Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
Глава
14
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ,
ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
ФЛУКТУАЦИЯМИ
Тепловое
движение
и
нулевые
колебания
электрически
заряженных
частиц
в
ве
ществе
порождают
флуктуирующее
электромагнитное
поле.
Квантовая
теория
утвер
ждает,
что
флуктуирующие
частицы
обладают
лишь
дискретными
уровнями
энергии,
и,
следовательно,
испущенное
ими
флуктуационное
излучение
имеет
спектр
абсо
лютно
черного
тела.
Однако
поскольку
соответствующая
формула
для
излучения
черного
тела
справедлива,
строго
говоря,
если
тело
находится
в
состоянии
термоди
намического
равновесия,
к
неравновесным
состояниям
ее
можно
при
менять
только
как
некоторое
приближение
к
истине.
Это
приближение
корректно
на
больших
расстояниях
от
излучающего
вещества
(дальнее
поле),
но
существенно
отличается
от
истинного
положения
дел
вблизи
поверхности
вещества
(ближнее
поле).
Поскольку
флуктуации
заряда
и
тока
в
веществе
приводят
к
потерям
на
излуче
ние,
ни
один
объект
в
свободном
пространстве
при
конечной
температуре
не
может
находиться
в
термодинамическом
равновесии.
Равновесие
с
полем
излучения
может
быть
достигнуто
лишь
удержанием
излучения
в
ограниченном
пространстве.
Однако
в
большинстве
случаев
состояние
объекта
можно
считать
близким
к
термодинами
ческому
равновесию,
а
отклонения
от
такового
можно
описывать
моделью
линейного
отклика.
В
этом
случае
имеет
место
важнейшая
флуктуацuонно-дuссunацuонная
теорема,
которая
связывает
скорость
диссипации
энергии
в
неравновесной
системе
с
флуктуациями,
возникающими
спонтанно
в
различные
моменты
времени
в
равно
весных
системах.
Флуктуационно-диссипационная
теорема
важна
для
понимания
поведения
флук
туирующих
полей
в
окрестности
нанометровых
объектов
и
оптических
взаимодей
ствий
на
нанометровых
расстояниях
(например,
сил
Ван-дер-Ваальса).
Цель
настоя
щей
главы
состоит
в
том,
чтобы
провести
детальный
анализ
нескольких
важных
эффектов
флуктуационной
электродинамики.
14.1.
Флуктуационно-
диссипационная
теорема
Флуктуационно-диссипационную
теорему
обычно
получают
из
золотого
правила
Ферми,
рассчитывая
квантовые
корреляционные
функции.
Истоки
теоремы
лежат
в
соотношении
Найквиста,
описывающем
флуктуации
напряжения
на
сопротив
лении.
Однако
в
общей
форме
ее
получили Коллен
и
Велтон
[1].
Приведенное
здесь
рассмотрение
является
чисто
классическим,
и
лишь
в
конце
выкладок
в
них
вводится
постоянная
Планка.
Хотя
флуктуационно-диссипационную
теорему
можно
вывести,
используя
обобщенные
переменные,
нагляднее
будет
провести
рассуждения
для
конкретной
физической
задачи.
Рассмотрим
наноразмерную
систему,
харак
терный
пространственный
масштаб
которой
много
меньше
длины
световой
волны
(см.
рис.
14.1),
что
позволяет
описывать
взаимодействие
с
системой
в
электриче
ском
дипольном
приближении.
Теория
может
быть
легко
расширена,
если
учесть
мультипольные
слагаемые
более
высоких
порядков.
Пусть
наноразмерная
система
состоит
из
конечного
числа
заряженных
частиц
с
N
степенями
свободы.
В
состоянии
404
Гл.
/4
Взаимодействия,
обусловленные
флуктуациями
E(r,
t)
•
•
•
-t--
•
•
•
•
•
•
d«л
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
Рис
14
1
Взаимодействие
оптического
излучения
с
системой
частиц,
находившихся
из
начально
в
термодинамическом
равновесии.
Состояние
системы
определяется
координатой
8 =
[C/I
. . .
C/N,
PI
. •• PN]
В
фазовом
пространстве,
где
qj
и
Pj
-
обобщенные
координаты
и
со
пряженные
им
импульсы
з-й
частицы
соответственно.
