Опря А.Т. Статистика (модульний варіант з програмованою формою контролю знань)
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101
ȱɡ ɰɶɨɝɨ ɜɢɩɥɢɜɚɽ, ɳɨ ɜɫɿ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ
ɩɨɫɬɿɣɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɫɟɪɟɞɧɽ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ, ɚ ɩɨɬɿɦ
ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɣɨɝɨ ɧɚ ɰɟ ɩɨɫɬɿɣɧɟ ɱɢɫɥɨ:
222
Ⱥ
Ⱥ
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ɿ
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¸
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·
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§
VV
3. əɤɳɨ ɜɢɪɚɯɭɜɚɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɤɜɚɞɪɚɬ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɜɿɞ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ (Ⱥ), ɳɨ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜ ɬɿɣ ɱɢ ɿɧɲɢɣ ɦɿɪɿ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ (
ɯ
),
ɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɣɨɝɨ ɡɚɜɠɞɢ ɛɭɞɟ ɛɿɥɶɲɟ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ,
ɨɛɱɢɫɥɟɧɨɝɨ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
).(
22
VV
²
Ⱥ
Ɉɬɪɢɦɚɧɟ ɩɟɪɟɜɢɳɟɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɿɠ
ɫɟɪɟɞɧɶɨɸ ɿ ɭɦɨɜɧɨ ɭɡɹɬɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ, ɬɨɛɬɨ
2
// Ⱥɯ
. ɐɟ ɜɫɟ ɦɨɠɧɚ
ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɬɚɤɨɦɭ ɡɚɩɢɫɭ:
222
)( Ⱥɯ
Ⱥ
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ɚɛɨ
222
)( Ⱥɯ
Ⱥ
VV
.
Ɋɨɡɝɥɹɧɭɬɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɞɨɡɜɨɥɹɽ
ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɨɤ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ (
2
V
) ɡɚɜɠɞɢ
ɦɟɧɲɚ ɡɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ, ɨɛɱɢɫɥɟɧɿ ɜɿɞ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɿɧɲɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
2
Ⱥ
V
, ɬɨɛɬɨ
ɜɨɧɚ ɦɚɽ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɦɿɧɿɦɚɥɶɧɨɫɬɿ.
4. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɩɨɫɬɿɣɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ (
0
2
Aconst
V
). ɐɹ
ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɡ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɽ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɪɨɡɫɿɸɜɚɧɧɹ
ɜɚɪɿɚɧɬ ɧɚɜɤɨɥɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ, ɚ ɫɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ
ɩɨɫɬɿɣɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɰɿɣ ɜɟɥɢɱɢɧɿ.
Ɋɹɞ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ʉɪɭɧɬɭɽɬɶɫɹ ɧɚ ɪɿɜɧɨɫɬɿ
,)(
222
ɯɯ
V
Ɍɨɛɬɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɿɠ ɫɟɪɟɞɧɶɨɸ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɸ
ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɚɪɿɚɧɬ ɿ ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ.
5.3.2. Ɂɚɝɚɥɶɧɚ, ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɚ ɿ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ
əɤɳɨ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɨɡɧɚɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ (ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ
ɚɛɨ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ) ɪɨɡɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɝɪɭɩ ɿ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɤɨɠɧɭ ɡ ɧɢɯ
ɹɤ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɭ (ɨɤɪɟɦɭ) ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ, ɬɨ ɜɢɧɢɤɚɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ
ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɜɢɞɿɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ: ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ, ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɨʀ ɿ
ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɨʀ.
Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ – ɰɟ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɤɜɚɞɪɚɬ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɡɧɚɱɟɧɶ
ɨɡɧɚɤ ɜɫ
ɿɽʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ.
Ɇɿɠɝɪɭɩɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ – ɰɟ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɤɜɚɞɪɚɬ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ
ɝɪɭɩɨɜɢɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ.
ȼɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ – ɰɟ ɫɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ
ɱɚɫɬɤɨɜɢɯ (ɝɪɭɩɨɜɢɯ) ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɡɜɚɠɟɧɚ ɨɛɫɹɝɚɦɢ ɝɪɭɩ.
101
102
ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ 27 ɧɚɜɟɞɟɧɚ ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɧɚɡɜɚɧɢɯ
ɜɢɞɿɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 27
Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ
ȼɢɞ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ Ɏɨɪɦɭɥɚ ɉɪɢɦɿɬɤɚ
Ɂɚɝɚɥɶɧɚ
.
