Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

якої мають ординати У, та У

. Оскільки лінія 8

не знаходиться у шестигра-

дусній зоні, то її проекція 8 значно довша. У різних точках меридіана 2£>2',

з віддаленням від полюса 2, спотворення зростають, а в точці £) (на екваторі)

спотворення сягають безмежності. Рис. ІІ.4.2 дає тільки геометричне

уявлення суті проекції, про що вже була мова.

Насправді, оскільки Земля не сфера, то завдання проектування

ускладнюється й розв'язується в курсі сферичної геодезії. Формула видов-

ження ліній А8

складна, але видовження можна виразити досить точно

першим членом цієї формули:

2К'

А8 =8

сер

(ІІ.4.10)

де

(ІІ.4.11)

Зауважимо, що поправки за редукування ліній на рівень моря на

території України завжди від'ємні; навпаки, поправки редукування ліній на

площину Гаусса-Крюгера завжди

додатні. Завжди від'ємними є також

поправки за приведення нахилених

ліній до горизонту.

11.4.3. Опрацювання результатів

кутових вимірів на окремому

геодезичному пункті

Нехай на деякому пункті кути

вимірювали способом кругових

прийомів. Припустимо, на цьому

пункті було к напрямків, а під час

вимірювання виконано п прийомів.

Попереднє опрацювання результатів

вимірювань має своїм завданням

встановити точність вимірювань.

Визначимо середню квадратичну похибку вимірювання кутів на даному

пункті. Звернемося до рис. ІІ.4.3.

Можемо записати матрицю виміряних кутів:

4-1

Рис. ІІ.4.3. До вимірювання кутів на

пункті Г(для к напрямків та и

прийомів).

Аі.АІ./^-А

Аї.АЗ.ДИ-А*

АЇ.Аі.АЙ-А,

192

Оскільки кутів на один менше, ніж напрямків, тоді матриця кутів ма-

тиме {к

—

1) стовпчиків та п рядків. Всіх кутів буде (к-\) п. Визначимо се-

редні значення одних і тих самих кутів, кожний з яких виміряний п разів, та

знайдемо їх найімовірніші похибки <5

і;

І2

= Рг

~ Рс'Рі

•Л =

я* = Рп Рсері

• ^32 = Рп Рсерг

Рсер1

Матриця похибок також матиме п (к-1) похибок. Проте, виміряти

всі кути одним прийомом - необхідно. Тому надлишкових прийомів буде

(и-1), а надлишкових вимірювань (и-1)(&-1). Тому формула (формула

Бесселя) середньої квадратичної похибки, обчислена за найімовірнішими

похибками вимірювання 8у матиме вигляд:

т„ =

{п-\\к-\У

(11.4.12)

11.4.4. Оцінка точності лінійних вимірювань за результатами

польових робіт

Припустимо, що під час польових робіт створена мережа поліго-

нометричних ходів, які за своєю формою є близькі до витягнутих, та мають

поздовжні зсуви і\. Кількість ходів N, їх довжини Ц. Тоді, маємо:

ходи 1, 2, 3, ..., ІУ;

поздовжні зсуви ( в метрах) , , , ..., ;

довжини ходів (в метрах) І

, ..., .

Поздовжні зсуви і\ викликані як випадковими так і систематичними

похибками. Виключимо систематичні похибки. Для цього спочатку знай-

демо коефіцієнт систематичного впливу Л, тобто, систематичну похибку на

одиницю довжини:

_ [<;]

я =

(11.4.13)

Тепер знайдемо поздовжні зсуви, викликані тільки випадковими

похибками:

= Ї; - Я

•

£ . (11.4.14)

Будемо мати ряд таких (випадкових) похибок , І

, ,... і

193

Для кожного з ходів характерний свій коефіцієнт випадкового впливу

р,, тобто випадкова похибка на одиницю довжини. Можемо записати:

Випадкові похибки і, будуть з різними знаками. Щоб позбутися різ-

них знаків, піднесемо останні рівняння до квадратів:

