Ответы по физике
Подождите немного. Документ загружается.
61
Распространение света в средах.
Общие положения. Среду, в которой распространяется волна, стандартно считают
однородной и изотропной.
При распространении ЭМВ электрическая компонента
E
действует на электроны среды
(оптические электроны). При этом они двигаются вдоль направления вектора
E
. Характер
движений соответствует обычным малым вынужденным колебаниям. Энергия взаимодействия
H
компоненты волны с магнитными моментами электронов гораздо меньше энергии
взаимодействия зарядов электронов с компонентой
E
. Поэтому влиянием магнитной
составляющей волны на поведение электронов обычно пренебрегают.
Если колеблются связанные электроны, собственная частота колебаний которых
достаточно удалена от частоты ЭМВ, то потери мощности волны, прошедшей через среду,
изменяется достаточно слабо (случай прозрачного диэлектрика).
62
Обратный случай – распространение ЭМВ в металлах, в которых имеется значительная
концентрация свободных электронов. Их движение под действием электрической компоненты
ЭМВ эквивалентно протеканию токов с частотой равной частоте колебаний вектора
E
.
Соответственно, энергия колебаний большого числа электронов преобразуется в джоулево
тепло, что объясняет экспоненциальное уменьшение мощности волны, распространяющейся в
сторону от поверхности металла. Следует заметить, что существует зависимость характерной
глубины проникновения
электромагнитной волны в металл медную пластину от длины
волны
. На рисунке приведена такая зависимость для меди.
Характерное расстояние между атомами в
твердом теле составляет 0.2`нм (2`Å). Это
означает, что световая волна возбуждает
колебания электронов на расстоянии от
поверхности меди приблизительно равном 20
слоям атомов. На бóльших расстояниях волна
практически полностью затухает. Поэтому
металлы рассматриваются как среды с большим
затуханием ЭМВ.
Рассматривая взаимодействие электронов металла с ЭМВ, необходимо также представлять
себе крайне малую эффективность передачи энергии волны от одного слоя атомов к
соседнему. Можно рассмотреть механическую аналогию такого процесса. Действительно,
возбуждение колебаний слабо демпфированных осцилляторов (например, оптических
электронов в прозрачных диэлектриках) осуществляется достаточно просто. Теория слабо
затухающих малых колебаний хорошо известна. Однако, сильное затухание соответствует
сильной связи осциллятора с соседним объектом, препятствующим колебаниям. В предельном
случае осциллятор представляет собой единое целое с этим объектом. В этом случае серьезно
затруднена передача импульса колебаний и, следовательно, энергии соседнему осциллятору.
Следовательно, поглощаемая доля энергии ЭМВ, падающей на поверхность металла,
достаточно мала. Основная ее часть отражается от поверхности.
Таким образом, особенности взаимодействия волн с атомами металла и диэлектрика,
приведенные выше, показывают, что прохождение волны вглубь металла невозможно. При
падении ЭМВ на металлическую поверхность следует ожидать лишь ее отражения. В случае
слабых потерь энергии колебаний электронов, то есть при падении ЭМВ на границу
диэлектрика, следует ожидать появления отраженной волны и волны, распространяющейся в
среде (преломленной).
О плоской волне. Математически колебания вектора
E
в плоской волне представляются
таким образом:
0 0
( , ) cos( ) cos( )
x y z
E r t E k r t E k x k y k z t
или, с использованием мнимой экспоненты:
0
( , ) exp[ ( )]E r t E i k r t
(1)
1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 1 10 100 100010000
1E-3
0,01
0,1
1
10
100
Глубина проникновения волны, мкм
Длина волны, м
Материал - медь
63
Здесь
0
E
– амплитуда волны,
`– частота колебаний компонент электромагнитного поля,
k
`
=
`
/
`
=
n/c =
k
n
=
`
2
/
(2)
– модуль волнового вектора в среде, направление которого совпадает с направлением
распространения ЭМВ. Величина
– фазовая скорость волны в среде, то есть скорость
распространения плоскости с одинаковой фазой колебаний векторов
E
и
H
.
`– длина волны
в среде. В дальнейшем мы будем считать, что волна распространяется в плоскости x,y (
z k
)
и, следовательно:
0
( , ) exp[ ( )]
x y
E r t E i k x k y t
В случае распространения волны в среде с потерями вводится комплексный показатель
преломления вещества
n n i
. Тогда выражение, описывающее распространение плоской
волны, путем преобразований приобретет вид:
0 0 0
0 0
exp[ ( )] exp[ ( )] exp{ [ ( ) ]}
exp( )exp[ ( )] exp( )exp[ ( )]
E E i k r t E i k n r t E i k n i r t
E k r i k nr t E k r i k r t
Здесь
k k n
- волновой вектор волны в среде с потерями,
k
- волновой вектор волны в
вакууме,
k n
- вектор волны в среде без потерь, но с тем же показателем преломления n,
-
показатель затухания волны. Преобразования проведены с использованием трех первых
равенств выражения (2).
