Панов В.К. Физические основы теплотехники. Ч. I: Термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

§ 26

. Интеграл Клаузиуса

В-третьих, теплоемкость окружающей среды как холод-

ного источника можно считать вполне бесконечной, но о горя-

чем этого сказать нельзя в силу сравнительно небольшой мас-

сы любого мыслимого источника. Поэтому при теплообмене

разность температур газа и источника уменьшается, теплооб-

мен неизотермичен.

Один из основоположников термодинамики – немецкий

ученый Рудольф Юлиус Эмануэль Клаузиус решил проанали-

зировать произвольный цикл, основываясь на результатах ана-

лиза цикла Карно. В конечном счете это привело его к форму-

лировке второго начала термодинамики и появлению новой

термодинамической величины.

§ 26. Интеграл Клаузиуса

В своей книге «Сочинения о механической теории теп-

ла» (1864 – 1867), обобщающей результаты многолетних ис-

следований, Клаузиус решил представить произвольный цикл

как последовательность бесконечно малых циклов Карно (рис.

5.9). Каждый такой цикл осуществ-

ляется между «своей» парой ис-

точников тепла. Таким образом,

горячий источник для исходного

цикла, теплообмен с которым про-

исходил при переменной темпера-

туре, заменен множеством источ-

ников с разными температурами,

но с каждым из них теплообмен

изотермичен. Так же обстоит дело

и с холодным источником.

Рис. 5.9. К анализу

оизвольного цикла

Далее, каждая адиабата проходится дважды: один раз

при расширении в предыдущем цикле, другой раз – при сжа-

тии в последующем. Работы этих процессов можно считать

равными по величине, знаки их противоположны, поэтому все

промежуточные адиабаты как бы уничтожают друг друга.

Площадь внутри исходного цикла, равная работе цикла, равна

площади, ограниченной ломаной линией, составленной из от-

резков изотерм и «хвостиков» адиабат. Это утверждение тем

точнее, чем ближе число циклов к бесконечности.

§ 26. Интеграл Клаузиуса

111

К любому из промежуточных циклов можно одновре-

менно применить общее выражение (5.5) и выражение (5.10):

+ −==

⇒

ТQ

−=

⇒

−=

⇒

Теперь выражение (5.11) запишем для каждого элемен-

тарного цикла, входящего в набор:

(5.11)

– для первого цикла;

– для второго;

– для i-го.

Здесь в каждом уравнении суммируются приведенные

теплоты – тепло, отнесенное к температуре, при которой

оно подводится. Поскольку все эти циклы следуют друг за

другом в пределах одного исходного, связаны, то и относя-

щиеся к ним уравнения можно объединить в систему и решать

совместно. Например, почленно просуммировать:

∑

)

(

В уравнении (5.12) каждое слагаемое (часть из них – по-

ложительные, часть – отрицательные) относится к определен-

ному участку ломаной линии, которой мы заменили контур

исходного цикла. Поэтому можно себе представить, что со-

ставление суммы сопровождается обходом контура. При этом

каждому отрезку контура будет соответствовать бесконечно

малое приведенное тепло δQ

. Теперь перейдем в уравне-

нии (5.12) к пределу, увеличивая до бесконечности число

циклов в границах исходного:

(5.12)

)

(

lim

∑

∞→

(5.13)

Это выражение совершенно замечательно. Во-первых,

как должно быть известно из матанализа, предел суммы беско-

§ 27. Энтропия и ее свойства

112

конечно малых, если он существует, называют интегралом.

Поскольку в выражении (5.13) бесконечно малые собирают-

ся при обходе контура, левая часть выражения представляет

собой контурный интеграл. Во-вторых, правая часть, равная

конечному числу ноль, говорит о том, что интеграл этот

действительно существует и при этом равен нулю.

∫

= 0

— интеграл Клаузиуса. (5.14)

Если это так, то подынтегральное выражение есть пол-

ный дифференциал какой-то величины, например S, имеющей

определенное значение в каждой точке контура:

.dS

(5.15)

Клаузиус назвал эту величину энтропией.

§ 27. Энтропия и ее свойства

Оказалось, что введенная Клаузиусом термодинамиче-

ская величина, допускает весьма широкое толкование и приме-

няется теперь и за пределами термодинамики. Но я умышленно

ограничиваюсь здесь теплотехническим, инженерным толкова-

нием и свойствами энтропии. Итак, вначале определение.

