Невзоров В.Н., Сугак Е.В. Надежность машин и оборудования. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

Çàäà÷à îáåñïå÷åíèÿ çàïàñíûìè ýëåìåíòàìè ðåøàåòñÿ â ðàìêàõ òåîðèè

óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè. Ïîä óïðàâëåíèåì çàïàñàìè ïîíèìàåòñÿ îïðåäåëåíèå

ìîìåíòîâ è îáúåìîâ çàêàçîâ íà âîñïîëíåíèå çàïàñîâ è èõ ðàñïðåäåëåíèå

èñõîäÿ èç ìèíèìèçàöèè ñóììàðíûõ ðàñõîäîâ. Îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè ÿâ-

ëÿþòñÿ ñèñòåìà ñíàáæåíèÿ, ñïðîñ íà ïðåäìåòû ñíàáæåíèÿ, âîçìîæíîñòü

ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ, ôóíêöèè çàòðàò è íàëîæåííûå îãðàíè÷åíèÿ. Îñíîâ-

íàÿ öåëü óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè - àíàëèç ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû ïðè

ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû ñíàáæåíèÿ, ñïðîñà è ïîïîë-

íåíèÿ çàïàñîâ, ôóíêöèé çàòðàò, à òàêæå âûáîð îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ

ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ (ñîâîêóïíîñòè ïðàâèë, ïî êîòîðûì ïðèíèìàþòñÿ

ðåøåíèÿ ïî ïîïîëíåíèþ è ðàñïðåäåëåíèþ çàïàñîâ).

Â îáùåì âèäå ðåøåíèå çàäà÷ òåîðèè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè âûõîäèò çà

ðàìêè òåîðèè íàäåæíîñòè, îäíàêî ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî îïòèìàëüíîìó

ðåçåðâèðîâàíèþ ñëóæàò èñõîäíûìè äàííûìè äëÿ ðàçðàáîòêè ñòðàòåãèè

óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè (çàïàñíûìè ýëåìåíòàìè).

7.2.1. Определение количества резервных элементов

Êîëè÷åñòâî íåîáõîäèìûõ çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ ïðè ýêñïëóàòàöèè òåõíè-

÷åñêèõ ñèñòåì ìîæíî îïðåäåëèòü äâóìÿ îñíîâíûìè ñïîñîáàìè: íà îñíîâà-

íèè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ïî ýêñïëóàòàöèè ñèñòåì (èëè èõ àíàëîãîâ) è

ðàñ÷åòîì â ñî÷åòàíèè ñî ñòàòèñòè÷åñêèì ìîäåëèðîâàíèåì.

Ïåðâûé ìåòîä (ìåòîä èíæåíåðíîãî àíàëèçà) ïîçâîëÿåò ïðàêòè÷åñêè

áåç ðàñ÷åòîâ ïðèíèìàòü ðåøåíèå î âêëþ÷åíèè ýëåìåíòîâ â íîìåíêëàòóðó

çàïàñíûõ ÷àñòåé. Îí ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðàçðàáîòêå òåõíè÷åñêèõ

èçäåëèé, áàçèðóþùåéñÿ íà ñîâåðøåíñòâîâàíèè ñóùåñòâóþùèõ êîíñòðóê-

öèé, êîãäà â íîâûõ ïðîåêòàõ ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå

ñòàíäàðòíûõ èëè óíèôèöèðîâàííûõ äåòàëåé, óçëîâ è áëîêîâ.

Ìåòîä èíæåíåðíîãî àíàëèçà çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè íîìåíêëàòóðû

çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ ïóòåì îöåíêè èõ êëàññèôèêàöèîííûõ ïðèçíàêîâ

(òàáë.7.1). Àíàëèç íà÷èíàåòñÿ ñ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé âûñøåãî óðîâíÿ, ò.å.

êðóïíûõ ñáîðî÷íûõ åäèíèö è êîìïëåêñîâ, çàòåì àíàëèçèðóþòñÿ áîëåå ìåë-

êèå ÷àñòè (áëîêè, óçëû è ò.ä.) è, íàêîíåö, îòäåëüíûå äåòàëè. Ïî ðåçóëüòà-

òàì àíàëèçà êàæäîé ñîñòàâíîé ÷àñòè (ýëåìåíòó) ïðèñâàèâàåòñÿ ÷åòûðåõ-

çíà÷íûé êîä (êîäîâîå ÷èñëî) (ñì.òàáë.7.1). Ýëåìåíò âêëþ÷àåòñÿ â íîìåíê-

ëàòóðó çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè êîä ñîñòîèò èç îäíèõ

åäèíèö. Êîëè÷åñòâî çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ èñõîäÿ èç äàííûõ

ïî ýêñïëóàòàöèè îáúåêòîâ èëè èõ àíàëîãîâ.

