Плетнев С.В. Магнитное поле: свойства, применение

Подождите немного. Документ загружается.

нально увеличению величины магнитной индукции возрастает крутящий мо-

мент или тяговое усилие или скорость движения (вращения). Или же, при

сохранении мощности устройства (станка) соответственно уменьшаются его

габариты и вес.

Примечание. Важно понимать, что цена машины, станка или др. устрой-

ства прямо связано с его материалоемкостью. Во многих случаях эта зависи-

мость — едва ли не прямая пропорция, что, впрочем, и понятно.

В некоторых случаях, применение мощных магнитов позволяет сущест-

венно снизить расход электроэнергии и это не противоречит законам физики.

На настоящий момент важно то, что прозводство магнитов на основе

редкоземельных элементов давно миновало лабораторную стадию и в послед-

ние годы развивается быстрыми темпами по достаточно гибким технологиям,

в том числе и в нашей стране, и они доступны любому заказчику. Хотя они и

называются редкоземельными, но фактически, природные ресурсы (руды) в

нашей странен для их производства весьма велики.

По данным ООО "Химкомплект" - постоянные магниты NdFeB, из из-

вестных в настоящее время систем, занимают уникальное положение по соот-

ношению характеристики/стоимость, что объясняет бурный рост их производ-

ства и внедрение в различные отрасли. Так, в 1989г. было произведено 190, в

1999г. 13500, а 2000г.-17500 тонн металлокерамических магнитов и магнито-

пластов. По прогнозам аналитиков к 2005г. будет произведено около 40000

тонн магнитов NdFeB.

Где ВНмах -- энергетическое произведение Вr — остаточная индукция,

т.е. основная силовая характеристика постоянного магнита

261

Ниже приведены методы и формулы для приблизительного расчета не-

сложных магнитных систем на основе постоянных магнитов, рекомендуемые

английской фирмой Dexter.

Почему в расчетах использованы рекомендации Dexter?

Во-первых, мне не удалось найти ничего столь же доступного для челове-

ка окончательно забывшего математику в интернете на русском языке.

Вторая причина та, что эта фирма является одним из европейских лидеров

в производстве постоянных магнитов и поэтому, наверное, заслуживает вни-

мания. Все последующие формулы, комментарии и картинки (черный шрифт

"Times" ) взяты непосредственно со страницы этой фирмы.

Расчет магнитной индукции аксиально-намагниченных цилиндрических

магнитов с радиусом (r) и длиной (l), в точке расположенной на расстоянии (d)

от повехности, вдоль оси:

Пример:

r=0.5", l=1", d=0.25", В

=12200 Gauss, B=2935.7 Gauss

Расчет методом граничных элементов (МГЭ), 5=2788.7 Gauss

Расчет магнитной индукции для призматических магнитов намагничен-

ных по длине , толщиной (2t), шириной (2w) и длиной (l), для точки располо-

женной на расстоянии (d) от поверхности вдоль магнитной оси:

262

Вычитая магнитную индукцию внутреннего цилиндра с диаметром (2 r

)

из магнитной индукции цилиндра с внешним диаметром (2r

), мы получаем

магнитную индукцию трубы (которая обычно используется в Фарадеевых

поворотных устройствах).

Подобная логика может быть приложима и к другим магнитам симметрич-

ной формы:

263

Пример:

2t=1", 2w=1", l=0.5", d=0.25", B

=12200, B=2386.5 Gauss. Используя МГЭ,

B=2238 Gauss

Расчет магнитной индукции в точке вдоль осей этих геометрий более

комплексный. Есть три компонента магнитной индукции, которые должны

быть приняты во внимание, но принцип остается тем же. Подобные формулы

приемлемы для прямоугольных магнитов. Цилиндрические магниты труднее

поодаются расчету, для них рекомендуются компьютерные методы расчета.

При использовании принципа совмещения, могут быть подвергнуты ана-

лизу магниты и более сложных геометрических форм. Для примера, мы можем

рассчитать магнитную индукцию вдоль оси цилиндрической трубы.

Используя принцип суперпозиции , можно определить магнитную индук-

цию в промежутке между двумя соосно расположенными магнитами:

Индукция между двумя призмами на расстоянии (d) определяется по

формуле В = В

+ В

, где В

— индукция от призмы на расстоянии (g-d).

Приближенно, результаты таких расчетов могут быть применимы к маг-

нитам, размещенным в ненасыщенной стальной цепи. Когда используются

подобные формулы, обычно исходят из предположения , что распределение

индукции в стали соответствует индукции магнита двойной длины. Если боль-

шая часть магнитного потока проходит через зазор (т.е. без потерь в стали),

то результат расчета имеет хорошую точность.