Энтропия – это термодинамическая функция состоя-

ния, изменение которой в изотермическом процессе равно

приведенному теплу. Подчеркну, что здесь говорится о ПРИве-

денном тепле, т. е. тепле, деленном на температуру подвода

этого тепла.

Свойства энтропии

1. Размерность. В соответствии с определением (5.15)

[S] = [Q]/[T] = Дж/К.

Размерность удельной энтропии [s] = Дж/(кг·К) или

Дж/(кмоль·К), что совпадает с размерностью удельной тепло-

емкости (на этом общность и заканчивается).

2. Энтропия, так же как внутренняя энергия и энталь-

пия, является энергетической характеристикой внутреннего

состояния вещества:

s = f (T, v) = f (состояния).

§ 27. Энтропия и ее свойства

113

Это следует из уравнений (5.12) – (5.14). В любом из них

суммируются изменения энтропии на каждом шаге кругового

процесса. В результате получается изменение энтропии во

всем процессе, т. е. разность конечного и начального значе-

ний. Процесс круговой, эти состояния совпадают, и значения

энтропии должны быть в них одинаковыми, если энтропия —

характеристика состояния. К такому выводу относительно

внутренней энергии мы уже приходили при выводе уравнения

первого начала для кругового процесса.

3. Энтропия однозначно «чувствует» теплообмен. Это

следует из ее определения (5.15). Поскольку абсолютная тем-

пература всегда положительна, то

─

при подводе тепла Q > 0 ⇒

S > 0: энтропия растет;

─

при отводе тепла Q < 0 ⇒

S < 0: энтропия уменьшается;

─

при отсутствии теплообмена Q = 0 ⇒ ΔS = 0: энтропия не

меняется.

По этой причине адиабатный процесс имеет второе на-

звание – изоэнтропийный.

4. Энтропию, к сожалению, нельзя измерить.

К сожалению потому, что по показаниям такого прибора можно было

бы однозначно судить о направлении теплообмена. Термометр в этом отно-

шении может оказаться бесполезным, поскольку, как показано в предыду-

щей главе, изменение температуры не всегда определяется теплообменом.

Зато изменение энтропии между двумя состояниями

может быть вычислено через их параметры. Например, для

идеального газа интегрированием выражения (5.15) получаем:

lnln

dssss

+===−=Δ

∫∫

. (5.16)

Используя формулу (5.16) и выбрав в качестве начала от-

счета энтропии какое-нибудь характерное состояние, можно по-

считать относительно него значение энтропии в любом другом.

5. Подобно другим функциям состояния, энтропии

свойственна аддитивность (от англ. add – добавлять). Если в

определении энтропии (5.15) обе части выражения разделить

на количество вещества, то определение сохранит свой смысл,

но будет относиться к удельной величине. Энтропия m кило-

граммов вещества в m раз больше удельной величины. Обоб-

§ 27

. Энтропия и ее свойства

щая сказанное, аддитивность следует понимать так: энтропия

системы складывается из энтропий составляющих ее частей:

сист

=Σ S

, Дж/К. (5.17)

Здесь размерность указывает на то, что это относится

не к удельным энтропиям, а к полным значениям имеющегося

количества вещества.

6. Благодаря формуле (5.15) две характеристики со-

стояния – температура и энтропия – оказались связанными

между собой:

δQ = T·dS. (5.18)

Это дает возможность ввести в оборот (см. § 9, п. 9.2)

диаграммы состояния в переменных Т–s. Это первым сделал

американский ученый Джозайя Вилард Гиббс в работе, опуб-

ликованной в 1872 г.

В Т-s диаграмме, так же как и в любой другой, равновес-

ное состояние изображается точкой, равновесный процесс —

линией. Подобно диаграмме р-

v, Т-s диаграмма тоже обладает

свойством площадей, но у нее оно связано с теплом. Поэтому

совместное использование этих диаграмм очень информатив-

но для анализа процессов, особенно циклов. Покажем это.

На рис. 5.10 в Т-s диаграмме представлен некоторый

процесс 1–2. Стоит сразу заметить, что, несмотря на уменьше-

ние температуры (Т

< Т

), тепло в нем подводилось. Это вид-

но по увеличению энтропии: s

> s

. Представим весь процесс

как последовательность малых «шаж-

ков» по ds. В каждом из них темпера-

туру будем считать постоянной из-за

пренебрежимо малого ее изменения,

но немножко отличающейся от со-

седних. Этот прием мы использовали

в § 11 (рис. 3.2), обсуждая свойство

р-

v диаграммы. Если для каждого

шажка вычислить произведение Тds,

то это будет тепло такого малого процесса (5.18). Одновре-

менно это число равно площади заштрихованной полоски.

