Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
131.
Тензор
напряжений
Максвелла
383
При
этом
мы
опустили
список
аргументов
(r, t)
и
использовали
равенство
соРо
=
=
1/с'2.
Два
последних
слагаемых
в
(13.7)
можно
привести
к
виду
(1/(:2)(1/(lt
[Е
Х
Н].
Для
первого
выражения
в
(13.7)
можно
записать
со(У'
х
Е)
х
Е
=
со
:х
(E;_~2)
8
8х(Е
х
Е
у
)
8
8x(E
x
E
z
)
-соЕУ'
·Е=
(13.8)
где
на
последнем
шаге
использовано
уравнение
(13.3).
Запись
Е
Q9
Е
означает
тензор
ное
произведение,
Е2
=
Е;
+
E~
+
Е;
-
напряженность
электрического
поля,
1 -
единичный
тензор.
Аналогичное
выражение
можно
получить
для
I-lО(У'
х
И)
х
и.
Подставляя
эти
выражения
в
(13.7),
получаем
[
1
-]
d 1
У'.
coEQ9E-I-lОИQ9И-"2(соЕ2+l-lон2)
1 =
dt
c
2
[ExПJ+pE+jxB.
(13.9)
Выражение
в
квадратных
скобках
в
левой
части
равенства
называется
тензором
-
напряжений
Максвелла
в
вакууме
и
обычно
обозначается
как
Т.
В
Декартовой
системе
координат
этот
тензор
записывается
в
виде
- [ 1
-]
Т
=
соЕ
Q9
Е
-
l-lоИ
Q9
И
-
"2
(соЕ
2
+
l-l
о
Н
2
)
1 =
[
go
(E~-
~2)
+JLO
(H~-
~2)
= go{ExEY}+lLo{HxH
y
)
go{ExEz)+JLo{HxH
z
)
go
(
E~-
~2)
+ILO
(
H~-
~2)
go{EyEz)+lLo{HyH
z
)
После
интегрирования
(13.9)
по
произвольному
объему
V,
который
содержит
все
источники
р
и
j,
получаем
J
У'
.
TdV
=
:t
:2
J
[Е
х
И]dV
+ J
[рЕ
+ j
х
B]dV.
(13.11)
v v v
В
последнем
слагаемом
узнаем
механическую
силу
(см.
(13.5».
Интеграл
по
объему
в
левой
части
равенства
можно
преобразовать
в
поверхностный
интеграл
с
помощью
теоремы
Гаусса:
J
У'
.
TdV
= J
Т.
nda,
(13.12)
v av
где
av
означает
поверхность,
ограничивающую
объем
V, n -
единичный
вектор,
перпендикулярный
поверхности.
da -
элементарная
площадка
поверхности.
Отсюда
окончательно
получаем
закон
сохранения
импульса
J
...
d
T(r,
t) .
n(r)da
= dt
(Gfield
+ G
mech
) ,
(13
13)
av
384
Гл
13.
Силы
в
удерживающих
полях
где
G
mech
и
Gfjeld
-
механический
импульс
и
импульс
поля
соответственно.
Осу
ществляя
вывод
(13.13),
мы
использовали
определение
механической
силы
по
Нью
тону,
F = (l/(1tG
mech
,
И
определение
импульса
поля
Gfjeld
=
:2
f[E
Х
H]dV.
(13.14)
V
Это
импульс
электромагнитного
поля
в
объеме
V.
Он
порожден
динамическими
слагаемыми
в
уравнениях
Максвелла
с
роторами,
т.
е.
слагаемыми,
содержащими
производные
по
времени.
При
усреднении
по
периоду
колебаний
импульс
поля
становится
равным
нулю,
а
механическая
сила
оказывается
равна
(F) = f (T(r, t)) . n(r)da,
(13.15)
дV
где
угловые
скобки
(
...
)
означают
усреднение
по
времени.
Равенство
(13.15)
имеет
общее
значение.
Оно
позволяет
рассчитать
механическую
силу,
действующую
на
про
извольное
тело,
ограниченное
поверхностью
av.
Эта
сила
полностью
определяется
значениями
электрического
и
магнитного
полей
на
поверхности
av.
Интересно,
что
в
выражение
для
силы
не
входят
свойства
вещества;
вся
информация
содержится
в
электромагнитном
поле.