Если
характерный
масштаб
длины
d
системы
мал
по
сравнению
с
длиной
волны
Л,
энергия
взаимодействия
между
оптическим
излучением
и
системой
описывается
в
электродипольном
приближении'
БН
= -11(S, t) . E(t),
где
11
-
электрический
дипольный
момент
термодинамического
равновесия
вероятность
нахождения
дипольного
момента
J1
в
состоянии
.Ч
=
[ql
...
qN;
РI
...
PN]
дается
функцией
распределения
leq(s) =
10e-Но(s)/kТ,
(14.1)
где
10
-
нормировочная
постоянная,
гарантирующая,
что
J leq(s)ds =
1,
Но
-
равновесный
гамильтониан
системы,
k -
постоянная
Больцмана,
а
Т
-
темпера
тура.
Через
Чl
и
Рз
обозначены
обобщенные
координаты
и
обобщенные
импульсы
соответственно;
.'i -
точка
в
фазовом
пространстве
координат
и
импульсов
системы.
Термодинамическое
равновесие
усредненного
по
времени
ансамбля
J1
дается
равен-
ством
J
feq(s)j1(s,
t)ds
(J1(s,
t)) = J =
(J1),
feq(s)ds
(14.2)
где
интегрирование
проводится
по
всем
координатам
[ql
...
qN;
РI
..
. pN].
Благодаря
тепловому
равновесию
усредненный
ансамбль
не
зависит
от
времени.
14.1.1.
Функция
отклика
системы.
Рассмотрим
внешнее
поле
E(r,
t),
которое
возмущает
равновесие
системы.
Полагая,
что
характерный
размер
системы
d
много
меньше
длины
волны
Л,
можем
записать
гамильтониан
возмущенной
системы
в
ди
польном
приближении:
н
=
Но
+
8Н
=
Но
-
J1(S,
t) . E(t) =
Но
-
2:
JLk(S,
t)EA·(t), k =
х,
у,
Z.
(14.3)
k
Благодаря
внешнему
возмущению
E(t)
ожидаемое
значение
J1
будет
отличаться
от
своего
равновесного
значения
(J1).
Обозначим
математическое
ожидание
J1
в
возму
щенном
состоянии
через
11.
Предположим,
что
отклонение
дl1(t)
=
l1(t)
-
(J1)
(14.4)
мало
и
что
от
внешнего
возмущения
оно
зависит
линейно:
t
дР;1(t)=2~~
J
Ojk(t-t')Еk(t')dt',
),k=x,y,z,
-00
( 14.5)
14.1.
Флуктуацuонно-дuссunацuонная
теорема
405
где
ajk
функция
отклика
системы.
При
этом
мы
предполагаем,
что
система
стацио
нарна
(ajk(t,
t') =
ajk(t
-
t')
и
удовлетво-
ряет
принципу
причинности
(ajk(t
-
t')
=
О,
если
t' > t).
Равенство
(14.5)
устанавлива
ет,
что
отклик
в
момент
времени
t
зависит
не
только
от
возмущения
в
момент
t,
но
E~
также
и
от
возмущений
в
предшествующие
моменты
времени.
«Память.
системы
заклю-
Рис.
142
Зависимость
возмущения
от
чена
в
ajk,
и
наша
цель
-
определить
ajk
времени.
Возмущение
обеспечивает
пол-
как
функцию
статистических
равновесных
ную
релаксацию
системы
на
временах
свойств
системы.
При
этом
удобно
рассмот-
t =
О
(непосредственно
перед
ступенькой)
иt-+оо
реть
возмущение,
показанное
на
рис.
14.2,
которое
переводит
систему
из
состояния
полной
релаксации
(т.
е
равновесного)
в
другие состояния
[2].
Время
релаксации
можно
наглядно
связать
с
памятью
отклика
системы. Расчет
возмущения,
показанного
на
рис.
14.2,
согласно
равен
ству
(14.5)
дает
о
:х;
дJiJ(t)
=:;
J
aJk(t
-
t')dt'
=
~;
J
a/k(T)(lT,
(14.6)
-х
t
откуда
следует
решение
для
ajk:
ajl,(t)
=
-~8(t);t871J(t).
(14.7)
Здесь
мы
предположили,
что
функция
отклика
ajk
и
ее
производная
по
времени
стремятся
к
нулю
при
t
---+
00.
