Обработка материалов давлением. Сборник научных трудов. №19

Подождите немного. Документ загружается.

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

121

a) b)

Fig. 1. The examples of the final orientation of the cementite lamellas in variant A6 (a) and

B6 (b).

Fig. 2. The relative change of an ideal resistance Δρ

/ρ proportional to the degree of orienta-

tion of cementite lamellas.

The analysis of experimental result shows: the change of a drawing direction in the last draw

doesn’t influence on tensile stress and yield stress in statistically significant way but has an essential

influence on number of torsions, number of bends and especially on fatigue strength N (from 14,5

to 35,6%). The research of a fatigue durability of wires carried out in the rotary bending conditions

on the machine built according to the machine scheme DRABI SCHENCK.

The change of the mechanical properties of the wire is connected with microstructures of the

wire and especially with the orientation of the cementite lamellas (Fig. 1). In the experimental

research the degree of orientation of the cementite lamellas have been determined for both variants

with the use of the measurement method of the electrical resistance at the ambient and liquid

nitrogen temperature. The relative change of an ideal electric resistance (Δρi/ρ) proportional to the

degree of the orientation of cementite lamellas show the increase of electric resistance for variant

B6 about 8.6% (Fig. 2). It exemplifies importance of analysis the pearlitic colony deformation

during drawing.

The wire drawing processes is modeled in two levels: steady-state solution using the 2-

dimensional rigid-plastic finite element method (macro-level) and a modeling of the microstructure

change (micro-level).

Theoretical analysis of drawing process was performed with a help of the Drawing 2d

software [10], which has been elaborated especially for the solution of the drawing problem. In this

FEM model a boundary problem has been solved considering other phenomena: plastic

deformation, heat transfer, wire heating due to deformation and friction. In the model, the strain

tensor distribution obtained in previous pass is transferred to the next one. For obtaining the

solution of the boundary problem, the variation principle of rigid-plastic theory of plasticity is used:

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

122

∫∫∫∫

ττ

σ−ξ+ξσ=

FVV

dFvdVσdV)(J

, (1)

where

σ – intensity of stresses,

– strain rate, V – volume,

σ – mean stress,

–

volumetric strain rate; F – the metal contact area with the die,

– the stress of the friction,

v –

the metal slip velocity along the surface of the die.

The components of the deformation tensor

are calculated through integration of each

component of the strain rate tensor along the flow line:

∑

∫

τΔξ=ττξ=ε

)k(

ijij

d)( , (2)

where

)k(

τΔ – the current time increment,

)k(

ξ – the values of the components of the strain

rate tensor determined according to the follow equation:

ijn

)k(

N ξ=ξ

∑

, (3)

where N – the finite element shape functions,

ijn

– the nodal values of the components of

the strain rate tensor for the current finite element, nnd – the number of nodes in element.

The model of the pearlitic colony deformation

The micro-level model of the grain deformation process based on the following

assumptions:

− the grain was considered as a multi-phase representative volume element (RVE).

Properties of phase (ferrite and cementite) are presented by the flow curves;

− boundary conditions (nodes velocities on the grain boundary) for micro-level problem

were obtained from the macro-model;

− for numerical imposition of the boundary conditions on grain boundary the penalty

method is used. The alteration of the actual methods is based on an idea of the non-rigid boundary

conditions for the RVE and increases the numerical stability and accuracy of the solution.

For obtaining the solution of the boundary problem for the RVE, the modified variation

principle is used [11-12].

On the Fig.3 the generated meshes for the ratio between the thickness of cementite lamellas

and the ferrite layer was shown. The position of RVE on wire surface was considered (Fig. 3, b).

a) b)

Fig. 3. Initial cementite lamellas orientation (the angle between the cementite lamellas and

the drawing direction is 450.

The results of drawing process simulation shown on Fig. 4 (on macro level) and on Fig.5 (on

micro level). For macro level the distribution of shear strain (Fig. 4) according simulation variants

shown in table 3 was analyzed. We can observe the increase of shear strain as friction coefficient

and deformation rises. The influence of those factors was shown in Fig. 5 and in table 3. The

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

123

increase of friction coefficient influence on the increase of lamellas inclination angle. The increase

of elongation influence on decrease of lamellas inclination angle and increase the degree of lamellas

orientation in the direction of drawing.

