Опря А.Т. Статистика (модульний варіант з програмованою формою контролю знань)
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ɨɞɢɧɢɰɶ. ɉɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɩɪɢ ɰɶɨɦɭ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɤɿɥɶɤɿɫɧɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ:
ɨɛɫɹɝɢ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (ɚɛɨ ɝɪɭɩ), ɫɟɪɟɞɧɿ ɚɛɨ ɫɭɦɚɪɧɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɬɿɽʀ ɱɢ
ɿɧɲɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɨɪɿɜɧɸɸɱɢ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿɜ ɫɬɚɧɨɦ
ɧɚ ɩɨɱɚɬɨɤ ɪɨɤɭ ɩɨ ɞɜɨɯ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɚɯ, ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɜɿɞɧɨɫɧɭ ɜɟɥɢɱɢɧɭ
ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
75,0
88
66
(ɚɛɨ 75 %), ɬɨɛɬɨ ɜ ɩɨɪɿɜɧɹɥɶɧɨɦɭ
ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɿ ɱɢɫɟɥɶɧɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿɜ ɧɚ 25 % ɦɟɧɲɚ, ɧɿɠ ɭ ɛɚɡɨɜɨɦɭ
ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɿ.
ȼɿɞɧɨɫɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɰɿʀ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ
ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɦɿɠ ɫɤɥɚɞɨɜɢɦɢ ɱɚɫɬɢɧɚɦɢ ɰɿɥɨɝɨ. Ɉɞɧɭ ɡ ɱɚɫɬɢɧ
ɰɿɥɨɝɨ ɩɪɢɣɦɚɸɬɶ ɡɚ ɛɚɡɭ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɿ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨ ɧɟʀ
ɜɫɿɯ ɿɧɲɢɯ ɱɚɫɬɢɧ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɩɟɪɟɩɢɫɭ ɧɚɫɟɥɟɧɧɹ
ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɸɬɶ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɧɚɪɨɞɠɟɧɶ ɯɥɨɩɱɢɤɿɜ ɿ ɞɿɜɱɚɬɨɤ (ɭ
ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɚ 100 ɧɚɪɨɞɠɟɧɢɯ ɩɟɜɧɨʀ ɫɬɚɬɿ). Ⱥɛɨ ɿɧɲɢɣ ɩɪɢɤɥɚɞ. Ɂɚ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ ɜɫɬɚɧɨɜɥɟɧɨ, ɳɨ ɜ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɚɯ
ɪɚɣɨɧɭ ɡ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɚ 100 ɱɨɥɨɜɿɤɿɜ ɩɪɚɰɸɽ 116 ɠɿɧɨɤ. Ɉɤɪɟɦɿ
ɚɜɬɨɪɢ ɫɯɢɥɶɧɿ ɜɜɚɠɚɬɢ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɰɿʀ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɫɬɪɭɤɬɭɪɢ, ɳɨ ɧɟ ɡɨɜɫɿɦ ɜɿɪɧɨ. Ⱥɞɠɟ ɜɨɧɢ ɧɟ ɞɚɸɬɶ
ɭɹɜɥɟɧɧɹ ɩɪɨ ɫɬɪɭɤɬɭɪɭ ɹɜɢɳ, ɚ ɥɢɲɟ ɜɢɡɧɚɱɚɸɬɶ, ɫɤɿɥɶɤɢ ɨɞɢɧɢɰɶ
ɩɟɜɧɨʀ ɱɚɫɬɢɧɢ ɰɿɥɨɝɨ ɩɪɢɩɚɞɚɽ ɧɚ ɿɧɲɭ ʀʀ ɱɚɫɬɢɧɭ, ɩɪɢɣɧɹɬɭ ɡɚ ɛɚɡɭ
ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɦɿɠ ɪɿɡɧɨɣɦɟɧɧɢɦɢ (ɪɿɡɧɨɹɤɿɫɧɢɦɢ) ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ
ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɿɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɿ, ɚɛɨ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦɢ ɤɨɟɮɿ
ɰɿɽɧɬɚɦɢ. ȼɨɧɢ ɜɿɞɨɛɪɚɠɭɸɬɶ ɫɬɭɩɿɧɶ
ɩɨɲɢɪɟɧɧɹ ɨɞɧɨɝɨ ɹɜɢɳɚ ɩɨɪɿɜɧɹɧɨ ɡ ɿɧɲɢɦɢ
ɜɡɚɽɦɨɩɨɜ'ɹɡɚɧɢɦɢ
ɹɜɢɳɚɦɢ. Ⱦɨ ɧɢɯ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɩɨɝɨɥɿɜ'ɹ ɬɜɚɪɢɧ ɭ
ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɚ 100 ɝɚ ɫɿɥɶɫɶɤɨɝɨɫɩɨɞɚɪɫɶɤɢɯ ɭɝɿɞɶ (ɪɿɥɥɿ, ɩɥɨɳɿ
ɡɟɪɧɨɜɢɯ). ȼɿɞɧɨɫɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɰɿɽʀ ɝɪɭɩɢ ɜɢɪɚɠɚɸɬɶ ɡɚ
ɜɠɞɢ
ɿɦɟɧɨɜɚɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. ɉɪɢ ɰɶɨɦɭ ɭ ʀɯ ɧɚɡɜɭ ɜɯɨɞɹɬɶ ɧɚɣɦɟɧɭɜɚɧɧɹ
ɨɞɢɧɢɰɶ ɜɢɦɿɪɭ ɨɛɨɯ ɩɨɪɿɜɧɸɜɚɧɢɯ ɨɡɧɚɤ.