Кроме
того,
здесь
введена
функция
Хевисайда
6(t)
«<ступенька.),
чтобы
обеспечить
причинность
(ajk(t-
- t') =
о при
t'
> t).
1)
Из
равенства
(14.7)
можно
найти
ajk,
если
рассчитать
производную
по
времени
от
дJiJ'
Математическое
ожидание
J1
в
момент
време
ни
t
определяется
функцией
распределения
f(s)
в
начальный
момент
времени
согласно
равенству
(см.
рис.
14.3)
J
J(s)jJ.(S,
t)ds
Ji(
t) =
"---;,------
J J(s)ds
(14.8)
Поскольку
в
момент
времени
t =
О
имело
место
тер
модинамическое
равновесие,
функция
распределения
запишется
следующим
образом:
Лв)
'"
e-(Но+БН)/kТ
=
feq(s)e-БН(s)/kТ
=
=
feq(s)
[1
-
k~8H(s)
+
...
], (14.9)
где
feq
(В)
дается
равенством
(14.1).
Последнее
слагае
мое
в
квадратных
скобках
-
это
разложение
в
ряд
8(t)
о
- -
---
==:--
......
- -
to
Рис
143
Диаграмма
движе
ния
в
фазовом
пространстве
точек
s
на
интервале
времени
от
t =
О до
t =
10
Дипольный
момент
в
момент
времени
10
можно
выразить
равенством
jJ.[s(to)]
=
jJ.[.'i(0).
to]
=
jJ.[.~.
to]
Среднее
по
ансамблю
значе
ние
дипольного
момента
опре
деляется
начальной
функцией
распределения
/(.'i)
1)
e(t)
=
о
при
t <
О,
e(t)
= 1/2
при
t =
О
и
e(t)
= 1
при
t >
О
-
Прuме'l
авт
406
Гл
14
Взаимодействия,
обусловленные
флуктуациями
схр
(-8Н(.ч)/kТ).
Подставляя полученное
выражение
в
(14.8)
и
удерживая
линейные
по
8Н
слагаемые,
имеем
1)
jI(t) =
м
-
k~
[(БН(s
)J1(s,
t)) -
(J1(S,
t))
(БН(s))]
,
(14.10)
где
посредством
(
...
)
обозначено
математическое
ожидание
в
отсутствие
возмущения,
т
е.
математическое
ожидание,
вычисленное
с
помощью
функции
распределения
feq,
заданной
равенством
(14.1).
Коль
скоро
БН(s)
есть
возмущение
в
момент
времени
t =
О,
получаем:
БН(s)
=
-JLk(s,О)Е2, и
равенство
(14.10)
можно
переписать
следу
ющим
образом:
8Ji.
J
(t) =
Ji.
1
(t) -
(JLJ(t))
= -
~;
[(JLj)(JLk)
-
(JLk(O)JLj(t))]
=
=
~
([JLk(O)
-
(JLk)]
[JLj(t)
-
(щ)])
=
~;
(БJLk
(О)БJLj
(t)) , (14.11)
где
мы
применили
(14.2),
а
также
ввели
обозначение
БJLj(t)
=
JLj(t)
-
(JL)).
Подстав
ляя
этот резул
ьтат
в
(14.7),
окончательно
получаем
(14.12)
Этот
важный
результат
часто
относят
к
временной
флуктуационно-диссипационной
теореме.
Он
утверждает,
что
отклик
системы
на
слабое
внешнее
поле
можно
вы
разить
с
помощью
флуктуаций
системы
в
отсутствие
внешнего
поля!
Отметим,
что
корреляционная
функция
(БJLk(О)БJL)(t))
есть
отличительная
черта
стационарной
рав
новесной
системы
и
что
эту
корреляционную
функцию
можно
сдвинуть
по
времени
на
произвольную
величину
Т,
и
при
этом
будет
выполняться
равенство
(14.13)
Во
многих
задачах
удобно
выразить
(14.12)
в
частотном
представлении
с
помо
щью
преобразования
Фурье
2):
:XJ
:х>
0JA:(W)
=
2~
f
O:jk(t)eiIUtdt,
jJj(W)
=
2~
f
БJLJ(t)е'<иtdt.