Если просуммировать полоски, одновременно предельно

утоньшая их, то это будет процедура интегрирования произве-

дения Тds, дающая тепло всего процесса 1–2:

Рис. 5.10.

диаг

амма

1 ds

§ 27. Энтропия и ее свойс

115

∫

∑

→

lim

TdsTdsQ

тва

. (5.19)

В этом состоит свойство Т-s диаграммы: площадь под

кривой процесса равна теплу процесса.

Цикл Карно особенно красив в Т-s диаграмме (рис. 5.11).

Изотермы 1–2 и 3–4

здесь прямые, перпен-

дикулярные оси Т.

Адиабаты, поскольку в

них не меняется энтро-

пия, – прямые, перпен-

дикулярные оси s. Точ-

ка 1 соответствует тем-

пературе горячего источника, поэтому на Т-s диаграмме она

должна находиться на верхней изотерме. Между состояниями

1 и 2 к газу подводится тепло, энтропия растет. Поэтому точка 2

должна находиться правее точки 1 на верхней изотерме. Далее

точки 3 и 4 становятся на свои места автоматически.

Вторая теорема Карно

(§ 25) изящно доказывается с ис-

пользованием Т-s диаграммы. По температуре диапазон ограни-

чен горизонтальными изотермами Т

г.и

и Т

х.и

, по давлению и объ-

ему — вертикальными изоэнтропами s

и s

. Сравниваемый

цикл в Т-s диаграмме должен помещаться в прямоугольник

цикла Карно (рис. 5.12). Чтобы нагляднее воспользоваться

свойством площадей Т-s диаграммы, обозначим площади фи-

гур буквами a–f. По определению, КПД любого цикла

цц

−=

−

===

В цикле Карно тепло подво-

дится только в процессе 1–2 и равно

сумме всех площадей a

– f. Отводит-

ся тепло в процессе 3–4 и равно f.

В сравниваемом цикле подвод теп-

ла сопровождает процесс 1'–2'–3',

поскольку в нем растет энтропия;

подведенное тепло – (c

+ d + e + f).

Отвод тепла — процесс 3'–4'–1',

отведенное тепло — (c

+ d + f). Тогда

г.и

х.и

Рис. 5.11 мах. Цикл Карно в р-v и Т-s диаграм

Рис. 5.12. Сравнение циклов

г.и

х.и

§ 27. Энтропия и ее свойства

116

fedcba

+++++

−= 1

– для цикла Карно; (5.20)

fedc

dcf

+++

−= 1

– для сравниваемого цикла. (5.21)

Здесь видно, что числитель дроби в (5.21) больше чис-

лителя в (5.20) на величину (c+d). К тому же знаменатель

дроби в (5.21) меньше знаменателя в (5.20) на величину

(a+b). Значит, вся дробь, вычитаемая из единицы, в (5.21)

больше, а КПД меньше.

Диаграмма Т-s помогает в анализе циклов. Один из ме-

тодов сравнения эффективности циклов состоит в сопоставле-

нии каждого из них с эквивалентным циклом Карно. Тот, у ко-

торого степень заполнения «прямоугольника» больше – ближе

к идеалу, значит, и КПД его выше.

§ 28. Равновесность и обратимость процессов

В § 7 мы уже обсуждали понятия равновесного состоя-

ния и равновесного процесса. Теперь рассмотрим их примени-

тельно к процессам, протекающим в тепловой машине.

Процесс, как уже говорилось, будет равновесным, если

он протекает бесконечно медленно. Тогда его можно считать

последовательностью равновесных состояний.

В состоянии равновесия каждый параметр имеет одина-

ковое значение в пределах системы и такое же, как за ее пре-

делами, если система не изолирована. В этом случае состояние

равновесия внутри означает равновесие и с внешней средой.

Иначе при различии давления, температуры и других параметров бу-

дет происходить расширение-сжатие, теплообмен и прочее взаимодействие,

приводящее все равно к равновесию системы с внешней средой.

Если в течение всего процесса изменяющиеся парамет-

ры внутри системы и во внешней среде сохраняют одинаковое

значение, то такой процесс (в том числе круговой) может быть

одинаково успешно проведен как в прямом, так и в обратном

направлении.