Единственное
ограничение
на
вещество
состоит
в
том,
что
тело
должно
быть
абсолютно
твердым.
В
противном
случае
под
действием
элек
тромагнитного
поля
тело
будет
деформироваться
и
для
строгого
описания
придется
учитывать
электрострикционные
и
магнитострикционные
силы.
Поскольку
охваты
вающая
тело
поверхность
выбирается
произвольно,
полученные
результаты
не
будут
зависеть
от
того,
где
рассчитываются
поля,
-
на
поверхности
тела
или
в
дальней
зоне.
Важно
отметить, что
использованные
в
расчете
поля
являются
самосогласован
ными,
а
это
означает,
что
они
представляют
собой
суперпозицию
возбуждающего
и
рассеянного
полей.
Поэтому
прежде
чем
рассчитывать
силу,
следует
решить
задачу
рассеяния
электромагнитного
излучения.
Если
объект
В
окружен
средой,
которую
с
достаточной
точностью
можно
описать
диэлектрической
проницаемостью
е
и
маг
нитной
проницаемостью
/-l,
механическую
силу
можно
будет
рассчитать
по
той
же
формуле,
если
заменить
тензор
напряжений
Максвелла
(13.10)
на
1
т
=
[еоеЕ
®
Е
-/-lО/-lН
®
Н
-
~
(еоеЕ
2
+
JlO/-lн
2
)
1]
·1
(13.16)
1-
Падающее
поле
Рис
13
1
Механическая
сила
F,
действующая
на
объект В,
полностью
определяется
электри
ческим
и
магнитным
полями
на
произвольной
поверхности
дV,
окружающей
В
13.3.
ДиnолыtOе
приближение
385
13.2.
Давление
излучения
В
настоящем
разделе
мы
рассмотрим
давление
излучения
на
среду
с
бесконечно
протяженной
плоской
границей,
см.
рис.
13.2.
Среда
освещается
монохроматиче
ской
плоской
волной,
падающей
по
нормали
к
границе
раздела.
В
зависимости
от
свойств
вещества
среды
часть
возбуждающего
поля
отражается
от
границы.
Вводя
комплексный
коэффициент
отражения
R,
перепишем
электрическое
поле
вне
среды
как
суперпозицию
двух
распространяющихся
в
проти-
воположных
направлениях
плоских
волн:
E(r,
t) =
EoRe
[(e
tkz
+
Re-
lkz
)
e-
iwt
]
llx.
(13.17)
Используя
уравнение
Максвелла
(13.1),
находим
напря
женность
магнитного
поля:
H(r, t) =
Jeo/
Мо
EoRe
[(
e
ikz
_Re-
tkz
)
e-
twt
]
lly.
(13 18)
Чтобы
рассчитать
давление
излучения
Р,
проинте
грируем
тензор
напряжений
Максвелла
по
бесконечной
плоской
поверхности
А,
параллельной
границе
раздела,
как
показано
на
рис.
13.2.
давление
излучения
рассчи
тывается
с
помощью
(13.15):
1 f
....
Pll
z
=
А
(T(r, t)) . llzda.
(13.19)
А
Рис
13.2
Геометрия
задачи
Поскольку
мы
интересуемся
действующим
на
среду
дав-
о
давлении
излучения
лением,
а
не
механической
силой,
нет
необходимости
рассматривать
прилегающую
поверхность
av.
Используя
поля,
заданные
равенства
ми
(13.17)
и
(13.18),
находим,
что
первые
два
слагаемых
в
тензоре
напряжений
Максвелла
(13.10)
не
дают
вклада
в
давление
излучения.
Третье
же
слагаемое
приводит
к
выражению
(13.20)
Используя
определение
интенсивности
плоской
волны
10
=
(ео/2)сЕб'
где
('
-
ско
рость
света
в
вакууме,
выразим
давление
излучения
Р
= 10
(1
+
IRI
2
).
(13.21)
с
В
случае
идеально
поглощающей
среды
R =
О,
тогда
как
для
идеально
отражающей
среды
R =
1.
Поэтому
давление
излучения
на
идеально
отражающую
поверхность
в
два
раза
больше,
чем
на
идеально
поглощающую
плоскость.
13.3.
Дипольное
приближение
Такая
двухуровневая
квантовая
система,
как
атом,
с
переходами,
ограниченными
двумя
состояниями,
хорошо
описывается
диполем.