Òàáëèöà 7.1

ОЦЕНКА КЛАССИФИКАЦИОННЫХ ПРИЗНАКОВ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ ОБЪЕКТА [27]

Íîìåð

Êëàññèôèêàöèîííûå ïðèçíàêè ñîñòàâíûõ ÷àñòåé Îöåíêà

ðàçðÿäà

Ïðèçíàê Õàðàêòåðèñòèêà ïðèçíàêà ïðèçíàêà

1 Âîçìîæíîñòü Êîíòðîëèðóåòñÿ 1

êîíòðîëÿ Íå êîíòðîëèðóåòñÿ 0

2 Âîçìîæíîñòü îòêàçà Îòêàçû âîçìîæíû 1

çà âðåìÿ ýêñïëóàòàöèè Îòêàçû ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíû 0

3 Âëèÿíèå îòêàçîâ íà Ïðèâîäèò ê îòêàçó ñèñòåìû 1

ðàáîòîñïîñîáíîñòü ñèñòåìû

Íå óõóäøàåò âûïîëíåíèå ôóíêöèé

4 Öåëåñîîáðàçíîñòü Çàìåíîé ýëåìåíòà 1

óñòðàíåíèÿ îòêàçà Ïðè òåõíè÷åñêîì îáñëóæèâàíèè 0

Òàêîé ñïîñîá äîñòàòî÷íî íàäåæåí è òî÷åí ëèøü äëÿ óñòîé÷èâûõ â êîí-

ñòðóêòèâíîì îòíîøåíèè òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì è âîçìîæåí ëèøü ïîñëå èõ

äëèòåëüíîé ýêñïëóàòàöèè.

Âòîðîé (ðàñ÷åòíûé) ìåòîä ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ïðîåêòèðîâàíèè

ñîâåðøåííî íîâûõ íå èìåþùèõ àíàëîãîâ òåõíè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Îí îñíî-

âàí íà ðåçóëüòàòàõ ñòðóêòóðíî-ëîãè÷åñêîãî àíàëèçà íàäåæíîñòè òåõíè÷å-

ñêèõ ñèñòåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè ñòðóêòóðíîãî ðåçåð-

âèðîâàíèÿ.

Èñïîëüçîâàíèå ñèñòåìû îáåñïå÷åíèÿ çàïàñíûìè ýëåìåíòàìè ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé îäèí èç âèäîâ ðåçåðâèðîâàíèÿ (ðåçåðâèðîâàíèå çàìåùåíèåì

[13]) è ïðè ðàñ÷åòå îïòèìàëüíîãî ñîñòàâà çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî âîñ-

ïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäàìè îïòèìèçàöèè ñòðóêòóðíîãî ðåçåðâèðîâàíèÿ (ãë.5).

Ñïåöèôèêà è ñëîæíîñòü ðàñ÷åòà çàêëþ÷àåòñÿ â íåîïðåäåëåííîñòè íîðì

ðàñõîäà çàïàñíûõ ÷àñòåé âñëåäñòâèå ðàçáðîñà çíà÷åíèé ñðîêà ñëóæáû èëè

ðåñóðñà. Åñëè, íàïðèìåð, ðåñóðñ ýëåìåíòà ëåæèò â èíòåðâàëå îò t

min

äî

max

(ðèñ.7.7), òî ðåñóðñ äâóõ ýëåìåíòîâ (îñíîâíîãî è ðåçåðâíîãî) - â èí-

òåðâàëå îò 2t

min

äî 2t

max

, òðåõ - îò 3t

min

äî 3t

max

è ò.ä., ò.å. ñ óâåëè÷åíèåì

îáùåãî ñðîêà ýêñïëóàòàöèè è êîëè÷åñòâà çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ ðàçáðîñ çíà-

÷åíèé óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòàõ íåîáõîäèìîãî êîëè÷åñòâà çà-

ïàñíûõ ýëåìåíòîâ îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè [13].

Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ çàäàííîãî ðåñóðñà T íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ

t T

, (7.13)

ãäå t

- íàðàáîòêà èëè ðåñóðñ i-ãî ýëåìåíòà, m- ÷èñëî ýëåìåíòîâ, çàìåíÿåìûõ â ïðîöåññå

ýêñïëóàòàöèè (íåîáõîäèìûé çàïàñ ðåçåðâíûõ ýëåìåíòîâ).