ɋɥɿɞ ɜɿɞɡɧɚɱɢɬɢ, ɳɨ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ
ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɬɟɦɩ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ, ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɬɟɦɩ
ɩɪɢɪɨɫɬɭ, ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɩɪɨɰɟɧɬ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɩɥɚɧɭ ɬɨɳɨ), ʀɯ ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɸɬɶ
ɞɜɨɦɚ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ: 1) ɹɤ ɫɟɪɟɞɧɿ ɡ ɨɤɪɟɦɢɯ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ; 2) ɹɤ
ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɜɨɯ ɫɭɦɚɪɧɢɯ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ, ɳɨ ɜɤɥɸɱɚɸɬɶ
ɚɛɫɨɥɸɬɧɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɩɨɤɥ
ɚɞɟɧɿ ɜ ɨɫɧɨɜɭ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɨɤɪɟɦɢɯ
ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ
ɬɟɦɩɭ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɪɨɛɿɬɧɢɤɿɜ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɚ ɡɚ ɜɢɯɿɞɧɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ
ɬɚɛɥɢɰɿ 9.
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Ɍɚɛɥɢɰɹ 9
ɑɢɫɟɥɶɧɿɫɬɶ ɪɨɛɿɬɧɢɤɿɜ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɚ , ɱɨɥ.
ɉɨɤɚɡɧɢɤɢ Ɋɚɡɨɦ
ɍ ɬɨɦɭ ɱɢɫɥɿ
ɐɟɯ ʋ 1 ɐɟɯ ʋ 2 ɐɟɯ ʋ 3
ɋɟɪɟɞɧɶɨɪɿɱɧɚ ɱɢɫɟɥɶɧɿɫɬɶ:
ɛɚɡɢɫɧɢɣ ɪɿɤ 3600 1609 816 1175
ɩɨɬɨɱɧɢɣ ɪɿɤ 3900 2108 929 863
Ɍɟɦɩ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ, % 108,3 131,0 113,8 73,4
əɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɡɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɦɢ ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɶ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɯ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɜɿɞɧɨɫɧɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɞɢɧɚɦɿɤɢ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɱɢɫɟɥɶɧɨɫɬɿ
ɪɨɛɿɬɧɢɤɿɜ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 108,3 % (3900 : 3600)•100. ȼɿɞɧɨɫɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ
ɞɢɧɚɦɿɤɢ ɱɢɫɟɥɶɧɨɫɬɿ ɡɚ ɧɨɦɟɪɚɦɢ ɰɟɯɿɜ ɫɬɚɧɨɜɥɹɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ: ɩɨ
ɰɟɯɭ ʋ 1 – 131,0 %, ɰɟɯɭ ʋ 2 – 113,8, ɰɟɯɭ ʋ 3 – 73,4 %. ȼɿɞɧɨɫɧɢɣ
ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɞɢɧɚɦɿɤɢ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɱɢɫɟɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɛɿɬɧɢɤɿɜ ɦɨɠɧɚ
ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɬɢ ɿ ɹɤ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɡ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɞɢɧɚɦɿɤɢ ɡɚ
ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɦɢ ɧɨɦɟɪɚɦɢ ɰɟɯɿɜ, ɚ ɫɚɦɟ: (1,310ɯ1609 + 1,138ɯ816 +
0,734ɯ1175) : 3600 = 3898,8:3600 = 1,083, ɚɛɨ 108,3 %.
ɇɚɜɟɞɟɧɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɞɚɸɬɶ ɩɿɞɫɬɚɜɢ ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɨɤ, ɳɨ
ɫɟɪɟɞɧɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɽ ɡɚɝɚɥɶɧɢɦɢ ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ,
ɚɞɠɟ ɜɨɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɡɦɿɧɭ ɩɨ ɜɫɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ,
ɡɚɝɚɥɶɧɟ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɨɞɧɿɽʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɞɨ ɿɧɲɨʀ. Ɂɜɿɞɫɢ ɦɨɠɧɚ
ɡɪɨɛɢɬɢ ɜɢɫɧɨɜɨɤ, ɳɨ ɹɤ ɚɛɫɨɥɸ
ɬɧɿ, ɬɚɤ ɿ ɜɿɞɧɨɫɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɦɨɠɭɬɶ
ɛɭɬɢ ɫɟɪɟɞɧɿɦɢ. ȱ ɬɿ, ɿ ɞɪɭɝɿ ɧɚɞɿɥɟɧɿ ɪɹɞɨɦ ɜɚɠɥɢɜɢɯ ɡɚɝɚɥɶɧɢɯ
ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ, ɭ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɡ ɱɢɦ ɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɰɿ ɡ ɚɛɫɨɥɸɬɧɢɦɢ ɿ
ɜɿɞɧɨɫɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡ
ɧɢɤɚɦɢ ɜɿɞɨɤɪɟɦɥɸɸɬɶɫɹ ɹɤ ɨɫɨɛɥɢɜɢɣ ɜɢɞ ɫɟɪɟɞɧɿ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ. Ɉɫɬɚɧɧɿ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɿ ɭ ɪɨɡɞɿɥɿ.
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɡ ɧɚɜɟɞɟɧɨɝɨ ɜɢɩɥɢɜɚɽ, ɳɨ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɡɞɿɣɫɧɸɽɬɶɫɹ ɜ ɪɿɡɧɢɯ ɮɨɪɦɚɯ ɿ ɧɚɩɪɹɦɚɯ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨ ɪɿɡɧɢɯ ɡɚɜɞɚɧɶ ɿ ɧɚɩɪɹɦɿɜ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɜɢɞɢ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɋɨɡɝɥɹɧɭɬɿ
ɜɢɞɢ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɤɥɚɫɢɮɿɤɚɰɿʀ, ɫɯɟɦɚɬɢɱɧɨ
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɨʀ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɭ 2.