То
же
справедливо
в
отношении
макроскопической
частицы,
размеры
которой
много
меньше
длины
световой
волны
(рэлеевская
частица).
Чтобы
получить
электромагнитную
силу,
действующую
на
диполь,
рассмотрим
две
частицы,
имеющие
массы
ml
и
m2,
заряженные
зарядами
одинаковой
величины,
но
противоположных
знаков,
разнесенные
на
малое
рас
стояние
181
и
освещенные
произвольным
электромагнитным
полем
(напряженность
электрического
поля
Е
и
индукция
магнитного
поля
В),
как
показано
на
рис.
13.3.
25
Л
НаватныЙ.
Б
Хехт
386
Гл
13
Силы
в
удерживающих
полях
.q,т
l
-q,
т2
Рис
13.3
Иллюстрация
к
выводу
механической
силы
в
дипольном
приближении;
r -
радиус
вектор
центра
масс
Две
частицы
связаны
потенциалом
И
В
нерелятивистском
приближении
уравнение
движения
для
каждой
частицы
следует
из
(13.5),
где
F
приравниваем
т\г\
и
т2Г2
соответственно.
Точки
над
векторами
означают
полную
производную
по
времени.
Поскольку
частицы
связаны
друг
с
другом, следует
рассмотреть
энергию
их
связи
и.
с
учетом
которой
уравнения
движения
частиц
принимают
вид
тlrI
= q [E(rI, t) +
ГI
Х
B(rI,
t)] - VU(rI. t),
т2Г2
=
-q
[E(r2. t) +
Г2
Х
B(r2, t)] + VU(r2. t).
(13.22)
(13.23)
Таким
образом,
мы
пришли
к
задаче
двух
тел,
которую
удобнее
всего
решать
в
системе
центра
масс:
(13.24)
Выразив
задачу
через
r,
мы
отделим
движение
частиц
относительно
центра
масс
от
движения
самого
центра
масс.
Электрическое
поле
в
точках
нахождения
частиц
можно
представить
в
виде ряда
Тейлора
(см.
разд.
8.1):
=
E(rI)
= L
-;
[(rI -
r)·
VГ
E(r)
=
E(r)
+ [(rI -
r)·
V]E(r) +
...
,
n.
n=о
ос
1
E(r2) =
L,
[(r2
-
r)
.
VГ
E(r)
=
E(r)
+
[(r2
-
r)
. V]E(r) +
...
n.
n=о
(13.25)
Аналогичное
разложение
можно
написать
для
B(rI)
и
B(r2).
Если
181
«л.
где
л
-
длина
волны
излучения.
ряд
можно
оборвать
на
втором
слагаемом
(дипольное
приближение).
Прямой
расчет
с
использованием
равенств
(13.22)
и
определения
дипольного
момента
~=
q8.
(13.26)
где
8 = rI - r2,
приводит
к
следующему
выражению
для
полной
силы
F =
(тI
+
+
т2)Г,
действующей
на
систему
частиц:
I F =
(~.
V)E
+
Ji
х
в
+ r
х
(~.
V)B·I
(13.27)
Здесь
для
удобства
опущен
список
аргументов
(r,
t).
Скобки
в
выражении
(~
.
V)E
означают,
что сначала
следует
вычислять
скалярное
произведение
~.
V =
(Мх,
Му,
JL
z
) .
(д/дх.
д/ду,
a/az),
а
затем
вычислять
действие
этого
оператора
на
Е.
Выражение
(13.27) -
основное
равенство
в
настоящем
разделе.
Оно
задает
механическую
силу,
с
которой
электромагнитное
поле
действует
на
две
частицы,
/33
Дипольное
приближение
387
представленные
дипольным
моментом
р..
Эта
сила
состоит
из
трех
слагаемых:
первое
описывает
силы,
возникающие
в
неоднородном
электрическом
поле,
второе
-
силу,
аналогичную
силе
Лоренца,
а
третье
слагаемое
возникает
вследствие
движения
заряда
в
неоднородном
магнитном
поле.
Обычно
третье
слагаемое
много
меньше,
чем первые
два,
и
в
дальнейшем
мы
не
будем
его
рассматривать.
Интересно,
что
возникающие
в
(13.27)
поля
соответствуют
возбуждающему
полю.
При
этом
предполагается, что
система
зарядов,
которая
моделируется
диполем,
не
изменяет
полей.