Для двух магнитов размещенных на С-образной скобе:

В= В

+ В

, где В

- индукция прямоугольного блока длиной (2l) на

расстоянии (d). B

— индукция прямоугольного блока длиной (2l) на расстоя-

нии (g-d).

Пример: l=1", 2w=l", 2t=1", B

=12200 Gauss, g=l", d=0.3", B

=3033 Gauss,

=1210 Gauss, B

+ B

=4243 Gauss, используя МГЭ, В =4121 Gauss.

Дальнейшие вариации на эту тему бесконечны. Для большей точности

рекомендуются компьютерные расчеты

Расчет цепей

Эмпирический подход пригоден для анализа цепи со стальным сердечни-

ком или другими проницаемыми материалами. Начиная с идеальной цепи не

имеющей потерь и сопротивления в стали, этот метод используется для эмпи-

рического определения отношений в точных моделях магнитных цепей.

Рисунок идеальной цепи см. ниже

264

Используя закон Ампера для цепи, допускаем , что в стали отсутствуют

потери магнитодвижущей силы:

где H

=MMF магнита, l

=длина магнита, H

= MMF поперек зазора, lg = длина

зазора.

Допуская , что весь поток индукции проходит полностью через зазор (т.е.

без потерь) мы можем написать следующее соотношение:

где В

— индукция магнита, А

— поперечное сечение магнита, B

— поток

через зазор , Ag — поперечное сечение зазора. Если мы допустим В

и Н

возьмем их соотношение , то мы получим коэффициент проницаемости (PC).

Проницаемость материала определяется как μ=В/Н. В системе CGS про-

ницаемость воздуха равна единице, таким образом B

. Тогда соотношение

для коэффициента проницаемости:

Коэффициент проницаемости определяется на наклонной линии к началу

координат. Пересечение наклонной линии и второго квадранта кривой размаг-

ничивания называется операционной точкой , где В и Н

геометрически опре-

делены. От В

, мы можем расчитать индукцию в зазоре, (B

265

Этот подсчет является приблизительным, потому что не учитывает потерь

индукции или MMF в цепи. Фактор потерь (у) и фактор сопротивления (f)

определяются эмпирически в соответствии с упомянутыми выше отношения-

ми (для большей точности).

Фактор потерь есть соотношение общего магнитного потока к потоку в

зазоре. Он определяется проницаемостью, и аналогичен проводимости элект-

рической цепи. A magnetic circuit can usually be broken up into basic leakage

paths. Для каждой потерянной магнитной линии эмпирически определяется

формула для магнитной проводимости , которая может быть использована.

Обычно используются формулы из книги ("Electromagnetic Devices" (Электро-

магнитные устройства) написанной Herbert С. Roters (New York: John Wiley &

Sons, Inc., 1941).

Фактор потерь:

где Pt — сумма проницаемости всех потерянных магнитных линий ( включая

зазор) цепи, Pg — проницаемость зазора.

Фактор сопротивления (f) считается для потерь MMF в несущих магнит-

ный поток элементах цепи (т.е. стали) и небольших зазорах между деталями.

Этот фактор определяется эмпирически и находится в пределах от 1,1 до 1.5

для большинства цепей. Большие значения относятся к цепям близким к уров-

ню насыщению стали. Фактор сопротивления:

266

Где Ht — суммарная MMF и Hg — MMF поперек зазора.

Расчет сил

Обычно им пользуется следующая формула для расчета удерживающей

силы магнита:

Для простых магнитов отделенных от стальной пластины воздушным

промежутком (d), с хорошей точностью для В может быть расчитано через

текущие соотношения.

Для магнита непосредственно соприкасающегося со сталью, могут быть

использованы следующие два метода.

267

Если магнит имеет форму подобную диску или пластинке (малое отноше-

ние длина/диаметр) , используется следующая формула:

где Вr= остаточная индукция, l

= длина магнита и А=площадь полюса.

Для магнитов имеющих кубическую или призматическую форму или для

тех, у которых соотношение длины к диаметру равно 1 или более, результат

может быть получен с хорошей точностью. Допуская, что индукция в стали

приблизительно эквивалентна индукции магнита двойной длины, мы можем

вычислить магнитную индукцию в центре используя следующее уравнение:

Примечание . Кажется, что облегчить эти расчеты можно используя, на-

пример, стандартные способы из программы " Excel" пакета "Windows" или

несколько специальных магнитных калькуляторов, расположенных на сайте

фирмы "Dexter".