Видно, что потери, учтенные с помощью комплексного показателя преломления, в
согласии с законом Бугера, проявляются в экспоненциальном затухании амплитуды волны,
распространяющейся в направлении
r
.
Преломление ЭМВ на границе двух сред и полное внутреннее отражение.
Рассмотрим прохождение ЭМВ из среды с показателем преломления n
1
в среду с
показателем преломления n
2
, причем в интересующем нас случае примем n
1
>n
2
. Внутри сред
наблюдается поглощение света, а на границе раздела происходят другие отмеченные выше
процессы: прохождение света и его отражение. Однако, основной интерес в данном случае
будет представлять собой прохождение волны.
Для упрощения рассмотрения свойств прошедшей волны пренебрежем ее поглощением
средами, то есть будем рассматривать прозрачные диэлектрики. Пусть падающая, отраженная
и преломленная волны лежат в плоскости X,Y.
В соответствии с обозначениями рис.1 волновыми
векторами
0
k
и
1
k
будем описывать падающую и
отраженную волны, распространяющиеся в первой
среде, а
2
k
– преломленную волну (вторая среда).
Углы
1
,
2
и
представляют собой соответственно
углы падения, отражения и преломления.
В силу полной однородности системы в плоскости
X,Z решения волнового уравнения должны зависеть от
Рис.1. Преломление на границе двух
сред с показателями преломления
n
1
>n
2
.
64
координат X и Z одинаково. Это означает, что проекции векторов k
X
и k
Z
должны быть равны
для всех трех рассматриваемых волн:
0 1 2X X X
k k k
Отсюда получаем известные законы:
отражения
0 1 0 2 1 2
sin sin ;k k
и преломления
2 2 2 0 0
1
2 12 0
2
sin ; sin
sin
;
sin
X X X
k k k k k
n
k n k
n
Проекции тех же векторов на осьY оказываются равны:
1 0 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 0 2 1 2 1
2 2
cos cos
sin sin
Y Y
Y X
k k n
c
k k k n n n n
c
c c
В случае n
1
>n
2
всегда существует угол падения
пред
, при котором преломленная волна
распространяется во второй среде вдоль границы раздела:
12 ï ðåä
sin 1; 1 sinn
.
При углах падения больших
пред
луч отражается от границы раздела. Распространение
лучей с углами падения
пред
называется полным внутренним отражением.
Рассмотрим структуру волны, падающей на границу раздела под углом большем
критического, во второй среде:
2 0 2 2
2
12
2 2
2 0 2 12 2 12
( , ) exp[ ( sin cos )]
cos 1 sin ; sin sin
( , ) exp[ ( sin 1 sin )]
E r t E i k x k y t
n
E r t E i k n x k n y t
(5)
Можно показать, что знак +, определяющий cos
, не физичен, так как решение не
соответствует закону сохранения энергии. Действительно, поскольку
12
sin 1n
, выражение,
описывающее распространение волны вдоль координаты y, оказывается мнимым. Тогда:
2 0 2 12
( , ) exp( ) exp[ ( sin )]E r t E y i k n x t
. (6)
Если
cos
выбрать положительным, амплитуда волны в среде с поглощением будет расти с
увеличением пройденного волной пути в среде
Таким образом, теория Максвелла показывает, что при падении под углом большем
критического, волна не просто отражается от границы сред, а распространяется вдоль оси Х,
существуя во второй среде. Распределение амплитуды волны при этом не меняется вдоль
границы раздела сред. Вдоль направления Y, перпендикулярного границе раздела, волна
экспоненциально затухает.
65
66
Поляризационные приборы. Закон Малюса.
Для получения поляризованного света используется целый набор средств. Помимо получения
поляризованного света с помощью отражения света используются поляризационные приборы
и дихроичные пластинки.
1. Поляризационные приборы. Приборами лучшего качества являются призмы. Они
изготавливаются из кристаллов, проявляющих анизотропию оптических свойств: показатели
преломления света поляризованного в разных направлениях отличаются при распространении
в некоторых выделенных направлениях. Количество таких направлений (оптических осей)
соответствует анизотропии кристаллической структуры. (Обратное положение неверно, так
как существуют оптически изотропные кристаллы с некубической структурой.)
Поляризационные призмы изготавливаются в основном из исландского шпата (он же кальцит).
При необходимости работы в области ультрафиолетового диапазона может быть использован
кристаллический кварц или фторид магния.