(14.14)
-х
-:>О
в
частотном
представлении
корреляционную
функцию
(БДJ(w)Бfik(w'))
можно
рас
считать,
при
меняя
преобразование
Фурье
к
iiJ(W)
и
бдk(w')
следующим
образом:
х
(8ji,(w)8jl!(w')) =
~
f
f(БJLj(Т')БJLk(т))е![<иТ'-<и'Т]dТ'dТ
=
41!"-
-ос
00
=
4:2
f f
(БJLk(т)БJLJ(t
+
т))еф-<и']т
e'IUtdTdt,
(14.15)
-х
1)
(1-
(БН)jkт)-1
~
(1
+
(БН)jkТ-
..
).
-
Примеч.
авт
2)
Поскольку
функция
БJ.Lj(t)
описывает
случайный
процесс,
она
не
является
квадратично
интегрируемой
и,
следовательно,
преобразование
Фурье
для
нее
не
определено
Однако
эти
трудности
можно
преодолеть
с
помощью
аппарата
обобщенных
функций.
Можно
показать,
что
в
настоящем
случае
преобразование
Фурье
можно
использовать
в
символическом
виде
[3]
Примеч
авт
14.1.
Флуктуацuонно-дuссunацuонная
теорема
407
где
использована
подстановка
т'
=
т
+ t.
Вследствие
стационарности
корреляционная
функция
под
интегралом
не
зависит
от
т,
и
интегрирование
по
т
приводит
К
дельта
функции.
1)
Окончательное
соотношение
известно
как
теорема
8инера-Хинчина:
ос
(бд
з
(VJ
)8дk(и/»)
=
8(VJ
-
VJ')
2~
J
(8/-Lk(
т
)8мз
(t +
т»)е"'Л
(lt,
(14.16)
-ос
которая
показывает,
что
при
надлежащие
разным
частотам
спектральные
компонен
ты
некоррелированы.
Интеграл
в
правой
части
равенства
называется
спектраль
ной
плотностью.
Чтобы
получить
спектральное
представление
флуктуационно
диссипационной
теоремы,
необходимо
применить
преобразование
Фурье
(14.12).
Правая
часть
равенства
приводит
к
свертке
спектра
ступенчатой
функции
8(VJ)
2),
и
спектру
d/dt(8/-Lk(О)8/-LJ(t»).
Чтобы
избавиться
от
мнимой
части
8,
будем
искать
решение
не
для
aJk(VJ),
а
для
ajk(VJ)
-
a;;)VJ).
Воспользовавшись
стационарностью,
теоремой
Винера-Хинчина
и
тем
фактом,
что
(8/-Lk(т)t5/-Lk(t
+
т»)
-
вещественная
величина,
получаем
(14.17)
Это
равенство
представляет
собой
аналог
(14.12)
в
частотном
представлении.
Мно
житель
kT
можно
определить
как
среднюю
энергию
в
расчете
на
одну
степень
свободы
частицы
в
системе
(принцип
равнораспределения).
Эта
средняя
энергия
ос
нована
на
предположении,
что
энергия
электромагнитной
волны
обладает
непрерыв
ным
распределением.
Однако,
согласно
квантовой
теории
эти
моды
могут
обладать
лишь
дискретными
значениями
энергии,
разделенными
интервалом
дЕ
=
l~VJ,
и,
следовательно,
среднюю
энергию
kT
следует
заменить:
hw
kT
-
exp(hwjkT)
_ 1 +
t~VJ,
(14.18)
что
соответствует
средней
энергии
квантового
осциллятора
(первое
слагаемое)
и
энергии
нулевых
колебаний
(второе
слагаемое).
При
этом
в
качестве
последнего
слагаемого
мы
выбрали
1iы
вместо
nVJ/2
для
достижения
согласия
с
квантовой
теорией,
которая
требует,
чтобы
выражение
(8jij(VJ)8jik(VJ'»)
было
антикоррелировано
при
VJ
>
О
(см.
разд.
14
1.4).
В
пределе
при
n -
о
или
nVJ
«
kT
подстановка
(14.18)
вновь
принимает
класси
ческое
значение
kT.
Переписывая
правую
часть
(14.18)
как
1iы/[I
-
ехр(
-l/VJ/kТ)]
и
подставляя
это
выражение
в
(14.18),
приходим
к
квантовой
версии
флуктуационно
диссипационной
теоремы
[4], [5]:
(14.19)
с
правой
частью
полученного
равенства
связана
диссиnация,
тогда
как
левая
часть
представляет
флуктуации
равновесной
системы.
