Плетнев С.В. Магнитное поле: свойства, применение

Подождите немного. Документ загружается.

Рис.4.11.8. Картина силовых линий магнитного поля от одного витка

с его центром в начале координат и радиусом 2 см

Для системы из, например, 10 одинаковых витков, расположенных один

над другим вдоль оси z, получаем простую суперпозицию выражений для

одного витка, но с последовательным шагом в 1 см по высоте z. Тогда имеем

Рис.4.11.9. Картина силовых линий магнитной индукции для вертикальной

катушки из 10 витков. Центр нижнего витка распложен в начале координат.

Расстояния даны в см

281

Картина силовых линий магнитного поля для одного витка имеет вид:

следующую картину силовых линий магнитного поля вертикальной цилинд-

рической катушки "в профиль":

Над верхним торцом толстого соленоида силовые линии магнитной ин-

дукции выглядят как:

Рис.4.11.10. Картина силовых линий магнитной индукции от верхнего торца

катушки из Рис.4.11.9. Густота заливки характеризует величину функции

F(r)=Ar, линии постоянного уровня которой совпадают с силовыми линиями

магнитной индукции

На глубине 3 см соответствующая картина векторных полей плотности

вихревых токов после вычисления на компьютере имеет вид:

Рис.4.11.11. Картина векторного поля плотности вихревого тока от катушки

Рис.4.11.9 в слое проводящей среды на глубине 3 см

282

PlotVectorField [{AX, AY}, {X, -10.01, 10},{Y, -10.01, 10},

PlotPoints —> 100, ScaleFactor —> None];

В заключение параграфа приведём пример конкретного расчета вихревого

электрического поля и тока в биологической ткани с проводимостью λ~1 1/Ом

м на глубине 2 см для катушки с параметрами Рис.4.11.1 при внутриимпульс-

ной частоте колебаний 100 Гц. Выпишем решение задачи для этого случая.

Магнитная индукция B{z) на оси соленоида в формулах (8,9) изменяется

от максимума до минимума за время половины периода колебаний, что соглас-

но уравнениям Максвелла приводит к возникновению вихревого электричес-

кого поля с амплитудой E

(r,z,t), зависящей как от глубины z, так и от рассто-

яния до оси соленоида r. Вблизи оси соленоида в первом приближении Е

(r)

пропорциональна r.

Поток магнитной индукции B(z) через круг радиуса r равен B(z)πr

, где πr

— это площадь круга в м

. Изменение этого потока за время T=0.005 с приводит

к ЭДС вихревого электрического поля Е

(r)2πr. Отсюда имеем равенства:

(B(z)πr

/T)=E

(r)2πr, E

(r) =(B(z)r/2T). (13)

Подставляя в (13) характерный радиус r=2 см, B(z)=0.025 Тл и Т=0.005 с,

получим для напряженности вихревого электрического поля оценку

=10

-3

В/см=1 мВ/см. Для среды с удельной проводимостью биологической ткани λ~1

1/Ом м [3] плотность тока для таких величин вихревых электрических полей,

согласно уравнению (6), равна:

J=λE

=(10

-2

1/Ом см)(10

-3

В/см )~10

-5

А/см

~10 мкА/см

Отметим, что величина вихревого тока не зависит от диэлектрической

проницаемости среды, поскольку определяется изменением во времени векто-

ра напряженности электрического поля Е, а не электрического смещения D, и

зависит только от удельной проводимости среды.

Заключение

Приведенные выше примеры расчета магнитной индукции и вихревых

токов в слабо проводящей среде биологической ткани от катушки переменного

тока низкой частоты с ферритовым сердечником показывают, что пакет про-

грамм "МАТЕМАТИКА 4" является удобным средством не только для реше-

ния соответствующих задач магнитостатики и уравнений Максвелла, но и для

подходящего графического представления результатов. Причем использова-

ние той или иной формулы определяется как самой постановкой задачи, так и

конкретными параметрами исследуемой системы и необходимой точностью

расчета.

Самую простую, и соответственно, самую грубую прикидку величины

магнитной индукции внутри цилиндрической катушки дает формула (7), кото-

рая при использовании магнитного сердечника принимает вид:

283

Для оценки величины магнитной индукции на оси цилиндрической катуш-

ки, у которой длина h сравнима с ее радиусом а, наиболее употребляемой

является формула (8), которая с учетом (9) принимает уже более сложный вид:

Как подтвердили прямые измерения магнитного поля на расстоянии до

нескольких сантиметров от такой катушки с помощью стандартного магнито-

метра, такая формула позволяет рассчитать величину поля с точностью до 10%,

что оказывается вполне достаточным для практического применения.