Поляризационные призмы нередко называют николями по имени создателя первой призмы
достаточно сложного и неудобного в работе типа. Общий принцип работы призм заключается
в раздвоении пучка исходно неполяризованного света. Такое возможно, так как показатели
преломления пучков разных поляризаций отличны друг от друга. Если сделать призму
разрезной (разрез по диагонали параллелепипеда), при падении света на границу для пучка с
одной плоскостью поляризации можно обеспечить полное внутреннее отражение от плоскости
разреза. Второй пучок с перпендикулярной относительно первого поляризацией проходит
сквозь обе призмы. Возможно использование обоих пучков, но чаще грани призмы зачерняют
и отраженный пучок поглощается. Поскольку строение кристаллов совершенно, возможно
получение степени поляризации 99,999%
`
! Это значение часто не реализуется просто из – за
неточной установки поляризатора.
67
2. Дихроичные пластинки. К таким приборам относятся поляроиды – наиболее часто
применяемые поляризаторы. Суть дихроизма – отличие коэффициентов поглощения света с
разной, в данном случае линейной, поляризацией. Как правило, это вещества, содержащие
достаточно длинные молекулы. При их выстраивании, а тем более легировании донорами
электронов, прохождение света через пленку такого вещества сопровождается поглощением
света с вектором Е параллельным направлению выстраивания молекул. Это следствие
появления микротоков, протекающих вдоль оси молекулы, и соответствующего
преобразования мощности света в джоулево тело. Свет с перпендикулярной поляризацией
проходит через пленку почти без ослабления. Пример получения поляроидной пленки:
йодирование целлофана и последующее его растягивание в одном из направлений. Разумеется,
степень поляризации такого поляризатора (90 – 99%) существенно ниже, чем поляризатора из
кальцита. Малая степень поляризации объясняется сложностью технологии выстраивания
молекул в пленке.
Использование поляризаторов.
Пусть на поляризатор падает пучок естественного света. Идеальный поляризатор пропускает
волну с колебаниями электрического поля только в определенной плоскости. Поэтому, если
представить естественный свет как две линейно поляризованные волны, одна из которых
поляризована в плоскости оптической оси
E
, а другая – в
перпендикулярной плоскости
E
, то пройдет через
поляризатор лишь одна, параллельная составляющая
E
.
Поскольку
åñò
2 2I I I I I
, то
ï ðî ø åñò
1
2
I I
.
б) На поляризатор падает линейно поляризованный свет.
Разложим вектор электрического поля падающей волны на две взаимно перпендикулярных
составляющие
0
E E E
. Один из них направлен вдоль
оптической оси поляризатора и проходит полностью. Второй
же луч не проходит совсем. Электрическое поле после
поляризатора будет определяться как
1 0
cosE E E
, а
интенсивность прошедшей волны будет равна
2
0
cosI I
.
Эта формула носит название закона Малюса.
По соотношениям типа закона Малюса можно судить о степени поляризации прошедшего
поляризатор света, в свою очередь определенную предысторией светового пучка.
Поглощение и дисперсия света в среде.
Максвелловская теория электромагнетизма построена на основе обобщения ряда
эмпирических законов (Кулона, Био — Савара, Ампера). Великие экспериментаторы в
процессе исследований интересовались в первую очередь природой электростатических и
магнитных явлений вообще. Понятно, что в такой теории нельзя учесть процессы
взаимодействия электромагнитной волны с конкретной средой. Это объясняет целый ряд
недоразумений, возникающих при рассмотрении свойств конкретной среды, особенно в
различных частотных диапазонах. Классический пример: теория Максвелла показывает, что в
диа — или парамагнетиках, в веществах с весьма слабым магнетизмом (
~ 1), показатель
преломления определяется проницаемостью
:
n
. Известно, что для воды
=81.
68
Однако, показатель преломления света в воде равен… 1.33`???
О единении теорий электромагнетизма и электронных явлений.
Приведенный выше пример наглядно показывает необходимость учета специфики
поведения частиц, составляющих среду. Очевидно, что в поле электромагнитной волны
характер движений атомных структур колебательный. При этом понятно, что их колебания
могут и не объяснить особенности оптических явлений: эффективность взаимодействия
электромагнитных волн с движением частиц определяется степенью соответствия частоты
колебаний волны и собственной частоты колебаний. Оценки и эксперимент показывают, что
собственные частоты колебаний атомов в молекулах равны ~ 10
13
Гц, то есть отличаются от
частот электромагнитных волн видимого диапазона (~ 10
15
Гц) более чем на порядок величины.
Отсюда следует вывод: наглядно наблюдаемые оптические явления могут быть объяснены
колебаниями только частиц массой на три — четыре порядка меньшей, чем масса атома, то
есть колебаниями электронов, связанных на атомах.