Этим
выражение
отличается
от
полученных
при
применении
формализма,
основанного
на
тензоре
напряжений
Максвелла,
в
котором
рассматриваются
самосогласованные
поля.
13.3.1.
Сила,
усредненная
по
времени.
Второе
слагаемое
в
(13.27)
можно
представить
в
следующем
виде:
Ji
х
в
=
-р.
х
:в
+ :t(p.
х
В)
=
Р.
х
(V
х
Е)
+
:(р.
х
В),
(13.28)
где
aвjdt
аппроксимировано
выражением
BBjBt,
поскольку
предполагается,
что
скорость
центра масс
много
меньше
скорости
света
с.
После
отбрасывания
по
тем
же
причинам
последнего
слагаемого
в
(13.27)
получаем
d
F =
(р..
V)E
+
р.
х
(V
х
Е)
+ dt
(р.
х
В),
(13.29)
что
можно
переписать
в
виде
(13.30)
При
усреднении
по
времени
последнее слагаемое
исчезает,
и
тогда
сила
может
быть
представлена
в
краткой
форме
(13.31)
где
(
...
)
означает
усреднение
по
времени.
В
полученном
выражении
указываются
также
аргументы
р.
и
Е,
чтобы
отличать
эти
векторные
величины
от
комплексных
амплитуд,
которые
будут
введены
ниже.
13.3.2.
Монохроматические
поля.
Рассмотрим
дипольную
частицу,
на
кото
рую
падает
произвольная
монохроматическая
электромагнитная
волна
с
угловой
частотой
VJ.
В
этом
случае
электрическое
и
магнитное
поля
можно
представить
в
следующем
виде:
')
E(r,
t) =
Re
[Е(г)е-U'Jt]
,
B(r,
t) =
Re
[B(r)e-·"'t] .
(13.32)
Если
диполь
и
поля
связаны
линейным
образом,
то
дипольный
момент
будет
зависеть
от
времени
по
тому
же
закону:
(13.33)
Предположим,
что
у
частицы
статический
дипольный
момент
отсутствует.
В
этом
случае
наведенный
дипольный
момент
в
первом
порядке
пропорционален
значению
напряженности
электрического
поля
в
точке
нахождения
частицы
r:
~
=
a(VJ);E(r),
(13.34)
1)
Для
ясности
мы
обозначим
комплексные
амплитуды
нижним
подчеркиванием
-
При,м,еч.
авт.
388
Гл
/3
Силы
в
удерживающих
полях
где
п
-
поляризуемость
частицы.
Форма
функции
a(w)
зависит
от
природы
частицы.
Для
двухуровневых
систем
явное
выражение
для
а
выводится
в
Приложении
А.
В
общем
случае
(.~
представляет
собой
тензор
второго
ранга,
но
для
атомов
или
молекул
применение
скалярного
представления
правомерно,
поскольку
существенна
только
проекция
J1
на
направление
напряженности
электрического
поля.
Усредненное
по
периоду
колебаний
равенство
(13.27)
принимает
вид
(F) =
4Re
[(~*
.
\7)Е
-
iw(~*
х
В)],
(13.35)
где
мы
опустили
третье
слагаемое
по
причинам,
обсуждавшимся
ранее.
Два
слагае
мых
в
правой
части
равенства
можно
скомбинировать
так,
как
это
делалось
выше,
и
в
результате
получим
(F) = L
4Re
~:\7Et]
= i\7
(~:.
Е
+
~i'
Е*),
(13.36)
где
во
втором
выражении
оператор
\7
действует
только
на
комплексную
напряжен
ность
электрического
поля
Е.
Используя
линейное
соотношение
(13.34)
и представ
ляя
комплексную
амплитуду
электрического
поля
в
виде
вещественной
амплитуды
Ео
и
фазы
Ф
согласно
равенству
1)
Е(г)
=
Ео(г)еiФ(Г)ПЕ,
(13.37)
где
ПЕ
-
единичный
вектор,
ориентированный
в
направлении
поляризации,
выразим
усредненную
по
периоду
колебаний
силу
следующим
образом:
(13.38)
Здесь
п
= 0/ +
ia"
и
\7
Еб
=
2Ео
\7
Ео.
