Панов В.К. Физические основы теплотехники. Ч. I: Термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

§ 18. Адиабатный процесс

1. Q = 0. Адиабатный — это процесс без теплообмена.

Он может происходить в теплоизолированной системе. Спра-

ведливости ради надо сказать, что никакая теплоизоляция не

может полностью прекратить теплообмен системы с внешней

средой, если у них разные температуры. Теплоизоляция лишь

ограничивает теплообмен на заданном уровне. Поэтому прак-

тически адиабатный процесс (как, впрочем, и любой другой из

рассматриваемых) может быть реализован лишь с той или

иной степенью приблизительности. Это будет определяться

тем, насколько малó тепло процесса по сравнению с двумя

другими членами уравнения первого начала:

если Q << (ΔU; L), то Q ≈ 0.

В каких ситуациях можно пренебречь теплом?

Интенсивность теплообмена может быть, конечно, раз-

ной и определяется целым рядом величин. Эти задачи рас-

сматриваются в курсе тепломассообмена. Но в целом можно

сказать, что теплообмен — процесс довольно инерционный,

медленный. Работа L связана с изменением объема, расшире-

нием-сжатием, которое можно организовать практически с лю-

бой требуемой скоростью. Поэтому процессы быстрого рас-

ширения-сжатия (в компрессорах, двигателях внутреннего

сгорания, турбинах и т. д.) обычно с хорошей степенью точно-

сти можно считать адиабатными.

2. Уравнение адиабатного процесса для идеального га-

за получено аналитически Пуассоном и впоследствии неод-

нократно проверено экспериментально:

= const. (4.23)

Здесь k – показатель адиабаты:

k = c

Эта безразмерная величина всегда больше единицы, по-

скольку изобарная теплоемкость всегда больше изохорной со-

гласно закону Майера (4.17). В идеально-газовом состоянии k

практически постоянен (во всяком случае, когда зависимостью

теплоемкости от температуры можно пренебречь) и обычно

принимает значения:

§ 18

. Адиабатный процесс

k ≈ 1,67 – для одноатомных инертных газов 8-й группы

таблицы Менделеева (гелия, неона и т. д.);

≈

1,4 – для двухатомных газов (азота, кислорода, …);

k ≈ 1,3 – для трехатомных газов (это прежде всего про-

дукты сгорания органических топлив СО

, Н

О, SО

, …).

Полезно получить уравнение адиабаты в р-Т перемен-

ных, выразив из уравнения состояния объем и подставив его

в уравнение (4.22):

1– k

= const. (4.24)

Аналогично уравнение процесса получается и в

v-Т

переменных:

k – 1

= const. (4.25)

Для того чтобы изобразить процесс в диаграммах, нуж-

но из уравнений (4.23) – (4.25) выразить в явном виде один па-

раметр через другой:

const

;

)(kk

k)(k

const

−

⋅==

;

const

−

. (4.26)

Все три зависимости — нелинейные. Из первой следу-

ет, что при расширении давление уменьшается, причем бы-

стрее, чем в изотермическом процессе, поскольку k > 1. То

есть в любой точке р-v диаграммы адиабата идет круче изо-

термы, пересекает ее (рис. 4.6).

Зависимость между давлением и температурой — пря-

мая, хоть и существенно нелинейная: рост давления вызывает

рост температуры и наоборот.

И, наконец, третья зависимость — обратная, поскольку

k –1 > 0. Значит, адиабатное расширение будет сопровождать-

ся понижением температуры. Хочу подчеркнуть здесь одно –

Рис. 4.6. Адиабатный процесс

Q=0

T=const

Q=0

= const

v = const

T T

§ 18. Адиабатный процесс

∫

pdVL

все три выражения (4.25) говорят о том, что в процессе без

подвода и отвода тепла, если он описывается уравнением Пу-

ассона, должна изменяться температура. Этот вывод будет

подтвержден в п. 4 с помощью первого начала термодинамики.

Для сравнения на рис. 4.6 приведены линии изопроцессов.

3. Выражение для работы получим из (3.3), подставив в

интеграл первое выражение из (4.25) (значение константы

вновь можно расшифровать через параметры какого-нибудь

известного состояния, например начального):

∫

= )(

−−

− .

