Панов В.К. Физические основы теплотехники. Ч. I: Термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

§ 11. Работа

∫∫

=Σ==Σ=

→Δ→Δ

−

limlim

pdVpdVdLdLL

как-то менялось от р

до р

. Для большей наглядности сопос-

тавим этому процессу на диаграмме вполне реальный – рас-

ширение газа в цилиндре теплового двигателя. Тогда состоя-

ние 1 можно связать с тем, что у механиков традиционно на-

зывают верхней мертвой точкой (ВМТ), а состояние 2 – с

нижней мертвой точкой (НМТ).

Весь процесс 1–2 можно представить как последова-

тельность идущих друг за другом

бесконечно малых «шажков». В

пределах каждого из них объем

меняется на величину dV, а дав-

ление на величину dp. Изменение

давления малó по сравнению со

средним в пределах «шажка», и

им можно пренебречь. То есть

весь процесс теперь — это после-

довательность маленьких процес-

сов с p = const, но в каждом из них

постоянное давление немного от-

личается от предыдущего. Для ка-

ждого из них действует выражение

(3.2), а общий результат процесса

1–2 будет складываться из работ

отдельных маленьких процессов:

dL = pdV, L

1–2

= ΣdL.

С другой стороны, на диаграмме видно, что произведе-

ние pdV — это высота прямоугольника, умноженная на его

ширину, т. е. площадь. Тогда, просуммировав площади всех

прямоугольников от состояния 1 до состояния 2, получим, с

одной стороны, площадь фигуры под кривой процесса, а с

другой — число это будет одновременно работой всего про-

цесса 1–2. Если это суммирование делать с одновременным

предельным переходом (уменьшая длину «шажка» до нуля), то

эту процедуру в матанализе называют интегрированием. Она

дает выражение

Рис. 3.2. Определение работы

процесса

1 dV

ср

§ 11. Работа

∫

−

pdVL

В окончательном виде

= . (3.3)

∫

)( dVVf

Это общее выражение для работы, связанной с измене-

нием объема, в любом термодинамическом процессе. Для того

чтобы интегрирование было проведено до числа, в выражение

(3.3) в явном виде должно быть подставлено выражение p = f (V).

Это выражение описывает кривую, изображающую процесс 1–2

на диаграмме, и является уравнением процесса. Значит, зная,

каков процесс, всегда можно вычислить работу.

Заодно выяснилось, что р-V диаграмма обладает свойством

площадей и оно связано с работой: площадь под кривой процесса

в р-V диаграмме численно равна работе процесса. Это оказыва-

ется очень удобным для дальнейшего анализа процессов.

Стоит обратить внимание на то, что процедура взятия интеграла по

существу всегда имеет смысл суммирования малых площадей под кривой,

изображающей интегрируемую функцию. Очевидно, не случайно и символ,

обозначающий эту процедуру (∫), напоминает первую букву в латинском

слове sum – сумма.

4. Свойство площадей р-V диаграммы позволяет отчетливо

увидеть свойство термодинамической функции по имени работа:

работа процесса при фиксированных начальном и ко-

нечном состояниях зависит от вида процесса.

Для краткости: работа – функция процесса, или

L = f (процесса). (3.4)

Здесь важны слова «фиксированные начальное и конеч-

ное состояния». Если их убрать, утверждение становится три-

виальным, выражающим очевидную мысль. В самом деле, чем

больше газ расширится, тем бóльшую работу совершит. Но

слова «больше расширится» означают, что мы взяли уже дру-

гой, больший двигатель. Речь же идет как раз о том, что пределы

изменения объема одни и те же, двигатель один и тот же, но про-

цесс в нем может быть разный и работа будет получена разная.

Представим, что в одном и том же двигателе, изображен-

ном на рис. 3.2, мы можем организовать различные процессы

между неизменными ВМТ и НМТ. На рис. 3.3 для примера изо-

§ 12. Внутренняя энергия

бражены два таких процесса – I и II.