Table 3

Condition and results of numerical simulation

Deformation

Angle between

cementite lamellas

and drawing direction

1 0,06 0,19 31

2 0,02 0,19 27

3 0,06 0,25 25

4 0,02 0,25 23

1) 2)

3) 4)

Fig. 4. The results of the simulation of the drawing process on macro- level according

table 3.

1) 2) 3) 4)

Fig. 5. The results (distribution of a yield stress) of the simulation of the cementite lamellas

deformation in pearlitic colony according table 3.

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

124

Conclusions

The experimental investigation shown the influences of change of a drawing direction on the

decrease of drawing stresses what can cause of the increase of fatigue strength of wires drawn

according variant B6. However the changes of a structure of a surface layer and a geometrical

structure of a wire surface resulted in a decrease of the degree of orientation of cementite lamellaes

and higher flexability of a wire surface on initiation of a fatigue cracks. The increase of a gometrical

factor of surface have dominant effect and caused a decrease of the fatigue strength of wires.

A model of two-phase grain deformation for wire drawing is proposed. The conception of

simulation of the boundary conditions for the representative volume element is based on the penalty

method and uses a solution of the problem on macro-level.

The friction coefficient and deformation are influenced from the change of the cementite

lamellas orientation during the drawing.

Acknowledgments

The work was financed by The State Committee for Scientific Research (KBN) Ministry of

Education and Science of Poland, grant 3T08B04630.

REFERENCES

1. Muskalski Z. Analiza wpływu kierunku ciągnienia drutów na ich wytrzymałość zmęczeniową i trwałość

zmęczeniową lin stalowych // Politechnika Częstochowska Prace Naukowe, Seria Metalurgia. – Częstochowa, 2004. –

№ 43.

2. Z.Muskalski, A.Milenin Theoretical and experimental analysis the drawing process with change of drawing

direction, Proc. Of Conference WireExpo 2006, USA, The Wire Association International (2006) 5-10.

3. M. Zelin Microstructure evolution in pearlitic steels during wire drawing // Acta Materialia, 50 (2002)

4431-4447.

4. A.M.Elwazri, P.Wanjara, S.Yuea The effect of microstructural characteristics of pearlite on the mechanical

properties of hypereutectoid steel, Materials Science and Engineering A, 404 (2005) 91–98.

5. Q.Yu, S.K.Esche A multi-scale approach for microstructure prediction in thermo-mechanical processing of

metals, Journal of Materials Processing Technology, 169 (2005) 493–502.

6. E.Nakamachi, N.N.Tam, H.Morimoto Multi-scale ﬁnite element analyses of sheet metals by using SEM-

EBSD measured crystallographic RVE models, International Journal of Plasticity, 23 (2007) 450–489.

7. G.Johansson, M. Ekh On the modeling of evolving anisotropy and large strains in pearlitic steel European

Journal of Mechanics A/Solids, 25 (2006) 1041–1060.

8. F.Wetscher, R.Stock, R.Pippan Changes in the mechanical properties of a pearlitic steel due to large shear

deformation, Materials Science and Engineering A, 445–446 (2007) 237–243.

9. J.Toribo, E.Ovejero Microstructure evolution in a pearlitic steel subject to progressive plastic deformation,

Materials Science and Engineering A, 234–236 (1997) 579–582.

10. A.Milenin Program komputerowy Drawing2d, Hutnik – Wiadomosci Hutniche, 2, (2005) 100-104, (in

Polish).

11. A.Milenin, Z.Muskalski, S.Wiewiórowska, P.Kustra The multi-scale FEM simulation of the drawing

processes of high carbon steel // Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering, volume 23,

Issue 2, August 2007, p. 71-74, ISSN 1734-8412

12. A.Milenin, Z.Muskalski Multi-scale FEM simulation of the drawing process, Computer Methods in

Materials Science, Vol. 7, 1 (2007) 156-161.