- і-

' и

Якщо ходи прокладають однаковими за точністю приладами, а лінії

вимірюють однаковими методами, тоді значення р] можна вважати рівно-

точними. Знайдемо найімовірніше значення р

і_ ІЇ + ИІ+£ +

•••

+НІ

або

= (11.4.15)

V N

Тепер ми знаємо коефіцієнти випадкових р та систематичних X

впливів на результати лінійних вимірювань. Це дає можливість розрахувати

сумарну похибку т

будь-якої лінії 5,, або похибку т

будь-якого ходу І,:

ті = +

. (11.4.16)

^м'.ц+Х-Ц]

Зауважимо: ми виконали оцінку точності за результатами польових

робіт, так звану постеріорну оцінку. Для підвісних мірних приладів та для

світловіддалемірів заздалегідь (до виконання вимірювань) відомі значення

коефіцієнтів ц та Л. Це дає можливість наперед, до вимірювань, підрахува-

ти очікувані похибки, тобто виконати апріорну оцінку. Останнє, в свою чер-

гу, дозволяє підібрати такі прилади та методи для виконання вимірювань,

щоб мати мінімальні матеріальні затрати й виконувати всі вимоги замовника

робіт.

11.4.5. Оцінка точності кутових вимірювань за результатами

польових робіт

Оцінку точності кутових вимірювань виконаємо аналогічно, як і оцін-

ку лінійних вимірювань. Нехай маємо N полігонометричних ходів, кутові

нев'язки яких /

, а кількість кутів у ході (п, +1), де п

- кількість ліній.

Тоді запишемо:

ходи: 1, 2, 3, .... И;

194

,,ев

язки:

. /

кількість кутів у ході: (л,+1), (и

+1), (п, + 1), ..., (п

+1)

Будемо вважати, що кути містять переважно випадкові похибки, а

систематичні похибки зведені до мінімуму. Позначимо сумарну випадкову

похибку окремого кута в ході Шр . Тоді можемо записати формули:

/д =

л-у1

+ 1

і Ін

="»

-л/

>+и...; /,„ =

або

_ . ії

"А

"А»

•Фь+Ї,

2 и

т „ -—и-

и, +

2 .

і"! = —;

+ 1

Аі

г •

Знайдемо квадрат найімовірнішої похибки вимірювання кута, вва-

жаючи, що кути вимірювались рівноточно:

2 '"А

>и

= —

7Я* +

Або:

'•Л

ІЇ,

п,+1

(11.4.17)

(11.4.18)

Для теодолітів (тахеометрів) також відомі середні квадратичні по-

хибки вимірювання кута одним прийомом. Тому можна виконувати апріор-

ну та постеріорну оцінки точності вимірювань. Проте, зауважимо, що кін-

цеву оцінку точності вимірювання кутів та ліній виконують на основі зрів-

новаження мереж.

11.5. Прив'язувальні роботи в полігонометрії

11.5.1.

Види та задачі прив'язувальних робіт. Способи прив'язування

Розрізняють два види прив'язувальних робіт:

I. Прив'язування пунктів полігонометрії до пунктів тріангуляції,

трилатерації, космічних мереж, або до пунктів полігонометрії стар-

ших класів;

II. Прив'язування пунктів полігонометрії до постійних предметів на

місцевості.

Задача І виду прив'язування - передати координати та напрямки з

уже існуючих, раніше закладених геодезичних пунктів, на пункти

полігонометричних мереж, що створюються.

Задача II виду прив'язування - відшукування полігонометричних

пунктів на місцевості. Існує багато способів прив'язування І та II видів.

Однак, найбільш типовими прив'язуваннями І виду є:

1. Безпосереднє поєднання пунктів полігонометрії з раніше закла-

деними пунктами тріангуляційних мереж, або старших пунктів

полігонометрії. Центри знаків існуючих пунктів одночасно стають

і центрами знаків нових полігонометричних мереж. Зрозуміло, що

координати цих нових пунктів такі самі, як і координати раніше

закладених.