Íåðàâåíñòâî (7.13) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óñëîâèå äîñòàòî÷íîñòè ÷èñëà

çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ. Ïîñêîëüêó ÷èñëî m çàâèñèò îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

ðåñóðñà t

, òî óñëîâèå (7.13) âûïîëíÿåòñÿ ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ:

p t T p

. (7.14)

Ðåñóðñ, êîòîðûé íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü äëÿ íàäåæíîãî ôóíêöèîíèðî-

âàíèÿ n îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ, äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü óñëîâèþ

p t nT p

. (7.15)

ñð

max

min

f(t)

min

ñð

max

Ðèñ.7.7. Îïðåäåëåíèå íåîáõîäèìîãî ÷èñëà çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ

Íà îñíîâàíèè ïðåäåëüíîé òåîðåìû âåðîÿòíîñòåé è â ñîîòâåòñòâèè ñ îñ-

íîâíûìè ñâîéñòâàìè õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëó÷àéíàÿ âåëè÷è-

íà ñóììàðíîé íàðàáîòêè çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíî-

ìó çàêîíó ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé

() ()

M t mMt mt D t mDt mD

i ñ i

= =

å å

= =

1 1

, . (7.16)

Òîãäà

( )

()

pp t nT pmt nT F

mMt nT

mDt

mt nT

= ³

= ³ =

, (7.17)

ãäå F(x) - èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ââåäÿ ïîíÿòèå êâàíòèëè u

, óðàâíåíèå (7.17) çàïèøåòñÿ â âèäå

mt nT

= . (7.18)

Åñëè îáîçíà÷èòü ñðåäíåå íåîáõîäèìîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ çà âåñü ïåðèîä

ýêñïëóàòàöèè`n=nT/T

ñð

è ââåñòè îáîçíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà âàðèàöèè

ðåñóðñà ýëåìåíòà v

1/2

ñð

, òî óðàâíåíèå (7.18) çàïèøåòñÿ â âèäå

m n uvm

- = (7.19)

èëè

m mn n uvm

2 2 22

2- - = , (7.20)

îòêóäà [13]

( )

mnuv n nuv nuvn

pt pt pt

= + + + + » +2 2

. (7.21)

Çàâèñèìîñòü (7.21) ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ïðèáëèçèòåëüíîå ÷èñëî çàïàñ-

íûõ ýëåìåíòîâ, íåîáõîäèìîå äëÿ îáåñïå÷åíèÿ çàäàííîãî ðåñóðñà.

Äëÿ ïðèáëèæåííûõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóåòñÿ òàêæå àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà

âèäà [27]

m T u T= +l l

, (7.22)

ãäå l - èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ, T - çàäàííîå âðåìÿ ðàáîòû îáúåêòà, u

- êâàíòèëü íîð-

ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè g (îáû÷íî g=0,90¸0,99).

Åñëè ñèñòåìà ñîñòîèò èç n îñíîâíûõ è m ðåçåðâíûõ (çàïàñíûõ) ýëå-

ìåíòîâ è èõ âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëü-

íîìó çàêîíó, çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìîãî êîëè÷åñòâà çàïàñíûõ ýëå-

ìåíòîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ ïðè íàðàáîòêå ñèñòåìû t çàäàííóþ âåðîÿòíîñòü

áåçîòêàçíîé ðàáîòû P

, ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ îòíîñèòåëüíî m íåðàâåíñòâà

( )

nt P

= - ³

exp

. (7.23)

Ðåøåíèå íåðàâåíñòâà (7.23) âîçìîæíî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè èëè ïîä-

áîðîì. Ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ íîìîãðàììîé (ðèñ.7.8): èñêîìîå çíà-

÷åíèå n ñîîòâåòñòâóåò êðèâîé, áëèæàéøåé ê òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè

nlt=nt/t

ñð

t è P

Íà ïðàêòèêå ïðè ðàçðàáîòêå îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ñíàáæåíèÿ çàïàñíû-

ìè ýëåìåíòàìè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçíîîáðàçíûõ

ôàêòîðîâ êàê òåõíè÷åñêèõ, òàê è îðãàíèçàöèîííûõ, ýêîíîìè÷åñêèõ, ìàðêå-

òèíãîâûõ è äð. Êðîìå òîãî, âîññòàíîâëåíèå ðàáîòîñïîñîáíîñòè ñèñòåìû

ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ íå òîëüêî çà ñ÷åò çàìåíû îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ,

íî è â ðåçóëüòàòå èõ âîññòàíîâëåíèÿ (ïîëíîãî èëè ÷àñòè÷íîãî), ò.å. ðå-

ìîíòà. Ïîýòîìó çàäà÷ó îïòèìèçàöèè çàïàñîâ â êàæäîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ

ðåøàòü èíäèâèäóàëüíî äëÿ êîíêðåòíîé òåõíè÷åñêîé ñèñòåìû.