Миленин А. (Milenin A.) – д-р техн. наук, проф. КГМА;

Мускальский З. (Muskalski Z.) – д-р техн. наук, проф. ЧПУ;

Виевировская С. (Wiewiórowska S.) – канд. техн. наук, ЧПУ.

КГМА – Краковская горно-металлургическая академия, г. Краков, Польша;

ЧПУ – Ченстоховский политехнический университет, г. Ченстохов, Польша.

milenin@ agh.edu.pl

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

125

УДК 621.778.01:621.791.95

Бескровная О. И.

Ковалько В. К.

Грибков Э. П.

ЧИСЛЕННОЕ ОДНОМЕРНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ МУНДШТУЧНОМ

ФОРМОВАНИИ ПОРОШКОВОЙ ПРОВОЛОКИ

Одним из видов продукции, получаемым путем мундштучного формования является

порошковая проволока, получившая большое распространение в различных областях про-

мышленности. Особенностью порошковой проволоки является то, что она может иметь

практически любой химический состав с включением различного содержания легирующих

элементов. Помимо этого к такому виду продукции зачастую предъявляются высокие требо-

вания по геометрическим

параметрам и физическим свойствам. Отсутствие достаточно точ-

ного математического аппарата, позволяющего разрабатывать оптимальные технологические

режимы мундштучного формования, затрудняет внедрение в производство порошковых про-

волок с новыми составами и нового типоразмера. Вследствие этого актуальным является

создание математической модели, позволяющей прогнозировать локальные характеристики

напряженно-деформированного состояния очага деформации при мундштучном формовании

порошковой

проволоки, а на её основе – разработка средств для автоматизированного расчё-

та оптимальных технологических режимов.

В основу рассматриваемой математической модели напряженно-деформированного

состояния при мундштучном формовании порошковой проволоки было положено численное

рекуррентное решение конечно-разностной формы условий статического равновесия и усло-

вий пластичности для пористых материалов. Используемая в модели расчетная схема

(

рис. 1, а) интегрального очага деформации при мундштучном формовании порошковой про-

волоки, включает в себя мундштук, состоящий из обжимного – l

, переходного – l

и калиб-

рующего – l

участков соответствующей протяженности.

При разработке численной одномерной математической модели напряженно-

деформированного состояния было принят ряд допущений, основными из которых являются

следующие:

– изменяясь по длине очага деформации текущие значения скорости перемещения по-

рошкового материала, показатели его механических свойств и нормальные осевые напряжения

хi

в рамках каждого отдельного поперечного сечения остаются величинами постоянными;

– изменения диаметров d

xi1

...d

xi2

, а также нормальных р

xi1

...р

xi2

и касательных τ

xi1

...τ

xi2

контактных напряжений в рамках каждого отдельного i–го элементарного объема порошко-

вого материала носят линейный характер;

– текущее значение углов контакта α

хi

по длине каждого отдельного выделенного

элементарного объема металла в очаге деформации не изменяются, в то время как изменение

текущего значения диаметра d

xi,

а также изменения нормальных р

и касательных τ

кон-

тактных напряжений вдоль координаты х носят линейный характер в рамках данного эле-

ментарного объема (рис. 1, б);

– касательные контактные напряжения τ

в очаге деформации подчиняются закону

трения Кулона-Амонтона τ

хi

= р

хi

, при этом собственно аналитическое описание коэффици-

ента внешнего трения f

(x) может быть представлено степенной зависимостью следующего

вида [1, 2]:

101x

)ff(ff

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

, (1)

где f

, f

– опорные значения коэффициентов внешнего трения в сечениях на входе

(x = L) и выходе (x = 0) из очага деформации [1, 2];

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

126

– показатель степени, характеризующий форму эпюры распределения коэффициен-

тов внешнего трения по длине очага деформации [1, 2];

x – текущее значение геометрической координаты, имеющей свое начало в сечении на

выходе из очага деформации (рис. 1, а);

L = l

+ l

–

общая протяженность зоны пластического формоизменения (рис. 1, а).

а) б)

Рис. 1. Расчетная схема очага деформации (а) и выделенного элементарного объема

(б) при реализации процесса мундштучного формования порошковой проволоки.