Еще более громоздкий вид принимают расчетные формулы, когда нужно

оценить величину магнитного поля в случае нецилиндрической формы катуш-

ки, что бывает необходимо по соображениям облегчения "доставки" нужной

величины поля к нужному органу тела человека. Главное правило здесь состо-

ит в том, что, например, для катушки с эллиптическим сечением намотки

витков величина магнитного поля на расстоянии от нее, большем ее ширины,

пропорциональна телесному углу, под которым она видна из точки наблюде-

ния, т.е. примерно площади ее сечения. Поэтому величина магнитного поля от

нее будет настолько же меньше поля от соответствующей цилиндрической

катушки, насколько меньше ее площадь площади круга.

Кроме того, бывает необходимо для той же цели "вывести" ферритовый

сердечник за пределы катушки. В этом случае при оценке величины магнитной

индукции вблизи поверхности сердечника нужно использовать правило равен-

ства магнитного потока внутри и вне катушки. Тогда расширение сечения

сердечника будет приводить к уменьшению магнитной индукции, а сужение

— к ее увеличению.

Формулы для расчета величины магнитной индукции на удалении как от

края катушки, так и от ее оси, также существенно усложняются по мере

увеличения расстояния до оси. Они нужны для оценки величины и простран-

ственного распределения векторного поля вихревых токов в среде, которые в

свою очередь необходимы для определения физико-химических механизмов

воздействия постоянных и переменных низкочастотных магнитных полей на

органы и ткани человека [4]. Для этих формул вполне доступны расчеты с

использованием разложения в ряд выражений для компонент магнитного поля

в цилиндрических координатах типа (11), оставляя необходимое число членов

разложения.

Литература

Э.Г.Калашников. "Общий курс физики". Электричество. "Наука". Москва.

1977. Гл.8, стр. 150.

284

В.В. Батыгин, И.Н.Топтыгин. "Сборник задач по электродинамике".

"Наука". Москва. 1970. Гл.V, стр. 62.

S.J.Williamson, L.Kaufman, JMMM, 1981, 22, 129.

В.Н.Бинги, А.В.Савин. УФН, 2003, 173, №3, 265.

285

ГЛАВА 5.

ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОСТОЯННЫХ

МАГНИТОВ

5.1. Необходимые условия для возникновения упорядоченных

магнитных структур в твердых телах

Магнитное упорядочение (упорядоченное пространственное расположе-

ние магнитных моментов) наиболее изучено в твердых телах, обладающих

дальним порядком в расположении атомов и кристаллической решеткой, в

узлах которой периодически располагаются атомы с магнитными моментами.

Физики и материаловеды интенсивно изучают также физические (в том числе

и магнитные) свойства аморфных материалов, где существует только ближний

порядок в расположении атомов. К ним относятся, в частности, металлические

сплавы, получаемые быстрой закалкой из жидкого состояния (металлические

стекла). Аморфная структура этих материалов характеризуется неупорядочен-

ным расположением атомов, что приводит иногда к сильным изменениям их

магнитных и других физических свойств по сравнению с их кристаллическими

аналогами. В статье рассмотрены особенности магнитных свойств магнитоу-

порядоченных веществ в связи с особенностями атомной структуры как крис-

таллических, так и аморфных веществ.

Простейшая интерпретация физических механизмов, ответственных за

упорядоченное пространственное расположение магнитных атомных момен-

тов в твердых телах, основывается на следующих представлениях. Прежде

всего надо отметить, что необходимым условием такого упорядочения являет-

ся наличие у атомов собственных магнитных моментов, благодаря чему воз-

можно образование спонтанного магнитного момента даже при отсутствии

магнитного поля. В магнетиках, где существуют только магнитные моменты,

локализованные на атомах, магнитный момент образца М складывается из

магнитных моментов атомов (i - номер атома)

(1)

(2)

286

где суммирование ведется по всем магнитным атомам. Намагниченность есть

магнитный момент единицы объема V

Часто рассматривают удельную намагниченность — магнитный момент

на 1 г вещества. Внешнее магнитное поле создает дополнительную намагни-

ченность за счет ориентации магнитных моментов и индуцирования диамаг-

нитного момента. Эта намагниченность складывается со спонтанной. Кроме

того, магнитное поле может деформировать и даже разрушать магнитную

структуру.

