Петросян Л.А. и др. Теория игр

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА V

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ

§ 1. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ

С ПРЕДПИСАННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ

Дифференциальные игры являются обобщением многошаговых

игр на случай, когда число шагов в игре становится бесконечным

(континуум), и игроки 1 и 2 (будем обозначать их буквами Е и Р)

соответственно имеют возможность принимать решения непрерыв-

но.

такой постановке траектории движения игроков представляют

собой решения систем дифференциальных уравнений, правые части

которых зависят от параметров, которые находятся под контролем

игроков.

1.1. Пусть xeR

yeR„,

ueUczR

, veVczR, f(x, и), g(y, v) —

вектор-функции размерности п, заданные на

x U и

x V соот-

ветственно. Рассмотрим две системы обыкновенных дифференци-

альных уравнений

*=/(*,

и); (1.1)

y=g(y,

«О

(1.2)

с начальными условиями х

, у

. Игрок Р(Е) начинает движение из

фазового состояния х

(у

)

и перемещается в фазовом пространстве

согласно (1.1) или (1.2), выбирая в каждый момент времени

значение параметра ueU(veV) в соответствии со своими целями

и информацией, доступной в каждом текущем состоянии.

Наиболее просто поддается описанию случай полной инфор-

мации. В дифференциальной игре это означает, что игрокам в каж-

дый момент времени t при выборе параметров ueU, veV известно

время / и фазовые состояния свое и противника. Иногда требуют

знание одним из игроков, например игроком Р, в каждый текущий

момент / значения параметра ve

выбранного игроком Е

этот же

момент. В таком случае говорят, что игрок Е дискриминирован,

а сама игра называется

игрой

дискриминацией игрока

Е.

Параметры ueU, veV называются управлениями игроков

230

Р и Е соответственно. Функции х

(/),

y(f), удовлетворяющие уравне-

ниям (1.1), (1.2) и начальным условиям, называются

траекториями

движения игроков

Р, Е.

1.2. Цели в дифференциальной игре определяются с помощью

выигрыша, который может различным образом зависеть от ре-

ализовавшихся траекторий x(t), y(t). Например, предполагается,

что процесс игры продолжается некоторое заранее предписанное

время Т. Пусть х

(Т),

(Г)

— фазовые состояния игроков РиЕв мо-

мент окончания игры Т. Тогда выигрыш игрока Е полагается

равным Н(х(Т), у(Т)), где Н(х, у) — некоторая функция, заданная

на

В частном случае, когда

Н(х(Т),

у(Т)) =

р(х(Т),

у(Т)), (1.3)

где р(х(Т), у(Т))= /^(хДГ)—у,(Т))

—евклидово расстояние

между точками х(Т), у(Т), игра описывает процесс преследования,

в котором целью игрока Е является уклонение от игрока Р к момен-

ту окончания игры на максимальное расстояние. Во всех случаях

будем предполагать дифференциальную игру антагонистической.

В случае выполнения условия (1.3) это означает, что цель игрока

Р — максимальное сближение с игроком Е к моменту окончания

игры Т.

При таком определении выигрыш зависит лишь от конечных

состояний процесса и каждому игроку не засчитываются резуль-

таты, достигнутые им в процессе игры до момента Т. Поэтому

логичной является и такая постановка задачи, в которой выигрыш

игрока Е определяется как минимальное расстояние между игро-

ками в процессе игры:

min p(x

(t),y(t)).

Существуют игры, в которых ограничение на продолжитель-

ность игры не является существенным и игра продолжается до

достижения игроками определенного результата. Пусть вЛ" задана

m-мерная поверхность F, которую будем называть терминальной.

Положим

={mmt:(x(t),y(t))GF), (1.4)

т. е. t

— первый момент попадания точки (х

(/),

у (/)) на

Если при

всех />0 точка

(x(t),

y(t))$F,

то t

полагаем равным +оо. Для

реализовавшихся траекторий х

(t),

(t)

выигрыш игрока Е полагаем

равным

t„

(выигрыш игрока Р равен

—

/„).

В частности, если F

пред-

ставляет собой сферу радиуса

/3s 0,

заданную уравнением

231

то имеет место задача преследования, в которой целью игрока

Р является скорейшее сближение с игроком Е на расстояние />0.

Если 1=0, то под встречей понимается совпадение фазовых коор-

динат игроков Р и Е, при этом игрок Е стремится оттянуть момент

встречи. Игры преследования этого типа будем называть играми

преследования

на

быстродействие.

