Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

Таким чином

Спосіб повторень.

Як

раніше, нехай

кут /.З виміряний методом

повторень. Наводимо

до

трубу на ліву ціль. Беремо

два відліки. Будемо мати

похибки середнього

відліку

та

наведення

. Далі наведемо трубу

(Н.3.73)

Р разів

о <

»'

»>

Р разів

.р т

\т

\т„\

Гг

на праву ціль. Відлік

не

Рис. ІІ.3.28. До розрахунку похибок вимірювання

беремо. Буде тільки

по-

горизонтального кута способом повторень,

хибка наведення

По-

тім робимо тільки наведення труби

разів,

на

лівий

і на

правий предмет.

Кінцеве наведення труби на праву ціль. Беруть два кінцеві відліки. Похибка

т.

середнього

них

—.

Квадрат похибки

кратного кута

виміряного при

одному розташуванні вертикального круга, буде:

.2 „2

ТП

2 2

або

Р?

гг

кі

= т]+2Р•ті.

(ІІ.3.74)

(ІІ.3.75)

Квадрат похибки Р-кратного кута, виміряного при двох розташуван-

нях вертикального круга, буде:

Рг,

*р

Допустимо, однократний кут /?,

а Р

-кратний кут

- А .

Тоді:

„-"-А.

(ІІ.3.76)

(ІІ.3.77)

Це найпростіша функція добутку постійної величини 1 /Р на змінну

А.

Тому:

1 .2

0 ~

А-

(ІІ.3.78)

Оскільки т

Рр

тоді:

182

І!

„2 _

/ 2

Вираз (II.3.79) можна ще записати так:

г 1

«І.

2Р

або

? т

2А

2Р

(II.3.79)

(11.3.80)

(II.3.81)

Порівнюючи формули (II.3.73)та(II.3.81),зауважимо, що коли

п-Р

(число прийомів дорівнює числу повторень), похибка відліку

під час

вимірювання методом повторень

в Р

разів менша

за

похибку відліку, ніж

під

час

вимірювання способом кругових прийомів. Саме через

це

спосіб

повторень був основним способом вимірювання кутів, коли

не

було висо-

коточних відлікових пристроїв.

наш час спосіб втратив свою колишню

популярність.

ІІ.З. 16. Інструментальні (приладні) похибки

Ці похибки детально вивчаються

курсі "Геодезичні прилади"

[17,29].

Тут ми

тільки перелічимо

ці

похибки, відзначимо величини

їх

можливих впливів на точність вимірювання кутів,

також способи мінімі-

зації або виключення цих похибок.

Похибки

поділок лімба.

Точність кругових шкал характеризується

похибками нанесення штрихів. Похибки поділяють

на

довгоперіодичні,

які

поступово змінюються

на

всьому кругу

лімба, та короткоперіодичні (в межах окремого градуса

періодом

15'. ..1°). Розрізняють також випадкові та систематичні похибки,

їх суми називають повними похибками. Випадкові похибки

декілька разів менші

за

систематичні.

сучасних теодолітах

похибки діаметрів, тобто середня арифметична похибка двох

діаметрально протилежних штрихів лімба,

не

перевищують 1,5",

короткоперіодичні

1",

випадкові 0,1-0,3". Мінімізація цих по-

хибок відбувається завдяки вимірюванню кутів на різних поділках

лімба, тобто, завдяки перевстановленню лімба

під час

вимі-

рювання.

Ексцентриситет лімба, алідади та осей. Ці

похибки також

повністю компенсуються, завдяки двостороннім відліковим сис-

темам,

для односторонніх відлікових систем

завдяки вимі-

рюванням кутів при двох розташуваннях вертикального круга КЛ

та КП.

Нахил

осі

обертання труби.

курсі "Топографія" виведена фор-

мула, за якою можна визначити похибку напрямку в секунді

*, в

183

залежності від значення кута нахилу

осі

обертання труби

і та

нахилу візирної осі труби и°.

х" = і" і£и°.

(II.3.82)

Проаналізуємо цю формулу. Для

о =

0°,

х" = 0.

Це означає, що

коли сторони,

що

створюють

кут,

який вимірюють

горизонтальні, тоді нахил

осі

обертання труби

не

впливає на

вимірювання цього горизонтального кута. Якщо

—

45°, 1§ 45° =

1, тоді

х" = і",

тобто, похибка

напрямку

х"

дорівнює кутові

нахилу труби і". Ця похибка компенсується, якщо горизонтальні

кути вимірюють при двох розташуваннях вертикального круга КЛ

та КП, якщо під час вимірювання

і"

незмінна.