Из
полученного
равенства
видно,
что
средняя
механическая
сила определяется
двумя
слагаемыми,
имеющими
разный
физический
смысл:
первое
слагаемое
-
это
сила
диnольного
взаимодействия
(или
градиент
ная
сила),
второе
-
сила,
обусловленная
рассеянием.
Градиентная
сила
возникает
вследствие
неоднородности
поля
и
пропорциональна
дисперсионной
(вещественной)
части
комплексной
поляризуемости.
В
свою
очередь,
сила
рассеяния,
пропорциональ
на
диссипативной
(мнимой)
части
комплексной
поляризуемости.
Эту
силу
можно
рассматривать
как
следствие
переноса
импульса
от
света
к частице.
В
случае
непо
глощающих
частиц
переноса
импульса
не
происходит
и
сила
рассеяния
равна
нулю.
Поляризуемые
частицы
ускоряются
градиентной
силой
в
направлении
возрастания
поля,
поэтому
сильно
сфокусированный
лазерный
пучок
может
уловить
частицу
в
фокус
во
всех
измерениях.
Однако
сила
рассеяния
толкает
частицу
в
направлении
распространения
пучка, и
если
лазерный
пучок
недостаточно
сильно
сфокусирован,
частица
может
быть
вытолкнута
из
ловушки.
Отметим,
что
Ф
можно
выразить
в
терминах
локального
волнового
вектора
k
как
Ф
=
k·
г,
при
этом
\7ф
= k.
Подставив
(13.37)
в
(13.32),
получим
выражение
для
зависящей
от
времени
напряженности
электрического
поля:
Е(г,
t) =
Ео(г)
cos
[wt
-
ф(г)]
ПЕ.
(13.39)
Соответствующее
магнитное
поле
определяется
уравнением
дВ
/
at
= -
\7
х
Е,
кото
рое
совместно
с
(13.39)
приводит
к
следующим
равенствам:
Еб\7ф
= 2w(E
х
В),
Еб
= 2(IEI
2
),
(13.40)
')
Это
приближение
Оно
справедливо
только
если
фаза
меняется
по
пространству
сильнее,
чем
аМПJlитуда.
это
имеет
место
для
слабо
сфокусированных
полей.
-
Примеч.
авт.
13
3
Дипольное
приближение
389
где
через
(
...
)
обозначено
усреднение
по
периоду.
Подставляя
полученные
выражения
в
(13.38),
приходим
к
равенству
I
(F) =
%-V'(IEI
2
}
+
,,-,а
11
(Е
х
В},
(13.41)
где
IEI
-
зависящая
от
времени
величина
напряженности
электрического
поля.
Ра
венство
(13.41)
доказывает,
что
сила
рассеяния
пропорциональна
среднему
импульсу
поля,
который
определяется
равенством
(13.14).
13.3.3.
Насыщение
возбуждения
вблизи
резонанса.
Насыщение
-
это
нели
нейный
эффект,
который
ограничивает
величину
индуцированного
дипольного
мо
мента
J.L.
В
отличие
от
большинства
нелинейных
эффектов,
насыщение
не
влияет
на
монохроматическую
зависимость
индуцированного
диполя
от
времени,
поэтому
ли
нейное
соотношение
в
(13.34)
справедливо
даже
для
режима
насыщения.
Установив
шаяся
поляризуемость
двухуровневого
атома,
возбуждающегося
вблизи
резонанса,
выводится
в
Приложении
А.
Поляризуемость
можно
представить
с
помощью
проек
ций
дипольного
момента
перехода
на
направление
электрического поля
(J.L12
.
ПЕ)·
а(,,-,)
=
(1112·
ПЕ)2
("-'о
-
"-'
+ z/,/2) (13.42)
h
("-'о
- «)2 +
~/,2
/4
+
«)~/2'
где
"-'о
-
частота
перехода,
"-'R
=
(J.L12
•
ПЕ)Е
о
/п
-
частота
Раби,
а
')
-
скорость
спонтанной
релаксации.
Подставляя
а
в
(13.38),
получаем
_
«)~/2
[
V'
Е
о
/'
]
(F)
-п
2.2
2 ("-'
-"-'О)-Е
+
-2V'Ф
.
«<)0-«)
+Z/,
/4
+
«)R/2
о
(13.43)
Вводя
nара.метр
насыщения
р
согласно
равенству
_ 1 /,2/4
Р--
1
2 2 '
5а!