В теории дифференциальных игр рассматриваются также задачи

определения множества начальных состояний игроков, из которых

игрок Р может обеспечить встречу с игроком Е на расстоянии /,

и определения множества начальных состояний игроков, из которых

игрок Е может гарантировать, что встреча с игроком Р на расстоя-

нии / за конечное время не произойдет. Первое множество называет-

ся

областью встречи

или

захвата

и обозначается (С, Z), второе —

областью

убегания и обозначается (Е, Z). Очевидно, что эти об-

ласти не пересекаются, однако важным является вопрос, покрывает

ли объединение замыканий областей встречи и убегания все фазовое

пространство? Ответ на этот вопрос будет дан ниже, а пока заме-

тим, что для адекватного описания такого процесса достаточно

определить выигрыш следующим образом. Если существует /„<оо

(см.

(1.4)), то выигрыш игрока Е полагаем равным

—

Если же

t„

оо,

то выигрыш равен +1 (выигрыш игрока Р равен выигрышу

игрока Е с обратным знаком, так как игра антагонистическая).

Игры преследования с таким выигрышем называются

играми

пре-

следования

качества.

1.3. Фазовые

ограничения.

Если дополнительно потребовать, что-

бы в процессе игры фазовая точка (х, у) не покидала некоторого

множества FcR , то получим дифференциальную игру с

фазовыми

ограничениями.

Частным случаем такой игры является игра с «лини-

ей жизни». Она является антагонистической игрой качества, в кото-

рой выигрыш игрока Е полагается равным +1, если ему удается

достичь границы множества F («линии жизни») до встречи с игро-

ком Р. Таким образом, целью игрока Е является достижение гра-

ницы множества F до встречи с игроком Р (сближение с игроком

Р на расстояние /, /^

0),

цель же игрока Р — сближение с игроком

Е на расстояние /, пока последний еще находится в множестве F.

Предполагается, что в процессе игры игрок Р не может покинуть

множества F.

1.4. Пример 1.

(Простое

движение).

Игра происходит на плоско-

сти.

Движение игроков Р и Е описывается системой дифференциаль-

ных уравнений

= и

, х

uf + M^a

232

(0)=*?, x

(0)=*S,

у, ф)=у\, у

ф)=у°

0&Р. (1.5)

С физической точки зрения уравнения (1.5) означают, что игроки

Ра Еперемещаются в плоскости с ограниченными скоростями, при

этом максимальные скорости а и /? постоянны по величине и мак-

симальная скорость игрока Е не превосходит скорость игрока Р.

Выбирая в каждый момент времени управление и

(и

), стес-

ненное ограничением

ui +

ul^cr (множество U), игрок Р может

изменять направление движения (направление вектора скорости).

Аналогично, игрок Е, выбирая в каждый момент времени управле-

ние » =

(«!,

), стесненное ограничением v] + v

^p (множество V),

может также в каждый момент времени изменить направление

движения. Очевидно, что если а>р", то множество захвата (С, Z)

совпадает со всем пространством, т. е. игрок Р всегда может

гарантировать для любого / /-встречу с игроком Е за конечное

время. Для этого достаточно выбрать движение с максимальной

скоростью айв каждый момент времени t направлять вектор

скорости на преследуемую точку у

(t),

т. е. осуществлять преследо-

вание по погонной линии. Бели а^/?, то множество убегания (Е, Z)

совпадает со всем пространством игры за вычетом точек (х, у), для

которых р(х, у)^1. Действительно, если в начальный момент р(х

Уо)>1,

то игрок Е всегда может гарантировать избежание захвата,

удаляясь от игрока Р вдоль прямой, соединяющей начальные точки

, с максимальной скоростью р.

Здесь проявляется характерное свойство, которое будет встре-

чаться и в дальнейшем. Для формирования управления, гарантиру-

ющего игроку Е избежание захвата, достаточно знать лишь началь-

ные состояния х

, у

, в то время как игроку Р в случае а>/? для

формирования управления, гарантирующего встречу с игроком Е,

необходимо иметь информацию о своем состоянии и состоянии

противника в каждый текущий момент времени.

Пример 2. Игроки Р и Е представляют собой материальные

точки с единичными массами, которые перемещаются на плоскости

под действием ограниченных по модулю сил и силы

трения.