Последующее математическое моделирование заключалось в разбиении очага дефор-

мации общей длиной L на конечное множество

K элементарных объемов aбcд (рис.1а)

протяженностью Δх

= l

/К

, Δх

= l

/К

, Δх

= l

/К

, каждый из которых имеет геометриче-

ские координаты

aб – х

; cд – x

граничных сечений.

При определении геометрических характеристик, результирующее значение диаметра

внутренней поверхности деформированной оболочки d

считали известным, исходя из этого

текущее по длине очага деформации значения диаметра той же поверхности d

может быть

выражено на основе степенной зависимости вида [1, 2]:

()()

100x

Lxdddd −−= , (2)

где d

– исходный и конечный диаметр конуса мундштука;

– степенной показатель, характеризующий форму контактной поверхности.

Следуя принятым допущениям и выразив компоненты напряженно-деформированного

состояния в их конечно–разностном виде, как это показано на рис. 1, б, условие статистиче-

ского равновесия выделенного i–го элементарного объема порошкового материала абсд при

проектировании всех сил на ось х можно представить в виде:

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

0dx

cos

ddx

cos

sin

xixi

1xi1xi

2xi2xi

πτ−

π+

πσ

−

πσ

∫∫

∑

или

() ()

,0dx]

)dd(d[]

)fPfP(fP[dx

cos

sin

ddd

ppp

2xi1xi2xi

2xi2xi1xi1xi

2xi2xi

2xi1xi2xi

1xi2xi1xi

1xi1xi

2xi2xi

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−+−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−+⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−++

−

∫

∑

(3)

где положительные значения нормальных осевых напряжений σ

хi

соответствуют на-

пряжениям сжатия, а цифровой индекс 1 свидетельствует о принадлежности данной компо-

ненты правому начальному сд, в то время как цифровой индекс 2 – о принадлежности левому

конечному аб граничному сечению выделенного i–го элементарного объема (см. рис. 1, б).

После интегрирования и последующих математических преобразований, а также с учё-

том условия пластичности для

порошковых материалов при осесимметричном напряженно-

деформированном состоянии [3, 4]:

P2 σβ

α+

−

σ−σ

или

()

sxx

σβ

α+

−

α+

−

α+

α−

=σ , (4)

уравнение (3) можно представить как:

()

()()()()

() ()

,0xd2dfp2xdd2fp2

dddd2pdddd2pd3

2xi1xi2xi2xi2xi1xi1xi1xi

2xi1xi2xi1xi2xi2xi1xi2xi1xi1xi

1xi1xi

2xi

sxx

=Δ+−Δ+−

−−++−++σ−

−

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

σβ

α+

−

α+

−

α+

α−

(5)

где α

, β

– текущие по длине очага деформации значения коэффициентов, учиты-

вающих специфику деформации именно порошковой среды и определяемые в зависимости

от текущего значения показателя относительной плотности γ

как [5]:

()

;1a

xax

γ−=α

γ=β ;

, n

– постоянные для каждого конкретного состава значения коэффициентов,

характеризующих интенсивность изменения α

и β

в зависимости от изменения показателя

относительной плотности γ

;

– текущее значение условного предела текучести твердой фазы порошковой ком-

позиции данного состава [5].

Исходя из анализа структуры уравнения (5) можно сделать вывод о том, что при из-

вестных согласно используемой рекуррентной схеме решения значениях геометрических и

силовых характеристик

1xi1xi1xi1xi

fи,p,d σ для правого начального граничного сечения сд,

полученных на основе результатов расчёта предыдущего (i-1) элементарного объёма, а также

при известных согласно (1) – (3) значениях диаметра

2xi

d и коэффициента внешнего трения

2xi

f для левого конечного граничного сечения аб данное уравнение содержит только одну

неизвестную величину, а именно, нормальные контактные напряжения

2xi

p , по отношению

к которым в окончательном виде имеем:

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

128

(

)

(

)

(

)

i1i4

i2i3

i1i2i12xi

ttttttttttp −

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−−−= , (6)

где

t – вспомогательные параметры, используемые для упрощения записи и соот-

ветствующие:

()()()

;xfd2d2ddd2dd

2xi2xi1xi2xi1xi2xi1xi

2xi

Δ+−−++

α+

−

()()()