В общем случае намагниченность образца не может быть получена как

сумма магнитных моментов изолированных и невзаимодействующих ионов,

поскольку в металлах и сплавах большую роль играет коллективизация элек-

тронов, которые образуют магнитный момент электронной подсистемы. В

кристаллических и аморфных веществах сильное взаимодействие между элек-

тронами внешних (или валентных) оболочек соседних атомов приводит к

образованию энергетической зоны делокализованных электронных состояний.

Делокализованные электроны вносят существенный вклад в результирую-

щую намагниченность. Электронные подоболочки элементов группы железа

(с незаполненной 3d-подоболочкой) и группы лантанидов - редких земель (с

незаполненной 4f-подоболочкой) в разной мере подвергаются воздействию

соседних ионов. 4f-подоболочка экранирована вышележащими электронными

слоями 5s

5р

от действия электростатических полей окружающих ионов и

сравнительно слабо изменяется, то есть сохраняет свои атомные и магнитные

характеристики (за исключением некоторых легких редкоземельных ионов).

3d-подоболочка слабо экранирована, и для электронных плотностей 3d-элек-

тронов существует в кристаллической решетке заметное перекрытие с элек-

тронными плотностями окружающих электронов. В кристаллических и аморф-

ных металлах и сплавах 3d-элементы, как правило, не сохраняют свои атомные

магнитные моменты, характерные для изолированных атомов и ионов.

В случае изоляторов и полупроводников коллективизация 3d-электронов

выражена не столь резко, однако большую роль приобретают эффекты, обу-

словленные действием кристаллических полей на электронные состояния, в

результате чего энергетические уровни 3d-электронов расщепляются. В нор-

мальном (основном) состоянии заняты нижние энергетические уровни и 3d-

ион может иметь различные значения магнитного момента в зависимости от

своего атомного окружения в кристаллической решетке. Некоторые ионы

редких земель (особенно легкие, такие, как церий) также обнаруживают изме-

нение величины магнитного момента иона при действии электростатических

полей, создаваемых окружающими ионами. Таким образом, в кристаллических

и аморфных веществах природа магнитных моментов, обусловленных 3d- и

4f-ионами, сложна и многообразна.

Величина намагниченности, измеренной при определенной температуре,

зависит не только от значений атомных магнитных моментов, но и от взаимо-

действий между ними. Магнитного взаимодействия магнитных моментов не-

достаточно, чтобы объяснить наблюдающиеся на опыте значения температур

Кюри ферромагнетиков. Теплового движения при температурах в десятые

287

доли Кельвина уже достаточно, чтобы разрушить магнитное упорядочение за

счет магнитного взаимодействия.

Другое необходимое условие магнитного упорядочения заключается в

наличии в твердых телах обменного взаимодействия [Вонсовский С.В., 1984].

Оно является частью электростатического взаимодействия, зависящего от ори-

ентации спинов взаимодействующих электронов. Обменное взаимодействие

возникает благодаря квантовомеханическим эффектам и изменяется с рассто-

янием между магнитными ионами. Взаимное геометрическое расположение

ионов также оказывает влияние на его величину.

В. Гейзенберг получил общее выражение для энергии обменного взаимо-

действия

где Si и Sj — спины взаимодействующих электронов, a Aij- обменный интег-

рал, зависящий от расстояний между электронами rij. Суммирование ведется

по всем спинам i и j, входящим в систему.

На магнитный момент иона как в кристаллическом, так и в аморфном

магнетике действует также электростатическое поле, создаваемое окружаю-

щими ионами. Это поле называют локальным кристаллическим полем. Оно

создает локальную ось легкого намагничивания, вдоль которой и располагает-

ся магнитный момент. В простейшем случае энергия спина в этом поле (энер-

гия локальной магнитной анизотропии) имеет вид

В кристаллическом веществе ось легкого намагничивания совпадает с

одним из кристаллографических направлений, в аморфном — локальные оси

легкого намагничивания разбросаны по всем направлениям беспорядочно.