Важно
отметить, что
квантовая
ме
ханика
при
водит
к
диссипации
даже
при
температуре
абсолютного
нуля.
Остающиеся
1)
f~oc
exp{zxy}
dy
=
27rб(х)
2)
~
1 1 1
e(w) =
-б(w)
-
--
2
271"
и""
408
Гл
/4
Взаимодействия,
обусловленные
флуктуациями
флуктуации
действуют
только
на
положительных
частотах!
Это
легко
увидеть
из
следующего
предела:
(
)
{
1,
U)
>
О,
+~ъ
,_
e!liwlkT
=
8(U))
=
1/2,
U)
=
О,
О,
U)
<
О.
(14.20)
Флуктуационно-диссипационную
теорему
можно
обобщить
таким
образом,
чтобы
она
учитывала
пространственную
зависимость
источников.
Оказывается,
что
если
функция
отклика
системы
локальна,
т. е.
ejk(r, t) = ejk(t)
или
ejk(k,
U))
=
ejk(U)),
то
флуктуации
в
двух
различных
пространственных
координатах
некоррелированы
[6].
Для
флуктуаций
плотности
тока
8j(r,
t)
в
изотропной
и
однородной
среде
с
диэлек
трической
проницаемостью
e(U))
равенство
(14.19)
можно
обобщить
[7]:
(8]J(r,U))b];(r',U)')) =
Ш;Ое"(U))
С
_
e~~",lkT
)
8(U)
-
UJ')8(r
- r')8)k, (14.21)
где
е"
-
мнимая
часть
е,
(!
-
фурье-образ
8J,
а
символ
Кронекера
8
jk
является
следствием
изотропии.
14.1.2.
Белый
шум.
Окончательно
запишем
флуктуационно-диссипационную
теорему
в
той
форме.
в
которой
она
была
развита
Колленом
и
Велтоном
[1].
Отме
тим,
что
флуктуация
дипольного
момента
8~
порождает
локальное
стохастическое
электрическое
поле
8Е
согласно
равенству
8jl7(U))
=
L>~jk(U))8Ek(U))
],
k =
х,
у,
z,
(14.22)
k
которое
прямо
следует
из
временного
соотношения
(145),
если
применить
к
нему
преобразование
Фурье
(14.14).
Подстановка
линейного
соотношения
в
(14.19)
при-
водит
к
равенству
(дЕ)
(U))bE;(U)))
=
2:zш
С
_
e~~"'lkT
) [Qk;l
(U))
-
a;l}
(U))]
б(U)
-
U)'),
(14.23)
которое
задает
корреляцию
локального
электрического
поля,
индуцированного
флук
туациями
диполя.
Интегрируя
обе
части
равенства
по
U)'
и
при
меняя
теорему
Винера-Хинчина,
получаем
х
2:/Ц}
С
_(~~"'lkT)
[n:k~l(U))
-Q}k1(U))]
=
2~
f
(БЕk.(т)БЕ)(t+т))еЖUJfdt.
(14.24)
-х
Дальнейшее
интегрирование
по
U)
приведет
к
возникновению
дельта-функции
в
пра
вой
части
равенства,
что
позволит
рассчитать
интеграл
по
времени.
Окончательный
результат
имеет
вид
х
(8E
k
(T)bE
j
(T))
= -2' f
~
(
п~
IkT)
[Qk)-l(U))
-
а)/}
(U))]
dU).
71'
7Ц}
,_
е-
UJ
(14.25)
х
Теперь
применим
полученную
формулу
к
флуктуациям
заряда
в
резисторе.
Флук
туации
плотности
тока
можно
выразить
через
флуктуации
дипольного
момента
как
д)
= (l/dt(b/l.)8(r -
г').
В
предположении
об
изотр~ности
резистора
(j
=
k),
соотношение
между
током
и
полем
задается
равенством
бj(U))
=
-Zu)Q(U))б(г
-
г')8Е,
что
позволяет
нам
определить
множитель
[-1U)(х(U))8(г
-
г,)Г
1
как
удельное
сопро-
141
Флуктуацuонно-дuссunацuонная
теорема
409
тивление
p(w).