Свободные электроны также участвуют во взаимодействии переменного поля и вещества.
Например, в металлах свободные заряды, взаимодействующие с волной падающей на
поверхность, определяют такие свойства, как значительную величину и своеобразную, как
правило, плавную спектральную зависимость коэффициента отражения.
Теория, соответствующая представленным соображениям и оценкам, была создана Г.А.
Лоренцем. Одним из самых интригующих оптических явлений, объясненных этой теорией,
была дисперсия — зависимость показателя преломления (или скорости света в среде) от
частоты волны. В теории Лоренца распространение электромагнитной волны в среде
рассматривается с позиции взаимодействия поля электромагнитной волны с зарядами среды. В
частности, диэлектрик, через который распространяется свет, представляется в виде системы
электронов, связанных с атомами среды упругой силой, что определяет существование
собственной частоты колебаний электрона. Поскольку собственная частота часто близка к
видимому диапазону длин волн, эти электроны называются оптическими.
Основные моменты взаимодействия волны с зарядами в диэлектрике.
Переменное электрическое поле возбуждает колебания оптического электрона. Эти
колебания — классические линейные колебания малых амплитуд в установившемся режиме.
Основные характеристики колебаний: частотные зависимости амплитуды и фазового сдвига
между вынуждающей силой и собственно колебаниями.
Амплитудно`—`частотная характеристика колебаний представляет собой резонансную
кривую, свидетельствующую о возрастании потерь энергии в колебательной системе при
приближении частоты вынуждающей силы к частоте резонанса. В рассматриваемом нами
случае резонанс это область частот, характеризуемая сильным поглощением света веществом
среды. О фазовом сдвиге можно напомнить, что, поскольку оптический электрон есть частица,
обладающая инерционной массой, фазовый сдвиг колебаний во всем диапазоне частот
запаздывающий и равен нулю при нулевой частоте,
/2 на резонансной частоте и стремится к
при частотах заметно превышающих резонансную.
69
Оптический электрон обладает не только массой, но и электрическим зарядом. Отсюда
следует, что движение заряда ведет к изменению потенциала поля или его напряженности в
другой точке пространства, то есть к генерации переменного электромагнитного поля.
Естественно, что частота этого поля равна частоте колебаний частицы.
Процесс распространения света включает в себя поглощение энергии первичной волны
оптическими электронами, возникновение их колебаний и генерацию вторичной волны. То
есть волна в среде есть совокупность первичной и вторичных волн. Частотная зависимость
фазы колебаний электронов относительно фазы первичной волны ведет к частотной
зависимости фазового сдвига вторичной волны относительно первичной. При прохождении
света через всю толщу среды фазовые сдвиги накапливаются.
Задержка фазы волны в среде относительно вакуума определяет меньшее значение
скорости света в среде по сравнению со скоростью света в вакууме. Более того, поскольку
величина фазового набега зависит от частоты, возникает частотная зависимость скорости
распространения волны в среде, то есть дисперсия. Особенно заметна дисперсия в области
оптического поглощения, однако даже в прозрачном диэлектрике скорость света, а,
следовательно, и показатель преломления, зависят от частоты, хотя и сравнительно слабо.
Классическая теория дисперсии.
Показатель преломления определяется способностью среды поляризоваться при
приложении электрического поля. В соответствии с теорией Максвелла
n
. По идее Г.А.
Лоренца значение
можно вычислить, зная величину поляризации, а поляризацию в свою
очередь можно определить, рассматривая колебание оптических электронов в поле
электромагнитной волны. Особенно просто определение поляризации в случае независимости
колебаний оптических электронов, то есть в отсутствие взаимодействий между атомами. В
полной мере это относится к разреженным газам.
Поляризация есть дипольный момент единицы объема среды. В соответствии со
сказанным, определим поляризацию среды как произведение величины дипольного момента
er
на концентрацию диполей N. Будем считать, что среда не полярна. Диполи возникают за
счет смещения оптических электронов при действии на среду электрического поля световой
волны. Это допущение обеспечивает равенство смещений
r
электронов всех одинаковых
атомов среды и параллельность векторов напряженности, поляризации и индукции. В этих
приближениях
P Ner
. Поляризация и диэлектрическая проницаемость
связаны
соотношением, полученным из определений диэлектрической проницаемости и электрической
индукции:
; 4 ; 4 ; 1 4
P
D E D E P E E P
E
(1)
Рассмотрим движение оптического электрона в поле световой волны.
1). Сила взаимодействия электрона с полем
E
равна
eE
. Еще раз вспомним, что
взаимодействиями между электронами мы пренебрегаем.
2). Электрон — связанная частица. Следовательно, существует упругая сила
k r
,
70