«<)
-
«)0)
+
/'
/4
(13.44)
где
интенсивность
I
и
интенсивность
насыщения
[
5а
!
определяются
следующим
образом:
(1345)
получаем
выражение
для
усредненной
по
периоду
силы
}
hp [
V'
Е
о
/'
]
(F = -
(w-,,-,o)-
+
-V'Ф
.
l+p
Е
о
2
(13.46)
Эта
формула
была
первоначально
получена
Гордоном
и
Ашкином
В
рамках
кван
товой
механики
[8].
Выводя
равенство
(13.46),
мы
прибегаем
к
квантовой
меха
нике
лишь
затем,
чтобы
рассчитать
атомную
поляризуемость
(см.
Приложение
А).
Из
квантовой
теории
следует,
что
сила
рассеяния
возникает
в
циклах
поглощения
и
спонтанного
излучения,
тогда
как
дипольная
сила
возникает
благодаря
циклам
по
глощения
и
вынужденного
излучения.
Отметим,
что
наибольшее
значение
пара
метра
насыщения
Р
имеет
место
при
точном
резонансе
"-'
=
"-'о.
В
этом
случае
множитель
р/(1
+
Р)
не
превышает
значения
1,
которое
ограничивает
наибольшее
значение
силы
(насыщение).
При
интенсивности
I =
[
5а
!
(I5a!
~
1,6
мВт/см
2
для
атомов
рубидия)
сила
достигает
половины
своего
максимального
значения.
Для
частот
"-'
<
"-'о
(<<крас
ная»
отстройка)
дипольная
сила
пропорциональна
-
V'
Е
о
,
что
при
водит
ко
втяги
ванию
атома
в
область
повышенной
интенсивности.
Напротив,
для
частот
"-'
>
"-'о
(<<синяя»
отстройка)
атомы
выталкиваются
из
областей
повышенной
интенсивности,
390
Гл
/3.
Силы
в
удерживающих
полях
поскольку
в
этом
случае
сила
дипольного
взаимодействия
пропорциональна
~~o.
При
точном
резонансе
дипольная
сила
исчезает.
На
рис.
13.4
качественно показана
и
б
~
~
-.......
~I------~A
~
.--_-
.9.
--~-,.,
r.;::
о
10-7 _10-7
о
(w
-
wo)/wo
(w
-
wo)/wo
Рис
13.4
Зависимость
силы
рассеяния
и
дипольной
силы
от
частоты
w
возбуждающего
излучения
для
атомов
натрия
(l/'Y = 16,1
не,
ло
= 590
нм)
Числа
на
графике
указывают
величину
[/
[53!
зависимость
силы
дипольного
взаимодействия
и
силы
рассеяния
от
частоты
при
различных
интенсивностях
возбуждения.
С
помощью
равенства
k =
~ф
вдали
от
насыщения
силу
рассеяния
можно
представить
следующим
образом:
_
'У
[
"?!4
(F
5catt
)
-
hk-
2
-1
(
)2
2/4'
[«:
[5at,
(13.47)
••
!
W-Wo
+'У
откуда
видно,
что
при
точном
резонансе
величина
(F
5catt
)
достигает
максимума.
Влияние
насыщения
на
силу
рассеяния
представлено
на
рис.
13.5.
В
экспериментах
по
управлению
атомами
сила
рассеяния
использовалась
для
охлаждения
атомов
до
экстремально
низких
температур,
что
почти
останавливало
их.
При
нормальных
условиях
атомы
и
молекулы
движутся
со
скоростями
порядка
1000
м/с
в
случайных
направлениях,
и
даже
при
температуре
-270
ос
их
скорости
имеют
порядок
величины
100
м/с.
Лишь
при
температурах,
близких
к
абсолют
ному
нулю
(-273
ОС),
движение
атомов
снижается
значительно.
Первоначальная
идея
замедления
атомов
основана
на
использовании
эффекта
Доплера.
Она
была
предложена
в
1975
г.
Хэншем
и
Шавловым
[5].
Нейтральные
атомы
облучаются
встречными
лазерными
пучками.
Если
атом
движется
навстречу
одному
из
пучков,
частота
лазерного
излучения
относительно
атома
согласно
эффекту
Доплера
будет
сдвигаться
в
область
более
высоких
частот
(<<синее~
смещение).