7.2.2. Модель "гибели и размножения"

Â îáùåì ñëó÷àå â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåõíè÷åñêàÿ ñèñòåìà

ìîæåò ñîäåðæàòü îäèíàêîâûå (èëè âçàèìîçàìåíÿåìûå) ýëåìåíòû (âêëþ÷àÿ

çàïàñíûå) â ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèÿõ (ðèñ.7.9) [29]: n ýëåìåíòîâ â ðàáî÷åì

ñîñòîÿíèè ñ èíòåíñèâíîñòüþ îòêàçîâ l, m ýëåìåíòîâ â íàãðóæåííîì ðå-

çåðâå ñ òîé æå èíòåíñèâíîñòüþ îòêàçîâ l, l ýëåìåíòîâ â ñîñòîÿíèè îáëåã-

÷åííîãî ðåçåðâà ñ èíòåíñèâíîñòüþ îòêàçîâ l

, s ýëåìåíòîâ â ñîñòîÿíèè

íåíàãðóæåííîãî ðåçåðâà (â çàïàñå) è â ýòîì ñîñòîÿíèè íå îòêàçûâàþò, äî r

ýëåìåíòîâ ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ðåìîíòå ñ èíòåíñèâíîñòüþ âîññòàíîâëåíèÿ

0,2

0,4

0,6

0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

m=0

=10

Ðèñ.7.8. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû

îò ÷èñëà îñíîâíûõ (

) è ðåçåðâíûõ (

) ýëåìåíòîâ ïðè íåíàãðóæåííîì ðåçåðâå [

]

Запас

(ненагруженный

резерв)

Облегченный

резерв

Нагруженный

резерв

Рабочие

элементы

Ремонт

Снабжение Списание

Ðèñ.7.9. Áëîê-ñõåìà òåõíè÷åñêîé ñèñòåìû

m (÷èñëî r îïðåäåëÿåòñÿ ìîùíîñòüþ ðåìîíòíîé áàçû - êîëè÷åñòâîì ðå-

ìîíòíûõ ìåñò, ÷èñëîì ðåìîíòíûõ áðèãàä è ò.ä.).

Â ñèñòåìó ìîãóò ïîñòóïàòü íîâûå ýëåìåíòû ÷åðåç ñèñòåìó ñíàáæåíèÿ è

÷àñòü ýëåìåíòîâ ñïèñûâàåòñÿ. Êàæäûé îòêàçàâøèé ýëåìåíò èç ðàáî÷åé

ãðóïïû ìãíîâåííî ïîñòóïàåò íà ðåìîíò è çàìåíÿåòñÿ ýëåìåíòîì èç íàãðó-

æåííîãî ðåçåðâà, íà ìåñòî âûáûâøåãî ýëåìåíòà ñòàíîâèòñÿ ýëåìåíò èç

îáëåã÷åííîãî ðåçåðâà, à åãî ìåñòî çàíèìàåò ýëåìåíò èç íåíàãðóæåííîãî

ðåçåðâà, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, çàìåíÿåòñÿ ýëåìåíòîì èç ðåìîíòà. Î÷å-

âèäíî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàáîòîñïîñîáíîì ñîñòîÿíèè, åñëè ÷èñëî ðàáî-

òîñïîñîáíûõ ýëåìåíòîâ íå ìåíüøå n. Êîíêðåòíàÿ ñèñòåìà ìîæåò íå ñî-

äåðæàòü ýëåìåíòîâ â ñîñòîÿíèÿõ íàãðóæåííîãî è îáëåã÷åííîãî ðåçåðâà,

îòêàçàâøèå ýëåìåíòû ìîãóò íå ðåìîíòèðîâàòüñÿ, à ñðàçó çàìåíÿòüñÿ íî-

âûìè è ò.ä. Îäíàêî âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿþò-

ñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ñèñòåìû, áëîê-ñõåìà êîòîðîé ïðèâåäåíà íà ðèñ.7.9.

Ñèñòåìà ñ óñòàíîâèâøèìñÿ ðåæèìîì ðàáîòû ñîäåðæèò ïîñòîÿííîå êî-

ëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ N:

N = n + m + l +s + r. (7.24)

Ïðèâåäåííîå îïèñàíèå òåõíè÷åñêîé ñèñòåìû ïî ñóòè àíàëîãè÷íî îïèñà-

íèþ çàêðûòîé èëè îòêðûòîé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ (ñì.ãë.2), â

êîòîðîé óçåë îáñëóæèâàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ ýëåìåíòà, ïîýòîìó

äëÿ àíàëèçà ðàáîòîñïîñîáíîñòè òåõíè÷åñêîé ñèñòåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü

ìåòîäû òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå äëÿ ïîë-

íîãî îïèñàíèÿ ðàáîòû ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç N ýëåìåíòîâ, êàæäûé èç êî-

òîðûõ ìîæåò íàõîäèòüñÿ âî âñåõ ïÿòè ñîñòîÿíèÿõ íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü

âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé, ÷òî ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ N äåëàåò ðåøåíèå

çàäà÷è ïðàêòè÷åñêè íåðåàëüíûì. Äàæå åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî äâóìÿ

ñîñòîÿíèÿìè (èñïðàâíûì è íåèñïðàâíûì), íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü 2

âîç-

ìîæíûõ ñîñòîÿíèé.