Видно, что работа процесса I, чис-

ленно равная заштрихованной пло-

щади, больше работы процесса II,

равной площади, обозначенной по-

лупрозрачной заливкой.

Практический вывод из этого

такой. Например, для механика,

обслуживающего тепловой двига-

тель, это означает: необходимо

знать и точно выполнять инструкцию по эксплуатации. Через

положенное число часов работы нужно проводить регламент-

ные работы: менять масло, поршневые кольца, проверять со-

стояние топливной аппаратуры и пр. Иначе вместо процесса I

(рис. 3.3) в двигателе будет происходить процесс II. При одних

и тех же затратах топлива двигатель произведет меньшую рабо-

ту, и это может отразиться на зарплате всего экипажа.

Рис. 3.3. Зависимость работы

от процесса

С другой стороны, тип процесса, который будет проте-

кать в системе, зависит от того, какие условия созданы на ее

границе, от характера взаимодействия с внешней средой. Дру-

гими словами, работа не является свойством системы. Это

означает, что мы можем организовывать в одной и той же сис-

теме такие процессы, какие сочтем наиболее целесообразными

(например, с точки зрения получения или затрат работы).

§ 12. Внутренняя энергия

Понятие энергии, как и понятие работы, оформилось

при изучении процессов движения тел — в механике. Поэтому

энергия вводится как количественная мера неуничтожимости

движения, как мера взаимодействия. Поскольку выделяются

различные типы движения и взаимодействия, то появляются и

различные виды энергии, им соответствующие. Термин «внут-

ренняя энергия» в значительной степени говорит сам за себя:

поскольку это внутренняя энергия, то в нее не должны вклю-

чаться кинетическая и потенциальная энергии системы как цело-

го (система целиком может как-то двигаться, в том числе менять

положение в поле силы тяжести — этим занимается механика).

§ 12. Внутренняя энергия

мол

пот

мол

кин

EEU +=

Далее, для экономии времени и сил, будем использо-

вать иногда современные представления о внутреннем строе-

нии вещества, хотя классическая термодинамика целиком

построена без них. Итак:

─ вещество состоит из молекул, имеющих пусть малую, но

определенную массу. Они двигаются в пустоте с весьма

значительными скоростями (сотни метров в секунду). По-

этому движение молекулы вполне оправданно характери-

зовать кинетической энергией, а суммарную по всем мо-

лекулам величину включать во внутреннюю энергию;

─ интенсивность взаимодействия между молекулами зави-

сит от расстояния между ними. Такое взаимодействие

принято характеризовать потенциальной энергией.

Тогда можно написать:

. (3.5)

Строго говоря, здесь должно быть третье слагаемое, свя-

занное с внутримолекулярным, внутриатомным движением

и взаимодействием частиц. Но его можно и не включать, по-

скольку эта величина в термодинамических процессах не из-

меняется. Кроме того, в уравнении первого начала (3.1) фигу-

рирует не сама величина внутренней энергии, а ее изменение

ΔU = U

– U

Выражение (3.5) наполняет физическим смыслом поня-

тие внутренней энергии. Помимо этого, с инженерно-

технической точки зрения

∗)

важно было бы связать величину

U с параметрами состояния (для возможности расчетов) и вы-

яснить ее свойства.

Из молекулярно-кинетической теории следует: чем

быстрее движутся молекулы, тем бóльшую температуру в та-

ком веществе регистрирует термометр. То есть U зависит от Т

и наоборот.

Второе слагаемое в (3.5), очевидно, зависит от среднего

расстояния между молекулами. При том, что молекулы пре-

бывают в непрерывном интенсивном движении, этой величине

вполне можно придать смысл.

∗)

Напомню, что изложение курса ведется под таким углом зрения:

тепловая машина – преобразователь тепла и работы друг в друга.