Колімаційна похибка. У

курсі "Топографія" також виведена

формула впливу колімаційної похибки

с" на

окремий напрямок

кута

у", в

залежності

від

кута нахилу візирної

осі

труби

о',

описується формулою:

(П.3.83)

С080

Якщо и°

0°, СОЇ

о° = 1,

то

у" = с",

тобто, якщо полігонометрію

прокладають на рівнинній місцевості — похибка

напрямку до-

рівнює колімаційній похибці. Якщо

ії >

0, соя

и° <

1, то

у" >

с".

З цього ясно, що

горбистій місцевості, вплив колімаційної по-

хибки може бути значним. Однак, під час вимірювання кутів при

КЛ та КП,

у"

змінює знак

тому колімація

не

впливає на середнє

значення кута, якщо під час вимірювання кута

с"

незмінна.

Нахил лімба.

[17] виведена формула похибки відліку лімба,

якщо лімб нахилений:

є'

= а - а =

зіп2а,

4 р'

де:

а -

відлік горизонтального лімба;

а' -

відлік нахиленого

лімба;

є -

кут нахилу лімба. Якщо лімб буде значно нахилений,

наприклад

є' =

ЗО' тоді максимальне значення похибки відліку 8"

для

а =

45° та

а =

135° складатиме:

1 є"

— —1

3 93*« 4".

р"

Насправді таких нахилів лімба

не

буває

Ціна поділки цилін-

дричного рівня при алідаді точних теодолітів не більша за ЗО". Під

час відхилення такого рівня на дві поділки лімб нахилиться тільки

на

Г, 8" =

0,004". Таким чином, нахил лімба можна

не

врахову-

вати, якщо вертикальна вісь теодоліта прямовисна. Якщо не пер-

пендикулярна вісь рівня до вертикальної осі обертання теодоліта

(не зроблена перевірка циліндричного рівня), або недбало викона-

но горизонтування приладу, тоді нахилиться

вісь обертання тру-

би

похибка

відліку буде значна

визначатиметься

за

фор-

мулою (ІІ.З.82).

6. Рен оптичного мікрометра.

Питання впливу рена на вимірювання

кутів розглянуто

параграфі (ІІ.З.2). Рен мінімізується зміною

збільшення мікроскопа оптичного мікрометра, через який розгля-

дається зображення поділок лімба. Якщо збільшення мікроскопа

надлишкове, рен додатний; якщо недостатнє, рен від'ємний. Для

юстування рена, якщо збільшення мікроскопа надлишкове, необ-

хідно об'єктив мікроскопа віддалити від лімба. Для недостатнього

збільшення необхідно, навпаки, наблизити об'єктив

до

лімба.

Якщо виконано дослідження рена

відомо точне значення рена

г,

то можна майже повністю звільнитися від впливу рена введенням

поправки

відліки за формулою:

У формулі (ІІ.З.84)

Я -

ціна найменшої поділки лімба;

с, -

відлік

оптичного мікрометра в мінутах дуги. Під час вимірювання рен

г,

зазвичай

не

враховують, якщо його значення під час точного

вимірювання кута менше за 0,5".

"Мертвий хід" оптичного мікрометра. Під

"мертвим" ходом

мікрометра розуміють нерухомість шкали мікрометра, коли

на

малі кути повертають барабан (ручка гвинта), хоча зміщується

зображення діаметрально протилежних штрихів лімба. Особливо

"мертвий"

хід

проявляється

під час

зміни напрямку руху

загвинчування на вигвинчування (під час рухів за та проти ходу

годинникової стрілки). Тому дослідження "мертвого" ходу реко-

мендують виконувати, повертаючи алідаду на 15° (всього буде 24

встановлення алідади).

Під час

кожного встановлення алідади

суміщають штрихи лімба

два

рази: повертаючи барабан

за

годинниковою стрілкою

та

проти ходу годинникової стрілки.

Кожне суміщення штрихів супроводжують відліками. Всього буде

48 відліків та 24 їх різниці

Д,. Знаходять середню різницю. Точ-

ність визначення середньої різниці оцінюють

за

відхиленнями

окремих різниць від середньої за формулою:

Під

час

нормальної роботи мікрометра окремі різниці "загвин-

чування" мінус "вигвинчування", для високоточних теодолітів,

повинні знаходитися

межах -І"

...