Предполагая,
что
p(w)
-
вещественная
величина,
можно
перепи
сать
(14.25)
в
виде
х
(БЕ
2
)
=
~
J
(1
_
e~~",/kT
)
р(w)б(г
-
r')dJ.V,
(14.26)
-х
и
затем
в
терминах
напряжения
V
и
сопротивления
R:
ос
ос
(бv
2
)
=
~
J
[1
_
e~~"'/kT
] R(w)dw =
~
J
[1
_
е:"'/АТ]
R(w)dw-
-ос
О
ос
ос
-
~
J
[1-
e:"'/kT
-
nw]
R(-w)dJ.V
=
~
J
[en"'/~~
-1
+
~ftW]
R(w)(lw.
(1427)
о о
При
этом
мы
уменьшили
интервал
интегрирования
до
[о
...
х]
и
воспользовались
равенством
R(w) =
-R(-w).
В
левой
части
полученного
равенства
стоит
среднеквад
ратичная
флуктуация
напряжения.
При
температурах
kT
:»
ftw,
что
характерно
прак
тически
для
большинства
частот
при
комнатной
температуре,
выражение
в
скобках
можно
заменить
его
классическим
пределом
kT.
Более
того,
для
систем
с
конечной
полосой
частот
В
=
(W
max
-
W
m
iIl)/21Г
И
для
не
зависящего
от
частоты
сопротивления
получаем
(1428)
Полученное
равенство
соответствует
белому
шуму,
или
шуму
Джонсона,
который
генерируется
резистором
в
электрическом
токе.
В
полосе
частот
10
кГц
при
комнат
ной
температуре
резистор
1
О
МОм
генерирует
напряжение
~
40
МКВ
ср
кв
ЗНЗ'!
•
14.1.3.
Диссипация,
обусловленная
флуктуациями
внешних
полей.
Мы
получили
выражение
для
диссипации
системы
как
функции
флуктуаций
ее
зарядов.
В
настоящем
разделе
мы
получим
соотношение,
выражающее
диссипацию
через
поля,
порожденные
флуктуацией
зарядов.
Плотность
тока
бj
в
(14.21)
порождает
электрическое
поле
БЕ(г,w)
=
iЩlО
J G(r,
го;w)бj(го,w)
d3г
о,
(14.29)
V
o
где
все
токи
ограничены
областью
Vo.
Умножая
вышеуказанное
выражение
на
со
ответствующее
выражение
для
поля
БЕ(г',
w'),
усредняя
по
ансамблю
и
при
меняя
(14.21),
получаем
(
БЕJ(г,w)БЕk(Г',w'))
=
~З
[
~~"'/kT]
б(w
-
w')
х
1ГС
ео
1 -
е
Х
L J Gjn(r, ro;w)e"(w)Gkn(r', ro,w)(Pro. (14.30)
n
110
Отметим
теперь,
что
диэлектрические
свойства
области
источника
определяются
не
....
только
значением
е",
но
и
тензором
G,
поскольку
последний
зависит
от
множителя
410
Гл
14.
Взаимодействия,
обусловленные
флуктуациями
k
2
=
(VJj(:)2
c
(VJ)
(см
(2.78».
Поэтому
вышеприведенное
равенство
можно
переписать
для
корреляционных
функций
электрического
поля
с
помощью
тождества
[8,
9]:
l:
f GJII(r,ro,VJ)c"(VJ)Gkn(r',ro;VJ)d3ro = Im[Gj1,.(r,r';VJ)], (14.31)
11
\1;1
которое
можно
получить
из
равенства
G~J(r',r;VJ)
= Gj,(r,r',VJ),
потребовав,
что
бы
Фrнкция
Грина
обращалась
в
нуль
на
бесконечности,
и
используя
определе-
ние
G (2.78).
Чтобы
удовлетворить
условию
равенства
нулю
на
бесконечности,
....
G
должна
состоять
из
уходящей
и
приходящей
частей,
гарантирующих
отсутствие
переноса
энергии,
т.
е.
усредненный
по
времени
вектор
Пойнтинга
должен
быть
равен
нулю
в
любой
точке
пространства.
Это
условие
гарантирует,
что
все
заряды
находятся
в
равновесии
с
полем излучения
[10].
Теперь
флуктуационно-диссипационную
теорему
можно
выразить
через
одну
лишь функцию
Грина:
(14.32)
Этот
результат
устанавливает
соответствие
между
флуктуациями
поля
(левая
часть)
и
диссипацией
(правая
часть),
которое
выражается
с
помощью
мнимой
части
функ
ции
Грина.