−

Это выражение для вычислений удобнее привести к виду:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−1

111

. (4.27)

Из него, в частности, следует, что если газ расширился

(

> V

), то дробь в скобках меньше единицы, разность в

скобках положительна и работа положительна, как и должно

быть по принятому правилу знаков. Кроме того, в одних и

тех же условиях одноатомный газ (с бóльшим

k) совершит

бóльшую работу, чем двух-, а тем более трехатомный. Это

обстоятельство используется, например, при конструирова-

нии компактных производительных газотурбинных устано-

вок, где рабочим телом является гелий.

Тепло в этом процессе по определению равно нулю.

4. Уравнение первого начала для адиабатного процесса

ΔU = –L, (4.28)

во-первых, дает нам еще одно выражение для вычисления

работы:

L = –ΔU = – с

m ΔТ. (4.29)

Им удобно воспользоваться в случае, если известны на-

чальная и конечная температуры газа.

Во-вторых, равенство работы и изменения внутренней

энергии по величине, но противоположность по знаку означает:

§ 18. Адиабатный процесс

а) если газ расширяется, совершая работу, то L положи-

тельно. Значит, Δ

U должно быть отрицательно — внутренняя

энергия убывает. Иными словами, газ расходует свою внутрен-

нюю энергию на совершение работы. Поскольку в идеальном

газе

U = f(T), то уменьшение внутренней энергии проявится в

уменьшении температуры. Забегая немного вперед, скажу, что

адиабатное расширение – самый эффективный способ получе-

ния низких температур, вплоть до криогенных (криогенной

принято называть область температур ниже –150 °С);

б) если газ сжимается под действием внешних сил, то

работа процесса считается отрицательной. Тогда

ΔU должно

быть положительным — внутренняя энергия пополняется за

счет подводимой извне в виде работы внешних сил. А по-

скольку

U = f

(T), то рост внутренней энергии проявится в

увеличении температуры. На этом эффекте, в частности, ос-

нован принцип действия двигателей внутреннего сгорания

имени Рудольфа Дизеля — самовоспламенение топливовоз-

душной смеси при ее быстром сжатии.

§ 19. Политропный процесс

1. с = const. Политропный – это процесс при постоянной

теплоемкости. Это означает, что зависимостью теплоемкости от

температуры можно пренебречь. Такое приближение оправданно

в том случае, если рассматриваемый газ имеет слабую зависи-

мость

с = f (T) либо процесс происходит в небольшом интервале

температуры. Если все же требуется бóльшая точность, то про-

цесс разбивают на несколько последовательных, в каждом из ко-

торых теплоемкость можно считать постоянной.

Политропный – более общий вид процесса по сравнению

с предыдущими. В нем все параметры изменяются и не запре-

щен теплообмен. В силу сделанной выше оговорки в подав-

ляющем большинстве случаев любой процесс в газе можно с

инженерной точностью считать политропным.

2. Уравнения политропного процесса выглядят математи-

чески так же, как и для адиабатного. В

р-V переменных это

рV

= const, (4.30)

но

n здесь – показатель политропы – постоянное число, которое

§ 19. Политропный процесс

может быть любым. Иначе говоря, разным значениям n соответ-

ствуют разные политропные процессы. Под

n скрывается дробь:

−

, (4.31)

где

и с

– теплоемкости в изобарном и изохорном процес-

сах,

с – теплоемкость в рассматриваемом политропном. Из

(4.31) ее можно выразить:

−

сс

. (4.32)

Эта запись выражает то, что уже предварительно обсуж-

далось в § 14, п. 3 – зависимость теплоемкости от процесса.

Различным процессам отвечают разные

n (k – показатель

адиабаты, для выбранного вещества не меняется), поэтому и

теплоемкость получается разной. По формуле (4.32) ее можно

вычислить для любого заданного процесса.

Внешний вид уравнения (4.29) может навести на мысль

о том, что все рассмотренные уже процессы – частные случаи

политропного. Покажем, что это действительно так, перебирая

различные значения

n = 0. Любое число в степени ноль равно единице, по-

этому из (4.30) следует

р = const, т. е. процесс будет

изобарным. Из уравнения (4.30) получаем:

vvv

ckc

cc ==⋅=

−

;

n = 1. Уравнение (4.30) принимает вид рV = const, ха-

рактерный для изотермического процесса. Теплоем-

кость становится бесконечной:

−

;

∞=

n = k – получаем уравнение адиабатного процесса

рV

= const. Теплоемкость при этом становится рав-

ной нулю;

осталось увидеть, при каком значении n процесс бу-

дет изохорным. Для этого из (4.30) извлечем корень

степени

1/n

V= const.

