Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Затем следует нажать клавиши

CTRL+SHIFT+ENTER.

В диапа-

зоне B11:D13 размещена обратная матрица

(рис.

1.3.3):

-10

0 1 -1

1-10,

Для получения решения системы уравнений необходимо умно-

жить полученную обратную матрицу на вектор-столбец свободных чле-

'11^

На

рис.

1.3.4

показан выделенный диапазон для результата ум-

нов

v6,

ножения и введена функция. Затем следует нажать клавиши

CTRL+SHEFT+ENTER.

В диапазоне F11:F13 получено первое базисное решение системы

уравнений

{

О,

= 0 (см. рис.

1.3.5).

Х1

2 !

'б ll)

Х2

Х1

*"". ;

хз

Х4

Х2

Х5

ХЗ

-4

-2

=Mo6p(B7D9)

Рис.

1.3.2.

Выдетсн

диапазон

пля

размещения

обратной

матрицы в ячейках B11:D13,

введена

форм} да

для вычислений

•

:::

";-ОУ

-1

22!

-1

-4

-2

•

••••

•

Рис.

1.З.З. В диапазоне B11:D13 размещена обратная матрица.

\ж

Х1

Х2

Х1

-1

ХЗ Х4 Х5

2 22

1 16

Х2 ХЗ

2 2

2 1

1 1

-4

-2 6

0 2

1 -1

-1 0

=мумнож(В11 D13.F2.F4)

Рис. 1.3.4. Умножение обратной матрицы на вектор-столбец свободных членов.

з^

••':;

Х1

• •

Х2

Х1

-1

С-

ХЗ Х4

2 22

Х2

-1

ХЗ

-1

Х5

-4

-2

г——

Рис.

1.3.5.

В диапазоне F11:F13 получено решение

Для получения второго базисного решения для переменных Х\,

Xi,

Хз,

выполняем указанную последовательность действий

(рис.

1.3.6).

Второе базисное решение имеет вид: (0.333; 1.667; 0; 0.333; 0).

Х1 Х2

Х4

-1.33333 0.333333

-0.66667

1.666667

0.166667 -0.16667

Рис.

1.3.6.

Полечено

второе базисное решение

-1

0.3333

1.6667

0.3333

Для третьей группы переменных

Л'г,

нельзя найти базисное

решение, потому что определитель равен нулю

(рис.

1.3.7).

2Bj

~Щ #ЧИСЛ01

#ЧИСЛО! #ЧИСЛО!

#ЧИСЛО! #ЧИСЛО! #ЧИСЛО!

#ЧИСЛСН #ЧИСЛ01

#ЧИСЛО!:

331

Рис.

13.7. В ячейке ВЗЗ

результат

выполнения функции МОПРЕД - определил ель равен

н>лю

табл.1.3.1

содержатся результаты вычислений по всем 10 группам

переменных, т.е. результат решения примера

3.3. Шестой столбец таб-

лицы содержит базисные решения.

Таблица

1.3.1

Х2

-1

хз

Х2

-1

Х4

ХЗ

-1

Х5

-4

-2

Продолжение

-1 33333

-0.66667

0.166667

#ЧИСЛО!

-1

-1.33333

0.166667

0 333333

Х2

-0.5

Х2

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО'

0.333333

1.666667

-0.16667

Х2

#ЧИСЛО!

ХЗ

Х4

Х5

-1

-4

-2

#ЧИСЛО!

определитель

-0.5

-2.5

0.25

0.333333

-0.16667

-0.83333

ХЗ

-1

#ЧИСЛО!

Х4

= 0

2.5

1.5

-0.25

Х5

Х4

Х5

-4

-2

0.5

-5

-6

-4

-2

#/ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0.3333

1.6667

0.3333

-0.5

-2.5

0.75

0.333333

-0.8333

-1

0.5

Окончание

Ю)

#ЧИСЛО'

хз

Х2

-0.5

-1

#ЧИСЛО!

-1

#ЧИСЛО!

Х4

опреде

-1

-0.5

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО<

#ЧИСЛО!

ХЗ

#ЧИСЛО!

лшель

Х5

= 0

-4

-2

-6

2.5

-4

-2

#ЧИСЛО!

определитель

-1

-0.5

Х5

= 0

-Л

-4

-2

0.5

-1

0.5

-0.5

-1.5

1.4.

ЭКОНОМИКО-МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯМОДЕЛЬ

МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ

«ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК»)

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие

баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом высту-

пает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции,

а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими от-

раслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями

используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами

межотраслевого баланса. Впервые таблица межотраслевого баланса бы-

ла опубликована в 1926 г. в России. Однако вполне развитая математи-

ческая модель межотраслевого баланса (МОБ), допускающая широкие

возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936) в трудах аме-

риканского экономиста

В.

Леонтьева

Мы рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого ба-

ланса (модель Леонтьева, или модель «затраты-выпуск»).

Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к сис-

теме линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффици-

енты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит

на п чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) - некото-

рая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например,

энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).

Пусть

- количество продукции

/-Й

отрасли, расходуемое

j-vt

от-

расли;

- объем производства

/-й

отрасли за данный промежуток вре-

мени, так называемый

валовой

выпуск продукции

у, - объем потребле-

ния продукции

/-Й

отрасли в непроизводственной сфере, объем конечно-

го

потребления;

- условно чистая продукция, которая включает опла-

ту труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или нату-

ральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зави-

симости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые

балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.

В табл. 1.4.1 отражена принципиальная схема межотраслевого ба-

ланса в стоимостном выражении.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сде-

лать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потреб-

ляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продук-

ции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

Xj=tx,j+Zn ;

1,2,...,и.

(1.4.1)

Напомним,

чго

величина условно чистой продукции

;

равна сумме

амортизации, оплаты труда и чистого

дохода

j-й

отрасли. Соотношение

В Леонтьев

(1906

- 1999) эмигрировал в США

СССР в 1925

В 1936 г.

ем_\

была

присуждена

Нобелевская премия за работы в

обмети

экономики

(1.4

охватывает систему

из л

уравнений, отражающих стоимостной

состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему

МОБ по

строкам

для

каждой про-

изводящей отрасли, можно видеть,

что

валовая продукция

той или

иной

отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих

ее

продукцию

отраслей и конечной продукции данной отрасли:

!>!,+Я,

= 1,2,..

,и.

(1.4.2)

7=1

Формула (1.4.2) описывает систему

из п

уравнений, которые назы-

ваются уравнениями распределения продукции отраслей материального

производства по направлениям использования.

Таблица

1.4.1

Производящие

отрасти

Усчовно

чистая

продукция

Вшювой

продукт

Потребляющие отрасли

Хи

Хц

Х,

Хп

Х?2

Х„2

Хъ,

х„

Конечный

проду кт

,«|

Валовой

продукт

х„

1 ,

Балансовый характер таблицы выражается в том,

что

!*. = !*,.

1=1

7=1

,=1 у = 1

Основу экономико-математической модели

МОБ

составляет матри-

ца коэффициентов прямых затрат

(а„).

Коэффициент

прямых

материальных

затрат

показывает, какое

количество продукции

i'-й

отрасли необходимо, если учитывать только

прямые затраты,

для

производства единицы

продукции

j-й

отрасли

a^Xg/Xj,

/,/ =

1,2,..„и.

(1.4.3)

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два

важных предположения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства

считаем неизменной. Таким образом, матрица

= (а,,) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности сущест-

вующих технологий, т.е. для

выпуска

у'-й

отраслью любого объема про-

дукции

необходимо затратить продукцию отрасли

в количестве

/у

т.е.

материальные издержки пропорциональны объему производимой

продукции:

Xj.

(1.4.4)

Подставляя (1.4.4) в балансовое соотношение (1.4.2), получаем

7=1

или в матричной форме

= AX +

Y. (1.4.6)

С помощью

этой

модели можно выполнять

три

вида плановых расчетов.

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X,),

можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли

(У,):

(E-A)X.

(1.4.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (К,), можно оп-

ределить величины валовой продукции каждой отрасли

(X,):

(E-Af

-Y.

(1.4.8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех

остальных - объемы конечной продукции, можно найти величины конечной

продукции первых отраслей

объемы валовой

прод}Кции

вторых.

В формулах (1.4.7) и (1.4.8) Е обозначает единичную матрицу

/;-го

по-

рядка, а (Е - А) обозначает матрицу, обратную матрице (£ -

А).

Если опре-

делитель матрицы

(Е-А)

не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то

обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через

-{Е-

А)~

, тогда систему уравнений в матричной форме

(1.4.8)

можно за-

писать в

виде

BY.

Элементы матрицы В называются

коэффициентами

полных мате-

риальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести

продукции

/-й

отрасли для выпуска в сферу конечного использования

единицы

продукцииу'-й

отрасли.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если

выполняется условие

продуктивности.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если

существует такой неотрицательный вектор Х> 0, что

Х>АХ.

(1.4.9)

Очевидно, что условие (1.4.9) означает существование положитель-

ного вектора конечной продукции Y

> О

для модели межотраслевого ба-

ланса (1.4.6).

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных за-

трат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполня-

лось одно из перечисленных ниже условий:

Матрица

(Е

- А) неотрицательно обратима, т.е. существует об-

ратная матрица

(Е

Л)"

> 0;

Матричный ряд Е

А +А

+ ...=

"£ А сходится, причем

t=o

его сумма равна обратной матрице

(Е

А)'

;

Все главные миноры матрицы

(Е-А),

т.е. определители матриц,

образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матри-

цы порядка от

до п, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктивности

матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину

наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма

матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повто-

рим, что данное условие является только достаточным, и матрица

может

оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.