Уравне-

ния движения игроков имеют вид

Х}=х

, х

Хд, х

ам

крХ

а.и

— к

., и\+и\^а

У1=Уз.У2=У4.'Уэ=р1>1-к

, (1.6)

У4

= Р»2-

ЕУ4>

l+v\<P

где (x

), (y

) — геометрические координаты, (х

, х

), (у

)

— импульсы точек Р

Е соответственно, к

ак

— коэффициен-

ты трения, а и

— максимальные силы, которые могут быть при-

ложены к материальным точка Р и Е. Движение начинается из

233

состояний

х,(0)

х1,

у,(0)=у1,

1=1, 2, 3, 4. Здесь под состоянием

понимается не геометрическое местоположение игроков Р и Е, а их

фазовое состояние в пространстве координат и импульсов. Множе-

ства U, V представляют собой круги

U—{u

)\и\

и\^<х

F={w =

(«

):v]+vl^p

}. Это означает, что игроки Р и Е в каж-

дый момент времени могут выбирать направления прилагаемых

сил, однако максимальные значения этих сил ограничены констан-

тами а и /?. В такой постановке, как это будет показано в даль-

нейшем, условия а>р (превосходство в силе) недостаточно для

завершения преследования игроком Р из любого начального состо-

яния.

1.5. Пока не указан способ выбора управлений ие

veV игро-

ками Р и Е в процессе игры в зависимости от поступающей инфор-

мации. Иначе говоря, не дано определение понятия стратегии в диф-

ференциальной игре.

Существует несколько разных подходов к определению этого

понятия. Остановимся на тех интуитивно очевидных теоретико-

игровых качествах, которыми оно должно обладать. Как уже от-

мечалось в гл. IV, стратегия должна характеризовать поведение

игрока во всех информационных состояниях, в которых он может

оказаться в процессе игры. В дальнейшем будем определять инфор-

мационное состояние каждого игрока фазовыми векторами x(f),

y(t) в текущий момент t и временем

t—t

прошедшим с момента

начала игры. Тогда естественно было бы рассматривать стратегию

игрока Р(Е) как функцию и(х, у, t) (v(x, у, t)) со значениями

в множестве управлений U(V). Именно таким образом определяет-

ся стратегия в

[1].

Стратегии этого типа будем называть

синтезиру-

ющими.

Однако этот способ определения стратегии обладает рядом

существенных недостатков. Действительно, пусть игроки Р и Е вы-

брали стратегии и(х, у, t), v(x, у, t) соответственно. Тогда для

определения траектории движения игроков, следовательно, и выиг-

рыша (который зависит от траекторий) подставим функции и(х, у,

t),

v(x, у, t) в уравнения (1.1), (1.2) вместо управляющих параметров

и, v и попытаемся их проинтегрировать при начальных условиях х

на отрезке времени [0, 7]. Получим следующую систему обык-

новенных дифференциальных уравнений:

x=f(x, u(x, у, /)), y=g(y, v(x, у, 0). (1.7)

Для существования и единственности решения системы (1.7)

необходимо наложить определенные условия на функции f(x, и),

g(y, v) и стратегии и(х, у, t), v(x, у, t). Первая группа условий не

ограничивает стратегических возможностей игроков, относится

к постановочной части задачи и оправдывается физической приро-

дой рассматриваемого процесса. По-иному обстоит дело с ограни-

чениями на класс функций (стратегий) и(х, у, t), v(x, у, t). Ограниче-

ния возможностей игроков не согласуются с принятым в теории игр

234

представлением о свободе выбора поведения и приводят в ряде

случаев к существенному «оскудению» множеств стратегий. Напри-

мер,

если ограничиться лишь непрерывными функциями и(х, у, t),

(х,

у, t), то встречаются задачи, в которых не существует решения

в классе непрерывных функций. Допущение же более широкого

класса стратегий приводит к невозможности обеспечить сущест-

вование единственного решения системы (1.7) на отрезке [t

, 7].

Иногда для преодоления этой трудности рассматривают множества

таких стратегий

(х,

у, i),

(x,

у, t), при которых система (1.7) имеет

единственное решение, продолжимое на отрезок [/

, Т\. Однако

такой подход (помимо неконструктивности определения множества

стратегий) не является достаточно обоснованным, поскольку мно-

жество всех пар стратегий

(х,

у, t),

(x,

у, t), при которых система

(1.7) имеет единственное решение, оказывается непрямоугольным.