Теперь видно: при

n = ∞ обратная ей величина равна нулю,

§ 19

. Политропный процесс

давление в степени ноль дает единицу и (4.30) принимает вид:

V = const. Процесс при бесконечно большом n будет изохорным.

Теплоемкость в таком процессе

/11

−

/1 k

−

Показательно представление политропных процессов при

различных значениях показателя

n в р-v диаграмме. На рис. 4.7

изображены только что обсужден-

ные процессы, проведенные через

одно и то же состояние.

n < 0

n = 0

Стоит заметить, во-первых,

что с увеличением

n от 0 до ∞ за-

висимость между объемом и дав-

лением становится все более рез-

кой. При расширении давление

убывает все более интенсивно.

n = 1

n = k

n = ∞

Во-вторых, линии всех про-

цессов с положительными

n укла-

дываются между линиями

n = 0 и n = ∞, в квадрантах А и В.

Тогда логично предположить, что если возможны процессы с

отрицательным

n, то соответствующие им линии должны рас-

полагаться в квадрантах С и D. Причем бóльшим значениям

должна соответствовать более резкая зависимость.

Рис. 4.7. Политропные процессы

Проанализируем возможность и суть такого процесса

(рис. 4.8). По диаграмме можно сказать следующее:

это процесс расширения — конечный объем V

больше на-

чального

;

давление в этом процессе увеличивалось: р

> р

;

температура Т

> Т

, посколь-

ку чем дальше от начала ко-

ординат располагается изо-

терма, тем большей темпера-

туре она соответствует.

Значит, процесс

1–2 — это

процесс расширения, сопровождаю-

щийся ростом давления и температу-

ры. Такой процесс не противоречит

здравому физическому смыслу и пер-

Рис. 4.8. Процесс при n < 0

n < 0

§ 19. Политропный процесс

вому началу. Применим его:

Q = ΔU + L.

Расширение означает, что

L > 0, рост температуры – что

U > 0. Правая часть уравнения положительна, значит, Q > 0.

Тепло в этом процессе должно подводиться, причем столько,

чтобы его хватило и на работу расширения, и на увеличение

внутренней энергии. Таких процессов много — это обычно

быстрые процессы взрывного характера.

Стóит еще обратить внимание на процессы, для которых

< n < k. Из (4.32) в этом случае следует: числитель дроби от-

рицательный, знаменатель положительный, изохорная тепло-

емкость положительна всегда, следовательно,

теплоемкость

вещества в таком процессе должна быть отрицательной. Что

это означает?

По определению удельной теплоемкости (3.11)

эта величина может быть отрицательной, если числитель и

знаменатель дроби имеют разные знаки. Масса всегда поло-

жительна. Тогда

с < 0 может быть в двух случаях:

−

при подводе тепла (Q > 0) температура должна умень-

шаться,

t < 0;

−

при отводе тепла (Q < 0) температура должна расти,

t < 0.

С такими процессами мы сталкиваемся на каждом шагу.

Если в примере про накачивание велосипедного колеса (§ 14, а)

не пренебрегать теплообменом, то это будет тот самый про-

цесс. Ведь в данном случае температура воздуха при сжатии

растет (

t > 0), а тепло от воздуха в насосе, имеющего бóль-

шую температуру, передается атмосферному воздуху с мень-

шей температурой

(Q < 0). Более того, именно такие процессы

с 1

< n < k, для которых теплоемкость отрицательна, имеют

место в компрессорах и тепловых двигателях. Дело в том,

что, как отмечено в § 15, для осуществления изотермическо-

го сжатия-расширения его нужно проводить очень медленно.

Но тогда производительность устройства будет микроскопи-

ческой. Для осуществления адиабатного сжатия-расширения

нужно полностью исключить теплообмен, а это невозможно,

§ 19. Политропный процесс

если тела имеют разную температуру. Поэтому реальные

процессы сжатия-расширения, как правило, происходят меж-

ду изотермой и адиабатой при

1< n < k.

В результате такого обсуждения я хотел подвести чита-

теля к вопросу: чем определяется, от чего зависит, какой по-

лучится процесс? Или, что то же самое, от чего зависит пока-

затель политропы

n и как его определить?