Значит, равновесность и обратимость процессов — это,

говоря образно, две стороны одной медали.

Обратимый процесс — это процесс, который может

быть проведен в обратном направлении вплоть до начального

§ 28. Равновесность и обратимость процессов

117

состояния и при этом окружающая среда тоже вернется в свое

исходное состояние. Обращаю внимание на разницу в значении

понятий «обратный» и «обратимый». Обратный — это процесс,

который идет в обратном направлении, а обратимый может

быть проведен, но не обязан идти.

Природные процессы неравновесны и необратимы. Теп-

лообмен идет всегда между телами с различной температу-

рой — в неравновесной системе, причем всегда в одном на-

правлении — от более нагретого тела к менее нагретому. При

расширении давление в системе больше, чем снаружи — сис-

тема неравновесна, процесс необратим; для сжатия соотноше-

ние должно быть обратным. Работа, затраченная против сил

трения, всегда целиком преобразуется в тепло, и никогда не

бывает обратного.

Тепловая машина — система, состоящая из двух источ-

ников тепла с различными температурами и рабочего тела (§ 20,

рис. 5.6). Она является в принципе неравновесной, и только в

этом случае от нее можно получить работу.

Далее возникают два вопроса:

Чем определяется степень необратимости процесса?

ак влияет необратимость процессов на эффектив-

ность тепловых машин?

Для первого ответа разберем пример с традиционным

цилиндром и поршнем (рис. 5.13, 5.14). Дадим газу расши-

риться, например адиабатно. Газ, расходуя внутреннюю энер-

гию, совершит работу против внешних сил. Пусть газ потра-

тил 100 Дж (ΔU

газа

= –100 Дж), совершенная им работа L

газа

=100 Дж (см. уравнение 4.28). Внешняя среда получит для

увеличения своей внутренней энергии эти же 100 Дж

(ΔU

внеш.ср.

= –ΔU

газа

= 100 Дж).

Теперь мы хотим провести процесс в обратном направ-

лении и вернуть газ в исходное состояние. Это означает, что

газу надо вернуть его потраченные 100 Дж внутренней энер-

гии. Для этого уже внешняя среда должна совершить работу

над газом L

внеш.ср

= 100 Дж, потратив свою внутреннюю энер-

гию ΔU

внеш.ср

= –100 Дж. Этот сценарий изображен на рис. 5.13.

Если все произошло именно так, то есть и газ, и внешняя

среда вернулись к своему исходному состоянию, то процессы

§ 28. Равновесность и обратимость процессов

118

и расширения, и сжатия надо считать обратимыми.

Однако так не бывает. Как только мы начинаем двигать

поршень, немедленно «включается» сила трения. Она всегда

направлена против движения, и против нее всегда нужно со-

вершать работу. В результате давление в газе будет больше

давления внешней среды, поскольку сила давления газа урав-

новешивается силой давления внешней среды и силой трения:

газа

порш

= р

внеш.ср

порш

+ F

тр

Это при равномерном движении поршня. При его уско-

рении в правую часть выражения добавится сила инерции. По-

этому такой процесс расширения не будет равновесным.

ΔU

газа

= –100 Дж

газа

= 100 Дж

ΔU

внеш.ср

= 90 Дж

тр

= 10 Дж

расширение

ΔU

газа

= 100 Дж

газа

= –100 Дж

ΔU

внеш.ср

= – 10 Дж

тр

= 10 Дж

сжатие

Кроме того, из потраченных газом 100 Дж своей энер-

гии часть, например 10 Дж, израсходована на работу против

силы трения. Над внешней средой, таким образом, будет со-

вершена работа 90 Дж, и на эти же 90 Дж увеличится ее

внутренняя энергия.

При возврате газа в исходное состояние ему по-прежнему

по

тр

газа

внеш.ср.

порш

тр

газа

тр

внеш.ср.

Рис. 5.13. Равновесный об

атимый п

есс

газа

внеш.ср.

газа

внеш.ср.

ΔU

газа

= –100 Дж

газа

= 100 Дж

ΔU

внеш.ср

= 100 Дж

расширение

ΔU

газа

= 100 Дж

газа

= –100 Дж

ΔU

внеш.ср

= –100 Дж

сжатие

Рис. 5.14. Не

авновесный необ

атимый п

есс