Как
и
ранее,
результат
справедлив
строго
в
состоянии
равновесия,
т.
е.
тогда,
когда
температуры
поля
и
источников
совпадают.
14.1.4.
Нормальное
и
антинормальное
упорядочивание.
Разобьем
напряжен
ность
электрического
поля
E(t)
в
произвольной
точке
r
на
две
части:
х
О
Еи)
= E+(t) +
E-(t)
= f
E(VJ)e-iwtdVJ
+ f
E(VJ)e-twtdVJ,
(14.33)
о
-:х>
где
E(VJ)
-
фурье-образ
поля
E(t).
Функции
E+(t)
и
Е-Щ
более
не
являются
вещественными,
теперь
это
так
называемые
комплексные
аналитические
сигналы
[3].
Функция
E+(t)
определяется
положительными
частотами
функции
E(t),
тогда
как
E-(t)
-
отрицательными.
Поскольку
E(VJ)
-
вещественная,
имеет
место
равенство
E*(VJ)
=
Е(
-VJ),
откуда
следует,
что
Е-
=
(Е+)*.
Рассмотрим
также
обратное
пре
образование
Фурье
функций
E+(t)
и
E-(t):
х
х
E+(t) = f
E+(VJ)e-iwtdVJ,
E-(t)
= f
E-(VJ)е-twtdVJ.
-х
-х
Очевидно,
что
спектры связаны
с
исходным
спектром
Е
следующим
образом:
E+(VJ)
= {E(VJ),
VJ
>
О,
О,
VJ
<
О,
VJ
>
О,
VJ
<
О.
(14.34)
(14.35)
в
квантовой
механике
Е-
ассоциируют
с
оператором
рождения
a;t,
а
Е+
-
с
опе
ратором
уничтожения
а;
(см.
разд.
8.4).
Последовательность
Е-Е+
описывает
веро
ятность
поглощения
фотона,
а
последовательность
Е+Е-
-
вероятность
излучения
фотона
[3].
Существенно,
что
в
квантовой
механике
эти
процессы
не
идентичны,
т.
е.
Е+
и
Е-
не
коммутируют.
Поэтому
корреляционные
функции
Е-Е+
(нормаль-
14.2.
Излучение
флуктуирующих
источников
411
ное
упорядочивание)
и
Е+Е-
(антинормальное
упорядочивание)
следует
рассчиты
вать
независимо.
Теперь
обратим
внимание
на
флуктуации
поля
8E(r, t),
среднее
значение
которых
равно
нулю,
и
разложим
их
спектр
на
часть,
соответствующую
положительным
частотам,
и
часть,
соответствующую
отрицательным
частотам.
Воспользовавшись
результатами
[4]
и
при
меняя
процедуру,
использованную
при
выводе
(14.32),
находим
(
t5E;(r,~)8Et*(r/,~/))
=
w8\-w)
[
n:::''''/kT]
Im[Gjk(г,г/,w)Jt5(~-~/),
(14.36)
1ГС
со
1 -
е
(
t5Еt(Г,~)8Е-;:;*(Г/,~/))
=
we~w)
[
~~"'/kT]
Im[Gjk(г,г/;~)Jt5(~-~/),
(14.37)
1ГС
со
1 -
е
где
e(~)
-
ступенчатая
функция.
Таким
образом,
корреляционная
функция
нор
мально
упорядоченных
операторов
равна
нулю
для
положительных
частот,
и
сходным
образом
корреляционные
функции
антинормально
упорядоченных
операторов
равны
нулю
для
отрицательных
частот.
Можно
показать,
что
(8Е)-
БЕ;:;*)
=
(БЕ1
t5Et*) =
о
и,
следовательно,
корре
ляционная
функция
полного
поля
Е
=
Е-
+
Е+
представляет
собой
просто
сумму
корреляционных
функций
вышеуказанных
нормально
и
антинормально
упорядочен
ных
полей,
что
возвращает
нас
к
равенству
(14.32)
и
позволяет
интерпретировать
корреляционную
функцию
(8Е
з
8Е;')
как
последовательность
событий
поглощения
и
испускания.
Для
полноты
картины
мы
также
установим
флуктуационно-диссипационную
тео
рему
для
симметризованных
корреляционных
функций.