1.6. В качестве стратегий в дифференциальной игре будем рас-

сматривать

кусочно-программные

стратегии.

Кусочно-программная стратегия и() игрока Р состоит из пары

{а, а), где а — некоторое разбиение 0=t'

<t\<...<t„<... полуоси

времени [0, оо) точками i

, не имеющими конечных точек сгущения;

а — отображение, ставящее в соответствие каждой точке 4 и фазо-

вым состояниям

x(i

)

некоторое измеримое программное

управление u(t)eUпри te[i

, 4+i) (измеримую функцию и(f), прини-

мающую значения из множества U). Аналогично, кусочно-про-

граммная стратегия »(•) игрока Е состоит из пары {т, Ь], где

т — некоторое разбиение 0 =

<...

t'„ <... полуоси времени

[0,

оо) точками t

, не имеющими конечных точек сгущения;

— ото-

бражение, ставящее в соответствие каждой точке 4

позициям

x(t'

y{t

) некоторое измеримое программное управление v(t)e V на от-

резке [4. 4+i) (измеримую функцию v{t), принимающую значения из

множества V). Используя кусочно-программную стратегию, игрок

реагирует на изменение информации не непрерывно во времени,

а через интервал

k+l

длину которого он определяет сам.

Обозначим множество всех кусочно-программных стратегий иг-

рока Р через Р, а множество всех возможных кусочно-программных

стратегий игрока Е — через Е.

Пусть u(t), v(t) — пара измеримых программных управлений

игроков Р и Е (измеримых функций со значениями в множествах

управлений U,

V).

Рассмотрим систему обыкновенных дифференци-

альных уравнений

x=f(x, и(/)), y=g(y,

v(t)),

t>0. (1.8)

На правые части систем (1.8) наложим следующие ограничения.

Вектор-функции f(x, и), g(y, v) непрерывны по всем аргументам

и равномерно ограничены, т. е. fix, у) непрерывна на множестве

R"xU, a giy, v) непрерывна на множестве R"xV и \[f(x, u)\\<a,

235

Il^(y.

«II

</?

(здесь

||z||

— норма вектора

R").

Кроме того, вектор-

функции

f(x, и) и g{y, v)

удовлетворяют условию Липшица

по

и у

соответственно независимо

от и, v, т. е.

\\f(x. u)-f(x

iOIKaJXi-XjH,

ueU,

h(y

.v)-g(y

,v)^p

-y

\\.veV.

Из теорем существования

единственности Каратеодори следует,

что

при

выполнении указанных условий

для

любых начальных

состояний

, у

любых измеримых программных управлений

(/),

v(t),

заданных

на

отрезке

[7\, TJ,

0^Т.<Т

существуют единст-

венные абсолютно непрерывные вектор-функции

x(i), y(i),

которые

удовлетворяют почти всюду

(т. е.

всюду,

за

исключением множест-

ва меры нуль)

промежутке

[Т^ТД

системе дифференциальных

уравнений

x(t)=f(x(t),

«(/)), y(t)=g(y(t),«,(/))

(1.9)

и начальному условию

(Т

)=х

, y(Tj)=y

(см.

[68,

36]).

1.7.

Пусть

(х

, у

)

— пара начальных условий

для

уравнений

(1.8).

Система S={x

; и(),

«(•)},

где

м()еР, «()еЕ, называется

ситуацией

в дифференциальной

игре.

Каждой ситуации

единствен-

ным образом соответствует пара траекторий

x(t), y(f)

таких,

что

JC(0)=X

, у(0)=у

и при

почти всех

fe[0, 7], Т>Ь

выполнены

соотношения (1.9).

Действительно, пусть и()={8,

а],

«()

{т,

Ь).

Пусть

<...<t

<... —разбиение полуоси

[0, оо),

являющееся объ-

единением разбиений

8, т.

Решение системы

(1.9)

строится следу-

ющим образом.

На

каждом отрезке

i),

к=0, 1, ...,

образы

отображений

a, b

представляют собой измеримые программные

управления

u(t), v(t),

поэтому

на

отрезке

, t

)

система уравнений

(1.9) при х(0)=х

,у(0)=у

имеет единственное решение.

На

отрезке

взяв

качестве начальных условий x(t

lim x(t),

«-•/,-0

y(t^)=

lim y(t),

строим решение (1.9), вторично используя измери-

мость управлений

u(i), v(t) как

образов отображений

а и Ъ на

отрезках

k+l

к=\, 2, ... .