+1". Вплив "мертвого" ходу

(II.3.84)

(11.3.85)

185

на відліки знешкоджують тим,

що

останній рух барабана мікро-

метра перед відліком мас бути на загвинчування.

Систематичні

похибки поділок шкали мікрометра.

Якщо малий

кут

вимірювати

поділках мікрометра

на

різних частинах

шкали, тоді, під час відсутності систематичних похибок мікро-

метра, значення кута

повинно залишатися однаковим.

За

наявності систематичних похибок значення кута буде різним. Це

справедливо, якщо не діють інші похибки вимірювання. Тому кут

Р має бути стабільним

малим. Наприклад, шкала мікрометра

теодоліта Т2 має 0-10'. Якщо візьмемо малий кут, що дорівнює 2',

то його можна виміряти на різних п'яти частинах шкали: 0'-2'; 2'-

4'; 4'-б'; 6-8'; 8'-10'. Виконують прямий

та

зворотний

хід.

Для

підвищення точності вимірювання можна

на

кожній

п'яти

частин шкали кут виміряти

рази (два прямих

та

два зворотних

ходи). Оцінюють наявність систематичних похибок

за

помітними

систематичними змінами кута. Якщо, наприклад, під час переходу

від першої частини шкали 0'-2' до п'ятої частини 8'-10' кут

весь

час збільшується

або

зменшується, тоді вважають,

що

систе-

матичні похибки мікрометра існують. Якщо

такої закономір-

ності в ряді вимірювань кута

немає, тоді немає підстави гово-

рити, що систематичні похибки поділок шкали більші за точність

вимірювання.

Зміна розташування

візирної осі під час перефокусування труби.

Під

час

перефокусування труби

в ії

корпусі переміщується

двоввігнута фокусуюча лінза. Зміна розташування цієї лінзи

(частини складного об'єктива труби) викликає зміну розташу-

вання візирної осі. Це виникає тоді, коли спостерігач

за

кожним

напрямком (залежно від довжини сторони кута) перефокусовує

трубу. Вплив перефокусування практично неможливо виключити,

якщо сторони,

що

утворюють

кут,

значно відрізняються

за

довжиною. Величину такого впливу можна знайти, виконуючи

визначення колімаційної похибки декілька разів

на

близькі

та

далекі візирні цілі. Нагадаємо,

що

мінімальні сторони поліго-

нометрії

(у

відповідності

до

інструкції) для

класу

250

м, 1

розряду

120

м, 2

розряду

- 80 м.

Приблизно

на

цих віддалях

мають бути близькі цілі; далекі цілі

- на

віддалях, більших

за

кілометр. Цілі мають бути приблизно на одній висоті

(в

горизонті

приладу). Потрібно також виконувати вимірювання приблизно на

одних діаметрах горизонтального круга, тільки, наприклад на 0°

180°, особливо це важливо для теодолітів

односторонньою сис-

темою відліків,

щоб

виключити вплив

на

зміну колімації

ексцентриситету осей.

186

11.3.17. Вплив зовнішнього середовища на вимірювання

горизонтальних кутів

Неповна прозорість атмосфери

та

коливання зображень візирних

цілей викликають випадкові похибки вимірювання кутів, хоча коливання

зображень візирної цілі

горизонтальній площині

короткотривалим

явищем бокової рефракції

викривленнями світлового променя

горизон-

тальній площині, викликані миттєвими змінами горизонтальних градієнтів

температури

на

всьому шляху променя від візирної цілі

до

теодоліта.

Ці

впливи

не є

загрозливими

і не

перевищують допуску

на

одне джерело

кутових похибок

2,4". Однак

атмосфері часто існують довготривалі,

направлені середні горизонтальні градієнти температури, які

не

змінюють

знаку: зменшення чи зростання температури направлене

одному напрямку

протягом годин. Так, наприклад, якщо

на

вулиці, стіни будинку нагріті

сонцем,

то від

стін нагріваються близькі

до

стін прошарки повітря.

результаті, якщо на віддалі 10 см від стіни середня температура, наприклад,

складає 25°С,

то в

напрямку

до

середини вулиці,

на

такій

висоті,

на

віддалі

110 см від

стіни, температура нижча

може бути 24,5°С. Тобто,

горизонтальний градієнт температури <ЇГ 1<к

0,5 град/м. Градієнти можуть

сягати

1 З

віддаленням від стін градієнти зменшуються. Біля стін густина

повітря буде менша,

ніж

далі

від

стін. Світловий промінь,

що йде від

візирної цілі

до

теодоліта, викривиться (за законом Ферма) випуклістю

сторону будинку. Промінь розповсюджується

за

оптично найкоротшим

шляхом: мінімум;

показник заломлення

на

відрізку

Рис. 11.3.29. Вплив бокової рефракції на вимірювання горизонтальних кутів.