)(
2
2
i
i
ɡɚɝ
n
nɯɯɿ
6
6
V
n
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ɱɚɫɬɨɬɚ ɨɡɧɚɤɢ
Ɇɿɠɝɪɭɩɨɜɚ
i
j
j
ɦɝɪ
N
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6
6
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2
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j-ɧɨɦɟɪ ɝɪɭɩɢ
Nj-ɨɛɫɹɝ ɝɪɭɩɢ
i
nNj 6 6
j
ɯ
- ɝɪɭɩɨɜɚ ɫɟɪɟɞɧɹ
j - ɝɪɭɩɢ
ȼɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨ
ɜɚ
j
jj
ɜɝɪ
N
N
6
6
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2
V
V
2
j
V
ɱɚɫɬɤɨɜɿ (ɝɪɭɩɨɜɿ) ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ
ɉɪɢɤɥɚɞ. Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɜɪɨɠɚɣɧɨɫɬɿ ɡɟɪɧɨɜɢɯ ɤɭɥɶɬɭɪ 57 ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ
ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɡɚɝɚɥɶɧɭ, ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɭ ɿ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ, ɭɬɜɨɪɢɜɲɢ ɫɿɦ
ɝɪɭɩ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ ɡɚ ɪɿɜɧɟɦ ɭɪɨɠɚɣɧɨɫɬɿ.
Ⱦɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɨɛɭɞɭɜɚɬɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɣ
ɪɹɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɬɚɛɥ. 28).
Ɂɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɰɶɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɜɢɡɧɚɱɚɽɦɨ
ɫɟɪɟɞɧɸ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɭ (
ɯ
)ɿ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ (
2
ɡɚɝ
V
):
;9.26
57
5.1535
6
6
ni
niɯ
ɯ
ɿ
.5.24
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06.1399)(
2
2
6
6
ni
niɯɯɿ
ɡɚɝ
V
Ɍɚɛɥɢɰɹ 28
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ
(ɞɢɫɤɪɟɬɧɢɣ ɪɹɞ)
ȼɚɪɿɚɧɬɚ ,
ɿ
ɯ
ɑɚɫɬɨɬɚ
i
n
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
iɿ
nɯ
xx
i
(
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i
)
2
(
ɿi
ɩxx
2
)
17,5 1 17,5 -9,4 88,36 88,36
17,6 2 35,2 -9,3 86,49 172,98
… … … … … …
36,2 3 108,6 9,3 86,49 259,47
37,6 2 75,2 10,7 114,49 228,98
Ɋɚɡɨɦ 57 1535,3 ɯ ɯ 1399,06
Ⱦɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɝɪɭɩɨɜɿ
ɫɟɪɟɞɧɿ (
j
ɯ
) ɿ ɡɧɚɣɬɢ ɡɚɝɚɥɶɧɢɣ ɨɛ'ɽɦ ʀɯ ɜɚɪɿɸɜɚɧɧɹ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ (
Njxɯ
j
2
)( 6
). Ɂɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ 29 ɜɢɡɧɚɱɚɽɦɨ
ɪɨɡɦɿɪ ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ:
102
103
.6.23
57
5.1347)(
2
2
6
6
i
j
ɦɝɪ
n
Njxɯ
V
Ɍɚɛɥɢɰɹ 29
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ
ȱɧɬɟɪɜɚɥ
(ɝɪɭɩɚ)
ɋɟɪɟɞɧɹ
ɩɨ ɝɪɭɩɿ,
j
ɯ
Ɉɛɫɹɝ
ɝɪɭɩ,
j
N
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
xɯ
j
2
)( xɯ
j
2
)( xɯ
j
j
N
17,5-20,5 18,9 9 -8,0 64,00 576,0
20,5-23,5 21,9 6 -6,0 25,0 150,0
23,5-26,5 25,4 9 -1,5 2,25 20,3
26,5-29,5 28,2 13 1,3 1,69 22,0
29,5-32,5 30,8 15 3,9 15,21 228,0
32,5-35,5 34,0 3 7,1 50,41 151,2
35,5-38,5 36,9 2 10,0 100,00 200,0
Ɋɚɡɨɦ ɏ 57 ɏ ɯ 1347,5
ɓɨɛ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ
ɱɚɫɬɤɨɜɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ ɭ ɪɨɡɪɿɡɿ ɫɟɦɢ ɝɪɭɩ. Ɇɚɸɱɢ ɝɪɭɩɨɜɿ ɫɟɪɟɞɧɿ |
j
x
|, ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ
ɩɨ ɤɨɠɧɨʀ ɝɪɭɩɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɱɚɫɬɤɨɜɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ
2
j
V
. Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɢɤɥɚɞɭ, ɹɤɢɣ
ɪɨɡɝɥɹɞɚɽɬɶɫɹ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɫɿɦ ɬɚɤɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ
).,...,,,(
2222
Vȱȱȱȱȱȱȱȱ
VVVV
ɇɟɨɛɯɿɞɧɿ ɩɪɨɦɿɠɧɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ʀɯ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɜ
ɬɚɛɥɢɰɿ 30.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 30
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ
(ɪɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɱɚɫɬɤɨɜɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ) (
2
j
V
)
ȱɧɬɟɪɜɚɥ
(ɝɪɭɩɚ)
ȼɚɪɿɚɧɬɚ,
ɿ
ɯ
ɑɚɫɬɨɬɚ,
s
n
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
ɿ
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n
ɿ
j
ɿ
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(
j
ɿ
ɯɯ
)
2
(
j
ɿ
ɯɯ
)
2
s
n
2
j
V