2. Прив'язування до близьких пунктів, але недоступних або важко-

доступних пунктів тріангуляції. Такі пункти, зазвичай, розта-

шовані на високих спорудах. Наприклад, основи хрестів на

церквах є такими пунктами (мають відомі координати). Прив'язу-

вання до таких пунктів називають "знесенням координат".

3. Прив'язування до далеких пунктів тріангуляції (виконуються

прямими, оберненими та комбінованими засічками).

Прив'язування II виду виконуються в кожному окремому випадку

різними способами, у залежності від наявності постійних (більш фунда-

ментальних, ніж пункти полігонометрії"), предметів та споруд на місцевості.

Від стабільних споруд вимірюють віддалі до пунктів так, щоб за цими

вимірюваннями можна було з контролем знайти ту точку на місцевості, де

закладався полігонометричний знак. У забудованих територіях такими міс-

цевими предметами є будинки, перехрестя вулиць, опори дротів, тощо;

отже, прив'язування не викликає ускладнень. У малоконтурній місцевості

таке прив'язування ускладнюються, приходиться виконувати прив'язування

до значно віддалених предметів.

11.5.2.

Передача координат із високих (недоступних) точок на Землю

(знесення координат)

Для виконання такого прив'язування необхідно, щоб для точки, коор-

динати якої визначаються, було видно не тільки високу (близьку) точку з

196

відомими координатами, але, як мінімум, ще одну точку (зазвичай, пункт

тріангуляції також з відомими координатами).

Ті (Х

У,)

Тг

(Хь У

)

Р, (Х

РІ

, У

Р2

)

Рис. II.5.1. Знесення координат із недоступної (високої) точки Т, на пункт

полігонометрії Р

]

Задачу знесення координат поділимо на три частини:

1. Визначення горизонтальної віддалі 5 (рис. 11.5.1) між точками 7|

та Р

Виміряємо два базиси в, та в

. Базиси є сторонами трикутників

7^1,

Виміряємо горизонтальні кути а, , у, у/ та ер. Для вищеназ-

ваних трикутників, за теоремою синусів, можемо записати:

(ІІ.5.1)

8ІПГ зіп[180° - (а + у)і'

5ІП

у/ 8Іп[180°-(/? + ^)]'

На основі формул (ІІ.5.1) знаходять два значення та 8

. Виводять

середнє значення 8.

2. Визначення дирекційного кута лінії

Г,

- Р,.

Для трикутника Т

запишемо теорему синусів:

в 5

ЗІП (р

8ІП Ц

За формулою (II.5.2) знаходимо кут ц:

5-8ІП0

/І = агс8іп -

І. в

Із цього ж трикутника знайдемо кут А:

180°

-(р

р).

Далі знаходимо дирекційний кут а

Тг

3. Визначення координат Х^, У

Р>

СН 5.2)

(11.5.3)

(11.5.4)

(Н.5.5)

197

(11.5.6)

(11.5.7)

Знаючи координати точки 7| (X,, ^), довжину лінії та її дирек-

ційний кут і, розв'язавши пряму геодезичну задачу, знайдемо шукані

координати точки Х

, У

АХ = 5-С050г

(Г|

)

АУ = 5-5т а

(Ті

Р>)

Ур, =Ут,

+5-8Іпа

і)

11.5.3.

Пряма одноразова та багаторазова засічки

Нехай для визна- р

чення координат точки

Р (рис. П.5.2) з кожного ,.- ' / \

з відомих пунктів 7],

, Т

, ..., Т„ (коорди- /?;

нати всіх цих пунктів

відомі) було зроблено

візування на шукану

точку Р та виміряні куги

Д, Рг> А А між

лініями з відомими ди-

рекційними кутами а

Ка

Рис. ІІ.5.2. Пояснення суті прямої багаторазової

засічки.

та на-

ст >

•••' "Л'

прямками на точку Р.