Если
атом
движется
в
направлении
распространения
пучка,
то
относительно
него
будет
наблюдаться
сдвиг
в
область
низких
частот
(<<красное»
смещение).
Если
частота
лазера
настроена
немного
ниже
резонанса,
атом
будет
преимущественно
поглощать
фотон,
двигаясь
навстречу
лазерному
пучку
(см.
(13.47)).
Процесс
поглощения
замедляет
атом
со
гласно
закону
сохранения
импульса.
Возбужденный
атом
в
конце
концов
релак
сирует
путем
спонтанного
излучения,
которое
является
вероятностным
процессом
и
не
имеет
выделенного
направления.
Таким
образом,
при
усреднении
по
многим
циклам
поглощения-излучения
движущийся
навстречу
лазерному
пучку
атом
теряет
скорость
и
эффективно
охлаждается.
Чтобы
замедлить
атом
во
всех
направлениях
движения, необходимо
три
пары
противоположно
направленных
лазерных
пучков
в
трех
измерениях
направить
под
прямым
углом
друг
к
другу.
В
каком
бы
направле
нии
ни
двигался
атом,
он
встретит
фотон
с
резонансной
энергией
и
будет
возвращен
обратно
в
область
пересечения
пучков.
Движение
атома
в
области
пересечения
подобно
движению
в
гипотетической
вязкой
среде
(оптической
«патоке~).
/3
3
Дипольное
приближение
391
Можно
показать,
что
двухуровневый
атом
невозможно
охладить
ниже
определен
ной
температуры,
получившей
название
до
плеровского предела
[7].
Для
атома
натрия
предельная
температура
равна
240
мкК,
что
соответствует
его
скорости
30
см/с.
Однако
в
эксперименте
было
обнаружено,
что
мож
но
достичь
гораздо
более
низких
темпера
тур.
После
преодоления
еще
одного
предела,
предполагающего,
что
скорость
атома
не
мо
жет
быть
меньше
переданной
атому
при
вза
имодействии
с
одним
фотоном
(так
называе
мый
предел
отдачи),
для
атомов
гелия
была
достигнута
температура
0,18
мкк.
При
этих
условиях
скорость
атомов
гелия
составляла
всего
2
см/с.
Как
только
атомы
достаточно
охлаждались,
они
выпадали
из
оптической
6
1/l
sat
10
Рис
135
Зависимость
силы
рассея
ния для
атомов
натрия
(l
/
'у
=
16.1
нс,
ЛО
= 590
нм)
от
величины
1/
1,.t
Числа
на
кривых
указывают
отстройку
от
ча-
стоты
в
единицах
107(,",-,
-
'"'-'0)/'"'-'0
«патоки»
под
воздействием
силы
тяжести.
Чтобы
этого
избежать,
первоначальная
схема
пленения,
основанная
на
дипольной
силе,
позволяла
захватывать
атомы
в
фо
кус
остро
сфокусированного
пучка
[9].
К
сожалению,
оптическая
дипольная
ловушка
стала
недостаточно
сильной
для
большинства
задач,
и
была
разработана
новая
трехмерная
ловушка,
основанная
на
силе
рассеяния.
Этот
тип
устройств
получил
название
магнитооптических
ловушек.
Возвращающая
сила
в
них
обусловлена
комбинацией
противоположно
направленных
циркулярно
поляризованных
лазерных
пучков
и
слабого
переменного
неоднородного
магнитного
поля,
минимум
которого
расположен
в
области
пересечения
лазерных
лучей.
Величина
магнитного
поля
возрастает
по
мере
удаления
от
центра
ловушки,
создавая
силу,
направленную
к
центру.
13.3.4.
3а
пределами
дипольного
приближения.
В
принципе
любой
макро
скопический
объект
может
рассматриваться
как
набор
отдельных
диполей.
Самосо
гласованное
решение
для
электрического
и
магнитного
полей,
порожденных
этими
диполями
(см.
разд.
2.10),
имеет
вид
N
,",-,2
+-+
Е(г)
=
Ео(г)
+
-2
L
G(r,
r
ll
) •
~
,
соС
n=1
-71
N
(13.48)
Н(г)
=
Но(г)
-1«}
L
[v
Х а(г,
г
n
)]
•
~11'
n=1
r
-#
rr/'
где
использованы
комплексные
амплитуды
гармонически
зависящих
от
времени
+-+
полей,
G -
диадная
функция
Грина,
~
-
электрический
дипольный
момент,
-n
Ео
и
но
-
возбуждающие
поля.