Из соотношения (5) следует, что соответствующая минимуму энергии

магнитная структура — взаимная ориентация спинов будет определяться ве-

личиной и знаком обменных интегралов и констант локальной анизотропии.

Обменное взаимодействие приводит к появлению некоторого эффектив-

ного обменного поля, которое ниже определенной температуры Tс преодоле-

288

(3)

(4)

(5)

где D — константа локальной магнитной анизотропии, a Sz — проекция спина

иона на направление локальной оси z.

Суммарная энергия обменных взаимодействий и энергий локальной ани-

зотропии получится суммированием соотношений (3) и (4)

вает дезориентирующее действие теплового движения. В результате при Т <

Тс возникает кооперативный эффект — магнитное упорядочение. Эту темпе-

ратуру Тс называют температурой магнитного упорядочения. Магнитное упо-

рядочение характеризуется упорядоченным расположением магнитных мо-

ментов атомов, которое возникает при Т < Тс даже при отсутствии внешнего

магнитного поля. В этом состоит отличие кооперативного магнетизма от не-

кооперативного (парамагнетизм и диамагнетизм), где магнитные моменты

ионов ведут себя совершенно независимо.

5.2. Ферромагнитное упорядочение

На первом этапе изучения магнитного упорядочения твердых тел физики

имели дело с ферромагнетизмом, который характеризуется параллельным

(коллинеарным) дальним порядком в расположении магнитных моментов в

системе. В ферромагнетиках обменное взаимодействие преодолевает дезори-

ентирующее действие теплового движения при Т < Тс и ориентирует магнит-

ные моменты параллельно. Некоторый разброс в ориентации магнитных мо-

ментов вследствие теплового движения подавляется обменным взаимодейст-

вием при К. В ферромагнетиках обменные интегралы положительны (Aij > 0)

и обменное взаимодействие преобладает над другими видами взаимодействий,

чувствительными к ориентации магнитных моментов. Наличие макроскопи-

ческой намагниченности образца сильно увеличивает магнитостатическую

энергию. Ее минимизация происходит тогда, когда образец разбивается на

домены, внутри которых есть спонтанная намагниченность вдоль оси легкого

намагничивания, которой является одна из кристаллических осей. Температур-

ная зависимость спонтанной намагниченности I

приведена на рис. 1, а. Видно,

что величина I

монотонно уменьшается с нагреванием и исчезает при Т > Тс

При Т> Тс имеет место парамагнитное состояние с хаотической ориентацией

магнитных моментов при Н = 0, при Т<Тс возникает ферромагнитное состо-

яние с параллельной ориентацией магнитных моментов (рис. 5.2.1, б).

При увеличении магнитного поля Н намагниченность образца возрастает

за счет смещения границ доменов и процессов вращения спонтанной намагни-

ченности. Первый процесс связан с ростом объема доменов, у которых направ-

ление I

ориентировано наиболее выгодно энергетически по отношению к

полю (угол между I

и Н наименьший). Второй процесс - - вращение -

обусловлен поворотом векторов I

от оси легкого намагничивания к направле-

нию приложенного магнитного поля.

В парамагнитной области при Т > Тс для магнитной восприимчивости с

выполняется закон Кюри-Вейса

(6)

Рис. 5.2.1, а — температурные зависимости спонтанной намагниченности I

и обратной магнитной восприимчивости ферромагнетика;

б — ферромагнитная структура

где — парамагнитная точка Кюри, а С— постоянная Кюри-Вейсса. Как можно

видеть на рис. 5.2.1, а, величина для ферромагнетиков изменяется линейно с

температурой. В изотропных однородных по составу ферромагнетиках с малой

магнитной анизотропией Tс и имеют близкие значения. В анизотропных фер-

ромагнетиках величина принимает разные значения для оси легкого намагни-

чивания и оси трудного намагничивания, а также заметно отличается от тем-

пературы Кюри Тс.

В ферромагнетиках, где магнитные моменты электронов локализованы на

ионах (например, неметаллические ферромагнетики, редкоземельные металлы

иттриевой подгруппы Gd, Tb, Dy), спонтанная намагниченность образца скла-

дывается из магнитных моментов изолированных ионов. Постоянная Кюри-

Вейсса связана с эффективным магнитным моментом иона в ферромагнетиках

с локализованными магнитными моментами:

(7)

290