Äëÿ ñîâîêóïíîñòè èäåíòè÷íûõ ïî íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ ÷èñëî ðàñ-

ñìàòðèâàåìûõ ñîñòîÿíèé ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííî ñîêðàùåíî. Òàê êàê äëÿ

êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ l

è ñóì-

ìàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü âîññòàíîâëåíèé m

çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà íåèñ-

ïðàâíûõ â äàííûé ìîìåíò ýëåìåíòîâ k, òî îíà ìîæåò áûòü îïèñàíà ìàð-

êîâñêèì ïðîöåññîì ñ ÷èñëîì ñîñòîÿíèé N+1 (â äàííîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèÿ

îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ÷èñëîì íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ k).

Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè áåçîòêàçíîñòè è âîññòàíîâëåíèÿ ýëå-

ìåíòîâ ïîä÷èíÿþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó (òî åñòü èíòåíñèâíîñòè

îòêàçîâ l è l

è âîññòàíîâëåíèé m - ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû), òî ðàáîòà ñèñ-

òåìû ìîæåò áûòü îïèñàíà êàòåãîðèÿìè îäíîðîäíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà

"ãèáåëè è ðàçìíîæåíèÿ" (èëè "ðîæäåíèÿ è ñìåðòè" [30]) òåîðèè ìàññîâî-

ãî îáñëóæèâàíèÿ. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ñèñòåìà ìîæåò áûòü îïèñàíà öåïî÷-

êîé ñîñòîÿíèé (ðèñ.7.10), îòëè÷àþùèõñÿ äðóã îò äðóãà ÷èñëîì íåèñïðàâ-

íûõ ýëåìåíòîâ k (0£k£N) è ñóììàðíûìè èíòåíñèâíîñòÿìè îòêàçîâ è âîñ-

ñòàíîâëåíèé l

è m

, ïðè÷åì â îáùåì ñëó÷àå (ðèñ.7.9) [29]

(

)

( ) ( )

( )

l l

n m l k s

n m l s k s k sl

nmlsk l s k N

+ + £ £

+ + + - < £ +

+ + < £

, ,

+ + -

(7.25)

k k r

r k r

, ,

, .

(7.26)

Ðàññìîòðèì èçìåíåíèå âåðîÿòíîñòè k-ãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ÷åðåç ìà-

ëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt . Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èíòåðâàë Dt

íàñòîëüêî ìàë, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ýòîãî âðåìåíè ïðî-

èçîéäåò áîëåå îäíîãî ñîáûòèÿ (îòêàçà èëè âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòà) ïðå-

íåáðåæèìî ìàëà. Â ìîìåíò âðåìåíè t+Dt ñèñòåìà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â k-

îì ñîñòîÿíèè òîëüêî â îäíîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ:

1) Â ìîìåíò t ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïðåäûäóùåì (k–1)-îì ñîñòîÿíèè è

â òå÷åíèå âðåìåíè Dt îòêàçàë îäèí èç ðàáîòàþùèõ ýëåìåíòîâ. Åñëè ýëå-

ìåíòû ñèñòåìû ðàáîòàþò â ïåðèîäå íîðìàëüíîé ýêñïëóàòàöèè è èõ íàäåæ-

íîñòü ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó, òî âåðîÿòíîñòü òàêîãî ñî-

áûòèÿ

(

)

(

)

(

)

p tt t q t t t

k k k k k- - - -

1 1 1 1

, exp

, (7.27)

ãäå q

k–1

è l

k–1

- âåðîÿòíîñòü è èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â (k–1)-îì ñîñòîÿíèè.

2) Â ìîìåíò t ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïîñëåäóþùåì (k+1)-îì ñîñòîÿíèè è

â òå÷åíèå âðåìåíè Dt áûë âîññòàíîâëåí îäèí ýëåìåíò. Åñëè ïðîöåññ âîñ-

ñòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó, òî âåðî-

ÿòíîñòü òàêîãî ñîáûòèÿ

(

)

(

)

(

)

p tt t p t t t

k k

âk

k k+

+ +

+ = = - - »

1 1

( )

, expD D D Dm m , (7.28)

ãäå p

â,(k+1)

è m

k+1

- âåðîÿòíîñòü è èíòåíñèâíîñòü âîññòàíîâëåíèÿ â (k+1)-îì ñîñòîÿíèè.

3) â ìîìåíò âðåìåíè t ñèñòåìà óæå íàõîäèëàñü â k-îì ñîñòîÿíèè è â

òå÷åíèå âðåìåíè Dt íè îäèí èç ðàáîòîñïîñîáíûõ ýëåìåíòîâ íå îòêàçàë è

íè îäèí èç îòêàçàâøèõ íå áûë âîññòàíîâëåí. Âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé:

(

)

(

)

(

)

[

]

p tt t q t t t

kk k k k,

, exp

+ =- =- - - »-

1 11 1D D D Dl l , (7.29)

(

)

(

)

(

)

[

]

p tt t p t t t

kk âk k k,

, exp

+ =- =- - - »-

1 11 1D D D Dm m , (7.30)

ãäå q

è l

- âåðîÿòíîñòü è èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â k-îì ñîñòîÿíèè, p

âk

è m

- âåðîÿòíîñòü è èíòåíñèâíîñòü âîññòàíîâëåíèé ýëåìåíòîâ â k-îì ñîñòîÿíèè.