Представляется что, сайт фирмы "Dexter" является вообще неплохим при-

мером построения сайта промышленного предприятия, так как содержит не

только подробное описание продукции и услуг, но и много др. информации

полезной для потребителя.

Неплохо было бы и нашим мебельщикам давать на своих страничках

допонительную информацию, например советы по сборке и установке мебели,

уходу за обивкой и полированными поверхностями и , расстановке мебели в

помещении и т.п. - - полезную и интересную покупателям. Т.е. не только

продавец, но и друг и помощник.

Для самостоятельного анализа и расчета магнитных систем можно реко-

мендовать так же очень интересный отечественный комплекс программ для

268

Здесь D, В, Н, E, j и ρ — это векторные поля электрического смещения,

магнитной индукции, напряжённости магнитного поля, напряжённости элект-

рического поля, плотности электрического тока и скалярное поле плотности

электрического заряда, соответственно. Пользуясь этими уравнениями можно

рассчитать величины напряженности H для магнитных и Е для электрических

полей для произвольных плотностей токов j в обмотках электромагнита и в

269

инженерного моделирования электромагнитных, тепловых и механических

задач методом конечных элементов ELCUT" . Дружественный пользователь-

ский интерфейс, простота описания даже самых сложных моделей, широкие

аналитические возможности комплекса и высокая степень автоматизации всех

операций позволяют разработчику полностью сосредоточиться на своей зада-

че не отвлекаясь на изучение математических основ вычислительных алгорит-

мов и особенностей их реализации. Ознакомиться с возможностями комплек-

са, пройти обучение и получить бесплатно демоверсию программы можно

непосредственно на сервере ELCUT.

Для начала освоения программы требуется всего несколько часов. Важ-

ным достоинством данной программы является то, что выдаваемая цветная

графика очень удобна для понимания существа, т.е физики процесса.

По вопросам производства и применения современных постоянных маг-

нитов в сети имеется значительное количество источников на русском и ино-

странном языках.

Дополнительная литература

1. Перспективные материалы для постоянных магнитов

А.С. Мищенко и A.M. Тишин >>>

2. Информационные ресурсы Магнитного технологического центра груп-

пы "Arnold" >>> в том числе "Перечень научно-технической литературы по

магнитной тематике" , "Алфавитный перечень фирм, связанных с производст-

вом магнитов" и много др. полезной информации

4.11. Методика расчёта магнитного поля и вихревых токов

в проводящих средах при изменении тока в соленоиде

В общем случае переменного электромагнитного поля расчёты напряжен-

ности магнитного и вихревого электрического полей в вакууме проводятся на

основе уравнений Максвелла в дифференциальной форме (в системе СИ) [1]:

(1)

(2)

(3)

(4)

любой точке пространства. В произвольной среде величины магнитной индук-

ции В и электрического смещения D связаны с напряжённостью магнитного

поля Н и с напряженностью электрического поля Е соотношениями:

где μ и μ

— это магнитная проницаемость среды и вакуума, а ε и ε

— это

диэлектрическая проницаемость среды и вакуума, соответственно.

В дальнейшем эти величины будут использованы для вычисления плот-

ности вихревых токов в проводящей среде, применяя закон Ома:

где X - - удельная электропроводность вещества (в СИ - - в единицах

1/0мм).

В работе источником магнитного поля служили катушки с ферритовым

сердечником. В статике и при низкой частоте колебаний (меньше 1 кГц)

учитывали то обстоятельство, что длина электромагнитной волны и глубина

скин-слоя в случае слабо проводящей среды много больше размеров катушки.

Тогда, в первом приближении можно пренебречь излучением электромагнит-

ной волны и скин-эффектом, и оценить величину магнитного поля такой

катушки с помощью простых формул магнитостатики, известных из стандарт-

ного курса электромагнетизма [1]. Так, например, внутри бесконечно длинного

(т.е. очень тонкого по сравнению с характерными размерами задачи) соленои-

да напряженность Н магнитного поля равна произведению:

где п — число витков на единицу длины (в метрах), I — электрический

ток (в амперах), а Н получается в единицах ампер/метр (в вакууме 1

А/м=(4π/10

) эрстед). Чтобы получить величины магнитной индукции В в

вакууме в единицах тесла, нужно умножить H на Μ

, так что B=Hμ

=H(4π/10

)

тесла. Таким образом, напряженности магнитного поля Н в 1 эрстед в вакууме

соответствует магнитная индукция В величиной 10

-4

тесла.

Для величины напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида ко-

нечных размеров формула (7) принимает вид:

где β и α — это величины углов (в радианах), под которыми видны края

соленоида из точки наблюдения:

270

(9)

(8)

(7)

(6)

(5)