Полагая x(t

lim x(t),

у(

(

г)

l™

У(*)>

продолжаем этот процесс,

результате чего нахо-

»->(j-0

дим единственное решение

x(t), y(t)

такое,

что

х(0)=х

, у(0)=у

Любую траекторию x(t)(y(t)), соответствующую некоторой ситу-

ации

{х

, у

;

м(),

v(•)},

будем называть траекторией игрока

(игро-

ка

Е).

1.8.

Функция выигрыша.

Как уже

было показано, каждая ситу-

ация S=(x

;

и(.), «(•)}

кусочно-программных стратегиях одно-

значно определяет траектории

x(t), y(t)

игроков

Р и Е.

Степень

236

предпочтительности этих траекторий будем оценивать функцией

выигрыша К, которая каждой ситуации ставит в соответствие неко-

торое вещественное число — выигрыш игрока Е. Выигрыш игрока

Р равен (—К) (это означает, что игра антагонистическая, поскольку

сумма выигрышей игроков Р и Е в каждой ситуации равна нулю).

Будем рассматривать игры с функцией выигрыша четырех видов.

Терминальный

выигрыш.

Заданы некоторое число Г>0 и непре-

рывная по (х, у) функция Н(х, у). Выигрыш в каждой ситуации

S={x

, y

; ы(-), «(•)} определяется следующим образом:

K(x

;u(.),v(.)) = H(x(T),y(T)),

где x(T)=x(i)\

t=T

, y(T)=y(t)\

tmT

(здесь x(t), y(t) — траектории иг-

роков Р

Е, соответствующие ситуации S). В случае, когда функция

Н(х, у) представляет собой евклидово расстояние между точками

х я у, имеет место задача преследования.

Минимальный

результат.

Пусть Н(х, у) — вещественная непре-

рывная функция. В ситуации 5={х

, у

; ы(-), «(•)} выигрыш игрока

Е полагается равным min H(x(t),

y(t)),

где Г>0 — заданное число.

Если Н(х, у)=р(х, у), то игра описывает процесс преследования.

Интегральный

выигрыш.

В R"xR" заданы некоторое многооб-

разие F размерности т и непрерывная функция Н(х, у). Пусть

в ситуации S={x

, y

; «(•), »(•)}>

— первый момент попадания

траектории

(x(i),

y(t)) на F. Тогда

К(х

, у

; «(.), «(•))=/ H(x(t),y(t)) dt

(если

t„=ao,

то К =

оо),

где x(t),y(t) — траектории игроков Р и Е,

соответствующие ситуации S. В случае Н=\, K=t„ имеет место

задача преследования-на быстродействие.

Качественный

выигрыш.

Функция выигрыша АГ может принимать

только одно из следующих трех значений: +1,0,

— 1

в зависимости

от расположения (х (/„), у

(/„))

R".

заданы два много-

образия F и L размерности m

и т

соответственно. Пусть в ситу-

ации S={x

, y

; u(), v()}t„ — первый момент попадания траек-

тории

(x(t),

y(t)) на F. Тогда

(

если (х (t

),y (О) 6

К(х

, у

; и(), «(•)) =

0, если f„ =

oo,

1-1, если (х (/„),

y(t„))

фЬ.

1.9. Определив множества стратегий игроков Р и Е и функцию

выигрыша, можно определить дифференциальную игру как игру

237

в нормальной форме. В. п. 1.1 гл. I под нормальной формой Г мы

понимали тройку Г =

<Х,

Y, К), где XxY — пространство пар

всевозможных стратегий в игре Г и К — функция выигрыша, опре-

деленная на 1х

У.

В рассматриваемом случае функция выигрыша

определена не только на множестве пар всевозможных стратегий

в игре, но и на множестве всех пар начальных позиций х

, у

Поэтому каждой паре (х

)eR

соответствует своя игра

в нормальной форме, т. е. фактически определяется некоторое

семейство игр в нормальной форме, зависящее от параметров

)eR*xR

Определение. Под

нормальной формой дифференциальной

игры

Г(х

, у

), заданной на

пространстве

пар

стратегий

РхЕ, будем

понимать систему

Г(х

. Уо)

о-

(

о>

Уо1

«(•). «())>.