×òîáû â ìîìåíò t+Dt ñèñòåìà îêàçàëàñü â k-îì ñîñòîÿíèè, íåîáõîäèìî,

÷òîáû ëèáî ñîñòîÿëîñü ñîáûòèå ïåðâîãî èëè âòîðîãî âèäà, ëèáî íå ñîñòîÿ-

ëîñü íè îäíî èç ñîáûòèé òðåòüåãî âèäà. Ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíî-

ñòåé äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñëó÷àÿ è òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ

òðåòüåãî âåðîÿòíîñòü k-ãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t+Dt

0 1

k-1 k k+1 N

...

-2

-1

...

Ðèñ.7.10. Ñõåìà ïðîöåññà ãèáåëè è ðàçìíîæåíèÿ

(

)

() ()

( )

( ) ()

Pt t

P tp tt t Ptp tt tptt t P tp tt t

P t tPt t t P t t

k k k k kk k k k

k k k k k k

+ =

= + + + + + + »

» + - - + »

- - + + +

- - + +

D D D D

D D D

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

() (, ) () (, )(, ) () (, )

, , ,

v v

l l mD m

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

» + - + +

- - + +

P t t Pt t P t t

k k k k k k k1 1 1 1

1l l m mD D D, (7.31)

ãäå P

k–1

(t), P

k+1

(t) è P

(t) - âåðîÿòíîñòè ïðåäûäóùåãî, ïîñëåäóþùåãî è k-ãî ñîñòîÿíèé

â ìîìåíò âðåìåíè t.

Èç âûðàæåíèÿ (7.31)

(

)

(

)

()

( )

() ()

Pt t Pt

P t Pt P t

k k

k k k k k k k

= - + +

- - + +

l l m m

1 1 1 1

. (7.32)

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè Dt®0, ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè P

(t):

(

)

()

( )

() ()

dPt

P t Pt P t

k k k k k k k

= - + +

- - + +

l l m m

1 1 1 1

. (7.33)

Ñîñòàâèâ äëÿ êàæäîãî èç âñåõ âîçìîæíûõ N+1 ñîñòîÿíèé ñèñòåìû

óðàâíåíèå âèäà (7.33), ïîëó÷èì ñèñòåìó N+1 äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-

íèé (k =0, 1, ..., N). Òàê êàê ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà (ñóììà ïðàâûõ

÷àñòåé âñåõ óðàâíåíèé ðàâíà íóëþ), òî äëÿ åå ðåøåíèÿ îòíîñèòåëüíî íå-

èçâåñòíûõ P

(t), P

(t), ..., P

(t) îäíî (ëþáîå) óðàâíåíèå íåîáõîäèìî çàìå-

íèòü íîðìèðóþùèì óñëîâèåì, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ñóììà âåðîÿòíî-

ñòåé âñåõ N+1 ñîñòîÿíèé, ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé,

ðàâíà åäèíèöå:

()

. (7.34)

Â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çíà÷åíèÿìè

(0) = 1, P

(0) = P

(0) = ... = P

(0) = 0. (7.35)

Íà ïðàêòèêå ÷àñòî íàèáîëåå âàæíî ïîâåäåíèå ñèñòåìû â óñòàíîâèâ-

øåìñÿ ðåæèìå ïðè t®¥, êîãäà ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿ-

íèé

(

)

P Pt

®¥

lim

(7.36)

íå çàâèñÿò îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ïðè÷åì óñòàíîâèâøèåñÿ (ôè-

íàëüíûå) âåðîÿòíîñòè p

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñðåäíþþ äîëþ âðåìåíè, êî-

òîðîå ñèñòåìà ïðåáûâàåò â ñîîòâåòñòâóþùåì ñîñòîÿíèè. Ïåðåõîäÿ â ñèñ-

òåìå óðàâíåíèé (7.33) ê ïðåäåëàì ïðè t®¥, ó÷èòûâàÿ (7.35) è òî, ÷òî ïðè

ýòîì dP

(t)/dt=0, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

( )

- + =

- + + =

- =

- - + +

- -

l m

l l m m

l m

00 11

1 1 1 1

1 1

P P

P P P

P P

k k k k k k k

N N NN

...