Припустимо,

точці

потрібно виміряти горизонтальний

кут /?.

Візирні марки розташовані в точках 1 та 3. Промені світла від точок 1 та

до

точки

розповсюджуються криволінійно,

до

того

ж ці

криві повернуті

випуклістю

сторону стін. Наводячи трубу

на

точку

1, або на

точку

З,

спостерігачу буде здаватися, що труба наведена на точку 1 або 3, коли труба

буде направлена по дотичній до кривих в точці 2.

Дійсно, наприклад, від точки 1 йде промінь світла по кривій

зобра-

ження точки

попаде

об'єктив труби, якщо

її

візирна вісь буде направлена

результаті матимемо картину, показану на рис. ІІ.З.29.

187

по дотичній до кривої в точці 2, оскільки в цій точці крива

співпадає

дотичною. Таким чином, будемо вимірювати не кут Д, а кут Д. Малі гори-

зонтальні кути між хордами г

, показі на рисунку пунктирами та дотич-

ними, називають кутами бокової рефракції.

Ці кути можна визначити за формулами [27]:

. о ,, Р <ІТ

^-8,13—. —-5. (Ц.з.86)

де Р - тиск повітря в мб (Г - Паскалях); Т - абсолютна температура

(7*= 273° + і°С);

<іТ І сіх

- горизонтальний градієнт температури, д

ов

жина лінії. Для Т = 298°, Р = 980 мб, 5 = 500 м, сіТ/сЬс = 0,5 град/

г"

= 22,4". Але, для градієнта <іТ/ск = 0,025 град/м, г

= 1,12", 2г"

= 2,24"!

Отже, тільки за малих градієнтів температури можна виконувати вимі-

рювання кутів вздовж стін будинків. Значна бокова рефракція існує також,

коли полігонометричний хід прокладають вздовж рік, озер, шосейних доріг

та залізниць, вздовж меж поверхонь з різним альбедо (наприклад, луки-

рілля), вздовж крутих схилів. Зрозуміло, що в таких умовах слід виконувати

вимірювання кутів в такі періоди доби, коли горизонтальні градієнти

температури малі.

Посереднім критерієм малих градієнтів є відсутність коливань зобра-

жень візирної цілі в горизонтальній та вертикальній площинах, та наявності

хоча б незначного вітру швидкістю 0,5 м/сек. Це так звані періоди спокійних

зображень, які також називають періодами видимості. Вони настають

вранці, приблизно за півтори години після сходу та за годину до заходу

сонця. На жаль, під час ясної, антициклонної погоди ці періоди короткі: 20-

30 хвилин зранку та ввечері.

У похмуру погоду вони значно довші. Можна знешкоджувати бокову

рефракцію введенням поправок, але це вимагає вимірювання додаткових

параметрів.

Н.4. Попереднє опрацювання результатів польових вимірів в

полігонометрії

11.4.1.

Попереднє опрацювання

лінійних

вимірів

Загальна формула обчислення довжини ліній траверсної полігоно-

метрії має вигляд:

+ 4 + Аіі

-Лсі

ІІ

+ Ас1

+А8

І(

(ІІ.4.1)

де п - кількість укладень мірного дроту в лінію, що вимірювалась; /

довжина дроту між нулями шкал; и,, з

- передній та задній відліки шкал;

- поправка за компарування дроту; А8

- поправка за перевищення між

задньою та передньою шкалами дроту (під час кожного його вкладання);

Д5, - поправка за різницю температур дроту під час вимірювання та компа-

рування; сі - домір, частина лінії {сі < /

), виміряна рулеткою; - по-

правка за компарування рулетки; М

- поправка за перевищення між

кінцями доміру; Дсі, - поправка за різницю температур рулетки під час

вимірювання та компарування; А8

- поправка за редукування (приведен-

ня) лінії до рівня моря; Д8

- поправка за редукування на площину

проекції Гауса-Крюгера.