Для начала обсудим вопрос о том,

как можно определить значение

n. Здесь,

как говорится, возможны варианты. На-

пример, в процессе расширения-сжатия

мы имеем возможность производить из-

мерение параметров,

р и V. Тогда можно

построить реальную диаграмму процесса

(рис. 4.9) и увидеть его, но этого недос-

таточно. Экспериментальные данные, как

правило, содержат случайную и методическую погрешности,

поэтому точки на диаграмме всегда имеют разброс. Требуется

применять методы регрессионного анализа (самый популярный

из них — метод наименьших квадратов), позволяющие опреде-

лить уравнение линии наилучшего соответствия эксперимен-

тальным точкам (линия Н на рис. 4.9). В нашем случае вид

уравнения известен — это (4.30), но в нем должно быть опреде-

лено конкретное значение

n, отвечающее опыту.

Другой часто используемый метод – построение диаграм-

мы в логарифмических координатах

ln p – ln V (рис. 4.10). Тогда,

логарифмирование степенной зависимости (4.30) дает:

ln p + n ln V = const.

Если по оси ординат откладывать переменную у = ln p,

а по оси абсцисс переменную

х = ln V, то между ними будет

линейная зависимость вида

у = а – nx.

Отсюда можно определить n, поскольку оно равно тан-

генсу угла наклона линии относительно

оси абсцисс:

n = tg α .

Третий случай: есть возможность

измерить или задать параметры только

начального и конечного состояний. По-

Рис. 4.10. Диаграмма

в логарифмических

коо

рд

инатах

ln р

ln V

Рис. 4.9. Линия наи-

лучшего соответствия

§ 19.

Политропный процесс

лагая, что между ними произошел какой-то политропный про-

цесс, уравнение (4.30) можем представить в виде

= р

В этом уравнении будет одна неизвестная – n. Логариф-

мирование позволяет ее отсюда выразить:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

lnln

n =

⇒ ⇒ .

Таким образом, значение показателя политропы может

быть определено. Вторую часть вопроса: от чего зависит эта

величина – обсудим в пункте 4, используя первое начало.

3. Выражение для работы выглядит точно так же, как и в

адиабатном процессе, только вместо

k нужно использовать n:

⎟

⎞

⎜

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−1

⎠⎝

−

. (4.31)

Это выражение можно тождественно преобразовать

для использования в тех ситуациях, когда неизвестны одно-

временно два объема или давление и объем в одном и том

же состоянии. Если вместо

и V

известны р

и р

, то, ис-

пользуя уравнение процесса, можно сделать замену:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

211

= (p

)

1/n

⇒ .

Если одновременно

р и V для состояния 1 неизвестны, но

задана температура, то, учтя уравнение состояния, получим:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−1

mRT

Для вычисления тепла по выражению

Q = c

m ΔT

необходимо предварительно вычислить теплоемкость про-

цесса по формуле (4.30).

4. Теперь обсудим вопрос о том, чем определяется тип

процесса, т. е. значение показателя политропы. Прояснить это

помогает величина

φ = ΔU/Q,

§ 19. Политропный процесс

показывающая, какая доля из подведенного тепла идет во

внутреннюю энергию (остальная, соответственно, в работу).

Числитель и знаменатель этой дроби можно расписать так:

φ =

Tcm

Tmс

Величины

и с связаны между собой выражением

(4.32). Тогда

φ =

−

⇒

−

1 k

Последнее выражение дает ответ на поставленный во-

прос. Значение показателя политропы, т. е. тип процесса, оп-

ределяется соотношением тепла, перешедшего во внутрен-

нюю энергию, и тепла, преобразованного в работу. Это, в

свою очередь, определяется соотношением «скорости» теп-

лообмена (тепловыделения) и скорости изменения объема

(совершения работы).

Если тепловыделение происходит очень интенсивно, как

при химических и ядерных взрывах, то на работу, связанную

со сравнительно медленным расширением объема образовав-

шихся продуктов, расходуется далеко не все тепло. Остальное

пополняет внутреннюю энергию газов, вызывая рост их тем-

пературы и давления. Получается процесс с

n < 0.

Если же расширение газа происходит достаточно быст-

ро, а теплообмен «не успевает» подводить достаточно тепла,

то недостающие для совершения работы джоули черпаются из

внутренней энергии. Она убывает, и мы наблюдаем уменьше-

ние температуры, несмотря на подвод тепла. Процесс будет

характеризоваться отрицательной теплоемкостью.

Из сказанного следует практический вывод: изменяя ин-

тенсивность теплообмена и скорость процесса расширения-

сжатия, мы можем добиваться необходимого типа процесса.

Вопросы для самопроверки

Каковы условия реализации изотермического процесса?

Приведите уравнение изотермического процесса.

Изобразите в диаграммах изотермический процесс.

Приведите выражение для работы в изотермическом

процессе.