ɇɚɜɟɞɟɧɚ ɤɥ
ɚɫɢɮɿɤɚɰɿɹ ɧɚɨ
ɱɧɨ ɿɥɸɫɬɪɭɽ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɞɚɧɢɯ, ɹɤɿ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨ ɪɿɡɧɢɯ ɩɟɪɿɨɞɿɜ, ɪɿɡɧɢɯ ɨɛ'ɽɤɬɿɜ ɿ
ɪɿɡɧɢɯ ɬɟɪɢɬɨɪɿɣ.
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Ɋɢɫ. 2 Ʉɥɚɫɢɮɿɤɚɰɿɣɧɚ ɫɯɟɦɚ ɜɿɞɧɨɫɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
§ 4.3. ɋɟɪɟɞɧɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɹɤ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɪɹɞɭ
ɉɪɢ ɡɨɪɨɜɨɦɭ ɫɩɪɢɣɧɹɬɬɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɪɹɞɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɿ ʀɯ
ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɩɟɪɟɤɨɧɭɽɦɨɫɹ, ɳɨ ɪɨɡɦɿɪ ɜɚɪɿɚɧɬ ɦɚɽ ɞɟɹɤɿ ɡɚɝɚɥɶɧɿ
ɡɚɤɨɧɨɦɿɪɧɨɫɬɿ, ɹɤɿ ɩɪɨɹɜɥɹɸɬɶɫɹ ɜ ɬɨɦɭ, ɳɨ ʀɯ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɝɪɭɩɭɸɬɶɫɹ
ɧɚɜɤɨɥɨ ɰɟɧɬɪɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɩɪɢ
ɜɿɞɞɚɥɟɧɧɿ ɜɿɞ ɰɟɧɬɪɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɜɝɨɪɭ ɿ ɞɨɧɢɡɭ, ɚ ɩɪɢ ɝɪɚɮɿɱɧɨɦɭ
ɡɨɛɪɚɠɟɧɧɿ ɩɪɢ ɜɿɞɞɚɥɟɧɧɿ ɜɩɪɚɜɨ ɿ ɜɥɿɜɨ ɱɚɫɬɨɬɢ ɩɨɫɬɿɣɧɨ ɫɩɚɞɚɸɬɶ.
ȼɿɞɧɨɫɧɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ
ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ
ɨɞɧɨɣɦɟɧɧɢɯ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ
ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ
ɪɿɡɧɨɣɦɟɧɧɢɯ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ
ɡ
ɦɢɧɭɥɢɦ
ɪɨɤɨɦ
ɜɿɞɧɨɫɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɿɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɿ
ɡ
ɩɥɚɧɨɦ
ɭ
ɩɪɨɫɬɨɪɿ
ɱɚɫɬɢɧ ɿ
ɰɿɥɨɝɨ ɚɛɨ
ɱɚɫɬɢɧ
ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ
ɜɿɞɧɨɫɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɞɢɧɚɦɿɤɢ
ɜɿɞɧɨɫɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ
ɩɥɚɧ
ɭ
ɜɿɞɧɨɫɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɫɬɪɭɤɬɭɪɢ ɿ
ɤɨɨ
ɪ
ɞɢɧɚɰɿʀ
ɜɿɞɧɨɫɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɜɿɞɧɨɫɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɩɥɚɧɨɜɨɝɨ
ɡɚɜɞɚɧɧɹ
ɧɚɩɪɹɦɢ ɡɿɫɬɚɜɥɟɧɧɹ
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Ɍɟɧɞɟɧɰɿɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɨɡɧɚɤɢ ɝɪɭɩɭɜɚɬɢɫɹ ɧɚɜɤɨɥɨ ɰɟɧɬɪɚ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ɱɚɫɬɨɬ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɸ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɸ ɹɤɨɝɨ ɽ ɫɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ
)(ɯ
, ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɸ ɬɟɧɞɟɧɰɿɽɸ.
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɜɢɧɢɤɚɽ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɪɹɞɿɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
ɇɚɣɜɚɠɥɢɜɿɲɨɸ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɸ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɽ
ɫɟɪɟɞɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ɜɿɞɨɛɪɚɠɭɸɬɶ ɨɛ'ɽɤɬɢɜɧɭ
ɧɚɹɜɧɿɫɬɶ ɩɟɜɧɢɯ ɭɦɨɜ, ɹɤɿ ɩɪɨɹɜɥɹɸɬɶɫɹ ɜ ɤɨɠɧɿɣ ɨɞɢɧɢɰɿ
ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ; ɜɨɧɢ ɞɚɸɬɶ ɭɡɚɝɚɥɶɧɸɸɱɭ ɤɿɥɶɤɿɫɧɭ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɦ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɹɦ ɨɞɧɨɬɢɩɧɢɯ ɹɜɢɳ ɩɨ
ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɿɣ ɨɡɧɚɰɿ. ɋɟɪɟɞɧɹ ɭɡɚɝɚɥɶɧɸɽ ɚɛɨ ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɜɟ
ɫɶ ɞɿɚɩɚɡɨɧ
ɞɚɧɢɯ ɿ ɽ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɚɛɫɬɪɚɝɭɜɚɧɧɹ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɟɣ, ɳɨ ɩɪɢɬɚɦɚɧɧɿ
ɨɞɢɧɢɰɹɦ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ. ȼ ɧɿɣ ɧɿɜɟɥɸɸɬɶɫɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ,
ɜɥɚɫɬɢɜɿ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɨɡɧɚɤɢ, ɹɤɚ ɜɢɜɱɚɽɬɶɫɹ, ɚ ɬɚɤɨɠ
ɜɿɞɨɛɪɚɠɚɸɬɶɫɹ ɡɚɝɚɥɶɧɿ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɮɨɪɦɭɸɬɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɭ
ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ.
ɋɟɪɟɞɧɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɨɞɟɪɠ
ɚɧɿ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿ
ɛɚɝɚɬɨɪɚɡɨɜɢɯ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɶ ɨɞɧɿɽʀ ɣ ɬɿɽʀ ɠ ɨɡɧɚɤɢ (ɜɟɥɢɱɢɧɢ). ɋɟɪɟɞɧɿ
ɨɞɟɪɠ
ɭɸɬɶ ɿ ɩɪɢ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɧɿ ɛɚɝɚɬɶɨɯ ɨɞɧɨɪɿɞɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ.
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽ ɨɛɨɜ'ɹɡɤɨɜɿɫɬɶ ɨɛɥɿɤɭ ɭɦɨɜ
ɜɢɧɢɤɧɟɧɧɹ ɤɨɠɧɨʀ ɿɧɞɢɜɿɞɭɚɥɶɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ, ɿɧɚɤɲɟ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ
ɦɨɠɭɬɶ ɩɪɢɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɮɿɤɬɢɜɧɢɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ. ɓɨɛ ɫɟɪɟɞɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
ɜɿɞɛɪɚɠɭɜɚɥɚ ɬɢɩɨɜɟ ɿ ɡɚɝɚɥ
ɶɧɟ ɞɥɹ ɜɫɿɽʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɨɫɬɚɧɧɹ ɩɨɜɢɧɧɚ
ɛɭɬɢ ɹɤɿɫɧɨ ɨɞɧɨɪɿɞɧɨɸ.
ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɪɨɡɪɿɡɧɹɽ ɞɜɚ ɬɢɩɢ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɟɥɢɱɢɧ: ɨɛ'ɽɦɧɿ ɿ
ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɿ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɩɨɞɿɥɹɽ ɨɛ'ɽɦɧɿ ɫɟɪɟɞɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɧɚ ɜɢɞɢ: 1) ɫɟɪ
ɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ; 2) ɫɟɪɟɞɧɹ
ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ; 3) ɫɟɪɟɞɧɹ ɝɚɪɦɨɧɿɣɧɚ; 4) ɫɟɪɟɞɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚ
(ɤɭɛɿɱɧɚ) ɿ ɬ
.ɞ.
ɇɚɡɜɚɧɿ ɜɢɳɟ ɜɢɞɢ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɦɨɠɧɚ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɡ ɮɨɪɦɭɥɢ
ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ. Ⱦɥɹ ɧɟɡɝɪɭɩɨɜɚɧɢɯ ɞɚɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
.
k
ɤ
n
ɯ
ɯ
6
əɤɳɨ ɞɚɧɿ ɡɝɪɭɩɨɜɚɧɿ ɿ ɦɚɸɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɱɚɫɬɨɬɢ (n
i
), ɫɟɪɟɞɧɹ
ɫɬɟɩɟɧɟɜɚ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɡɜɚɠɟɧɨʀ:
,
k
ɿ
ɿ
k
ɿ
n
nɯ
ɯ
6
6
ɞɟ
ɯ
– ɫɬɟɩɟɧɟɜɚ ɫɟɪɟɞɧɹ;
74
75
k – ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɫɬɟɩɟɧɹ, ɳɨ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɜɢɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ;
ɯ – ɜɚɪɿɚɧɬɚ;
n – ɱɚɫɬɨɬɚ (
i
nn 6
).
ɋɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ. əɤɳɨ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɩɨɫɬɚɜɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤ = 1, ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɫɟɪɟɞɧɸ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɭ:
ɚ) ɩɪɨɫɬɭ (ɧɟɡɜɚɠɟɧɭ)
;
n
ɯ
ɯ
6
ɛ) ɡɜɚɠɟɧɭ
i
iɿ
n
nɯ
ɯ
6
6
.
Ɍɚɤ, ɹɤɳɨ ɽ ɯ
1,
ɯ
2,
ɯ
3
, …, ɯ
n
,ɬɨ ɫɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ ɩɪɨɫɬɚ
ɜɢɪɚɯɨɜɭɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
.
...
321
n
ɯɯɯɯ
ɯ
n
ɍ ɪɨɡɝɨɪɧɭɬɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɮɨɪɦɭɥɚ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ
ɡɜɚɠɟɧɨʀ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
.
...
...
321
33211
2
n
nn
nnnn
nɯnɯnxnɯ
ɯ
ɉɪɢɤɥɚɞ. Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɨ ɜɢɪɨɛɧɢɰɬɜɨ ɜɚɥɨɜɨʀ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ
ɫɟɪɟɞɧɸ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɭ. Ⱦɚɧɿ ɛɟɪɟɦ ɡ ɬɚɛɥɢɰɿ 10.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 10
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
ȼɢɪɨɛɥɟɧɨ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ,
ɦɥɧ.ɝɪɧ., ( ɯ
ɿ
)
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ (n
ɿ
)
ɯ
ɿ
n
ɿ
17,6 7 123,2
21,6 11 237,6
25,6 18 460,8
29,6 9 266,4
33,6 5 168,0
37,6 5 188,0
41,6 2 83,2
ȼɫɶɨɝɨ 57 1527,2
Ɉɞɟɪɠɭɽɦɨ:
8,26
57
2,1527
6
6
ɿ
ɿɿ
n
nɯ
ɯ
.
ɋɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ ɹɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɦɚɽ ɪɹɞ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ʀɯ.
1. ȼɟɥɢɱɢɧɚ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ ɧɟ ɡɦɿɧɸɽɬɶɫɹ, ɹɤɳɨ
ɱɚɫɬɨɬɢ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɱɚɫɬɨɫɬɹɦɢ.
2. əɤɳɨ ɞɨ ɜɚɪɿɚɧɬ ɪɹɞɭ ɞɨɞɚɬɢ (ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ) ɨɞɧɭ ɣ ɬɭ ɠ
ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɬɨ ɫɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ, ɨɛɱɢɫɥɟɧɚ ɡ ɧɨɜɢɯ (ɡɦɿɧɟɧɢɯ)
ɜɚɪɿɚɧɬ, ɡɛɿɥɶɲɢɬɶɫɹ (ɚɛɨ ɡɦɟɧɲɢɬɶɫɹ) ɧɚ ɰɸ ɠ ɜɟɥɢɱɢɧɭ.
75
76
3. əɤɳɨ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɪɹɞɭ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɨɞɧɭ ɬɭ ɠ
ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɬɨ ɫɟɪɟɞɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ ɡɿ ɡɦɿɧɟɧɢɯ ɜɚɪɿɚɧɬ ɛɭɞɟ
ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɛɿɥɶɲɨɸ ɚɛɨ ɦɟɧɲɨɸ ɜ ɫɬɿɥɶɤɢ ɠ ɪɚɡɿɜ.
4. Ⱥɥɝɟɛɪɚʀɱɧɚ ɫɭɦɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɨɤɪɟɦɢɯ ɜɚɪɿɚɧɬ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ ɪɹɞɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
5. ɋɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ ɡɚɜɠɞɢ
ɦɟɧɲɚ, ɧɿɠ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɜɿɞ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ ɿɧɲɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ.
ɉɟɪɟɥɿɱɟɧɿ ɜɢɳɟ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ
ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɜɚɬɢ ɫɩɪɨɳɟɧɿ ɩɪɢɣɨɦɢ (ɫɩɨɫɨɛɢ) ʀʀ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ:
ɰɿ ɩɢɬɚɧɧɹ ɞɨɤɥɚɞɧɨ ɜɢɜɱɚɸɬɶɫɹ ɜ ɤɭɪɫɿ ɡɚɝɚɥ
ɶɧɨʀ ɬɟɨɪɿʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ.
ɋɟɪɟɞɧɹ ɝɚɪɦɨɧɿɣɧɚ. Ɉɞɟɪɠɭɸɬɶ ʀʀ ɩɪɢ ɩɿɞɫɬɚɧɨɜɰɿ ɭ ɮɨɪɦɭɥɭ
ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ k = - 1.
ɯ
n
ɯ
n
ɯ
ɯ
ɝɦ
11
1
1
1
6
6
6
.
ɋɟɪɟɞɧɹ ɝɚɪɦɨɧɿɣɧɚ ɡɜɚɠɟɧɚ ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
ɯ
w
w
ɯ
ɝɦ
6
6
əɤ ɜɢɞɧɨ, ɫɟɪɟɞɧɹ ɝɚɪɦɨɧɿɣɧɚ ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɨɛɟɪɧɟɧɭ ɜɟɥɢɱɢɧɭ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ ɡ ɨɛɟɪɧɟɧɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɞɚɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
ɉɪɢɤɥɚɞ. Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɨ ɫɨɛɿɜɚɪɬɿɫɬɶ ɨɞɢɧɢɰɿ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ ɿ ɡɚɝɚɥɶɧɿ ɜɢɬɪɚɬɢ
ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɫɟɪɟɞɧɸ ɝɚɪɦɨɧɿɣɧɭ ɡɜɚɠɟɧɭ (ɬɚɛɥ. 11).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 11
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ
ɋɨɛɿɜɚɪɬɿɫɬɶ ɨɞɢɧɢɰɿ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ,
ɝɪɧ. (ɯ
ɿ
)
Ɂɚɝɚɥɶɧɿ ɜɢɬɪɚɬɢ, ɝɪɧ.
(w)
ɯ
w
20 4000 200
25 5000 200
30 9000 300
ɯ
w6
=18000
ɯ
w
6
=700
26
700
18000
30
9000
25
5000
20
4000
900050004000
6
6
n
w
w
ɯ
ɝɦ
ɝɪɧ.
ɉɪɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɝɚɪɦɨɧɿɣɧɨʀ ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɱɧɨ ɫɩɪɨɫɬɢɬɢ
ɨɛɱɢɫɥɸɜɚɥɶɧɭ ɪɨɛɨɬɭ, ɹɤɳɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɜ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɯ
ɬɚɛɥɢɰɸ ɨɛɟɪɧɟɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
76
77
ɋɟɪɟɞɧɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ. ɐɟɣ ɜɢɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɨɬɪɢɦɭɽɦɨ, ɹɤɳɨ ɭ
ɮɨɪɦɭɥɭ ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɩɿɞɫɬɚɜɢɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ k = 0.
f
f
¸
¹
·
¨
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§
6
6
6
1
1
0
1
0
0
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n
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ɯ
n
ɯ
ɯ
ɤ
ɤ
.