§ 12. Внутренняя энергия

Возьмем килограмм, например, азота при нормальных

физических условиях (р = 1,013 бар, Т = 273 К). Газ будет за-

нимать объем (из уравнения Клапейрона – Менделеева) 0,8 м

В нем помещается 1/28 кмоль азота, т. е. (1/28)·6,02·10

2,15·10

штук молекул. Тогда на каждую молекулу в среднем

приходится объем: 0,8/2,15·10

= 0,37·10

–25

. Среднее рас-

стояние тогда будет равно кубическому корню из этой величи-

ны: 0,33·10

–8

м. Если тот же самый килограмм азота, то же са-

мое число молекул будет занимать в пять раз больший объем,

то среднее расстояние между молекулами вырастет в

= 1,7

раза. Объем же, занимаемый килограммом вещества — это его

удельный объем. Значит, кроме температуры, величина U долж-

на зависеть от удельного объема:

U = f (T,v). (3.6)

Зависимость (3.6) может быть исследована опытным пу-

тем. Первые опыты в этом направлении проделал в 1806 г.

французский физикохимик Гей-Люссак, а в 50-е годы XIX в.

повторил Джоуль с присущей ему скрупулезностью измере-

ний. Эксперименты, проведенные с газами довольно низкой

плотности (в современной трактовке – в идеально-газовом со-

стоянии), показали, что внутренняя энергия идеального газа

зависит только от температуры.

Этот вывод понятен с точки зрения молекулярно-

кинетической теории. В идеальном газе «средние расстояния»

между молекулами велики и потенциальная составляющая

внутренней энергии стремится к нулю (гл. 2, рис. 2.9), а ведь

именно благодаря ей U может зависеть от v.

Далее из выражения (3.6) напрашивается еще один вы-

вод. Поскольку внутренняя энергия может быть выражена че-

рез параметры состояния, зависит от них, то сама она является

характеристикой внутреннего состояния системы:

U = f (состояния). (3.7)

Только в отличие от параметров состояния она непосредст-

венно не измеряется.

Это свойство внутренней энергии принципиально отли-

чает ее от энергетической величины по имени работа, которая,

как выяснено в предыдущем параграфе, является функцией

§ 12

. Внутренняя энергия

процесса, но не является характери-

стикой системы. Это означает, что

если у системы зафиксированы ка-

кие-либо два состояния (рис. 3.2 –

3.4), то изменение внутренней

энергии между ними будет одним

и тем же независимо от того, ка-

кой процесс между ними произо-

шел (даже если вовсе никакой

процесс не происходил). Работа же

в каждом процессе будет разной:

ΔU = idem, L = var. (3.8)

§ 13. Тепло

Во введении уже упоминалось о различном смысловом

наполнении слов «работа» и «тепло» в повседневном бытовом

употреблении и в термодинамическом.

Тепло в термодинамике — это прежде всего величина, и

эта величина фигурирует в уравнении первого начала тер-

модинамики (3.1)

Q = ΔU + L.

Используя (3.1) и основываясь на предыдущих двух па-

раграфах, мы сразу можем сказать кое-что важное про тепло.

Во-первых, размерность этой величины, поскольку она

является суммой двух других энергетических величин, тоже

должна быть энергетической — Дж в системе СИ.

Изначально это было не так. Единицей исчисления тепла

была калория, определенная таким образом: это тепло, необ-

ходимое для нагрева 1 г воды на 1 °С. Тщательнейшими экс-

периментами Джоуля было показано, что результат, получен-

ный при подводе единицы тепла, может быть получен и при

затрате вполне определенного количества механической рабо-

ты, и наоборот. Это в первую очередь говорит о том, что обе

величины «родственны» и могут быть выражены в одних и тех

же единицах. В 1948 г. 9-я (международная) Генеральная

конференция по мерам и весам постановила: «Принять в ка-

честве единицы количества теплоты джоуль (joule) вместо ка-

Рис. 3.4. О свойствах

внутренней энергии и работы

= var

ΔU = ide

§ 13. Тепло

лории». Соотношение между калорией и джоулем на сегодня

такое:

1 кал = 4,1868 Дж.