17,5-20,5 17,5 1 17,5 -1.4 1,96 1,96
2
ȱ
V
=
(
ȱ
ɯ
= 18,9)
17,6 2 35,2 -1.3 1,69 3,38
ȱ
ɿ
ȱ
ɿ
N
nɯɯ
2
)( 6
ȼɫɶɨɝɨ ɯ 9 170,0 ɯ ɯ 9,05
=
0.1
9
05.9
…
…
… … … …
…
…
35.5-38,5 36,2 I 36,2 -0.7 0,49 0,49
(
Vȱȱ
ɯ
36.9)
37,6 I 37,6 0.7 0.49 0,40
6
VII
ɿVII
ɿ
N
nx
ɯ
2
)(
ȼɫɶɨɝɨ ɯ 2 73,8 ɯ ɯ 0,98 =
49,0
2
98,0
103
104
ɉɨɱɚɬɤɭ ɨɛɱɢɫɥɟɧɶ ɱɚɫɬɤɨɜɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɩɟɪɟɞɭɽ ɪɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɝɪɭɩɨɜɢɯ
ɫɟɪɟɞɧɿɯ (
j
x
). Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ
9
170
6
ȱ
ɿɿ
ȱ
N
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ɯ
=18,9. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ
ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɽɦɨ ɫɟɪɟɞɧɿ ɞɥɹ ɿɧɲɢɯ ɝɪɭɩ. ɉɨɬɿɦ ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɨɤɪɟɦɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ
2
j
V
,
ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɹɤɢɯ ɫɬɚɧɨɜɥɹɬɶ:
;0,1
2
ȱ
V
;43,0
2
ȱȱ
V
;12,1
2
ȱȱȱ
V
;68.0
2
ȱV
V
;09.1
2
V
V
;58,0
2
Vȱ
V
49,0
2
Vȱȱ
V
(ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɬɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɿ
ɫɶɨɦɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ).
Ɇɚɸɱɢ ɨɛɱɢɫɥɟɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɱɚɫɬɤɨɜɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɜɟɥɢɱɢɧɭ
ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ:
9.087.0
57
57.49
231513969
249.0358.01509.11368.0912.1643.091
....
...
2222
2
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6
VIIIIIIII
VIIVIIIIIIIIIIIIIȱ
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NNNN
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ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨ ɩɪɚɜɢɥɚ ɫɤɥɚɞɚɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɹɤɟ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɡ ɞɨɤɚɡɭ, ɳɨ
ɹɤɳɨ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɤɿɥɶɤɨɯ ɝɪɭɩ, ɬɨ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
ɫɭɦɿ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɨʀ ɿ ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɦɚɽɦɨ:
5,249,06,23
222
ɜɝɪɦɝɪɨɛɳ
VVV
.
Ɂɚ ɪɚɧɿɲɟ ɧɚɜɟɞɟɧɢɦɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɦɢ, ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ
2
ɡɚɝ
V
ɞɨɪɿɜɧɸɽ 24,5, ɳɨ ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɽ ɜɿɪɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɚɧɢɯ ɨɛɱɢɫɥɟɧɶ.
Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɿ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɣ ɿɧɬɟɪɟɫ ɩɪɚɜɢɥɚ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ
ɩɨɥɹɝɚɽ ɭ ɬɨɦɭ, ɳɨ, ɡɧɚɸɱɢ ɞɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ, ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ
ɧɚɜɟɞɟɧɨʀ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɡɚɜɠɞɢ ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɣɬɢ ɬɪɟɬɸ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
222
ɦɝɪɡɚɝɜɝɪ
VVV
.
Ɇɚɸɱɢ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɨʀ ɿ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɦɨɠɧɚ ɦɚɬɢ
ɭɹɜɭ ɩɪɨ ɫɢɥɭ ɜɩɥɢɜɭ ɝɪɭɩɭɜɚɥɶɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. ɉɪɨ ɰɟ ɦɨɜɚ ɩɿɞɟ ɩɪɢ
ɜɢɜɱɟɧɧɿ ɩɢɬɚɧɶ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨɝɨ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɿɜ ɚɧɚɥɿɡɭ.
5.3.3. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɹ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɢɯ ɨɡɧɚɤ
ɉɟɪɲ ɧɿɠ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢ ɩɢɬɚɧɧɹ ɩɪɨ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɢɯ
ɨɡɧɚɤ, ɫɥɿɞ ɧɚɝɚɞɚɬɢ, ɳɨ ɩɿɞ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ ɪɨɡɭɦɿɸɬɶ ɬɚɤɭ
ɨɡɧɚɤɭ, ɹɤɨɸ ɨɞɧɿ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɧɚɞɿɥɟɧɿ, ɚ ɞɪɭɝɿ – ɧɿ. Ɍɚɤ, ɹɤɳɨ ɭ ɜɢɛɿɪɰɿ,
ɹɤɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡ ɩ ɨɞɢɧɢɰɶ ɿ
ɩ
cc
ɨɞɢɧɢɰɶ, ɧɚɞɿɥɟɧɢɯ ɞɚɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ,
ɬɨ ʀɯ ɱɚɫɬɤɚ w ɭ ɜɢɛɿɪɤɨɜɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ:
.
"
n
n
w
104
105
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ, ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɨʀ ɿ ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɨʀ
ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɥɹ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɢɯ ɨɡɧɚɤ ɩɨɞɚɧɢɣ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɜ
ɬɚɛɥɢɰɿ 31.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 31
Ɏɨɪɦɭɥɢ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɥɹ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɢɯ ɨɡɧɚɤ
ȼɢɞ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ Ɏɨɪɦɭɥɚ ɉɪɢɦɿɬɤɚ
Ɂɚɝɚɥɶɧɚ
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2
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w – ɱɚɫɬɤɚ ɨɞɢɧɢɰɶ
ɧɚɞɿɥɟɧɢɯ ɞɚɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ
Ɇɿɠɝɪɭɩɨɜɚ
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– ɱɚɫɬɤɚ ɨɞɢɧɢɰɶ,
ɧɚɞɿɥɟɧɢɯ ɞɚɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ
ɜ i –ɣ ɝɪɭɩɿ
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- ɱɢɫɥɨ ɨɞɢɧɢɰɶ ɜ i - ɣ
ɝɪɭɩɿ
ȼɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɚ
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- ɨɛ'ɽɦ ɜɢɛɿɪɤɢ
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Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɚɡɜɚɧɢɯ ɜɢɞɿɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ
ɧɚ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɦɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ. ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ 32 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜɢɛɿɪɤɚ 60
ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ, ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɢɯ ɡɚ ɜɢɪɨɛɧɢɱɢɦ ɬɢɩɨɦ ɧɚ ɞɜɿ ɝɪɭɩɢ ɡ
ɨɛɫɹɝɨɦ
i
n
ɤɨɠɧɨʀ ɿ ɜɢɞɿɥɟɧɧɹɦ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ – ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ
ɡɛɢɬɤɨɜɢɯ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ (
ɩ
cc
).
ɉɿɞɫɬɚɜɥɹɸɱɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɬɚɛɥɢɰɿ 32 ɭ ɮɨɪɦɭɥɢ
ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɜɢɞɿɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɨɞɟɪɠɢɦɨ:
;179,0/233,01/233,0)1(
2
ww
w
V
;002,0
60
134.0)(
2
2
6
ii
ɦw
nww
V
i
iii
w
n
nww
6
6
)1(
2
V
V
=
.177,0
60
6,10
Ɍɚɛɥɢɰɹ 32
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ
ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ
Ƚɪɭɩɚ
Ɉɛɫɹɝ
ɝɪɭɩ,
i
n
ɑɢɫɥɨ
ɨɞɢɧɢɰɶ ɭ
ɝɪɭɩɿ,
ɧɚɞɿɥɟɧɢɯ
ɞɚɧɨɸ
ɨɡɧɚɤɨɸ, n"
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
ɿ
ɿ
n
n
w
"
)1(
ii
ww
iii
nww )1( ww
i
2
)( ww
i
ii
nww
2
)
I 40 8 0,200 0,16 6,4 -0,03 0,0009 0,036
ɉ 20 6 0,300 0,21 4,2 0,07 0,0049 0,098
ȼɫɶɨɝɨ 60 14
0,233
(14:60)
ɯ 10,6 ɯ ɯ 0,134
105
106
ʈɪɭɧɬɭɸɱɢɫɶ ɧɚ ɩɪɚɜɢɥɿ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɦɚɽɦɨ:
222
ɜwɦww
VVV
ɚɛɨ 0,179 =0,002+0,177; 0,179= 0,179.
ɋɟɪɟɞɧɽ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ ɜ
ɞɚɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɥɟɝɤɨ ɡɧɚɣɬɢ ɲɥɹɯɨɦ ɞɨɛɭɜɚɧɧɹ ɤɨɪɟɧɹ ɡ
2
w
V
,
ɬɨɛɬɨ :
42.0179.0)1( ww
V
.
§ 5.4. Ɇɨɦɟɧɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ȼɚɪɿɚɰɿɣɧɢɣ ɪɹɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɠɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɜɚɬɢɫɹ ɫɢɫɬɟɦɨɸ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɡɚɝɚɥɶɧɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɿ ɧɨɫɹɬɶ ɧɚɡɜɭ
ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ȼ ɰɿɣ ɫɢɫɬɟɦɿ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶ ɫɜɨɽ ɜɿɞɨɛɪɚɠɟɧɧɹ
(ɦɿɫɰɟ) ɬɚɤɿ ɭɡɚɝɚɥɶɧɸɸɱɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɪɹɞɭ, ɹɤ ɫɟɪɟɞɧɹ ɿ
ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ.
ɋɢɫɬɟɦɚ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɩɟɪɲɟ ɛɭɥɚ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɚ ɪɨɫɿɣɫɶɤɿɦ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɨɦ ɉ.Ʌ.ɑɟɛɢɲɟɜɢɦ.
Ɂɚɝɚɥɶɧɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɦɨɦɟɧɬɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɡɚɝɚɥɶɧɨɝɨ
ɟɦɩɿɪɢɱ
ɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɭ) ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
,
)(
i
i
ɤ
ɿ
ɤ
n
nȺɯ
6
6
0
ɞɟ
ɤ
0
– ɦɨɦɟɧɬ ɤ-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ;
ɿ
ɯ
– ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɪɹɞɭ;
i
n
– ɱɚɫɬɨɬɢ ɪɹɞɭ;
k, Ⱥ – ɩɨɫɬɿɣɧɿ ɱɢɫɥɚ [ɤ-ɩɨɪɹɞɨɤ (ɫɬɟɩɿɧɶ), Ⱥ – ɞɨɜɿɥɶɧɟ ɩɨɫɬɿɣɧɟ
ɱɢɫɥɨ (ɧɟɫɩɪɚɜɠɧɿɣ ɧɭɥɶ)].
ɋɥɿɞ ɩɚɦ'ɹɬɚɬɢ, ɳɨ ɩɪɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ
ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ ɨɫɪɟɞɧɹɽɬɫɹ k – ɬɚ ɫɬɟɩɿɧɶ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɨɡɧɚɤɢ
(ɜɚɪɿɚɧɬɢ)
ɿ
ɯ
ɜɿɞ ɞɟɹɤɨʀ ɩɨɫɬɿɣɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ (Ⱥ).
Ɂɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɬɨɝɨ, ɹɤɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɣɧɹɬɚ ɡɚ ɭɦɨɜɧɢɣ ɩɨɱɚɬɨɤ
(Ⱥ), ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɨɞɚɧɚ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɚɦɢ
ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ, ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɿ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ.
əɤɳɨ ɭɦɨɜɧɢɣ ɩɨɱɚɬɨɤ Ⱥ = ɨ, ɨɬɪɢɦɭɸɬɶ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɭ
ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ. ɉɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k-ro ɩɨɪɹɞɤɭ (k-ʀ ɫɬɟɩɟɧɿ)
ɜɢɪɚɠɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
i
i
ɤ
ɤ
n
nɯ
6
6
0
,
ɞɟ
ɤ
0
– ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ;
i
ɤ
nɯ6
– ɫɭɦɚ ɞɨɛɭɬɤɿɜ ɜɚɪɿɚɧɬ k -ʀ ɫɬɟɩɟɧɹ ɧɚ ʀɯ ɱɚɫɬɨɬɢ;
106
107
i
n6
– ɫɭɦɚ ɱɚɫɬɨɬ.
ɉɪɢ k= 0 ɦɨɦɟɧɬ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ ɧɭɥɶɨɜɨɝɨ
ɩɨɪɹɞɤɭ, ɩɪɢ k= 1 – ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ 1-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɩɪɢ k= 2 –
ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ 2-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɿ ɬ.ɞ.
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɜɟɥɢɱɢɧ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɿɞ ɧɭɥɶɨɜɨɝɨ ɞɨ
ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɿɜ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɣ ɫɯɟɦɚɬɢɱɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ 33.
ɉɪɢ Ⱥ=
ɯ
ɨɞɟɪɠɭɽɦɨ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɭ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ.
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k -ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜɢɪɚɠɚɽɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
i
i
k
ɿ
ɤ
n
nɯɯ
6
6
)(
P
əɤ ɜɢɞɧɨ ɡ ɧɚɜɟɞɟɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ, ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɹɜɥɹɸɬɶ
ɫɨɛɨɸ ɫɟɪɟɞɧɿ ɿɡ ɪɿɡɧɢɯ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 33
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɢ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ
ɉɨɪɹɞɨɤ (ɫɬɟɩɿɧɶ) k, Ɏɨɪɦɭɥɚ Ɂɦɿɫɬ
0
i
iɿ
n
nɯ
6
6
0
0
0
1
1
i
sɿ
ɿ
n
nɯ
6
6
0
1
ɯ
(ɫɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ)
2
i
n
nɯ
iɿ
6
6
0
2
2
2
ɯ
(ɫɟɪɟɞɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ
ɜɚɪɿɚɧɬ)
3
i
iɿ
n
nɯ
6
6
0
3
3
3
ɯ
(ɫɟɪɟɞɧɹ ɤɭɛɿɜ ɜɚɪɿɚɧɬ)
4
i
iɿ
n
nɯ
6
6
0
4
4
4
ɯ
(ɫɟɪɟɞɧɹ ɱɟɬɜɟɪɬɢɯ
ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɜɚɪɿɚɧɬ)
ɋɯɟɦɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɿɞ
ɧɭɥɶɨɜɨɝɨ ɞɨ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɿɜ ɧɚɜɟɞɟɧɚ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ 34.
Ɉɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɡɧɚɱɧɨ
ɫɩɪɨɳɟɧɿ, ɹɤɳɨ ɡɧɚɬɢ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɰɿɽʀ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɢ ɦɨɦɟɧɬɿɜ.
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ʀɯ.
1. əɤɳɨ ɭɫɿ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɡɦɟɧɲɢɬɢ ɚɛɨ
ɡɛɿɥɶɲɢɬɢ ɧɚ ɹɤɟɫɶ ɩɨɫɬɿɣɧɟ ɱɢɫɥɨ ɋ, ɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ
ɦɨɦɟɧɬɭ k -ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɧɟ ɡɦɿɧɢɬɶɫɹ. Ɍɚɤ, ɹɤɳɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ
ɪɨɡ
ɪɚɯɭɜɚɬɢ ɡɚ ɡɦɟɧɲɟɧɢɦɢ (
ɋɯ
ɿ
) ɚɛɨ ɡɛɿɥɶɲɟɧɢɦɢ (
ɋɯ
ɿ
)
ɜɚɪɿɚɧɬɚɦɢ, ɬɨ
P
P
c
.
107
108
Ɍɚɛɥɢɰɹ 34
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ
ɉɨɪɹɞɨɤ
(ɫɬɟɩɿɧɶ),k
Ɏɨɪɦɭɥɚ Ɂɦɿɫɬ
ȼɡɚɽɦɨɡɜ'ɹɡɨɤ ɡ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɦɢ
ɦɨɦɟɧɬɚɦɢ
0
i
iɿ
n
nɯɯ
6
6
0
0
)(
P
1
-
1
i
iɿ
n
nɯɯ
6
6
1
1
)(
P
0
ɿɿ
00
2
i
iɿ
n
nɯɯ
6
6
2
2
)(
P
2
V
2
2 ɿ
00
3
i
iɿ
n
nɯɯ
6
6
3
3
)(
P
ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ
ɚɫɢɦɟɬɪɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
3
1123
23 0000
4
i
iɿ
n
nɯɯ
6
6
4
4
)(
P
ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ
ɝɨɫɬɪɨɜɟɪɲɢɧɨɫɬɿ
4
1
2
12134
364 000000
2. əɤɳɨ ɭɫɿ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɡɦɟɧɲɢɬɢ ɚɛɨ
ɡɛɿɥɶɲɢɬɢ ɜ ɨɞɧɟ ɿ ɬɟ ɠ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡ (z), ɬɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k -ɝɨ
ɩɨɪɹɞɤɭ ɡɦɟɧɲɢɬɶɫɹ ɚɛɨ ɡɛɿɥɶɲɢɬɶɫɹ ɭ
k
=
ɪɚɡɿɜ. Ɍɨɛɬɨ ɹɤɳɨ
ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k –ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ (
k
P
c
) ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ ɡɚ
ɡɛɿɥɶɲɟɧɢɦɢ ɭ z ɪɚɡɿɜ ɜɚɪɿɚɧɬɚɦɢ (
=
i
x
), ɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɣɨɝɨ
ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ
k
k
=
PP
1
. Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɨ ɨɞɟɪɠɭɽɦɨ ɡɚ ɡɦɟɧɲɟɧɢɦɢ ɜ z ɪɚɡɿɜ
ɜɚɪɿɚɧɬɚɦɢ:
k
k
=
c
P
P
.
Ɉɬɠɟ, ɨɞɟɪɠɚɜɲɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (
P
) Ɂɚ ɡɦɿɧɟɧɢɦ ɪɹɞɨɦ
[ɧɚɩɪ.,
= :)( ɫɯɯ
ɿɿ
], ɦɨɠɧɚ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k -ɝɨ
ɩɨɪɹɞɤɭ ɞɥɹ ɩɨɱɚɬɤɨɜɨɝɨ ɪɹɞɭ. Ⱦɥɹ ɜɢɩɚɞɤɭ, ɤɨɥɢ ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɡɦɟɧɲɟɧɚ
ɧɚ ɋ ɨɞɢɧɢɰɶ, ɿ ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (
ɫɯ
ɿ
) ɭ ɫɜɨɸ ɱɟɪɝɭ ɡɦɟɧɲɢɬɢ ɭ
=
ɪɚɡɿɜ
>@
,:)( = ɫɯ
ɿ
, ɬɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ (
P
) k -ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɛɭɞɟ
ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ:
.
1 ɤ
=
PP
Ɂɧɚɧɧɹ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢɯ ɜɢɳɟ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ
ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɞɨɡɜɨɥɢɬɶ ɡɧɚɱɧɨ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɨɛɫɹɝɢ ɨɛɱɢɫɥɸɜɚɥɶɧɢɯ ɪɨɛɿɬ,
ɨɫɨɛɥɢɜɨ ɭ ɬɢɯ ɜɢɩɚɞɤɚɯ, ɤɨɥɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ
ɝɪɨɦɿɡɞɤɢɦɢ ɪɨɡɦɿɪɚɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɡɧɚɤ.
əɤ ɛɭɥɨ ɡɚɡɧɚɱɟɧɨ ɪɚɧɿɲɟ, ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɞɪɭɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ
(
2
P
) ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɞɢɫɩɟɪɫɿɸ (
2
V
). əɤɳɨ ɤɨɪɿɧɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɡ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ
(ɬɨɛɬɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɟ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ) ɩɪɢɣɧɹɬɢ ɡɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬ (
2
P
),
108
109
ɬɨ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɭ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɞɨ ɫɬɚɧɞɚɪɬɭ ɜ k-
ɬɿɣ ɫɬɟɩɟɧɹ ɛɭɞɟ ɧɚɡɢɜɚɬɢɫɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɢɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ.
Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɣɨɝɨ ɮɨɪɦɭɥɚ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
k
k
k
k
k
m
V
P
P
P
)(
2
.
Ɂɝɿɞɧɨ ɡ ɧɚɜɟɞɟɧɨɸ ɜɢɳɟ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɧɨɪɦɨɜɚɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɜɿɞ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɨ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɿɜ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɭ ɬɚɤɨɦɭ
ɜɢɝɥɹɞɿ:
;0
0
1
1
1
V
V
P
ɬ
;1
2
2
2
2
2
V
V
V
P
ɬ
;
3
3
3
V
P
ɬ
4
4
4
V
P
ɬ
.
ɉɨɫɥɿɞɨɜɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɥɹɝɚɽ ɭ
ɫɤɥɚɞɚɧɧɿ ɧɚ ɩɟɪɲɨɦɭ ɟɬɚɩɿ ɪɨɛɨɱɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ. ȼ ɨɫɬɚɧɧɿ ɡɚɧɨɫɹɬɶɫɹ
ɜɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɡ ɬɢɦ, ɳɨɛ ɭ ɩɨɞɚɥɶɲɨɦɭ ʀɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɬɢ
ɞɥɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɬɿɽʀ ɱɢ ɿɧɲɨʀ ɮɨɪɦɭɥɢ ɦɨɦɟɧɬɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
ɇɚɜɟɞɟɦɨ ɮɨɪɦɢ ɬɚɤɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɦɚɤɟɬɿɜ (ɬɚɛɥ. 35, 36).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 35
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ
ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ȼɚɪɿɚɧɬɚ,
ɿ
ɯ
ɑɚɫɬɨɬɚ
i
n
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
2
ɿ
ɯ
3
ɿ
ɯ
4
i
x
ɿɿ
ɩɯ
ii
nx
2
ii
nx
3
ii
nx
4
… … … … … … … … …
ȼɫɶɨɝɨ … ɯ ɯ ɯ … … … …
Ɍɚɛɥɢɰɹ 36
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ
ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ȼɚɪɿɚɧɬɚ,
ɿ
ɯ
ɑɚɫɬɨɬɚ,
i
n
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
)( ɯɯ
ɿ
2
)( ɯɯ
ɿ
3
)( ɯɯ
ɿ
4
)( ɯɯ
ɿ
iɿ
nɯɯ )(
iɿ
nɯɯ
2
)(
iɿ
nɯɯ
3
)(
iɿ
nɯɯ
4
)(
… … … … … … … … … …
ȼɫɶɨɝɨ ɯ ɯ ɯ ɯ ɯ … … … ..
Ɋɨɡɝɥɹɧɭɬɿ ɜɚɲɟ ɩɿɞɫɢɫɬɟɦɢ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɹɤ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. ɍ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɯ
ɿɧɨɞɿ ɡɜɟɪɬɚɸɬɶɫɹ ɞɨ ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɯ ɭɦɨɜɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ. Ɉɞɟɪɠɭɸɬɶ ɰɸ
ɮɨɪɦɭ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɩɪɢ
0
ɯȺ
, ɞɟ
0
ɯ
– ɞɟɹɤɚ ɜɚɪɿɚɧɬɚ (ɭɦɨɜɧɢɣ ɩɨɱɚɬɨɤ).
Ɂɚ
0
ɯ
ɩɪɢɣɦɚɽɬɶɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ, ɹɤɚ ɛɥɢɡɶɤɚ ɞɨ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɜɚɪɿɚɧɬɢ
)(ɯ
, ɬɨɛɬɨ ɞɨ ɜɚɪɿɚɧɬɢ, ɪɨɡɦɿɳɟɧɨʀ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɜ
ɫɟɪɟɞɢɧɿ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ. Ɍɚɤɚ ɜɚɪɿɚɧɬɚ , ɹɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɦɚɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲɭ
ɱɚɫɬɨɬɭ.
109
110
ɍɦɨɜɧɢɣ ɦɨɦɟɧɬ k-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
i
i
k
i
k
n
nxx
m
6
6
)(
0
.
əɤ ɜɢɞɧɨ ɡ ɮɨɪɦɭɥɢ, ɭɦɨɜɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɹɜɥɹɸɬɶ ɫɨɛɨɸ ɫɟɪɟɞɧɿ
ɪɿɡɧɢɯ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɿɡ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɜɚɪɿɚɧɬ ɜɿɞ ɭɦɨɜɧɨɝɨ ɩɨɱɚɬɤɭ
(ɧɟɫɩɪɚɜɠɧɶɨɝɨ ɧɭɥɹ). ɍɦɨɜɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨɝɨ, ɞɪɭɝɨɝɨ, ɬɪɟɬɶɨɝɨ ɿ
ɜɢɳɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɿɜ ɛɭɞɭɬɶ ɜɢɪɚɠɚɬɢɫɹ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ:
i
ii
n
nxx
m
6
6
1
0
1
)(
;
i
ii
n
nxx
m
6
6
2
0
2
)(
;
i
ii
n
nxx
m
6
6
3
0
3
)(
ɿ ɬ.ɞ.
ȼɿɞɡɧɚɱɢɦɨ, ɳɨ ɭɦɨɜɧɿ ɦɨɦɟɧɬɢ ɩɟɪɲɨɝɨ ɿ ɞɪɭɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɿɜ
ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶɫɹ ɞɥɹ ɫɩɪɨɳɟɧɧɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɿɜ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɿɣ ɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ.
Ⱦɥɹ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɡ ɪɿɜɧɢɦɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɚɦɢ
ɪɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɭɦɨɜɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɡɧɚɱɧɨ ɫɩɪɨɳɟɧɢɣ, ɹɤɳɨ
ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ (
0
ɯɯ
ɿ
) ɪɨɡɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɿɧɬɟɪɜɚɥɚ (ɿ). Ɂɧɚɸɱɢ, ɳɨ ɜ
ɨɫɧɨɜɿ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɥɟɠɢɬɶ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ ɩɪɨɝɪɟɫɿɹ, ɡɚ
ɚɧɚɥɨɝɿɽɸ ɦɨɠɧɚ ɫɩɪɨɫɬɢɬɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɭɦɨɜɧɢɯ ɦɨɦɟɧɬɿɜ ɿ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ
ɜɢɞɭ ɪɹɞɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
ȼɿɞɧɨɲɟɧɧɹ
ɿ
ɯɯ
ɿ
)(
0
ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɭɦɨɜɧɢɦɢ ɜɚɪɿɚɧɬɚɦɢ.
Ɉɫɬɚɧɧɿ, ɹɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɞɥɹ ɫɩɪɨɳɟɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ
ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɡɜɟɞɟɧɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɜɢɛɿɪɤɢ ɲɥɹɯɨɦ ɡɚɦɿɧɢ
ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɯ ɜɚɪɿɚɧɬ ɭɦɨɜɧɢɦɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ. ɇɟɨɛɯɿɞɧɨ ɡɧɚɣɬɢ ɭɦɨɜɧɿ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɝɨ ɪɹɞɭ
ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ 50 ɩɪɚɰɿɜɧɢɤɿɜ ɡɚ ɫɟɪɟɞɧɶɨɞɟɧɧɢɦ ɪɿɜɧɟɦ ɡɚɪɩɥɚɬɢ (ɬɚɛɥ. 37).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 37
Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɢɣ ɪɹɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ȼɚɪɿɚɧɬɚ,
ɿ
ɯ
ɑɚɫɬɨɬɚ,
i
n
22,50 3
26,50 8
30,50 25
34,50 10
38,50 4
Ɂɚ ɭɦɨɜɧɢɣ ɩɨɱɚɬɨɤ (ɧɟɫɩɪɚɜɠɧɿɣ ɧɭɥɶ -
0
x
) ɩɪɢɣɦɚɽɦɨ ɜɚɪɿɚɧɬɭ 30,5 (ɰɹ
ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɪɨɡɦɿɳɟɧɚ ɜ ɫɟɪɟɞɢɧɿ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ). Ɋɿɡɧɢɰɹ ɦɿɠ ɫɭɫɿɞɧɿɦɢ (ɛɭɞɶ-
ɹɤɢɦɢ) ɜɚɪɿɚɧɬɚɦɢ (ɿ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ 4. Ⱦɥɹ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ - ɰɟ
ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ.
ɍɦɨɜɧɚ ɜɚɪɿɚɧɬɚ ɛɭɞɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ
.2
4
5,305,22
01
1
ɿ
ɯɯ
ɯ
ɿ
110