Ɋɨɡɤɪɢɬɬɹ ɧɟɜɢɡɧɚɱɟɧɨɫɬɿ ɰɶɨɝɨ ɜɢɞɭ ɞɨɫɹɝɚɽɬɶɫɹ
ɥɨɝɚɪɢɮɦɭɜɚɧɧɹɦ ɨɛɨɯ ɱɚɫɬɢɧ ɪɿɜɧɨɫɬɟɣ
ɤ
ɤ
n
ɯ
ɯ
.Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɦɚɽɦɨ:
n
nx
ɩx
ɤ
x
ɤ
ɤ
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)ln(ln
1
ln
6
6
.
Ⱦɢɮɟɪɟɧɰɿɸɸɱɢ ɩɨ ɡɦɿɧɧɿɣ ɤ, ɨɞɟɪɠɭɽɦɨ:
;
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1
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)(lnlim
n
x
x
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x
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ln
6
.
ɉɨɬɟɧɰɿɸɸɱɢ ɨɫɬɚɧɧɿɣ ɜɢɪɚɡ, ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɫɟɪɟɞɧɸ:
n
nɝɪ
ɯxxɯɯ uuuu ...
321
.
Ɉɬɠɟ, ɫɟɪɟɞɧɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɤɨɪɿɧɶ ɫɬɟɩɟɧɹ ɱɢɫɥɚ
ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ (n) ɡ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɚɧɢɯ ɱɢɫɟɥ : x
1
,ɯ
2,
ɯ
3
, …, ɯ
n
. ɉɿɫɥɹ
ɥɨɝɚɪɢɮɦɭɜɚɧɧɹ ɦɚɽɦɨ:
n
xxxx
x
n
lg...lglglg
lg
321
.
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚɧɬɢɥɨɝɚɪɢɮɦɭ
xlg
.
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɫɟɪɟɞɧɸ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɭ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɹɤ
ɚɧɬɢɥɨɝɚɪɢɮɦ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ ɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɿɜ ɞɚɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
ɐɟɣ ɜɢɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɸɬɶ ɩɪɢ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ
ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɡɚ ɩɟɜɧɢɣ ɩɟɪɿɨɞ ɜ ɪɹɞɚɯ ɞɢɧɚɦɿɤɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ. Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɩɪɨ ɱɢɫɟɥɶɧɿɫɬɶ ɩɪɚɰɸɸɱɢɯ ɡɚ 6 ɪɨɤɿɜ ɡɧɚɣɬɢ
ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɳɨɪɿɱɧɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɡɚ ɩɟɪɿɨɞ 1997-2002 ɪɪ. ɉɪɨɦɿɠɧɿ
ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɧɚɜɟɞɟɧɿ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ 12.
Ɍɚɛɥɢɰɹ 12
ȼɢɯɿɞɧɿ ɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɨʀ
Ɋɿɤ
ɑɢɫɟɥɶɧɿɫɬɶ
ɩɪɚɰɸɸɱɢɯ
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬ
ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ, ɤ
Ʌɨɝɚɪɢɮɦ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ
1997 - -
1998 670 1,07545 0.0315
1999 728 I.08657 0,0363
2000 800 1,09891 0,0411
2001 883 1,10375 0,0429
2002 906 1.02605 0,0111
ɋɭɦɚ ɯ ɯ 0,1629
77
78
Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ 12 ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɫɟɪɟɞɧɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɿɜ ɱɢɫɥɨɜɢɯ
ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ:
;0326,05:1629,0lg ɤ
077,10326,0lg ant
.
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɪɨɡɪɚɯɭɧɨɤ ɫɟɪɟɞɧɶɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɱɢɫɟɥɶɧɨɫɬɿ
ɩɪɚɰɸɸɱɢɯ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɜ ɬɚɤɿɣ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɫɬɿ:
0326,0
5
0111,00429,00411,00363,00315,0
026,1104,1099,1087,1075,1lg
5
uuuuɄ
;
077,10326,0lg antɄ
.
ɋɟɪɟɞɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚ. ɉɪɢ ɩɿɞɫɬɚɧɨɜɰɿ ɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ k = +2 ɨɞɟɪɠɭɽɦɨ ɫɟɪɟɞɧɸ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɭ. Ɏɨɪɦɭɥɚ ʀʀ ɦɚɽ
ɧɚɫɬɭɩɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ:
ɩɪɢ ɧɟɡɜɚɠɟɧɿɣ ɮɨɪɦɿ –
n
ɯxxx
n
ɯ
ɯ
n
ɤɜ
22
3
2
2
2
1
2
...
6
;
ɩɪɢ ɡɜɚɠɟɧɿɣ ɮɨɪɦɿ –
n
nni
i
iɿ
ɤɜ
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nɯnxnxnx
n
nɯ
x
6
6
...
...
321
2
3
2
32
2
2
2
1
2
.
ɉɪɚɤɬɢɱɧɨ ɫɟɪɟɞɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜ
ɬɢɯ ɜɢɩɚɞɤɚɯ, ɤɨɥɢ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɪɹɞɭ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ
ɮɚɤɬɢɱɧɢɯ ʀɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɿɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ (ɚɛɨ ɜɿɞ ɹɤɨʀɫɶ
ɧɨɪɦɚɬɢɜɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ).