Во-вторых, Q в уравнении (3.1) состоит из двух слагае-

мых, одно из которых – функция состояния, другое – функция

процесса. Поэтому, имея в виду множество процессов, кото-

рые можно осуществить между двумя заданными состояниями

(рис. 3.4), следует сказать: тепло – функция процесса, или

Q = f (процесса). (3.9)

В самом деле, перебирая процессы 1–2–3 и т. д. (рис.

3.4), мы увидим, что первое слагаемое ΔU не меняется, а вто-

рое L изменяется. Следовательно, и вся сумма тоже изменяет-

ся вслед за процессом. Из этого вывода вытекают и дальней-

шие соображения.

Тепло не является свойством системы, а характеризует

процесс, в ней происходящий. Поэтому бессмысленно говорить

о каких-то запасах тепла в теле, о накопленном тепле и т. д. Ес-

ли хочется сказать о запасах, то тогда более оправданно иметь

в виду запасы внутренней энергии. «Запас» этот может изме-

няться (увеличиваться или уменьшаться) в результате обмена

джоулями с внешней средой. Но обмен может осуществляться,

по крайней мере, двумя способами:

− один из них связан с направленным, упорядоченным

движением вещества (расширением или сжатием) и ха-

рактеризуется работой;

− второй способ связан с неупорядоченным, хаотическим,

тепловым движением, называется теплообменом и ха-

рактеризуется количеством переданного тепла.

Именно эта мысль, высказанная в различных формах,

составляет содержание первого начала термодинамики, вы-

раженного уравнением (3.1).

Здесь же стоит оговорить правило знаков для тепла:

1. Q > 0. При подводе тепла к системе оно считается

положительным.

2. Q

< 0. При отводе тепло считается отрицательным.

3. Q = 0, если в системе происходит процесс без теп-

лообмена с внешней средой.

§ 13. Тепло

В-третьих, работу, невидимую глазом энергетическую

характеристику процесса, удалось связать однозначно с види-

мым и измеряемым параметром состояния — объемом. Это

очень удобно, и на этом даже основано определение работы.

В связи с этим возникает желание найти измеряемый пара-

метр, по изменению которого можно было бы однозначно су-

дить о теплообмене.

Из используемых трех параметров р, V, T объем уже

«занят», а из оставшихся двух, скорее всего, хочется назвать

температуру. В самом деле, во множестве известных процес-

сов мы наблюдаем увеличение температуры при подводе те-

пла и ее понижение при отводе. Однако можно найти немало

процессов, в которых температура ведет себя неадекватно.

Достаточно вспомнить ежедневно повторяемый — кипячение

чайника. Ни у кого не вызывает сомнения, что пока кипение

продолжается, к воде подводится тепло. Температура в этом

процессе не меняется. Каждый может это проверить, помес-

тив в чайник термометр, имеющий не менее чем стоградус-

ную шкалу.

Уже этого примера достаточно, чтобы «поставить

крест» на температуре как на индикаторе теплообмена. То-

гда, может быть, давление? Ведь можно припомнить множе-

ство ситуаций, когда нагрев (в смысле подвода тепла) сопро-

вождается увеличением давления, а охлаждение — пониже-

нием. Но и здесь можно найти процесс, отвергающий давле-

ние как индикатор теплообмена.

Пусть цилиндр с подвижным порш-

нем расположен вертикально (рис. 3.5).

Сила давления в газе под ним уравнове-

шивает вес груза и самого поршня:

по

р = (m

гр

+ m

пор

)g / S

пор

ор

р = const

Если масса груза постоянна, а пор-

шень имеет возможность свободно пере-

мещаться, то что бы ни происходило с га-

зом: подвод или отвод тепла, – давление в

нем будет постоянным. Поршень же, в за-

висимости от направления теплообмена,

будет подниматься или опускаться.

