.
Вып.
1.
Эффеюивные
планы.-l\l.,
1971.
78.
П
о
Д
и н
о
в
с
к
и й
В. В.
Эффективные
последовательности
11
их
своЙства.-
В
кн.:
Матем.
методы
в
социальн.
науках.
Вильнюс,
1972,
вып.
2,
С.
75-88.
79.
П
о
Д и н
о в
с
l(
и й
В. В.
Многокритериальные
задачи
с
одно
родными
равноценными
критериями.-
ЖВМ
и
МФ,
1975,
ом
2,
с.
330-344.
80.
П
о Д
и
н
о
в
с
к и й
В. В.
О
решении
многокритериальной
зада
чи
как
задачи
оптимизации
по
одному
критерию
в
условиях
неопределенности.-
Автоматика
и
ВЫЧИСЛ.
техника,
1976,
М
3,
С.45-49.
81.
П
о
Д
и н
о в с
к
и й
В.
В.
Эффективные
планы
в
многокрите
риальных
задачах
принятия
решений
в
условиях
неопреде
ленности.-
В
кн.:
Модели
процессов
принят
ия
решений.
Вла
дивосток,
1978,
С.
102-113.
82.
П
о Д
и
н
о в
с
к
и
й
В.
В.
Об
относительной
важности
КрlJтери
ев
в
МНОГОI\ритериальных
задачах
принятия
реmениЙ.-
В
кн.:
Многокритериальн.ые
задачи
принятия
решений.
М.:
Машино
строение,.1978,
с.
48-92.
83.
П
о
Д
и
н
о в
с
к
и
й
В. В.
Принцип
гарантированного
результа
та
для
частичных
отношений
предпочтения.-
ЖВМ
и
l\1Ф,
1979,
ом
6,
С.
1436-1450.
84.
П
о
Д
и н
о в
еж
и
й
В.
В.
Общие
антагонистические
игрЫ.
ЖВМ
и
ЫФ,
1981,
М
5,
с.
1140-1153.
85.
П
о
Д
и
в
о в
с
к
и й
В.
В.,
r
а в
р
и
л
о в
В.
М.
Оптимизация
по
последовательно
применяемым
критериям.-
М.:
Сов.
радио,
1975.
8В.
П
о
л и
Щ
у
к
Л.
И.
Об
одном
семействе
диалоговых
ироце
дур
принят
ия
многокритериальвых
реmениЙ.-
В
кн.:
Систе
мы
и
методы
обработки
данных.
Новосибирск:
ВЦ
со
АН
СССР,
1978,
с.
76-86.
87.
П
о
л
и
Щ
у к
Л.
И.
Кусочно-линейная
аППРОЕсимация
парето
вой
границы
выпуклых
двухкритериальных
аадач.-
В
КН.: