Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

2. Центрування теодоліта (и

)

неточне встановлення центра лімба над

вершиною кута, що вимірюється.

3. Інструментальні похибки (и,), тобто похибки викликані недоліками

приладу,

якими виконують вимірювання кута.

4. Зовнішнє середовище (и

). Сюди відносяться похибки, викликані

неоднорідністю

за

густиною атмосфери,

якій проходить промінь

світла

від

візирної цілі

до

приладу, неабсолютна прозорість атмос-

фери, коливання зображення візирної цілі, викликана турбулентністю

атмосфери (рухомість

її

елементарних частинок та вихорів).

5. Вимірювання кута («„.*), тобто вплив

дій, які

виникають

під час

вимірювання кута,

саме: похибки наведення труби

на

візирну ціль

(марку) та похибки відліків кругів.

6. Вихідні дані (и

вих

Під час

математичного опрацювання кутових

вимірів використовуються відомі, наперед задані величини.

Це

координати пунктів та дирекційні кути напрямків.

Як координати, так

обчислені за ними дирекційні кути містять певні

похибки.

Це

викликає додаткові величини нев'язок

кутомірних ходах,

що

прокладені

між

цими відомими дирекційними кутами. Виникнення

цих

додаткових нев'язок слід передбачати

вимірювати кути

деяким запасом

точності. Зрозуміло,

що ці

додаткові похибки пов'язані

не з

даними

вимірюваннями,

а з

вимірюваннями,

які

виконувалися

під час

створення

геодезичної мережі більш високого класу. Вважаючи,

що всі ці

похибки,

виражені поки що

лінійній мірі

і є

випадковими, можна записати:

=и

+иІ+иї+и

+иІ,+и

вих

(ІІ.З.ЗЗ)

Приймаючи, що всі ці похибки за величинами однаково впливають на

кутові виміри, матимемо:

=и

і -

=и

мх -т-

Запишемо:

и = т-4б.

(II.3.34)

Як відомо, допустима відносна похибка поперечного зсуву ходу

довжиною

виражається формулою:

(ІІ.3.35)

ь т-Л

(для полігонометрії

класу

Т =

25000).

Враховуючи формулу (ІІ.3.34), (ІІ.3.35) можемо записати так:

* . (п.з.з 6)

і т-4г

Відносну допустиму похибку на окреме джерело похибок отримаємо,

розділивши рівняння (ІІ.3.36) на >/б

тобто:

172

т 1 і

Ь Т-Л-4Ї Гл/Ї2'

або

т 1

І,337)

Для ходу

параметрами

Ь = 10

км; Т

25000.;

л/12

86600

отримаємо за формулою (ІІ.З .37):

т —12 см.

Отже, окреме джерело похибок повинно викликати похибку

положенні кінцевої точки такого ходу

не

більше

за 12

см.

кутовій мірі

сіа"

це складатиме:

0,12 м

<1а" , „

0,12 -206265

_ „

-; аа = я

2.,5

10000 м

р"

10000

Ці прості розрахунки вже вказують на те, що похибка

положенні

кінцевої точки ходу, викликана окремим джерелом похибок,

не

повинна

перевищувати 2,5".

11.3.10. Розрахунок допуску сумарної величини випадкової похибки

вимірювання окремого горизонтального кута

Для ходу

попередньо ув'язаними кутами

параграфі ІІ.З 1.12,

ми

отримали формулу:

І~ р" '\І2~

Розв'яжемо цю формулу відносно

ту.

(ІІ.З .38)

и + 3

Враховуючи формулу (ІІ.З.35), матимемо:

Нп+3

Оптимальні довжини ліній в полігонометрії

класу

5 =

500 м; для

= 10000 м, кількість сторін ходу

и =

20.

За формулою (ІІ.3.40) матимемо:

т"

206265 г= -,

— =

4,2".

' 25000

уі2 \23

Теоретичні розрахунки дають допустиму сумарну похибку кута

4,2".

багатьох випадках, особливо

міських умовах, лінії полігонометрії

менші

за 500 м. Як

видно

формули (ІІ.З. 1.38), навіть

для

однакової

довжини ходу, під час збільшення числа сторін поперечний зсув

зростає.

При цьому т"

буде змінюватися. Інструкція

[5]

допускає

5". Для

173

однакового впливу кожного

шести джерел випадкових похибок на резуль-

тати вимірювання окремого кута, можна записати формулу для розрахунку

допустимої величини похибки на окреме джерело

т"

окр дж

(II.3.41)

Це гранична похибка. Середня квадратична похибка буде дорівню-

вати 1,2".

II. 3.11. Розрахунок допустимої величини систематичної похибки

вимірювання окремого кута

Нехай

витягнутому, рівносторонньому ході показаному

на

рис.

ІІ.3.21,

сторін. Для такого ходу

однаковими систематичними похибками

}сист'

поперечний зсув

и'

знайдемо на основі рисунка за формулою:

и' =

р' р" Р"

або

Р"

•8{п-

2)+...+

Р сист

. (ІІ.3.42)

Рис. И.3.21. Дія на витягнутий, рівносторонній полігонометричний хід

однакової систематичної похибки

т"р

сист

вимірювання кутів.

У квадратних дужках формули (ІІ.3.43) масмо суму натурального

ряду чисел від

до 1. Як відомо, сума такого ряду чисел дорівнює:

и(л±і)

Тому формулі (ІІ.3.43) надамо вигляду:

"рсист

п{» +1)

—

•

—

Р" 2

(ІІ.3.44)

(II.3.45)

174

Оскільки

Ь = 8 п, а

рівняння (ІІ.З.45) відносно

т^

Т-^2'

то враховуючи це, розв'яжемо

рсист

р"

{п +

0смт

2 р

або

гран сист

{п

+ \)~т-4ї

(и

1)'

+ \'

(II.3.46)

Для

п =

20 матимемо:

т"

гран

р сист

Як бачимо, систематичні

похибки майже

на

порядок

більш небезпечні,

ніж

випад-

кові. Допуск

на

сумарний

вплив випадкових похибок

на

один

кут

складає

5".

Відпо-

відний допуск

на

сумарну сис-

тематичну похибку

0,6", тоб-

то,

вісім разів менший.

До-

пуск

на

сумарну систематичну

похибку майже

чотири рази

менший навіть

від

допуску

на

одне джерело випадкових

похибок. Знешкоджувати такі

малі систематичні похибки

досить складне завдання.

206265

4Ї

25000

21 '

-сіх

Рис. II.3.22. Редукція одного напрямку.

ІІ.З. 12. Похибка редукції

Припустимо,

що у на-

прямку

АВ

(рис. II.3.22) візирна марка встановлена

не в

точці

(не над

центром геодезичного знаку),

помилково

точці

В'.

Лінійна величина

редукції

е. Кутова похибка редукції

малий кут

а.

Сторони

(

та

5,' три-

кутника

АВВ'

практично рівні.

цього трикутника, оскільки кут

малий,

можемо записати:

а'-/—. (ІІ.3.47)

Точка

В',

рухаючись по колу радіуса

може займати різні положен-

ня. Кут

де

буде змінюватися разом

кутом

а".

Для

х = 0° та х =

180°,

а" =

0. Для

х =

90° та

х =

270°

а"

набуває максимального значення. Нехай

175

точка переміщається з постійними кутами сіх

;

тоді п - число положеннь

точки В' знайдеться за наступною формулою:

« = —. (ІІ.3.48)

і1х

Кожному положенню точки В' буде відповідати похибка редукції в

деякому напрямку і.

Квадрат середньої квадратичної похибки редукції в напрямку і буде:

2 _

щ ~

р"

5ІП

ДГ

-і 2

2тг

<іх

або

2 2 2п

2 _ Р 'Є -

-2л

2а

|зіп

ХСІХ.

(II.3.49)

(ІІ.3.50)

Можна довести, що інтеграл |зіп

хсіх

- л. Тому формула (ІІ.3.50)

набуде вигляду:

т„

У£І

25}

(ІІ.3.51)

Для другого напрямку кута з вершиною в точці А (для довжини 5

)

похибка:

„2 2

2 р •Є

т„ = -—г-

251

Сумарна квадратична похибка редукції:

„2

2 _ 2 ,2 _Р -Є

Р О, «2

_1_ _1_

Для 5, - 8

= 5, матимемо:

2 » //е

т „ =

— г, або ет =

(ІІ.3.52)

(II.3.53)

(ІІ.3.54)

Як бачимо з формули (ІІ.3.54), похибка редукції прямо пропорційна

лінійній редукції і обернено пропорційна довжині ліній 5, що створюють

кут.

Для е = 10 мм та мінімальній допустимій довжині сторони ходу полі-

гонометрії 4 класу 5 = 250 м, т" = °'

01м

206265

& 8

» .

таке значення

не

250

допустиме. За нашими розрахунками за формулою (ІІ.3.41) допустиме

значення окремого джерела кутової похибки (в даному випадку похибка

176

редукції") т"

2,4". Знайдемо допустиму лінійну похибку центрування ві-

зирної марки, розв'язавши формулу (II.3.54) відносно е:

доп

(II.3.55)

Мінімальна сторона

полігонометрії

кл за інструкцією [5] стано-

вить 250 м. Тоді:

2,4"-250 м

— *

•

= 2,9 мм.