;xdd2fp2dddd2pd3t

2xi1xi1xi1xi2xi1xi2xi1xi1xi

1xi1xii2

Δ++−+−σ=

()

(

)

;d119t

2xi

2xi2xii3

−α+α=

()

2xi

2sxi2xi2xi4i

d11t σβ⋅α+=

С учётом известных согласно (5) и (6) значений нормальных осевых

2xi

и нормаль-

ных контактных

2xi

p напряжений может быть определено и текущее значение относитель-

ной плотности порошкового материала

2xi

, знание которого необходимо для корректного

учёта реального характера распределения коэффициентов

по длине очага деформа-

ции. Так, воспользовавшись зависимостями между главными скоростями пластической де-

формации и главными напряжениями, предоставляемыми теорией течения пористых мате-

риалов [1], соотношение скоростей, а вместе с этим и соотношение показателей соответст-

вующих деформаций

/ εε может быть определено как:

(

)

(

)

()( )

3/21

x3x2x1xx3

x3x2x1xx1

σ+σ+σα−−σ

−

, (7)

где учитывая то, что применительно к рассматриваемой осесимметричной схеме на-

гружения в силу принятых допущений имеет место выполнение соотношений

dxx2x1

ε=ε=ε ;

lxx3

ε=ε ;

xx2x1

σ=σ ;

xx3

, искомая величина соотношения показа-

телей степени деформации

/ εε может быть выражена зависимостью следующего вида:

(

)

(

)

()( )

2xi2xi2xi2xi

p221

p221p

σ+α−−σ

−

. (8)

Следуя зависимости (8) может быть определен показатель степени деформации

2lxi

, с

учётом чего результирующая в рамках каждого отдельного i-го элементарного объёма отно-

сительная плотность порошкового материала будет соответствовать:

()

[

]

2lxi

2xi

1xi1xi2xi

1d/d ε+γ=γ . (9)

Здесь следует указать на то, что при строгой математической постановке совместное

решение уравнений (5)–(9) является весьма громоздким. Поэтому в рамках данной матема-

тической модели, основанной на численном рекуррентном подходе, при расчёте коэффици-

ентов

2xi2xi

и βα использовали значение относительной плотности

1xi

, соответствующее

начальному граничному сечению каждого отдельного выделенного элементарного объёма.

В качестве векторной направленности рекуррентного решения использовали направ-

ление собственно процесса формования с учётом чего начальные условия связи при переходе

от расчёта i-го к расчёту (i+1) элементарного объёма соответствовали:

1xi

1xi0

1xi

;0p;;ff;dd;lx γ=γ=σ=σ===

======

, (10)

2xi1)1i(x2xi1)1i(x2xi1)1i(x2xi1)1i(x2xi1)1i(x2i1)1i(

;pp;;ff;dd;xx

===

++++++

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

129

где

σ – напряжения прессования;

– показатель исходной относительной плотности.

При моделировании процесса мундштучного прессования также неизвестным является

величина необходимого усилия прессования, которая может быть найдена при помощи сле-

дующей итерационной процедуры:

{

}

][signA

1k1)1k(ook

−

σ=σ

σ−

, (11)

где

– номер итерационной процедуры;

– напряжение подпора на

-ом шаге, численно равное

2xik1

σ=σ

;

][

σ – заданное значение напряжения подпора;

A – шаг приращения напряжений прессования, принятый переменным по мере при-

ближения к искомому результату.

В целом, зависимости (1)–(11) послужили основой численной детерминированной ма-

тематической модели напряженно-деформированного состояния при реализации процесса

мундштучного формования порошковой проволоки, которая, в свою очередь, может быть

использована в качестве целевой функции при имитационном моделировании, а также при

разработке программных средств по автоматизированному проектированию технологий и

оборудования данного процесса.

Выводы

1. Разработанная математическая модель позволяет определять технологические ре-

жимы мундштучного формования порошковой проволоки в зависимости от заданных типо-

размеров и требуемой плотности порошка.

2. С использованием математической модели могут быть сформулированы рекомен-

дации по назначению размеров инструмента и условий реализации

процесса мундштучного

формования порошковой проволоки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сатонин А.В. Напряженно-деформированное состояние при прокатке порошковых материалов / А.В.