ɉɪɢɤɥɚɞ. ɉɪɢ ɡɦɿɧɧɿɣ ɧɨɪɦɿ ɜɢɪɨɛɿɬɤɭ ɬɪɚɤɬɨɪɚ ɧɚ ɨɪɚɧɰɿ 7 ɝɚ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ
ɫɟɪɟɞɧɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɮɚɤɬɢɱɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɜɢɪɨɛɿɬɤɭ ɩɪɨɬɹɝɨɦ
ɪɨɛɨɱɨɝɨ ɬɢɠɧɹ (ɬɚɛɥ. 13).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 13
ȼɢɯɿɞɧɿ ɬɚ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɞɚɧɿ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨʀ
Ɏɚɤɬɢɱɧɿ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ
ɜɢɪɨɛɿɬɤɭ ɬɪɚɤɬɨɪɚ,
ɝɚ (ɯ
ɿ
)
ȼɿɞɯɢɥɟɧɧɹ ɜɿɞ
ɧɨɪɦɢ, ɝɚ
(ɯ
ɿ
-ɯ
ɧ
)=Ɇ
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɬɪɚɤɬɨɪɿɜ,
n
i
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
Ɇ
2
Ɇ
2
n
i
6 -I 1 1 1
7 0 5 0 0
8 1 6 1 6
10 3 3 9 27
12 5 6 25 150
ȼɫɶɨɝɨ ɏ 21 ɯ 184
78
79
Ɂɚ ɞɚɧɢɦɢ ɬɚɛɥɢɰɿ 13 ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨʀ
ɡɜɚɠɟɧɨʀ
96,276,8
21
184
2
|
6
6
i
ɿɿ
ɤɜ
n
nɯ
ɯ
.
Ɉɬɠɟ ɫɟɪɟɞɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɮɚɤɬɢɱɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɜɢɪɨɛɿɬɤɭ
ɬɪɚɤɬɨɪɚ ɧɚ ɨɪɚɧɰɿ ɜɿɞ ɧɨɪɦɢ ɜɢɪɨɛɿɬɤɭ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ 3 ɝɚ (2,96).
Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɪɿɡɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ 14.
Ɉɡɧɚɤɢ, ɹɤɿ ɜɢɜɱɚɸɬɶɫɹ, ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɩɟɪɜɢɧɧɢɦɢ ɿ
ɜɬɨɪɢɧɧɢɦɢ. Ⱦɨ ɩɟɪɜɢɧɧɢɯ ɜɿɞɧɨɫɹɬɶɫɹ ɬɿ, ɹɤɿ ɛɟɡɩɨɫɟɪɟɞɧɶɨ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɿ ɨɛ'ɽɤɬɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɭɪɨɠɚɣɧɿɫɬɶ,
ɫɨɛɿɜɚɪɬɿɫɬɶ ɬɨɳɨ. ȼɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɜɨɯ ɱɢ ɞɟɤɿɥɶɤɨɯ ɩɟɪɜɢɧɧɢɯ ɨɡɧɚɤ
ɨɛɭɦɨɜɥɸɽ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɜɬɨɪɢɧɧɨɫɬɿ – ʀɯ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɬɨɪɢɧɧɢɦɢ. Ɂɚ
ɮɨɪɦɨɸ ɨɡɧɚɤɢ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɩɪɹɦɿ ɿ ɨɛɟɪɧɟɧɿ. ɇɚɡɜɚɧɿ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ
ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɨɡɧɚɤ ɜ
ɢɡɧɚɱɚɸɬɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɭ ɪɨɡɦɿɪɧɿɫɬɶ (ɬɚɛɥ. 14).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 14
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɪɿɡɧɢɯ ɬɢɩɿɜ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
ɏɚɪɚɤɬɟɪ
ɨɡɧɚɤɢ
Ɏɨɪɦɚ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
(ɨɡɧɚɤɢ)
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ
ɪɨɡɦɿɪɧɿɫɬɶ
(ɩɨɤɚɡɧɢɤ
ɫɬɟɩɟɧɹ ɜ
ɮɨɪɦɭɥɿ
ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ)
ȼɢɞ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
Ɏɨɪɦɚ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
Ɏɨɪɦɭɥɚ
ɉɟɪɜɢɧɧɢɣ Ɉɛɟɪɧɟɧɚ -1
Ƚɚɪɦɨ-
ɧɿɣɧɚ
ɉɪɨɫɬɚ
x
n
ɯ
ɝɦ
1
6
ȼɬɨɪɢɧɧɢɣ Ɉɛɟɪɧɟɧɚ -1
Ƚɚɪɦɨ-
ɧɿɣɧɚ
Ɂɜɚɠɟɧɚ
x
w
w
x
ɝɦ
6
6
ȼɬɨɪɢɧɧɢɣ ɉɪɹɦɚ 0
Ƚɟɨɦɟɬ-
ɪɢɱɧɚ
ɉɪɨɫɬɚ
n
n
ɝɪ
ɯxɯɯx uuu ....