Интересующее
нас
выраже
ние
имеет
вид
(1438)
Из
(14.36)
и
(14.37)
непосредственно
следует,
что
приведенное
выше
выражение
равно
+1iw
[-21
+
n"'/k~
]
1т
[Gjk(r,r/;~)J
8(~
-
~O)·
1ГС
со
е
- 1
(14.39)
Таким
образом,
единственная
разница
по
сравнению
с
(14.32)
состоит
в
замене
множителя
1
на
1/2.
Следовательно,
при
Т
=
О
симметризованная
корреляционная
функция
более
не
равна
нулю
при
отрицательных
частотах.
14.2.
Излучение
флуктуирующих
источников
Плотность
энергии
произвольно
флуктуирующего
электромагнитного
поля
в
ва
кууме
дается
равенством
(сравните
с
(2.55»
W(r,
t) =
~
8E(r,
t) . t5E(r,
t)
+
~O
t5H(r, t) . t5H(r, t).
(1440)
Для
упрощения
записи
опустим
аргумент
r.
В
предположении
стационарности
флук
туаций
усредненное
W
принимает
вид
00
W = J W
«J(~)dv;
=
~
(8E(t) .
8E(t))
+
~O
(8H(t) . 8H(t»).
(14.41)
412
Гл
14
Взаимодействия,
обусловленные
флуктуациями
Среднеквадратичное
значение
8Е
можно
выразить
следующим
образом:
ос
(БЕ(t)
. 8E(t)) =
2~
J J (8E(t) . 8E(t +
Т))
e
lWT
dv.;dr,
(14.42)
-ос
причем
для
БН
имеет
место
аналогичное
выражение.
Теперь
можно
определить
спектральную
плотность
энергии
W
w(w)
как
')
х
ИТ",(w)
= J
[:~
(8E(t) . 8E(t +
Т))
+
~;
(8H(t) .
8H(t
+
Т))]
e!",tdr.
(14.43)
-х
После
домножения
обеих
частей
равенства
на
8(,,",
-
,,",'),
применения
теоремы
Винера-Хинчина
и
введения
пространственной
зависимости
получаем
И
Т
",(г,
w)б(w
-
,,",')
=
с;
(БЕ*(г,
w)
.
8Е(г,
,,",'))
+
iO
(8П*(Г,
""')
.
8П(г,
""")), (14.44)
где
БЕ
и
БП
-
фурье-образы
8Е
и
8Н
соответственно.
В
дальнем
поле
18пl
=
=
IБЕI
VC:O/ILo,
и
плотности
энергии
электрического
и
магнитного
полей
становятся
равны.
Определим
спектральную
плотность
энергии
~V
<и,
обусловленную
распределением
флуктуаций
тока
бj
в
произвольной
системе
отсчета,
предполагая,
что
послед-
+->
ние
описываются
диадной
функцией
Грина
G(r,r',w).
Применяя
обсуждавшиеся
в
разд.
8.3.1
равенства,
получаем
БЕ(г,w)
= 2Wj.lO J G(r,r';w)81(r',w)dV', (14.45)
\/
8П(г,w)
= J
[v
х
G(r,r';w)]
81(r',w)dV'. (14.46)
v
После
подстановки
этих
равенств
в
выражение
для
W W
усреднение
полей
сводится
к
усреднению
токов.
2)
Последнее
затем
исключается
посредством
флуктуационно
диссипационной
теоремы
(14.21).
Интегрирование
по
"""
при
водит
К
равенству
П"w(г,w)
=
UJ
2
[
~~
/kT]
Х
1Г('
1 -
('
''''
Х
L J :-"(r',w)
[~:
I[G(r,r"W)]JkI2 +
I[V
Х
G(r,r',w)]JkI2] dV', (14.47)
J
~
\,"
+->
где
посредством
[G]1
k
и
[V
х
G]Jk
обозначены
Jk-e
элементы
тензоров
G
и
V
х
G
соответственно
Первое
слагаемое
в
скобках
возникает
из
вклада
электрического
1)
Имеем
в
виду,
что
величина
W'"
определена
как
для
положительных,
так
и
для
отрица"
тельных
частот
-
Примеч
авт.
2)
Поля.
заданные
системой
дискретных
флуктуирующих
диполей,
можно
записать
в
ана
логичной
форме
(см
разд
83.1),
а
затем
с
помощью
флуктуационно-диссипационной
теоре
мы
(1423) -
Примеч
авт.
можно
вывести
И"",