Маючи координати всіх

чотирьох точок, чотири дирек-

ційні кути та чотири виміряні

кути, можна визначити по шість

значень Х

та У

, комбінуючи

точки з відомими координатами

по дві: 1,2; 1,3; 1,4; 2,3; 2,4; 3,4.

Визначення найімовірніших ко-

ординат точки Р(Х

.Ї

)

цими

вимірюваннями називають пря-

мою багаторазовою засічкою.

атг-р

Рис. ІІ.5.3. До пояснення суті прямої

однократної засічки.

Проте, як це зрозуміло з тільки що сказаного, достатньо мати дві відомі

точки, наприклад, Г, та Т

, щоб знайти координати шуканої точки Х

та Ї

Дійсно, розглянемо рис. ІІ.5.3. У трикутнику 7] Т

Р відомі три елементи. Це

означає, що трикутник можна розв'язати та знайти інші три елементи.

198

8іпД ~ зіп[180* -(Д + Д,)}

(ІІ.5.8)

8ІпД 5ІП[180° ~(Д + Д)]

З формул (II.5.8) знайдемо довжини ліній 5, та 5

. Далі визначимо

дирекційні кути цих ліній:

(Г,-Р) =

А,-Г

) ~

Рл і

(Т

-Р) = «(л-г,) + Рг

•

(II.5.9)

Координати точки Р

{Х їр)

можна визначити два рази (із контролем):

один раз, користуючись точкою Г,, а другий раз - точкою Т

Х'

= Х

+ 5, сов

ог

(7;

Р)

Х"

= Х

Ті

+ 5

соз а

(Т]

}

Ур

= \ + 5'п а

(ТгР)

] ' У; =

Т]

+ 5

зіп

ІТі

Р]

(II.5.10)

_ ^р + .

Ур

Л. о —

; , І р

—

;

(ІІ.5.11)

2 2

Визначення координат точки Р за двома відомими точками та ви-

міряними в цих точках кутами Д та Д

, називають однократною прямою

кутовою засічкою. Якщо виконані польові вимірювання необхідні для

прямої багаторазової засічки, тоді ця задача розв'язується так. Вибирають

дві точки з відомими координатами, бажано так, щоб лінії візування на

шукану точку Р перетиналися під кутом, близьким до прямого. Розв'язують

однократну пряму засічку й знаходять наближені координати точки Р - Х

та ¥

. Потім за способом найменших квадратів знаходять найімовірніші

поправки 8

та 8

до наближених координат, тобто знаходять

Хр = Х

+ 8

;

Ур

Зрозуміло, що такий розв'я-

зок задач усуває необхідність де-

кілька разів розв'язувати пряму

одноразову засічку.

11.5.4. Обернена одноразова ку-

това засічка (задача Потенота)

Розглянемо суть цієї задачі.

Нехай маємо три точки Т

, Т

та Г

відомими координатами (рис. ІІ.5.4),

а координати четвертої точки необ-

хідно визначити. Теодоліт вста-

новлюють тільки в шуканій точці Р і

вимірюють два кути між напрямками

на відомі точки, тобто кути Д та Д

(11.5.12)

<Л Т,

Х,.У,

' ""А Ь

ЗД

Рис. ІІ.5.4 Обернена одноразова

засічка (задача Потенота).

199

Така задача називається оберненою одноразовою кутовою засічкою.

Розв'яжемо цю задачу. Припустимо, що координати точки Р(Х,Ї)

знайдені. Тоді для визначення дирекційного кута а напрямку Р-Т

можемо записати формулу:

Далі визначимо дирекційні кути двох інших напрямків (рис. 11.5.4):

«,=« + /?,. (II.5.14)

=сс + /3

. (ІІ.5.15)

Формулу (ІІ.5.13) запишемо дещо в іншому вигляді для кожного із

трьох напрямків:

~У = (Х

-Х}

-У = (Х

-ХУ

(а + А)ї. (ІІ.5.16)

Маємо систему із трьох рівнянь. У цій системі три невідомих ко-

ординати X, У та дирекційний кут а. Отже, система рівнянь може бути

розв'язана і визначені невідомі X, У та а. Не вдаючись у подробиці

перетворень рівнянь системи (ІІ.5.16), подамо тільки кінцеві формули для

обчислення дирекційного кута а та координат X, У.