При
этом
предполагается,
что
система
состоит
из
N
отдельных
диполей.
В
первом
порядке
дипольный
момент
~
можно
представить
-11
в
виде
(13.49)
Подставляя
(13.49)
в
(13.48),
получаем
уравнения
относительно
Е
и
Н,
которые
можно
разрешить
с
помощью
метода
обращения
матриц.
В
принципе
механические
силы,
действующие
на
произвольный
объект,
состоящий
из
отдельных
диполей,
можно
определить
из
(13.38)
в
сочетании
с
(13.48)
и
(13.49).
Однако
если
потре
бовать,
чтобы
объект
не
деформировался
под
действием
электромагнитного
поля,
392
Гл
13.
Силы
в
удерживающих
полях
то
внутренние
силы
должны
взаимно
сократиться
и
механическая
сила
будет
пол
ностью
определяться
полями
вне
объекта.
В
этом
случае
механическую
силу
можно
определить
путем
расчета
внешних
полей
и
последующим
вычислением
тензора
напряжений
Максвелла
согласно
(13.10)
и
(13.15).
\
'V/
'\
i
\
\
I
\
I
\
I
У'"
I
--
'"
--
I "
__
\ I
"
,\,~~,\
...
I
k k
k
,-_
II
Е;!
Е;!
Е;!
.....
Рис
13
6
Иллюстрация
приближения
связанных
диполей
Макроскопическое
тело
подраз
деляется
на
отдельные
микроскопические
дипольные
элементы
Каждый
дипольный
момент
можно
рассчитать
самосогласованным
образом
с
помощью
функции
Грина
В
грубом
прибли
жении
поле
напротив
металлического
острия
можно
заменить
полем
единственного
диполя,
однако
пара
метры
поляризуемости
приходится
получать
путем
строгих
расчетов
13.4.
Оптические
пиицеты
в
1986
г.
Ашкин
с
сотрудниками
показали,
что
сильно
сфокусированный
ла
зерный
пучок
можно
использовать
для
удержания
микроскопических
частиц
в
трех
измерениях
вблизи
фокуса.
В
настоящее
время
этот
подход
общепризнан
в
каче
стве
неинвазивного
метода
и
известен
под
названием
оптического
nин.цета
[2].
Оптические
пинцеты
находят
широкое
применение,
главным
образом
в
биологии,
и
используются
для
манипуляций
с
диэлектрическими
сферами,
живыми
клетками,
ДНК,
бактериями
и
металлическими
частицами.
Оптические
пинцеты
-
рутинные
инструменты
в
измерениях
упругости,
силы,
кручения
и
положения
плененных
объ
ектов.
С
помощью
оптических
пинцетов
обычно
можно
измерять
силы
в
диапазоне
от
I
пН
до
10
пН.
Если
пленение
малых
частиц
(диаметром
d «
л)
хорошо
описывается
силой
дипольного
взаимодействия
(первое
слагаемое
в
(13.38»,
то
для
объяснения
пленения
больших
частиц
требуется
учесть
слагаемые
более
высокого
порядка
муль
типольности,
как
это
делается
в
теории
рассеяния
Ми.
В
этом
случае
силу
захвата
можно
представить
в
форме
е
2
р
(F(r») =
Q(r)_S
,
с
(13.50)
где
С'
-
диэлектрическая
проницаемость
окружающей
среды,
Р -
мощность
удер
живающего
пучка,
с
-
скорость
света
в
вакууме.
Безразмерная
величина
Q
называ
ется
эффективностью
захвата.
В
дипольном
приближении
и
при
отсутствии
потерь
в
частице
величина
Q
зависит
от
нормированного
градиента
интенсивности
света
и
поляризуемости
о,
которая
дается
равенством
(
)
_
e(c.v)
-
es(c.v)
Q
c.v
-
3ео
Vo
()
2 (
)'
е
c.v
+
es
c.v
(13.51)
где
Vo
и
е
-
объем
частицы
и
ее
диэлектрическая
проницаемость
соответ
ственно.
На
рис.
13.7
показана
максимальная
осевая
интенсивность
захвата
lШ\,Х
[Q
JI: =
о,
:ч
=
о,
z)]
для
частицы
полистирола
(е
= 2,46)
с
переменным