Сатонин, Э.П. Грибков // Сучасні проблеми металургії. Наукові вісті: Т.5. Пластична деформація металів. –

Дніпропетровськ: Системні технології, 2002. – С. 137-142.

2. Напряженное состояние и кинематика при прокатке порошковых материалов на металлической под-

ложке/ В.Ф. Потапкин, А.Н. Левкин, А.В. Сатонин

, С.М. Романов, Ю.А. Воробьев, Э.П. Грибков // Порошковая

металлургия. – 2000. – №1/2. – С.13-21.

3. Кассов В.Д. Моделирование напряженного состояния при волочении порошковой проволоки / В.Д. Кас-

сов, Э.П. Грибков, И.В. Серов // Металлург. – 2004. – №12. – С. 44.

4. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния при волочении порошко-

вой проволоки / Гринь А.Г.,

Грибков Э.П., Свиридов А.В., Бойко И.А. // Удосконалення процесів і обладнання об-

робки тиском в металургії і машинобудуванні. – Краматорськ: ДДМА, 2007. – С. 522-527.

5. Прогрессивные технологические процессы штамповки деталей из порошков и оборудование./

Г.М. Волкогон, А.М. Дмитриев, Е.П. Добряков и др.; Под общ. ред. А.М. Дмитриева, А.

Г. Овчинникова. - М.:

Машиностроение, 1991.- 320. с.

Бескровная О. И. – ООО «Крампромэкспорт», г. Краматорск;

Ковалько В. К.

– ООО «Крампромэкспорт», г. Краматорск;

Грибков Э. П. –

канд. техн. наук, ст. преп. каф. АММ ДГМА.

ДГМА – Донбасская государственная машиностроительная академия, г. Краматорск.

amm@dgma.donetsk.ua

Обработка материалов давлением №1 (19), 2008

130

УДК 621.771.01

Касьянюк С. В.

Саплин С. Ю.

Чемерис С. В.

РАСЧЕТ ПРОЦЕССА ВОЛОЧЕНИЯ ТРУБ НА НЕПОДВИЖНОЙ ОПРАВКЕ

НА ОСНОВЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

Применительно к процессу волочения труб основными факторами, определяющими

напряженно-деформированное состояние металла, являются распределения геометрических

параметров, механических свойств и условий контактного трения по длине очага деформа-

ции [1]. Отмеченное, делает целесообразным использование различного рода одномерных

методов теоретического анализа, в том числе и методов, основанных на численном рекур-

рентном решении конечно-разностной формы

условия статического равновесия выделенного

элементарного объема зоны пластического формоизменения металла [2, 3]. Вместе с тем,

специфика волочения труб с использованием оправок различных конструкций, делает пред-

почтительным использование не силовых, а энергетических подходов [4].

Используемая в соответствии с изложенным выше расчетная схема интегрального оча-

га деформации, предполагающая возможность корректного учета реального характера изме-

нения

удвоенного сопротивления сдвигу

k2 и коэффициентов внешнего трения

f , пред-

ставлена на рисунке 1.

Рис. 1. Расчетная схема интегрального очага деформации применительно к численному

одномерному математическому моделированию напряженно-деформированного состояния

металла при волочении труб на неподвижной оправке.

В рамках рассматриваемой численной одномерной математической модели был принят

ряд допущений, основными из которых являются следующие:

пластическое течение металла в очаге деформации подчиняется гипотезе плоских сече-

ний, с учетом которой скорости перемещения по толщине каждого отдельного поперечного

сечения являются величиной постоянной [2];

постоянными по высоте каждого отдельного поперечного сечения очага деформации

являются

и распределения нормальных осевых напряжений

, а также распределения удво-

енных значений сопротивления сдвигу

k2 прокатываемого металла;

изменения диаметра dх, нормальных pх и касательных

контактных напряжений

вдоль координаты x в рамках каждого i-го элементарного объема носят линейный характер;

аналитическое описание текущих значений касательных напряжений на контактных

поверхностях было принято в виде, предложенном Амонтоном - Кулоном [1]:

xxx

. (1)