206265

Оптимальна довжина сторони ходу

5 =

500 м.

до

„

5,8

6 мм.

Виходячи

розрахунків можна зробити два висновки:

Для

коротких сторін центрування марки слід виконувати значно

точніше, ніж для довгих сторін;

2. Забезпечити точність центрування марки, встановленої на штативі,

мм нитковим виском

важко. Необхідно застосовувати оптичний

висок.

11.3.13. Похибки центрування теодоліта

Припустимо,

що

під час вимірювання кута

теодоліт встановлено поза

центром знаку, тобто

точці

А, а не в

точці

£).

Тоді буде виміряний

кут

А, а

не кут £> (рис. ІІ.3.23).

Нехай точка

пере-

міщається по колу радіуса

е'. Звернемо увагу на те,

що

на

відміну від впливу

редукції, вплив центру-

вання теодоліта завжди

впливає

на кут, що ви-

мірюється,

де б не зна-

ходилася на колі точка

А.

Розглянемо трикут-

ник

АМВ та ИМС.

Кути

в точці

М в

них однакові.

Тому кути

Рис. ІІ.З.23. Встановлення теодоліта поза

центром.

Р + /3 = А + а.

або

Б-А = а-Р~г.

З трикутника

АБО

знайдемо:

(11.3.56)

(11.3.57)

177

Оскільки кут

малий

8[» 5,, тоді запишемо:

51ПОГ 51ПДГ

(II.3.58)

У свою чергу,

трикутника

АСй

знаходимо:

Р^'р'МХ+в)

(П360)

Якщо точка

також переміщається по колу радіуса

е' з

інтервалами

сіх, то кількість встановлень теодоліта буде

п = ,

тому для кожного поло-

не

ження точки

А,

враховуючи (ІІ.3.57), можемо записати:

т]=т

=т

+тІ. (ІІ.3.61)

За аналогією

похибкою редукції запишемо

розгорнутому вигляді:

іяГ

гМ

2 Р

т„

—

' ^

81П

X 8ІП

(х+Р)

сіх.

(ІІ.3.62)

Після інтегрування та деяких перетворень матимемо:

де

с -

віддаль між точками А та

(див. рис. 11,3.23).

Для гострих кутів

А = Д

значення

мале. Для витягнутого ходу

А=И =

180°,

+ 8

•

Якщо

8І=8

тоді

с = 28, а с

= 4-8

. У

цьо-

му випадку (ІІ.3.63) набуде вигляду:

тІ

-48

. (II.3.64)

або

т,

(ІІ.3.65)

Порівнюючи формули (ІІ.3.54) та (ІІ.3.65), бачимо, що вплив похибок

центрування

на

вимірянии кут

в І2

більший, ніж вплив редукції візирних

цілей. Поставимо вимогу, щоб

-т

тобто:

Виходить, що

або

Якщо

відповідно

мм

і 6

мм, тоді

е' = 2

мм,

е' = 4

мм.

= (ІІ.3.66)

V 2

178

Таким чином: 1) теодоліт необхідно центрувати точніше, ніж візирні

марки; 2) обов'язково використовувати оптичні виски, або якісь інші методи

знешкодження впливу похибок центрування на кутові вимірювання.

11.3.14. Методи зменшення похибок редукціі та центрування

Розглянемо спочатку

можливі методи зменшення похи-

бок редукції.

Нагадаємо, що під час вимірювання горизонталь-

них кутів

теодолітних ходах, як візирні цілі, зазвичай, вико-

ристовують віхи. Інколи, щоб не тримати віху в руках вістрям

над центром знаку, робітник встромлює віху в землю поруч

з і

центром знаку.

полігонометрії це не допустимо. Тому:

Використовують віхотримачі. Це металеве кільце, до

якого шарнірно прикріплені металеві стержні

ніжки

віхотримача (рис. ІІ.З.24). Віху встановлюють в кіль-

це, ставлять вертикально так, щоб вістря віхи було

над центром знака. Вертикальність віхи перевіряють

}

за допомогою виска

на

нитці. Корегуючи розташу-

вання верху віхи, ніжки віхотримача встромляють

в р

ис

п.3.24.

землю на різні глибини. Віхотримач.

Віхи (для коротких ліній) заміняють шпильками; го-

ловне призначення шпильок фіксувати кінці вимірювальної стрічки

для лінійних вимірювань.

Шпильку можна замінити звичайним стержнем.

Застосування оптичних центрирів (рис. ІІ.3.25).

Рис. ІІ.3.25. Види оптичних центрирів.

Способи підвищення точності центрування теодоліта

1. Важкий висок. Нитка такого виска менше відхилятиметься вітром від

вертикального стану.