Рис. 3.5. О давлении

как индикаторе

теплообмена

Тогда можно дать такое определение теплу:

тепло – это величина, характеризующая способ об-

мена энергией, не связанный напрямую с изменением пара-

метров состояния вещества.

§ 14. Теплоемкость

Теперь перейдем к вопросу об определении (вычисле-

нии) тепла. Обширный повседневный опыт говорит о том, что

в результате теплообмена состояние вещества меняется, и это

проявляется в изменении параметров состояния. На этой осно-

ве можно организовать эксперимент, целью которого будет

определение зависимости между количеством тепла и некото-

рыми характеристиками системы (или их изменением).

Проведем такой мысленный эксперимент, который в

действительности проводил почти каждый и не единожды.

Возьмем сосуд, наполним его определенным количеством из-

вестного вещества и будем нагревать, измеряя те величины,

которые можем измерить с требуемой степенью точности

(рис. 3.6). Тогда известными (измеренными) будут величины:

m – количество, например масса;

ΔT – число градусов, на которое изменилась температу-

ра вещества;

Q – количество подведенного тепла.

О последней величине следует сказать особо. Неискушен-

ному экспериментатору может показаться странным: откуда из-

вестна величина Q, когда формула для нее еще не получена?

Тепло подводить можно разными

способами, главное – контролировать

количество. Наиболее наглядно это де-

лать, сжигая топливо и определяя коли-

чество сгоревшего (рис. 3.6). К приме-

ру, используя таблетки сухого спирта

или активированного угля, отмечать их

количество; измерять объем сгоревшего

в спиртовке спирта; засекать интервалы

времени, в течение которого при неиз-

менном расходе горит газ и т. д. – вы-

Δ t

Рис. 3.6. Определение

теплоемкости

бор широк. Тогда о количестве тепла можно судить по количе-

ству сожженного топлива хотя бы так: в два раза больше со-

жгли топлива — в два раза больше выделилось тепла.

Разумеется, не все выделившееся тепло попадает в на-

греваемое вещество, а лишь какая-то часть. Но если в течение

опыта не изменять условия его протекания (тип топлива, спо-

соб его сжигания, высоту расположения сосуда, характер его

обтекания продуктами сгорания и пр.), то часть из выделивше-

гося тепла, попадающая в нагреваемое вещество, будет одна и

та же. Тогда по-прежнему можно утверждать: в два раза

больше топлива сожгли — в два раза больше тепла попало в

нагреваемое вещество.

Первый опыт. Будем определять количество топлива,

потребовавшегося для изменения температуры на определен-

ное число градусов – 10, 20, 30… Опыт покажет — нагревание

на большее количество градусов требует большего тепла:

∼

Δt.

Второй опыт. Связь с изменением температуры, таким

образом, установлена. Теперь на одно и то же число граду-

сов, скажем, на 10, будем нагревать разное количество ве-

щества – 1, 2, 3 кг… Очевидно, что

∼

В третьем опыте будем на одно и то же число градусов

нагревать по одному килограмму, но разных веществ. В этом

случае мы заранее не скажем, когда больше, а когда меньше

потребуется тепла, но житейский опыт подсказывает, что

разные вещества ведут себя при нагревании по-разному. Ве-

щества же мы отличаем друг от друга по их свойствам, каж-

дое из которых проявляет себя в определенных процессах.

Значит, должно быть физическое свойство, «отвечающее» за

поведение вещества в этом процессе:

∼

с.

Имя ему – удельная теплоемкость.

Объединяя результаты всего эксперимента, получаем

желанное выражение

Q = с m

Δt. (3.10)

На основе выражения (3.10) можно дать определение

удельной теплоемкости.