Якщо лінія виміряна світловіддалеміром, то загальна формула дов-

жини лінії має вигляд:

5 = 5, - А8

+ Д5„ + А8, + Д5„ - Д5„ + А8

. (И.4.2)

У цій формулі 8, - середнє арифметичне значення відліків у режимі

"точно" із врахуванням відомої кількості кілометрів; Д5

- поправка за

приведення нахиленої лінії до горизонту; Д5„ - поправка за середні темпе-

ратуру Т

ср

та тиск повітря Р

ср

вздовж лінії; Д5у - поправка за дрейф час-

тоти кварцового генератора від номінальної частоти; А8

- поправка за цик-

лічну похибку; А8

та А5

,як і в формулі (114.1) - поправки за редукцію

лінії 5 на рівень моря та на площину проекції Гаусса-Крюгера.

11.4.2. Редукування довжин ліній на рівень моря і на площину Гаусса-

Крюгера

У відповідності до рисунку ІІ.4.1 лінія 8 між точками Л та В розташо-

вана на земній поверхні. Середня висота лінії:

(11.4.3)

184

- проекція цієї ж лінії на

рівні моря; О

—

центр Землі;

- радіус Землі. Необхідно

^ Поверхня Землі

знайти

д^

—

різницю між 5

та 8„:

(ІІ.4.4)

Виконаємо просте,

але достатньо точне роз-

в'язання цієї задачі. Про-

ведемо через точку В

{

пря-

му, паралельну АА

. Тоді

відрізок В'В - А8

. Трикут-

ники АБО та В'ВВ

- подіб-

ні. З їх подібності можемо

Рис. 11.4.1. Редукування лінії

на рівень моря, записати:

н_

Кз+Нф

звідки

(II 4.5)

(ІІ.4.6)

' "сер

Враховуючи, що К

в багато разів більший за Н

сер

,тобто Я

» Н

С€р

отже,

С€р

можна знехтувати, тоді:

Н сер £

Таким чином

5=5-А8.

•

(ІІ.4.7)

(ІІ.4.8)

Розглянемо, з якою точністю необхідно знати Н

сер

та К

. Продифе-

ренціюємо формулу (ІІ.4.7) по змінних Н

сер

та К

д(А5

) 8 , д{А5

)^ Н

сер

д\н

сер

) Я,'

д(Я

)

•сер/ "З -\--3/

Квадрат середньої квадратичної похибки поправки буде:

А1ц

•т

сер к

•

кз

(ІІ.4.9)

Нехай = 3000 м, т

К]

= 300 м, Н

сер

= 3000 м, = 1 м. Тоді

отримаємо т^ = 0,47 мм. Другий член формули (ІІ.4.9) дає 0,066 мм.

190

Таким чином, радіус Землі можна знати з похибкою 300 м, але Н

еір

потрібно

знати з точністю 0,5 м, тоді похибка поправки т^ буде складати 0,24 мм

при величині поправки Д5„ = -1,4126 м.

Перейдемо до редукування лінії 5 на площину проекції Гауса-

Крюгера. Як відомо, суть цієї проекції можна зобразити геометрично, якщо

Землю вважати сферою й частинами (6°-градусними зонами) проектувати на

циліндр, радіус якого дорівнює радіусу Землі Я

(рис. И.4.2). Циліндр, як

відомо, розрізавши по твірній, можна розгорнути в площину.

На цьому рисунку 2А2' - осьовий меридіан шестиградусної зони,

який дотикається до циліндра. Від осьового меридіана через 3° показано

пунктирами ще два меридіани. Ці меридіани не дотикаються до циліндра.

Між осьовим та лівим і правим (пунктирними) меридіанами показана

пунктиром лінія 8

на сфері, яка також (окрім точки А) не дотикається до

циліндра. Меридіани, показані пунктиром, спроектуємо на циліндр; вони,

видовжаться, дотикатимуться циліндра та показані суцільними лініями. Вся

зона в проекції дещо збільшилася. Лінія спроектувалася на циліндр,

видовжилась, і стала рівною 8. Вона показана суцільною, потовщеною кри-

вою. Лінія 8 на всій довжині дотикається до циліндра. Під час проектування

сфери на поверхню циліндра Гаус поставив умову, щоб зображення малої

ділянки на циліндрі було подібне до відповідної ділянки на кулі. Кути між

відповідними напрямками на кулі та циліндрі мають бути однаковими. Таку

проекцію називають конформною (рівнокутною), а всі лінії такої проекції -

довші, ніж на сфері. На рис. ІІ.4.2 для наочності показано ще одну лінію

в меридіані, що складає з осьовим кут в 90° і знаходиться в перетині сфери

площиною ХОУ. Ця лінія 8'

не знаходиться у шестиградусній зоні. Спроек-

туємо її радіусами-векторами на твірну циліндра, отримаємо лінію 5', кінці