(7.37)

Êðîìå òîãî, èç ñîîòíîøåíèÿ (7.34) ñëåäóåò, ÷òî ñóììà âñåõ óñòàíîâèâøèõ-

ñÿ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà åäèíèöå:

. (7.38)

Åñëè â ñèñòåìå óðàâíåíèé (7.37) ââåñòè îáîçíà÷åíèå

- l

k–1

= p

, (7.39)

òî îíà çàïèøåòñÿ â âèäå

p p

- =

...,

k k

(7.40)

îòêóäà, î÷åâèäíî, p

= 0 (k = 0,1,...,N). Òîãäà, åñëè m

¹ 0, òî

P P P P P P

k k

= = = = = =

- -

l l

m m

ll l

mm m

2 1

01 1

0 0

...

(7.41)

èëè îêîí÷àòåëüíî ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (7.38)

k k j

= =

Õ Õ

q q

, (7.42)

ãäå

= =

Õ Õ

×åðåç âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé ñèñòåìû â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå (7.42)

ëåãêî íàõîäÿòñÿ íåêîòîðûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû. Íà-

ïðèìåð, ñðåäíåå ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ

[]

k Mk kP k

ñ k

= = =

å å å

q q . (7.43)

Ñèñòåìà áóäåò ðàáîòàòü áåçîòêàçíî äî ìîìåíòà âðåìåíè t, åñëè ÷èñëî

îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ íè ðàçó íå ïðåâûñèò N-n. Åñëè â íà÷àëüíûé ìî-

ìåíò âñå ýëåìåíòû èñïðàâíû, òî âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû

P = 1 - P

N–n+1

. (7.44)

Òàê êàê P

= p{t

<t} = 1 - exp(-t/t

), òî

= -

exp

. (7.45)

Íàäåæíîñòü ñèñòåìû ìîæåò òàêæå õàðàêòåðèçîâàòüñÿ êîýôôèöèåíòîì

ãîòîâíîñòè (ñì.ðàçä.1.4), êîòîðûé ìîæíî ñ÷èòàòü ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì

âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû. Äëÿ ñèñòåìû, áëîê-ñõåìà êîòîðîé èçî-

áðàæåíà íà ðèñ.7.9, ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñðåäíþþ äëèòåëüíîñòü èñïðàâíîãî

ñîñòîÿíèÿ T

, ñðåäíþþ äëèòåëüíîñòü íåèñïðàâíîãî ñîñòîÿíèÿ T

è êîýô-

ôèöèåíò ãîòîâíîñòè K

P T

NnNn

= =

- -

= -+

å å

1 1

l l

, , (7.46)

()

K Pt

è í

= =

®¥

lim

, (7.47)

Èç âñåõ âîçìîæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, îïèñûâàåìûõ áëîê-ñõåìîé íà

ðèñ.7.9 è âûðàæåíèÿìè (7.25)-(7.26), íà ïðàêòèêå ÷àùå äðóãèõ âñòðå÷àþò-

ñÿ ñëåäóþùèå:

1. Ñèñòåìà ñîñòîèò èç N=n ýëåìåíòîâ, èç íèõ n–m â ðàáî÷åì ñîñòîÿ-

íèè è m â íàãðóæåííîì ðåçåðâå, ÷èñëî îäíîâðåìåííî âîññòàíàâëèâàåìûõ

ýëåìåíòîâ ïðàêòè÷åñêè íå îãðàíè÷åíî (r ³ n). Òîãäà l

= (n–k)l, m

= km è

âåðîÿòíîñòü k-ãî ñîñòîÿíèÿ ïî ôîðìóëå (7.42)

( )

P C

k n

knk

l m

. (7.48)

Îòêàç ñèñòåìû íàñòóïèò, êîãäà ÷èñëî îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ ñòàíåò

ðàâíûì m+1. Òîãäà ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (7.48) ñðåäíåå âðåìÿ áåçîòêàçíîé

ðàáîòû

( )

nkC

i mi

k nk

l m

. (7.49)

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå äëÿ ñèñòåìû ñ îäíèì ðàáî÷èì ýëåìåíòîì (m = n – 1)

( )

T T

m n

= =

1 ml

l m

. (7.50)

2. Ñèñòåìà òà æå, íî îòêàçàâøèå ýëåìåíòû âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî îä-

íîìó (r = 1). Òîãäà l

= (n–k)l, m

= m è ïî ôîðìóëå (7.42)

( )

( ) ( )

n k i

nk i

1 1

ml ml . (7.51)

Îòêàç ñèñòåìû ïðîèçîéäåò â ñîñòîÿíèè k = m+1. Òîãäà íà îñíîâàíèè

ôîðìóëû (7.51)

(

)

( )

åå

-1!

ml . (7.52)

3. Â ñèñòåìå n ðàáî÷èõ ýëåìåíòîâ è íåîãðàíè÷åííûé íåíàãðóæåííûé

ðåçåðâ, âîçìîæíîñòè âîññòàíîâëåíèÿ òàêæå íå îãðàíè÷åíû. Òîãäà l

= nl,

= km è ïî ôîðìóëå (7.42)

( ) ( )

n n

= -

lm lmexp . (7.53)

4. Ñèñòåìà êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, íî r = 1. Òîãäà l

= nl, m

= m.

Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ïðè nl<m. Ïî ôîðìóëå (7.42)

( ) ( )

P n n

= -lm lm1 . (7.54)

Ôîðìóëû (7.45)-(7.54) ïîçâîëÿþò ïî çàäàííîé âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé

ðàáîòû ñèñòåìû P èëè äðóãèì ïàðàìåòðàì íàäåæíîñòè è èíòåíñèâíîñòè

îòêàçîâ ýëåìåíòîâ l ðàññ÷èòàòü íåîáõîäèìóþ èíòåíñèâíîñòü âîññòàíîâëå-

íèÿ ýëåìåíòîâ m. Åñëè âîçìîæíîñòè âîññòàíîâëåíèÿ îãðàíè÷åíû èëè ýëå-

ìåíòû íå âîññòàíàâëèâàþòñÿ, òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ çàäàííûõ ïàðàìåòðîâ

íàäåæíîñòè íåîáõîäèìî îòêàçàâøèå ýëåìåíòû çàìåíÿòü çàïàñíûìè, ò.å. â

ïîëó÷åííûõ ôîðìóëàõ m=h. Ñëåäîâàòåëüíî, â íåîáõîäèìûõ ñëó÷àÿõ ïðèâå-

äåííàÿ ìåòîäèêà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü íåîáõîäèìûå íîðìû çàïàñíûõ ýëå-

ìåíòîâ: ïðè çàäàííîé íàðàáîòêå t è èíòåíñèâíîñòè çàìåí h íåîáõîäèìîå

÷èñëî çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ s=h×t.

7.2.3. Основные характеристики ремонтоспособности системы

Â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé ñõåìîé (ðèñ.7.9) îòêàçàâøèå ýëåìåíòû ïîñòó-

ïàþò â ðåìîíòíîå óñòðîéñòâî, ñîñòîÿùåå èç r ðåìîíòíûõ åäèíèö, äëÿ âîñ-

ñòàíîâëåíèÿ èëè çàìåíû. Åñëè â ýòîò ìîìåíò âñå ðåìîíòíûå åäèíèöû çà-

íÿòû (èëè íåò ýëåìåíòîâ íà çàìåíó), òî ýëåìåíò ñòàâèòñÿ â î÷åðåäü. Ïðè

òàêîé ñõåìå äëèíà î÷åðåäè ðàâíà íóëþ, åñëè ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåí-

òîâ k£r, è ðàâíà k–r, åñëè k>r. Ðåìîíòîñïîñîáíîñòü ñèñòåìû, êà÷åñòâî è

äîñòàòî÷íîñòü ñèñòåìû òåõíè÷åñêîãî îáñëóæèâàíèÿ è ðåìîíòà ìîãóò õà-

ðàêòåðèçîâàòüñÿ ñðåäíèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ, îæèäàþùèõ ðåìîíòà èëè òðå-

áóþùèõ çàìåíû k¢ èëè ñðåäíèì ÷èñëîì çàíÿòûõ ðåìîíòíûõ åäèíèö k¢¢ [29]:

( )

= -

¢¢

= +

=+ = =+

å å å

k krP k kP r P

, . (7.55)

Êàæäûé ýëåìåíò â ïðîöåññå ðàáîòû îäèí èëè íåñêîëüêî ðàç ïðîõîäèò

öèêë ðàáîòà - îæèäàíèå ðåìîíòà (çàìåíû) - ðåìîíò - ðåçåðâ. Åñëè îáîçíà-

÷èòü ñðåäíþþ ïðîäîëæèòåëüíîñòü öèêëà t

, ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ

ýëåìåíòà â êàæäîì ïåðèîäå, ñîîòâåòñòâåííî, t

, t

è t

òî îòíîøåíèÿ

= t

, h

= t

, h

= t

, h

= t

(7.56)

ðàâíû äîëÿì âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â êàæäîì ïåðèîäå (è h

= 1).

Îòíîøåíèÿ (7.56) ðàâíû òàêæå îòíîøåíèÿì ñðåäíåãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ

â êàæäîì èç ÷åòûðåõ ñîñòîÿíèé (ïåðèîäîâ), ê îáùåìó ÷èñëó â ñèñòåìå,

ò.å.

()

[ ]

Mkt

®¥

lim , (7.57)

ãäå k

(t) - ÷èñëî ýëåìåíòîâ â êàæäîì èç ÷åòûðåõ ñîñòîÿíèé (i = 1, 2, 3, 4).

×èñëî ýëåìåíòîâ â ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè

()

(

)

() ()

n kt N n

N kt kt N n

£ -

- > -

, ,

åñëè

(7.58)

÷èñëî ýëåìåíòîâ, îæèäàþùèõ ðåìîíòà èëè çàìåíû,

()

(

)

() ()

kt r

kt r kt r

- >

, ,

åñëè

(7.59)