2. Жорсткий висок. Це висок не на нитці,

на тонкій металевій штанзі

загостреним кінцем. Довжину штанги можна змінювати. Така штанга,

прикріплена шарніром

до

станового гвинта, під своєю вагою займає

вертикальне положення.

3. Оптичний центрир теодоліта.

4. Лазерний центрир. Дуже зручний.

Проте, найефективнішим способом, яким практично повністю можна

знешкодити, як вплив редукції, так

центрування,

так звана триштативна

179

система. Основою такої системи

три універсальні підставки теодоліта.

Універсальність підставок полягає

тому, що на них можна встановлювати

не тільки теодоліт,

але й

візирну марку, знявши теодоліт

підставки.

Вертикальна вісь обертання теодоліта

на

підставці повинна співпадати

вертикальною віссю марки.

підставки вмонтовують оптичні виски. На рис.

ІІ.3.26 підставки показані трикутниками, кружками показані місця,

в які

вставляють теодоліт або візирну марку, крапками

точки, через які прохо-

дить вертикальна вісь теодоліта або марки.

Рис. ІІ.3.26. До пояснення суті триштативної системи знешкодження впливу

похибок центрування та редукції.

Встановлену на штатив підставку

оптичним центриром центрують

над центром геодезичного знаку

і її

розташування не змінюють, на підставку

встановлюють теодоліт, знявши оптичний центр,

або,

знявши теодоліт,

встановлюють візирну марку. Штатив та підставку залишають

незмінному

стані. Наприклад, вимірюють кут

на точці

2, а

на точках

1 та 3

встанов-

лені візирні марки. Теодоліт та марки попередньо встановлені за допомогою

оптичних центрирів. Після вимірювань теодоліт (без підставки) знімають

точки

2 і

на цю підставку, що залишилася на штативі, встановлюють задню

візирну марку. Теодоліт переносять

на

точку

знімають передню марку

(без підставки). Теодоліт встановлюють точно над тією

точкою, над якою

тільки що була встановлена передня візирна марка. Передню візирну марку

встановлюють над точкою

Використовують штатив (що звільнився),

на

якому була встановлена задня візирна марка (можна мати ще один штатив).

Потім вимірюють кут

так далі. Теодоліт та візирні марки ніби "відри-

ваються" від центрів знаків, розташованих на земній поверхні

створюється

(якщо полігонометричний

хід

замкнутий) багатокутник

"повітрі",

(фактично

точках,

де

встановлюють теодоліт

та

марки). Саме

цьому

"повітряному багатокутнику" виконують вимірювання кутів

і на

значення

кутів практично

не

впливають

ні

похибки центрування,

ні

редукції. Кутові

нев'язки, викликані цими факторами, виключаються, хоча, зрозуміло,

що

діяли похибки центрування підставок оптичними висками.

11.3.15. Похибки вимірювання горизонтальних кутів

Як

ми

вже знаємо,

до

цих похибок відносяться похибки наведення

труби

на

візирну ціль

та

похибки відліків лімба (горизонтального кута).

з.м.

А А

-А

180

розглянемо окремо, як впливають ці похибки на вимірювання кутів методом

кругових прийомів

та

методом повторень, якщо кут виміряний одним пов-

ним прийомом, або одним повторенням,

також, якщо кут виміряний

прийомами або

повтореннями.

Спосіб кругових прийомів.

Нехай вимірюють кут

утво-

рений двома напрямками (див.

рис. т,

II.3.27).

Як

відомо,

під час

вимі-

рювання, після наведення труби

на

ціль беруть два відліки

і з

них виво-

дять середнє значення.

Нехай труба наведена

на

ліву

ціль та взято відлік

а.

Похибка відліку

\ ^ ,

т>

похибка середнього відліку, якщо

ДІЮТЬ

тільки випадкові похибки, буде

ис п

27 До розрахунку похибок

випадкову похибку наведення вимірювання горизонтального кута

методом кругових прийомів.

труби позначимо

Аналогічно, під

час наведення труби

на

праву ціль, взято відлік в; найімовірніші похибки

також

та т

Оскільки поділки

на

лімбі зростають

за

ходом годин-

никової стрілки, тоді кут

знайдемо

виразу:

Р-в-а.

(ІІ.З.67)

З виразу (ІІ.3.67), що

різницею двох змінних величин, можемо (на

основі теорії похибок вимірювань) записати для півприйому (при КЛ або

КП) квадрат середньої квадратичної похибки:

або

рпІП

-т] + ІтІ (ІІ.3.69)

Квадрат похибки одного прийому буде:

£п

ті

(11.3.70)

або

+ 01.3.71)

Квадрат похибки кута, виміряного

прийомами буде:

(11.3.72)

181