321
ɉɟɪɜɢɧɧɢɣ ɉɪɹɦɚ 1
Ⱥɪɢɮ-
ɦɟɬɢɱɧɚ
ɉɪɨɫɬɚ
n
ɯ
ɯ
ɚ
6
ȼɬɨɪɢɧɧɢɣ ɉɪɹɦɚ 1
Ⱥɪɢɮɦɟɬ
ɢɱɧɚ
Ɂɜɚɠɟɧɚ
i
ii
a
n
nx
x
6
6
ɉɟɪɜɢɧɧɢɣ ɉɪɹɦɚ 2
Ʉɜɚɞɪɚɬɢ
ɱɧɚ
ɉɪɨɫɬɚ
n
ɯ
ɯ
ɤɜ
2
6
ȼɬɨɪɢɧɧɢɣ ɉɪɹɦɚ 2
Ʉɜɚɞɪɚɬɢ
ɱɧɚ
Ɂɜɚɠɟɧɚ
i
ɿɿ
ɤɜ
n
nɯ
x
6
6
2
79
80
Ɋɿɡɧɿ ɜɢɞɢ ɫɟɪɟɞɧɿɯ, ɪɨɡɪɚɯɨɜɚɧɿ ɞɥɹ ɨɞɧɨɝɨ ɿ ɬɨɝɨ ɠ
ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ, ɪɿɡɧɹɬɶɫɹ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ ɡɚ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ. ɉɪɢ ɰɶɨɦɭ
ɧɚɣɦɟɧɲɨɸ ɛɭɞɟ ɫɟɪɟɞɧɹ ɝɚɪɦɨɧɿɣɧɚ, ɧɚɣɛɿɥɶɲɨɸ – ɫɟɪɟɞɧɹ
ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚ. ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɱɧɿɫɬɶ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨɝɨ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɭ ɪɨɡɪɿɡɿ ɜɢɞɿɜ
ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɡ «ɩɪɚɜɢɥɚ ɦɚɠɨɪɚɧɬɧɨɫɬɿ» ɿ ɡɭɦɨɜɥɸɽɬɶɫɹ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɭ ɮɨɪɦɭɥɿ ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ (ɬɚɛɥ. 15).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 15
Ɇɚɠɨɪɚɧɬɧɿɫɬɶ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɪɨɡɦɿɪɧɿɫɬɶ (ɩɨɤɚɡɧɢɤ
ɫɬɟɩɟɧɹ ɜ ɮɨɪɦɭɥɿ ɫɬɟɩɟɧɟɜɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ)
ȼɢɞ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ
ɉɪɢɦɿɬɤɚ
-1 Ƚɚɪɦɨɧɿɣɧɚ Ɇɿɧɿɦɚɥɶɧɚ
0 Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɧɚ
1 Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɱɧɚ
2 Ʉɜɚɞɪɚɬɢɱɧɚ Ɇɚɤɫɢɦɚɥɶɧɚ
ɤɜɚɝɪɝɦ
ɯɯɯɯ ¢¢¢
ɍ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɦɭ ɿ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɦɭ ɪɹɞɚɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɛɱɢɫɥɸɸɬɶɫɹ
ɬɚɤ ɧɚɡɜɚɧɿ ɩɨɪɹɞɤɨɜɿ (ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɿ) ɫɟɪɟɞɧɿ – ɦɨɞɚ ɿ ɦɟɞɿɚɧɚ.
Ɇɨɞɚ – ɰɟ ɜɚɪɿɚɧɬɚ, ɹɤɚ ɧɚɣɱɚɫɬɿɲɟ ɡɭɫɬɪɿɱɚɽɬɶɫɹ ɜ ɞɚɧɨɦɭ
ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɦɭ ɪɹɞɿ. Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɞɚ
ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɡɚ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɜɚɪɿɚɧɬ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɚɪɿɚɧɬɿ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɨɸ
ɱɚɫɬɨɬɨɸ. Ⱦɥɹ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɪɿɜɧɢɦɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɚɦɢ
ɿɧɬɟɪɜɚɥ, ɳɨ ɦɿɫɬɢɬɶ ɦɨɞɭ (ɦɨɞɚɥɶɧɢɣ), ɜɢɡɧɚɱ
ɚɽɬɶɫɹ ɩɨ ɧɚɣɛɿɥɶɲɿɣ
ɱɚɫɬɨɬɿ. ɉɪɢ ɧɟɪɿɜɧɢɯ ɿɧɬɟɪɜɚɥɚɯ ɦɨɞɚ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɡɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ
ɧɚɣɛɿɥɶɲɨʀ ɳɿɥɶɧɨɫɬɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
Ⱦɥɹ ɜɢɩɚɞɤɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡ ɪɿɜɧɢɦɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɚɦɢ ɦɨɞɚ (Ɇɨ)
ɜɧɭɬɪɿɦɨɞɚɥɶɧɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
,
)()(
10010
10
min0
0
ɦɦmɦ
ɦɦɨ
ɦɨ
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ɯ
– ɧɢɠɧɹ ɝɪɚɧɢɰɹ ɦɨɞɚɥɶɧɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ; ɿ- ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚ
ɪɿɡɧɢɰɹ (ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ);
0ɦ
n
– ɱɚɫɬɨɬɚ ɦɨɞɚɥɶɧɨɝɨ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ;
10ɦ
n
– ɱɚɫɬɨɬɚ ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ, ɳɨ ɩɟɪɟɞɭɽ ɦɨɞɚɥɶɧɨɦɭ;
10ɦ
n
ɱɚɫɬɨɬɚ
ɿɧɬɟɪɜɚɥɭ, ɧɚɫɬɭɩɧɨɝɨ ɡɚ ɦɨɞɚɥɶɧɢɦ.
Ɇɟɞɿɚɧɚ – ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ, ɹɤɚ ɩɪɢɯɨɞɢɬɶɫɹ ɧɚ
ɫɟɪɟɞɢɧɭ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ. əɤɳɨ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɱɥɟɧɿɜ ɪɹɞɭ ɩɚɪɧɚ, ɬɨ
ɦɟɞɿɚɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɿɣ ɿɡ ɞɜɨɯ ɫɟɪɟɞɢɧɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ
ɜɚɪɿɚɧɬ.
Ⱦɥɹ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɦɟɞɿɚɧɢ ɿɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɜɚɪɿɚɰɿɣɧɨɝɨ ɪɹɞɭ
ɡɧɚɯɨɞɹɬɶ ɿɧɬɟɪɜɚɥ, ɹɤɢɣ ɦɿɫɬɢɬɶ ɦɟɞɿɚɧɭ, ɲɥɹɯɨɦ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ
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