(Хі-Х^іМ-ІХ,-Х,)с^

-(У

}

-У

Знаючи а, визначимо дирекційні кути а, та а

за формулами

(ІІ.5.14) та (ІІ.5.15). Формула визначення X має вигляд:

Х-Х^Х'-^-Ь-*). (Н.5.18)

Знаючи X, знайдемо У, скориставшись одним з рівнянь системи

(ІІ.5.16). Візьмемо друге рівняння цієї системи і запишемо його так:

Г = Г

+(Х-Х

)Ма + РіУ (П-5.19)

Обернена однократна засічка (задача Потенота) має дуже широке

застосування в геодезичній практиці, оскільки для визначення координат

точки достатньо виміряти 2-3 кути на одній точці, на що витрачається не

більше 10 хвилин. Існує більше ста методів аналітичного та графічного

розв'язання цієї задачі. Студентам відомі з курсу "Топографії"" графічні

методи розв'язання цієї задачі, запропоновані Бесселем, Леманом. Відомо

також, що ця задача не має розв'язку, якщо шукана точка розташована на

колі, на якому розташовані також три точки з відомими координатами. Уже

цей факт вимагає візувати з шуканої точки не на три, а мінімум на чотири

відомих точки. Одноразова обернена засічка перетворюється в багаторазову

обернену засічку. Така засічка, як і багатократна пряма засічка, дає

можливість декількаразового визначення координат шуканої точки, тобто

200

також постає питання визначення найімовірніших поправок 6

та 8

до

наближених координат Х

, У

. Визначення 8

та 8

виконується за мето-

дом найменших квадратів, і широко застосовуються диферендійні формули

дирекційних кутів. Ці формули виведені в наступному параграфі. Заува-

ження: у попередніх параграфах розглядалися кутові засічки, характерні для

методу тріангуляції. Аналогічно можуть виконуватися лінійні засічки, ха-

рактерні для трилатерації, коли вимірюються не кути, а лінії.

11.5.5. Диференційні формули дирекційних кутів

Допустимо, що лінія АВ має координати її кінців А(Х

,¥

В(Х

,У

) а її дирекційний кут - а . Нехай точка А не змінює свого по-

ложення ("тверда" точка). У цій точці стоїть теодоліт. На "твердих" точках

стоїть теодоліт, коли виконується пряма засічка. Припустимо далі, що точка

В дещо змінила своє положення, а її координати стали Х

+с\Х

; У

+сіУ

Тоді дирекційний кут також змінить своє значення на сіа . Потрібно знайти

зв'язок між змінами координат та змінами дирекційних кутів. Формули, що

виражають такий зв'язок, називаються диференційнгши формулами ди-

рекційних кутів.

Можемо мати інший випадок, коли, навпаки, точка А дещо змінила

свої координати. Нехай ця точка "шукана" (шукаємо її найімовірніші коор-

динати). Точка В - відома ("тверда"). Теодоліт встановлено в точці А. Цей

випадок відповідає оберненій засічці.

III

пряма засічка

(Хв.Ув)

(Хв+сіХв)

(Ув+сіУв)

З(теодоліт)

А відома

(ХА.УА) "тверда "

обернена засічка мережа

точок, що

визначається

(Хв, У в)

шукана

(теодоліт)

А'/ А шукана

(теодоліт)

(ХА+СІХа)

(Х^УА)

(УА+СІУА)

(ХА+СІХА)

(Ул+4¥,

(ХА,УА)

шукана

(теодоліт)

Рис. II.5.5. До пояснення суті диференційних формул дирекційних кутів.

Накінець, загальний випадок, коли змінюються, уточнюються коор-

динати як точки А, так точки В, або цілої мережі точок. Теодоліт може вста-

201