где

K(x

; ы(), »(•)) —

функция

выигрыша,

определенная любым

из

четырех описанных выше

способов.

Если функция выигрыша К в игре Г терминальная, то со-

ответствующая игра Г называется игрой с терминальным вы-

игрышем. Если функция К определяется вторым способом, то

имеем игру на достижение минимального результата. Если функция

К в игре Г является интегральной, то соответствующая игра

Г называется игрой с интегральным выигрышем. Когда функция

выигрыша в игре Г качественная, соответствующая игра Г на-

зывается игрой качества.

1.10. Естественно, что в классе кусочно-программных стратегий

(ввиду некомпактности множества) оптимальных стратегий может

не существовать. Однако удается показать, что в достаточно боль-

шом числе случаев для любого е>0 существуют ситуации е-равно-

весия.

Напомним определение ситуации s-равновесия (см. п. 2.3 гл. II).

Определение Пусть задано некоторое е>0. Ситуация S,=

= {х

, у

; и«(-)>

«,(•)}

называется ситуацией

е-равновесия

игре

Г(х

если

для всех м()еР и v()eE

имеет место неравенство

К(х

, у

; и(•),

v,(.))

+ e>K(x

, у

; «,(.),

„.(•))>

(1.10)

^К(х

,у

;и,

(•),«(•))

~е.

Стратегии

«,(•), ««(•),

определенные

в (1.10),

называются

Е-ОП-

тимальными стратегиями игроков

Р и Е.

Следующая лемма является перефразировкой теоремы п. 2.5 гл.

П для дифференциальных игр.

Лемма. Пусть в игре Г(х

, у

) для

каждого

е>0

существует

ситуация

е-равновесия.

Тогда существует предел

238

lim K(x

, y

; «,(.), «.(•)).

«-•о

Определение. Функция V{x, у),

определенная

каждой

точке

(х, у)

некоторого множества

DcB?xl? по

правилу

lim К(х, у; «.(.),

«.(•))=

V(x. у), (1.11)

в-»0

называется функцией значения игры

(х,

у) на

множестве начальных

условий

(х, y)eD.

Существование при любом е>0 ситуации е-равновесия в игре

Г (х

, у

) эквивалентно (см. п. 2.5, гл. П) выполнению равенства

sup inf К(х

, у

; и(•), «(•))= inf sup К(х

, y

; ы(),

«(•)).

«(•)еЕ и()еР и()бР«()бЕ

Если в игре Г(х

, у

) для любого

Б>0

существуют е-оптималь-

ные стратегии игроков РжЕ,то будем говорить, что

игра

(х

)

имеет

решение.

Определение. Пусть

и*

(•);

(•)

—

пара

таких

стратегий,

что

К(х

, у

; «(.), v*(.))>K(x

, y

; «*(•), ••(.))>

£*(х

.;р

; «*(.). «О) (112)

для всех и()еР u vQeE. Тогда ситуация

, y

; ы*(),

«*(•))

называется ситуацией равновесия в игре Г(х

, ;у

). Стратегии

и*()еР и v*()еЕ из (1.12) называются

оптимальными стратегиями

игроков

Р и Е.

Существование ситуации равновесия в игре Г (х

, у

) эквивалент-

но (см. п. 3.4 гл. I) выполнению равенства

max inf K(x

, y

; и(), »(•))=

»(.)еЕи(-)еР

= min supAT(x

, y

; ы(),

*(.)).

и()бЕи()еР

Очевидно, что если существует ситуация равновесия, то для

любого е>0 она является и ситуацией Б-равновесия, т. е. функция

V(x, у) в данном случае просто совпадает с К (х, у;

и*

(•),

»*

(•)) (см.

п. 2.3 гл. II).

1.11. Рассмотрим синтезирующие стратегии.

Определение.

Пара

(и*

(х, у, t),

(x, у, /))

называется

ситуаци-

ей равновесия

дифференциальной

игре в

синтезирующих

стратеги-

ях, если

имеет место неравенство

К(х

, у

; и(х, у, t), v*(x, у, t))^K(x

, у

; u*(x, у, t),

(х,

у, t))^K(x

, y

; и*(х, у, t), v(x, у, /)) 0-13)

для всех

ситуаций (и

(х, у, t),

(х,

у, t)) и

(и*

(х, у, t),

{х,

у, t)), для

которых существует

единственное,

продолжимое

на

[О,

оо) решение

239